Criterio lateral y empalme

25. Criterio lateral y empalme

Teorema 10 — Criterio lateral y empalme.

Si $c$ es un punto interior del dominio, $f$ es continua en $c$ si, y solo si,

\lim_{x \to c^{-}} f (x) = f (c) = \lim_{x \to c^{+}} f (x) .

En consecuencia, si una función está definida a trozos y cada una de sus ramas es continua, solamente deben revisarse los puntos de empalme. En cada uno de ellos, los dos límites laterales y el valor asignado a la función deben coincidir.

Ejemplo18Empalme de una función definida a trozos

Consideremos la función

f (x) = {\begin{matrix} - {(x - 2)}^{2}, & si x < 2 \\ a {(x - 2)}^{2} + b, & si 2 \leq x \leq 3 \\ 2 x + b - 2, & si x > 3 \end{matrix}

Determinar valores de $a$ y $b$ tal que la función sea continua en todo $ℝ$ .

Solución. En el widget podemos usar los deslizadores para ajustar los valores de $a$ y $b$ , con el propósito de que $f$ sea continua en todo $ℝ$ . Luego debemos justificar con un análisis formal.

Formalmente: los pasos son los siguientes.

1.: Las tres funciones que conforman $f$ son continuas en todo $ℝ$ (dos polinomios y una parábola), así que, por el teorema, solo hay que revisar los puntos de empalme: $x = 2$ y $x = 3$ .
2.: Empalme en $x = 2$ : se igualan el límite por la izquierda y el valor de la rama central, $\lim_{x \to 2^{-}} - {(x - 2)}^{2} = 0$ y $a {(2 - 2)}^{2} + b = b$ ; por lo tanto $b = 0$ .
3.: Empalme en $x = 3$ : $\lim_{x \to 3^{-}} a {(x - 2)}^{2} + b = a + b$ y $\lim_{x \to 3^{+}} 2 x + b - 2 = 4 + b$ ; de $a + b = 4 + b$ se obtiene $a = 4$ .
4.: Con $a = 4$ y $b = 0$ las tres ramas empalman y $f$ es continua en todo $ℝ$ .

Formalmente, los pasos son los siguientes.

1.: Las tres funciones que conforman $f$ son continuas en todo $ℝ$ (dos polinomios y una parábola), así que, por el teorema, solo hay que revisar los puntos de empalme: $x = 2$ y $x = 3$ .
2.: Empalme en $x = 2$ : $\lim_{x \to 2^{-}} - {(x - 2)}^{2} = 0$ debe coincidir con $a {(2 - 2)}^{2} + b = b$ ; por lo tanto $b = 0$ .
3.: Empalme en $x = 3$ : $\lim_{x \to 3^{-}} a {(x - 2)}^{2} + b = a + b$ debe coincidir con $\lim_{x \to 3^{+}} 2 x + b - 2 = 4 + b$ ; de $a + b = 4 + b$ se obtiene $a = 4$ .
4.: Con $a = 4$ y $b = 0$ las tres ramas empalman y $f$ es continua en todo $ℝ$ . En la cejilla siguiente está el cálculo completo:

Ejercicio 26.1

Determine el conjunto de valores de la variable donde la función es continua

1: $r (t) = {\begin{matrix} 6 - t & si & t < - 2 \\ 10 + t & si & - 2 \leq t < 1 \\ 5 + 6 t & si & t > 1 \end{matrix}$
$ℝ - {1}$
2: $h (y) = {\begin{matrix} \frac{y^{2} - 1}{y - 1} & si & y < - 1 \\ \frac{1}{y^{2} - 4} & si & - 1 < y < 3 \\ \frac{2 y^{2} - 9 y + 4}{y^{2} - 3 y - 4} & si & y \geq 3 \end{matrix}$
$ℝ - {- 1, 2, 3, 4}$

Ejercicio 26.2

Encuentre los valores de

a

b

para que la función sea continua en

ℝ

1: $g (t) = {\begin{matrix} 2 & si & t \leq - 1 \\ 𝑎𝑡 + b & si & - 1 < t \leq 3 \\ - 2 & si & t > 3 \end{matrix}$
$a = - 1$ , $b = 1$
2: $r (u) = {\begin{matrix} u + 1 & si & u \leq 0 \\ u^{2} + a & si & 0 < u \leq b \\ 7 - u & si & u > b \end{matrix}$
$a = 1$ , $b = 2$

Ejercicio 26.3

Para cada una de las siguientes funciones, halle el valor de

a

b

para que la función correspondiente sea continua en el valor de

x

que se indica.

a): En $x = 0$ , $g (x) = {\begin{matrix} \frac{sen (2 x)}{𝑎𝑥} & si & x < 0 \\ b & si & x = 0 \\ \frac{e^{𝑎𝑥}}{b} & si & x > 0 \end{matrix}$
b): En $x = 1$ , $h (x) = {\begin{matrix} \frac{x + 1}{a} & si & x < 1 \\ b & si & x = 1 \\ \frac{a^{2} x - 1}{1 + a} & si & x > 1 \end{matrix}$

a.: ( $a = 2$ y $b = 1$ ) ó ( $a = - 2$ y $b = - 1$ )
b.: $a = 2$ y $b = 1$ .

Ejercicio 26.4

Considere la función

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 5 & si & x \leq k \\ x^{2} + 9 & si & x > k \end{matrix}

Determine el o los valores de

k,

de modo que

f

sea continua en

ℝ .

No existe tal

k

: el empalme en

x = k

exigiría

k^{2} + 5 = k^{2} + 9,

es decir

5 = 9 .

Ejercicio 26.5

Para cada una de las siguientes funciones, determine si es continua en todos los reales.

1

f (x) = {\begin{matrix} e^{x} & si & x < 1 \\ 4 & si & x = 1 \\ - x + e + 1 & si & x > 1 \end{matrix}

No en 1.

2

f (x) = {\begin{matrix} - x & si & x \leq - 1 \\ - x^{2} + 2 & si & - 1 < x < 1 \\ 2 & si & x \geq 1 \end{matrix}

No en 1.

3

f (x) = {\begin{matrix} - x & si & x \leq 0 \\ x^{2} & si & 0 < x < 1 \\ \sqrt{x} & si & x > 1 \end{matrix}

No en 1.

4

h (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{x} & si & x < 0 \\ 0 & si & x = 0 \\ \ln x & si & x > 0 \end{matrix}

No en 0

Ejercicio 26.6

Determine los valores de

a

c

(si es posible) de modo que

f

sea continua:

1

f (x) = {\begin{matrix} x + 2 c & si & x < - 2 \\ 3 𝑎𝑥 + a & si & - 2 \leq x \leq 1 \\ 3 x - 2 a & si & 1 < x \end{matrix}

a = \frac{1}{2}

c = \frac{- 1}{4}

2

f (x) = {\begin{matrix} x - 1 & si & x < 1 \\ a & si & x = 1 \\ x^{2} + a & si & x > 1 \end{matrix}

No es posible.

3

f (x) = {\begin{matrix} - 3 sen x & si & x \leq - \frac{π}{2} \\ a sen x + c & si & - \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2} \\ \cos x & si & x \geq \frac{π}{2} \end{matrix}

a = \frac{- 3}{2}

c = \frac{3}{2}

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