Tutor: Existencia de límites — g(x)

Ejercicio · Límites

Existencia de límites para una función a trozos

Considere la función \(g:\mathbb{R}\setminus\{-2,-3\}\longrightarrow\mathbb{R}\) definida por:

g(x)=\begin{cases} \dfrac{4-x^{2}}{(x+2)(x+3)} & \text{si } x < -1\\[8pt] x & \text{si } -1\le x < 1\\[4pt] 2x^{2}-1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}

Determine para cuáles \(x\in\mathbb{R}\) el límite \(\lim_{x\to a}g(x)\) existe.

Pistas progresivas

Para una función a trozos, el límite puede fallar en tres tipos de puntos:

(a) Puntos de unión de trozos: donde la fórmula cambia. Aquí son \(x=-1\) y \(x=1\). Hay que verificar si los límites laterales coinciden.

(b) Puntos excluidos del dominio: \(x=-2\) y \(x=-3\). La función no está definida, pero el límite puede existir o no.

(c) Cualquier otro \(x\): en el interior de cada trozo, \(g\) es continua (es un polinomio o una función racional sin singularidades), por lo tanto el límite siempre existe e iguala el valor de la función.

Plan: analizar los cuatro puntos críticos \(x\in\{-3,\,-2,\,-1,\,1\}\) individualmente.

Cerca de \(x=-3\) se cumple \(x<-1\), así que usamos el primer trozo: \(\;g(x)=\dfrac{4-x^{2}}{(x+2)(x+3)}\).

Evaluamos numerador y denominador cuando \(x\to -3\):

\text{Num}:\; 4-(-3)^2 = 4-9 = -5 \neq 0 \] \[ \text{Den}:\; (-3+2)(-3+3) = (-1)(0) = 0

El numerador tiene un valor distinto de cero y el denominador tiende a cero. Esto provoca que el cociente crezca sin cota:

\lim_{x\to -3} g(x) = \pm\infty

Conclusión: el límite no existe en \(x=-3\). (Discontinuidad de tipo infinito.)

Cerca de \(x=-2\) también se cumple \(x<-1\), así que usamos el mismo trozo. Factorizamos el numerador:

4 - x^{2} = (2-x)(2+x) = (2-x)(x+2)

Sustituyendo en \(g(x)\):

g(x)=\frac{(2-x)\,(x+2)}{(x+2)(x+3)} =\frac{2-x}{x+3}, \qquad x\neq -2

El factor \((x+2)\) se cancela (es una indeterminación \(\tfrac{0}{0}\)). Ahora el límite es inmediato:

\lim_{x\to -2} g(x) = \lim_{x\to -2}\frac{2-x}{x+3} = \frac{2-(-2)}{-2+3} = \frac{4}{1} = 4

Conclusión: el límite existe e igual a 4, aunque \(g(-2)\) no está definida. (Discontinuidad evitable.)

En \(x=-1\) la fórmula cambia: debemos calcular los dos límites laterales con trozos diferentes.

Límite por la izquierda (trozo I, \(x < -1\)):

\lim_{x\to -1^{-}} g(x) = \lim_{x\to -1^{-}} \frac{2-x}{x+3} = \frac{2-(-1)}{-1+3} = \frac{3}{2}

Límite por la derecha (trozo II, \(-1 \le x < 1\)):

\lim_{x\to -1^{+}} g(x) = \lim_{x\to -1^{+}} x = -1

Comparación:

\frac{3}{2} \;\neq\; -1

Los límites laterales existen pero son distintos.

Conclusión: el límite bilateral \(\lim_{x\to -1}g(x)\) no existe. (Discontinuidad de salto: la función "salta" de \(\tfrac{3}{2}\) a \(-1\).)

Límite por la izquierda (trozo II, \(-1 \le x < 1\)):

\lim_{x\to 1^{-}} g(x) = \lim_{x\to 1^{-}} x = 1

Límite por la derecha (trozo III, \(x \ge 1\)):

\lim_{x\to 1^{+}} g(x) = \lim_{x\to 1^{+}}(2x^{2}-1) = 2(1)^{2}-1 = 1

Comparación:

1 = 1 \quad\checkmark

Ambos límites laterales coinciden en \(L=1\).

Conclusión: \(\lim_{x\to 1}g(x)=1\) existe. (Incluso \(g(1) = 2(1)^2-1 = 1 = L\), así que \(g\) es continua en \(x=1\).)

\(x=-3\) Denominador → 0, numerador → −5 (infinito) No existe \(x=-2\) Factor \((x+2)\) cancelable → límite = 4 Existe = 4 \(x=-1\) Límites laterales: \(\tfrac{3}{2}\neq -1\) No existe \(x=1\) Límites laterales: \(1 = 1\) Existe = 1 demás \(x\) Interior de cada trozo (función continua) Siempre existe

Solución completa

La función \(g\) tiene dos puntos problemáticos del dominio (\(-3\) y \(-2\)) y dos puntos de unión (\(-1\) y \(1\)). En todos los demás puntos, cada trozo es continuo, de modo que el límite existe automáticamente.

x=-3:\quad \lim_{x\to -3}g(x)=\pm\infty\qquad\text{(no existe)} \] \[ x=-2:\quad \lim_{x\to -2}\frac{(2-x)(x+2)}{(x+2)(x+3)} =\lim_{x\to -2}\frac{2-x}{x+3}=4\qquad\text{(existe)} \] \[ x=-1:\quad \lim_{x\to -1^{-}}\frac{2-x}{x+3}=\tfrac{3}{2},\quad \lim_{x\to -1^{+}}x=-1,\quad \tfrac{3}{2}\neq -1\qquad\text{(no existe)} \] \[ x=1:\quad \lim_{x\to 1^{-}}x=1=\lim_{x\to 1^{+}}(2x^{2}-1)\qquad\text{(existe)}

Conclusión: El límite \(\lim_{x\to a}g(x)\) existe para todo

\boxed{a \;\in\; \mathbb{R}\setminus\{-3,\,-1\}}

Nótese que \(x=-2\) no aparece en el conjunto de excepción: aunque la función no está definida allí, el límite sí existe (discontinuidad evitable).

La IA resolverá el mismo ejercicio desde cero. Compara el enfoque con la solución del profesor.