Limites unilaterales

5. Limites unilaterales

Límites unilaterales (definición informal).

Sea $f$ una función definida al menos en un intervalo abierto que contiene al punto $a$ , excepto posiblemente en $a$ mismo.

Límite lateral izquierdo. Decimos que el límite de

f (x)

cuando

x

tiende a

a

por la izquierda es

L

, y escribimos

lim_{x \to a^{-}} f (x) = L,

si los valores de $f (x)$ se acercan tanto como se quiera al número $L$ a medida que $x$ se acerca a $a$ exclusivamente por valores menores que $a$ (es decir, $x < a$ ).

Límite lateral derecho. Decimos que el límite de

f (x)

cuando

x

tiende a

a

por la derecha es

L

, y escribimos

lim_{x \to a^{+}} f (x) = L,

si los valores de $f (x)$ se acercan tanto como se quiera al número $L$ a medida que $x$ se acerca a $a$ exclusivamente por valores mayores que $a$ (es decir, $x > a$ ).

Teorema 1 — Existencia del límite bilateral.

El límite $lim_{x \to a} f (x)$ existe y es igual a $L$ si y solo si ambos límites laterales existen y coinciden:

lim_{x \to a} f (x) = L ⟺ lim_{x \to a^{-}} f (x) = L y lim_{x \to a^{+}} f (x) = L .

En particular, si los límites laterales existen pero son distintos, el límite bilateral no existe.

El límite de una función existe y es

L

, solo sus límites unilaterales existen y son iguales a

L

Este teorema nos dice que en principio los límites unilaterales se calculan de la manera usual (y los teoremas anteriores son válidos para límites unilaterales), excepto que el comportamiento de la función no sea el mismo por la izquierda y por la derecha. En este último caso decimos que el límite de

f

no existe, aunque los límites unilaterales pueden existir de manera independiente.

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Ejemplo 3 — Script interactivo.

En la figura que sigue se muestra la representación gráfica de una función f "a trozos"

Figura 2.1: Límites unilaterales: Script interactivo

Observe que $lim_{x \to - 2} f (x)$ no existe aunque los límites unilaterales sí existen. En particular, en x=-4 solo se puede establecer el límite "por la derecha", mientras que en x=6 solo se puede establecer el límite "por la izquierda".

5.1 Ejercicios

Ejercicio 5.1. Considere la función

g : ℝ - {- 2, - 3} \to ℝ

definida por:

g (x) = {\begin{matrix} \frac{4 - x^{2}}{(x + 2) (x + 3)} & si & x & < & - 1 \\ x & si & - 1 & \leq & x & < & 1 \\ 2 x^{2} - 1 & si & x & \geq & 1 \end{matrix}

determine para cuáles $x \in ℝ$ , el límite existe.

\forall a, a \in ℝ - {- 1, - 3}

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