Calculo de areas

7. Cálculo de áreas

Cálculo del área de una región

Teorema 29 — Área mediante integrales.

La integral $\int_{a}^{b} f (x) dx$ representa área con signo. El área geométrica entre la gráfica de $f$ y el eje $X$ es

A = \int_{a}^{b} | f (x) | dx .

El área entre dos curvas continuas $y = f (x)$ y $y = g (x)$ es

A = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | dx .

Si las curvas cambian de orden, el intervalo se divide en sus puntos de intersección. También puede integrarse respecto de $y$ , usando en cada tramo “curva derecha menos curva izquierda”.

Si una región $R$ está entre dos funciones continuas $f$ y $g$ en un intervalo $[a, b]$ , tal que $f (x) \geq g (x)$ en este intervalo, entonces el área de la región $R$ , denotada $A_{R}$ , es

A_{R} = \int_{a}^{b} f (x) - g (x) dx

Ejemplo53Área de una región entre tres curvas

Calcule el área de la región sombreada entre las curvas $y = 1 / 4 {(x + 1)}^{2} + 2,$ $y = 3 - x,$ $y = 1 / 2 sen x$ y $x = 0,$ desde $x = - 2$ hasta $x = 2 .$

Área de una región entre curvas

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Solución. Usando el widget anterior, la región se subdivide en tres subregiones, cada una entre dos curvas.

1

La primera subregión

R_{1}

va desde

x = - 2

hasta

x = 0

, entre

y = 1 / 4 {(x + 1)}^{2} + 2

y el eje

X

A_{R_{1}} = \int_{- 2}^{0} [1 / 4 {(x + 1)}^{2} + 2 - 0] dx

2

La segunda subregión

R_{2}

, entre

y = 1 / 4 {(x + 1)}^{2} + 2

y = 1 / 2 sen x

, va de

0

hasta

x = 2 \sqrt{3} - 3

pues

1 / 4 {(x + 1)}^{2} + 2 = 3 - x ⟹ x = 2 \sqrt{3} - 3 > 0

A_{R_{2}} = \int_{0}^{2 \sqrt{3} - 3} [1 / 4 {(x + 1)}^{2} + 2 - 1 / 2 sen x] dx

3

La tercera subregión

R_{3}

entre

y = 3 - x

y = 1 / 2 sen x

, va de

x = 2 \sqrt{3} - 3

hasta

x = 2

A_{R_{3}} = \int_{2 \sqrt{3} - 3}^{2} [3 - x - 1 / 2 sen x] dx

Entonces el área de la región está dada por

\begin{matrix} A_{R} & = & \int_{- 2}^{0} [1 / 4 {(x + 1)}^{2} + 2 - 0] dx + \int_{0}^{2 \sqrt{3} - 3} [1 / 4 {(x + 1)}^{2} + 2 - 1 / 2 sen x] dx + \int_{2 \sqrt{3} - 3}^{2} [3 - x - 1 / 2 sen x] dx \\ \approx & 7.28039 \dots \end{matrix}

Ejercicio 8.1

Determine el área de la región limitada por:

1: $f (x) = x^{3} + 2 x$ y el eje $X,$ desde $x = - 1$ hasta $x = 3 .$
$A = \frac{61}{2} {(ul)}^{2}$
2: $x = y + 5$ y $x = \frac{y^{2} + 2}{2}$ .
$A = 18 {(ul)}^{2}$ .
Observe que: $A = \int_{- 2}^{4} (y + 5 - \frac{y^{2} + 2}{2}) dy$ .
O bien: $A = \int_{1}^{3} 2 \sqrt{2 x - 2} dx + \int_{3}^{9} (\sqrt{2 x - 2} - (x - 5)) dx$
3: $y = 0$ y $y = 1 - x^{2}$ desde $x = - 1$ hasta $x = 1 .$ Realice la representación gráfica de la región.
$A = \frac{4}{3} {(ul)}^{2}$
4: $y = 0$ y $y = 2 - | x |$ desde $x = - 2$ hasta $x = 2 .$ Realice la representación gráfica de la región.
$A = 4 {(ul)}^{2}$
5: $y = x^{2} - 4 x + 3$ y $y = - x^{2} + 2 x + 3 .$ Realice la representación gráfica de la región.
$A = 9 {(ul)}^{2}$
6: $y = x^{3}, x = - 2, x = 4$ .
$A = 68 {(ul)}^{2}$
7: $y = | x |, x = - 2, x = 2$ .
$A = 4 {(ul)}^{2}$
8: $y = x^{2} + 1, y = x + 3$ .
$A = \frac{9}{2} {(ul)}^{2}$
9: $y^{2} = - x, x - y = 4, y = 0, y = 2$ .
$A = \frac{38}{3} {(ul)}^{2}$ .
Observe que: $A = \int_{0}^{2} [4 + y - (- y^{2})] dy$ O bien: $A = \int_{- 4}^{0} (2 - \sqrt{- x}) dx + \int_{0}^{4} 2 dx + \int_{4}^{6} [2 - (x - 4)] dx$