Por abuso del lenguaje, es usual no indicar el conjunto donde la primitiva tiene sentido

1

$\int \frac{x}{|x|}\mathit{dx}=|x|+C$ (*)

2

$\int |x|\mathit{dx}=\frac{1}{2}x|x|+C$

3

$\int {\displaystyle \frac{1}{x}}\mathit{dx}=\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->|x|+C$ (*)

4

$\int \text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\mathit{dx}=x\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x-x+C$

5

$\int \frac{1}{x^2+1}\mathit{dx}=\text{arctan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+C$

6

$\int \text{arctan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\mathit{dx}=x\text{arctan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x-\frac{1}{2}\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(1+x^2)+C$

7

Las funciones continuas en $D$ tienen primitiva en $D$ (como establece el Teorema Fundamental del Cálculo que está más adelante), pero esta primitiva no siempre se puede expresar en términos de funciones elementales. Por ejemplo

(a)

$\int e^{-x^2}\mathit{dx}$

(b)

$\int \frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x}\mathit{dx}$

(c)

$\int \frac{1}{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}\mathit{dx}$

Verifiquemos que $F(x)={\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x$ y $G(x)=-\frac{1}{2}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2x)$ son primitivas de la misma función y comprobemos el teorema.

1.

$F^{\prime }(x)=2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2x)$, así que $F$ es primitiva de $\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2x)$ en todo $ℝ$.

2.

$G^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}\left(-2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2x)\right)=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2x)$, de modo que $G$ también lo es.

3.

Según el teorema, ambas deben diferir en una constante. En efecto, con $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2x)=1-2{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x$: $F(x)-G(x)={\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x+\frac{1}{2}\left(1-2{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x\right)=\frac{1}{2}$.

4.

Por eso $\int \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2x)\mathit{dx}$ admite las dos formas, que difieren solo en el valor de $C$: ninguna es "más correcta" que la otra.