Optimización: Trapecio en Semicírculo

Se busca el valor \(a \in (0,4)\) que maximiza el área del trapecio inscrito en el semicírculo de radio \(r = 4\), con vértices en \((\pm 4,\,0)\) y \((\pm a,\,\sqrt{16-a^2})\).

La función objetivo es \(A(a) = \dfrac{(2a+8)\,\sqrt{16-a^2}}{2}\). El applet permite explorar visualmente el máximo antes de calcularlo analíticamente.

• Mueva el deslizador para cambiar el valor de \(a\)
• El panel izquierdo muestra el trapecio inscrito en el semicírculo
• El panel derecho grafica \(A(a)\) con el punto actual marcado en rojo
• La tabla central registra el historial de valores explorados
• Busque visualmente el \(a\) donde el área parece ser mayor

• ¿En qué valor de \(a\) parece alcanzarse el máximo de \(A(a)\)?
• Verifique que \(A(a) \to 0\) cuando \(a \to 4\) (trapecio colapsado)
• ¿Qué ocurre con la altura \(h = \sqrt{16-a^2}\) cuando \(a\) crece?
• Derive \(A(a)\) e iguale a cero: ¿coincide con lo observado?
• ¿El máximo de \(A(a)\) y el de \(h(a)\) ocurren en el mismo \(a\)?