Integración por partes

8. Integración por partes

Ejercicio 9.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{w + 1}{e^{w}} dw$
$- e^{- w} (w + 2) + C .$
2: $\int log (5 y^{2} - 4 y) dy$
$\frac{1}{ln 10} [y ln | 5 y^{2} - 4 y | - 2 y - \frac{4 ln | 5 y - 4 |}{5}] + C$
3: $\int arcsen (2 y) dy$
$y arcsen (2 y) + \frac{\sqrt{1 - 4 y^{2}}}{2} + C .$
4: $\int {(p - 1)}^{3} e^{p^{2} - 2 p} dp$
$\frac{p (p - 2) e^{p (p - 2)}}{2} + C$
5: $\int \frac{t e^{t}}{{(t + 1)}^{2}} dt$
$\frac{e^{t}}{(t + 1)} + C .$
6: $\int {sec}^{3} x dx$
$\frac{sec x tan x + ln | sec x + tan x |}{2} + C .$
7: $\int cos (ln r) dr$
$\frac{r [cos (ln r) + sen (ln r)]}{2} + C .$
8: $\int (3 y^{2} + 1) ln (y^{2} - 1) dy$
$(y^{3} + y) ln (y^{2} - 1) - \frac{2 y^{3}}{3} - 4 y + 2 ln | \frac{y + 1}{y - 1} | + C .$
9: $\int w^{3} \cdot 8^{w^{2} + 1} dw$
$\frac{w^{2} 8^{w^{2} + 1}}{2 ln 8} - \frac{8^{w^{2} + 1}}{2 {ln}^{2} 8} + C .$
10: $\int \frac{ln z}{{(z + 1)}^{2}} dz$
$\frac{- ln | z |}{(z + 1)} + ln | z | - ln | z + 1 | + C .$
11: $\int ln (\sqrt{x}) dx$
$\frac{x ln | x | - x}{2} + C .$
12: $\int x sec (x) tan (x) dx$
$x sec x - ln | sec x + tan x | + C .$
13: $\int x arctan (x) dx$
$\frac{x^{2} arctan (x) + arctan (x) - x}{2} + C .$
14: $\int x^{3} e^{- x^{2}} dx$
Sug. 1ro $u = e^{- x^{2}},$ luego partes.

$- \frac{x^{2} e^{- x^{2}}}{2} - \frac{e^{- x^{2}}}{2} + C .$
15: $\int \frac{x arcsen (x)}{\sqrt{1 - x^{2}}} dx$
$x - \sqrt{1 - x^{2}} \cdot arcsen x + C .$
16: $\int e^{2 𝜃} sen (3 𝜃) d𝜃$
$\frac{e^{2 𝜃} (2 sen 3 𝜃 - 3 cos 3 𝜃)}{13} + C .$
17: $\int w^{2} e^{- w} dw$
$- e^{- w} (w^{2} + 2 w + 2) + C$ .
18: $\int ln (\sqrt{x}) dx$
$x ln \sqrt{x} - \frac{x}{2} + C .$
19: $\int cos (x) ln (sen (x)) dx$
$sen x \cdot ln | sen x | - sen x + C .$
20: $\int cos (x) ln (sen (x)) dx$
$sen x \cdot ln | sen x | - sen x + C .$

Ejercicio 9.2

Calcule, usando integración por partes,

\int | x | dx

(Sug: Use

| x | = \sqrt{x^{2}}

y eventualmente hay que racionalizar)
Como

| x | = \sqrt{x^{2}}

entonces

\int | x | dx = \int \sqrt{x^{2}} dx

Ahora si $u = \sqrt{x^{2}}$ y $dv = dx$

{\begin{matrix} \int \sqrt{x^{2}} dx & = & x \sqrt{x^{2}} - \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}}} dx \\ = & x \sqrt{x^{2}} - \int \sqrt{x^{2}} dx \end{matrix}

$∴ 2 \int \sqrt{x^{2}} dx = x \sqrt{x^{2}}$

Es decir, $∴ \int \sqrt{x^{2}} dx = \frac{x | x |}{2} + K$

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