Sumas de Riemann

3. Sumas de Riemann

Introducción: Sumas de Riemann en una variable

La idea de la integral de Riemann es que la integral definida no dependa de la derivada exclusivamente. La integral se define informalmente como el límite de la suma de las áreas orientadas de los rectángulos bajo la curva en $[a, b]$ , cuando $max (Δ x_{k}) \to 0$ .

\int_{a}^{b} f (x) dx = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) Δ_{k}

Figura 7.4: Suma de Riemann

S_{n}

(hacer clic para ver el widget)

Funciones integrables en el sentido Riemann

1

Las funciones continuas en

[a, b]

y también las funciones acotadas y continuas excepto en un conjunto de medida cero^a) de puntos en

[a, b]

, son integrables en el sentido Riemann

2

Cálculo: Si

f

es integrable en el "sentido Riemann", entonces se puede calcular la integral con

\int_{a}^{b} f (x) dx = lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) \frac{(b - a)}{n}

usando cualquier escogencia fija de los $ξ_{k} :$ Puntos medios, extremo $x_{k - 1}$ , extremo $x_{k}$ , etc.

3

Teorema fundamental del cálculo. Si

f

es integrable en

[a, b]

F^{'} (x) = f (x)

para todo

x \in [a, b],

entonces

\int_{a}^{b} f (x) dx = F (x) |_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Si $g$ es continua en $[a, b]$ (por tanto integrable), entonces definimos la función $G$ como

G (x) : = \int_{a}^{x} g (t) dt, x \in [a, b]

Entonces $G$ es continua en $[a, b]$ y $G^{'} (x) = g (x)$ en $[a, b]$

Hay varias nociones de ’integral’ (como la Integral de Riemann, Darboux, Lebesgue, Gauge o Birkhoff, etc.), pero en este libro usaremos exclusivamente la integral en el sentido de Riemann, ya que es suficiente para nuestros propósitos. Las demás nociones son generalizaciones de ésta o definiciones diseñadas en otro sentido para resolver problemas específicos.

Particiones. Una partición

P

del intervalo

[a, b]

es cualquier conjunto finito de puntos:

P = {x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}

tales que:

a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n - 1} < x_{n} = b .

Esta partición divide al intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos $[x_{k - 1}, x_{k}]$ , cuya longitud es $Δ x_{k} = x_{k} - x_{k - 1}$ .

La norma de la partición $P$ , denotada por $| | P | |$ , se define como la longitud del subintervalo más grande:

| | P | | = max_{1 \leq k \leq n} {Δ x_{k}} .

Decir que $| | P | | \to 0$ implica que todos los subintervalos se hacen arbitrariamente pequeños, condición necesaria para la definición rigurosa de la integral de Riemann.

Particiones regulares. Estas particiones son particiones "igualmente espaciadas". Consideremos una partición "igualmente espaciada" del intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos

P = {[x_{0}, x_{1}], [x_{1}, x_{2}], . . ., [x_{n - 1}, x_{n}]}

donde $Δ x_{i} = | x_{i - 1} - x_{i} | = \frac{b - a}{n} = Δ x,$ es decir, $x_{k} = a + k \cdot Δ x$

Figura 7.5: Partición de

[a, b]

Límite de las sumas de Riemann

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Definición 18 — Integral de Riemann.

Sea $f$ una función acotada definida en $[a, b]$ . Se dice que $f$ es integrable en el "sentido Riemann" en $[a, b]$ si existe un número $I$ tal que para cualquier sucesión de particiones $P_{n}$ con norma $| | P_{n} | | \to 0$ y cualquier elección de puntos de muestra $ξ_{k} \in [x_{k - 1}, x_{k}]$ , se cumple que:

lim_{| | P | | \to 0} \sum_{k = 1}^{n} f (ξ_{k}) Δ x_{k} = I

donde $Δ x_{k} = x_{k} - x_{k - 1}$ y $| | P | | = max {Δ x_{k}}$ . La condición $| | P | | \to 0$ garantiza que todos los subintervalos se hagan arbitrariamente pequeños, sin exigir que sean iguales.

1: Si $f$ es integrable, escribimos $\int_{a}^{b} f (x) dx = I$ .
2: Convenio: $\int_{a}^{a} f (x) dx = 0$ .
3: Convenio: $\int_{a}^{b} f (x) dx = - \int_{b}^{a} f (x) dx$ .

Ejemplo50Una suma de Riemann y su límite

Aproximemos $\int_{0}^{1} x^{2} dx$ con particiones regulares y extremos derechos.

1.: Con $n$ subintervalos, $Δ x = \frac{1}{n}$ y $x_{k} = \frac{k}{n}$ ; tomando $ξ_{k} = x_{k}$ , la suma es $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{k}{n})}^{2} \frac{1}{n} = \frac{1}{n^{3}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2}$ .
2.: Para $n = 4$ : $S_{4} = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{64} = \frac{30}{64} = 0.46875$ , que sobrestima el valor porque $x^{2}$ es creciente en $[0, 1]$ .
3.: Con la fórmula $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ se obtiene $S_{n} = \frac{(n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{2}}$ .
4.: Al hacer $n \to \infty$ , $S_{n} \to \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , de modo que $\int_{0}^{1} x^{2} dx = \frac{1}{3}$ . Como $f$ es continua, cualquier otra elección de los $ξ_{k}$ (extremos izquierdos, puntos medios) da el mismo límite.

Ejercicio 4.1

Dadas la función y la partición

P

, estime la suma de Riemann para los puntos izquierdos, la suma para los puntos medios y la suma para los puntos derechos.

1: $f (u) = \sqrt{2 u + 4}, P = {- 2, - 1.8, - 1.6, - 1.3, - 1}$
0,74984; 0,950158; 1,08461.
2: $h (z) = {\begin{matrix} 4 - z^{2} & si & z \leq 3 \\ 5 - z & si & z > 3 \end{matrix}, P = {2, 2.5, 3, 3.02, 4, 5}$
1,7154; -0,3125; -2,6054.

Ejercicio 4.2

Dadas la función, el intervalo y el valor de

n

, estime la suma de Riemann de la función en el intervalo usando

n

subintervalos regulares para los puntos izquierdos, para los puntos medios y para los puntos derechos.

1: $f (t) = 3 ln t,$ intervalo $[1, 2], n = 6$
Izquierdos: $0, 982130$ ; medios: $1, 160614$ ; derechos: $1, 328703$ .
2: $f (r) = r^{2} \sqrt{1 - r^{2}},$ intervalo $[- 1, 1], n = 8$
Izquierdos: $0, 324540$ ; medios: $0, 410727$ ; derechos: $0, 324540$ .

Ejercicio 4.3

Calcule cada integral como límite de sumas de Riemann

1: $\int_{0}^{3} (1 - 4 v) dv$
-15
2: $\int_{3}^{7} u (2 u - 5) du$
$\frac{332}{3}$
3: $\int_{- 1}^{1} (2 t - t^{3}) dt$
0
4: $\int_{1}^{4} (2 - 3 x) dx$
$\frac{- 33}{2}$
5: $\int_{- 1}^{3} (x - x^{2}) dx$
$\frac{- 16}{3}$
6: $\int_{0}^{2} (9 - 3 x^{2}) dx$
10

Ejercicio 4.4

(*)

Utilice sumas de Riemann para verificar que

\int_{a}^{b} x dx = \frac{b^{2} - a^{2}}{2}

Con la partición regular

x_{k} = a + k \frac{b - a}{n}

ξ_{k} = x_{k}

\sum_{k = 1}^{n} x_{k} \frac{b - a}{n} = \frac{b - a}{n} [na + \frac{b - a}{n} \cdot \frac{n (n + 1)}{2}] = a (b - a) + \frac{{(b - a)}^{2}}{2} \cdot \frac{n + 1}{n}

, que tiende a

a (b - a) + \frac{{(b - a)}^{2}}{2} = \frac{b^{2} - a^{2}}{2}

cuando

n \to \infty

Ejercicio 4.5

Sea

f

una función definida por

f (x) = x^{2} + 1

. Utilizando

6

rectángulos, aproxime el área limitada por la gráfica de

f

y el eje

X

, en el intervalo

[1, 4]

20, 375 < 24 < 27, 875

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