Introduccion y proposiciones

1. Introducción y proposiciones

La parte más simple de la lógica matemática es la lógica proposicional. Las leyes de la lógica son usadas para distinguir entre argumentos válidos o no válidos. La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no se puede probar por la lógica proposicional. El propósito de este tema, en este curso, es el de enseñar al estudiante cómo entender y cómo construir un argumento matemático de manera correcta.

Definición 1 — Proposición y conectivas.

Una proposición es un enunciado que es verdadero o falso, pero no ambas cosas. A partir de proposiciones simples $P, Q, \dots$ se construyen proposiciones compuestas con las conectivas

\neg P, P \land Q, P \lor Q, P \to Q, P \equiv Q,

que se leen “no $P$ ”, “ $P$ y $Q$ ”, “ $P$ o $Q$ ” (inclusivo), “si $P$ entonces $Q$ ” y “ $P$ si y solo si $Q$ ”.

Asociadas al condicional $P \to Q$ están la recíproca $Q \to P$ , la contrapositiva $\neg Q \to \neg P$ y la negación $P \land \neg Q$ . Un enunciado que no es verdadero ni falso (una pregunta, una orden, o una expresión con una variable libre) no es una proposición.

Ejemplo1Simbolizar, negar y hallar la contrapositiva

Sean $P$ : “está lloviendo” y $Q$ : “hay nubes en el cielo”. Trabajemos con el enunciado “si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo”.

1.: Es una proposición, pues tiene un valor de verdad; se simboliza $P \to Q$ .
2.: Su contrapositiva es $\neg Q \to \neg P$ : “si no hay nubes en el cielo, entonces no está lloviendo”. Es lógicamente equivalente al enunciado original.
3.: Su recíproca es $Q \to P$ : “si hay nubes en el cielo, entonces está lloviendo”. No es equivalente al enunciado original.
4.: Su negación no es $P \to \neg Q$ , sino $P \land \neg Q$ : “está lloviendo y no hay nubes en el cielo”. Es el único caso en que un condicional es falso.

Ejercicio 2.1

Determine si la expresión es una proposición:

1: Expresión: Marte es más grande que Venus.
Sí.
2: Expresión: Todos los cuadrados son rectángulos.
Sí.
3: Expresión: $\sqrt[3]{64} = 8$
Sí.
4: Expresión: Algunos números racionales son enteros.
Sí.
5: Expresión: Si estas paredes hablaran...
No.

Ejercicio 2.2

Simbolice las siguientes proposiciones utilizando la representación dada a continuación:

P = “está lloviendo”, Q = “el sol está brillando”, R = “hay nubes en el cielo”

1: Está lloviendo y el Sol está brillando.
$(P \land Q)$
2: Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo.
$P \to R$
3: No es cierto que el Sol no está brillando.
$Q$
4: Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo.
$\neg P \to (\neg Q \land R)$
5: Si no está lloviendo y no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando.
$(\neg P \land \neg R) \to Q$
6: El Sol está brillando si, y sólo si, no está lloviendo.
$Q \equiv \neg P$
7: No es el caso que esté lloviendo o el Sol esté brillando, pero hay nubes en el cielo.
$\neg (P \lor Q) \land R$

Ejercicio 2.3

Simbolice, a partir de las proposiciones simples anteriores, las proposiciones compuestas que se enuncian a continuación.

1: $(P \land Q) \to R$
Si está lloviendo y el sol está brillando entonces hay nubes en el cielo.
2: $\neg P \equiv (Q \lor R)$
No está lloviendo equivale a, el sol está brillando o hay nubes en el cielo.
3: $\neg R \to Q$
Si no hay nubes en el cielo entonces el sol está brillando.
4: $(P \to R) \to Q$
Si, siempre que está lloviendo hay nubes en el cielo, entonces el sol está brillando.

Ejercicio 2.4

Determine la negación de las proposiciones siguientes y su simbolización:

1: "Está lloviendo y hay nubes en el cielo". Además, generalice, de manera simbólica, una regla para $\neg (P \land R)$
No está lloviendo o no hay nubes en el cielo. $\neg (P \land R) \equiv (\neg P) \lor (\neg R)$ .
2: "El Sol está brillando o hay nubes en el cielo". Además, generalice, de manera simbólica, una regla para $\neg (Q \lor R)$ .
El Sol no está brillando y no hay nubes en el cielo. $\neg (Q \lor R) \equiv (\neg Q) \land (\neg R)$ .
3: "No está lloviendo". Además, generalice, de manera simbólica, una regla para $\neg (\neg P)$ .
Está lloviendo. $\neg (\neg P) \equiv P$ .

Ejercicio 2.5

Simbolice la proposición y su negación, enuncie (en palabras) la negación

1: Ayer llovió e hizo frío.
$l \land f, (\neg l) \lor (\neg f)$ : “ayer no llovió o no hizo frío”.
2: Sandra viene mañana o el viernes.
$m \lor v, (\neg m) \land (\neg v)$ : “Sandra no viene mañana ni el viernes”.
3: El sujeto no estaba armado, pero llevaba gorra o capucha.
$(\neg a) \land (g \lor c), a \lor [(\neg g) \land (\neg c)]$ : “el sujeto estaba armado, o no llevaba gorra ni capucha”.
4: $n$ es entero o bien racional y positivo.
$e \lor (r \land p), (\neg e) \land [(\neg r) \lor (\neg p)]$ : “ $n$ no es entero, y no es racional o no es positivo”.

Ejercicio 2.6

Enuncie (en palabras) la negación

1: Algunas aves no pueden volar
Todas las aves pueden volar.
2: Un día en $1998$ cayó nieve en el Irazú.
Ningún día de $1998$ cayó nieve en el Irazú.
3: Ningún humano puede vencer a Superman.
Algún humano puede vencer a Superman.
4: Para cada $y \in ℝ$ existe un $r \in ℝ$ tal que $r^{2} = y$ .
Existe un $y \in ℝ$ tal que para todo $r \in ℝ$ se tiene que $r^{2} \neq y$ .

Ejercicio 2.7

Simbolice la proposición y enuncie el contrapositivo

1: Si lo detienen le van a poner multa.
$d \to m$ ; “si no le hacen multa, no lo detuvieron”.
2: Si llego tarde y no traigo excusa, no podré hacer quiz.
$[t \land (\neg e)] \to (\neg q)$ ; “si puedo hacer el quiz , entonces no llegé tarde o bien traje excusa”.
3: Cada vez que trasnocho estudiando, me va bien en el siguiente quiz.
$\forall v \in D, 𝑡𝑒 (v) \to 𝑣𝑞 (v)$ ; “ cada vez que no me va bien en el quiz, no trasnoché estudiando ”

Ejercicio 2.8

Proporcione la negación, la recíproca y la contrapositiva de cada una de las proposiciones siguientes:

1: Si soy listo, entonces soy millonario.
Para la negación de la implicación, se utiliza la equivalencia, $\neg (P \to Q) \equiv P \land \neg Q$ .
N: Soy listo y no soy millonario.
R: Si soy millonario, entonces soy listo.
C: Si no soy millonario, entonces no soy listo.
2: Si $2 + 2 = 4$ , entonces $2 + 4 = 8$ .

N: $2 + 2 = 4$ y $2 + 4 \neq 8 .$
R: Si $2 + 4 = 8$ , entonces $2 + 2 = 4 .$
C: Si $2 + 4 \neq 8$ , entonces $2 + 2 \neq 4 .$
3: Si Juan llega demasiado pronto o María demasiado tarde, entonces el jefe se molesta.

N: Juan llega demasiado pronto o María demasiado tarde, y el jefe no se molesta.
R: Si el jefe se molesta, entonces Juan llega demasiado pronto o María demasiado tarde.
C: Si el jefe no se molesta, entonces Juan no llega demasiado pronto ni María demasiado tarde.
4: Si hay nubes en el cielo y el Sol no está brillando, entonces no iré al estadio.

N: Hay nubes en el cielo y el Sol no está brillando, e iré al estadio.
R: Si no iré al estadio, entonces hay nubes en el cielo y el Sol no está brillando.
C: Si iré al estadio, entonces no hay nubes en el cielo o el Sol está brillando.
5: Si $a$ es un número real y $a > 0$ , entonces $a^{2} > 0$ .

N: $a$ es un número real, $a > 0$ y $a^{2} \leq 0$ .
R: Si $a^{2} > 0$ , entonces $a$ es un número real y $a > 0$ .
C:Si $a^{2} \leq 0$ , entonces $a$ no es un número real o $a \leq 0$ .

Ejercicio 2.9

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas?

1: Si $3 + 3 = 6$ , entonces $4 = 4$ .
Verdadera.
2: Si $5 \cdot 7 = 35$ , entonces $10 - 3 = 13$ .
Falsa.
3: $(3 + 5 = 8) \lor (5 - 3 = 4)$ .
Verdadera.
4: $(5 - 3 = 8) \to (1 - 7 = 6)$ .
Verdadera.
5: $(4 + 6 = 9) \equiv (5 - 2 = 4)$
Verdadera.
6: La capital de Costa Rica es San José y 17 no es un número primo.
Falsa.

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