Derivación implícita

Ejercicio 42.1

Calcule la derivada que se solicita.

1: $\frac{𝑑𝑧}{𝑑𝑥}$ en $(- 3, 0)$ , dado $x^{2} z + x z^{2} = 3 x + 9$ .
$\frac{1}{3}$ .
2: $\frac{𝑑𝑥}{𝑑𝑡}$ en $(4, - 4)$ , dado $x + t + e^{x + t} = 1$
$- 1$ .
3: $\frac{𝑑𝑧}{𝑑𝑤}$ , dado $z^{2} = \ln (w + z)$
$z^{'} = \frac{1}{2 z (w + z) - 1}$ .
4: $\frac{𝑑𝑥}{𝑑𝑦}$ , dado $4 x \ln (2 x + y) = 4$
$x^{'} = \frac{- x}{[\ln (2 x + y) (2 x + y) + 2 x]}$ .

Ejercicio 42.2

Suponga que la ecuación

e^{y} = y^{2} \cdot e^{x}

define a

y

como función de

x

. Determine

\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥}

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

. En ambos casos exprese su respuesta sólo en términos de

y

\frac{𝑑𝑦}{𝑑𝑥} = \frac{y}{y - 2}

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{2 y}{{(y - 2)}^{3}}

Ejercicio 42.3

Sabiendo que las ecuaciones siguientes definen a

y

como función implícita de la variable

x

, obtenga

y^{'}

1: $x^{3} - sen y + x \ln^{2} y = y e^{2 x}$
$y^{'} = \frac{2 y^{2} e^{2 x} - 3 x^{2} y - y \ln^{2} y}{2 x \ln y - y \cos y - y e^{2 x}}$ .
2: $x + \cos x + x y^{2} = e^{y}$
$y^{'} = \frac{sen x - y^{2} - 1}{2 𝑥𝑦 - e^{y}}$ .
3: $x + e^{𝑥𝑦} - y^{3} - y = 3$
$y^{'} = \frac{y e^{𝑥𝑦} + 1}{1 + 3 y^{2} - x e^{𝑥𝑦}}$ .