Extremos, crecimiento, decrecimiento y concavidad.

59. Extremos, crecimiento, decrecimiento y concavidad.

En un entorno

I_{c}

x = c

si para todo $x \in I_{c}$ , $f (x) \geq f (c)$ , entonces $f (c)$ es el valor mínimo de $f$ en $I_{c}$ . Decimos que $(c, f (c))$ es mínimo local.
si para todo $x \in I_{c}$ , $f (x) \leq f (c)$ entonces $f (c)$ es el valor máximo de $f$ en $I_{c}$ . Decimos que $(c, f (c))$ es un máximo local.

Figura 1: Extremos locales de

f

I_{a}

1

Un punto

x = c

del dominio de

f

se dice punto crítico de

f

f^{'} (c) = 0

o si

f^{'} (c)

no existe

Figura 2: Extremos locales en puntos críticos

2

Problema: hallar el valor máximo y/o el valor mínimo de una función continua

f

en un intervalo

[a, b]

(a)

f

tiene un máximo y un mínimo en

[a, b]

(b)

Para determinar el valor máximo o mínimo en

[a, b]

se debe examinar

i.: los puntos críticos de $f$
ii.: los extremos $x = a$ y $x = b$
iii.: los puntos en $[a, b]$ donde la derivada no está definida

3

La segunda derivada, si no se anula en un punto crítico

x = c

, decide el signo de

f (x) - f (c)

en un entorno

I_{c}

, por eso nos ayuda a decidir si

(c, f (c))

es un mínimo local o un máximo local.

La idea es que el signo de $f (x) - f (c)$ decide si se trata de un máximo o un mínimo local y usamos el hecho de que

f (x) - f (a) = {(x - a)}^{2} (\frac{1}{2} f^{″} (a) + 𝜀 (x)), donde 𝜀 (x) = \frac{R (x)}{{(x - a)}^{2}} \to 0 si x \to a

Es decir,

si $f^{″} (c) > 0$ , $(c, f (c))$ es un mínimo local
si $f^{″} (c) < 0$ , $(c, f (c))$ es un máximo local

En el widget podemos mover el punto con el deslizador y efectivamente ver como $P_{2} = \frac{1}{2} f^{″} (c) {(x - c)}^{2}$ decide el signo de $f (x) - f (c)$ : o es $< 0$ o es $> 0$ en un entorno suficientemente pequeño de $x = c$ .

Test de la segunda derivada

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte para ver la versión ampliada del widget

Ejemplo35Extremos locales de

f

Determinar los extremos locales y la concavidad de $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 5$ en todo $ℝ$

1

Cálculo de las derivadas

\begin{aligned} f^{'} (x) & = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x - 2) (x + 1) \\ f^{″} (x) & = 12 x - 6 = 6 (2 x - 1) \end{aligned}

2

Puntos críticos y posible punto de inflexión

f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = - 1 y x = 2 f^{″} (x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

3

Tabla de signos de

f^{'} (x)

f^{″} (x)

4

Conclusiones

Máximo local: $(- 1, 12)$
Mínimo local: $(2, - 15)$
Punto de inflexión: $(\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$
Concavidad:
- $f^{″} (x) < 0$ para $x < \frac{1}{2}$ : cóncava hacia abajo $\cap$
- $f^{″} (x) > 0$ para $x > \frac{1}{2}$ : cóncava hacia arriba $\cup$

Teorema 20 — Monotonía y concavidad.

Sea $f$ derivable en un intervalo $I$ .

1.: Si $f^{'} (x) > 0$ para todo $x \in I$ , entonces $f$ es creciente en $I$ ; si $f^{'} (x) < 0$ , es decreciente.
2.: Criterio de la primera derivada: si $f^{'}$ cambia de $+$ a $-$ al pasar por un punto crítico $c$ , entonces $(c, f (c))$ es un máximo local; si cambia de $-$ a $+$ , es un mínimo local; si no cambia de signo, no hay extremo.
3.: Si $f^{″} (x) > 0$ en $I$ , la gráfica es cóncava hacia arriba ( $\cup$ ); si $f^{″} (x) < 0$ , es cóncava hacia abajo ( $\cap$ ).
4.: Un punto donde la concavidad cambia se llama punto de inflexión. Que $f^{″} (c) = 0$ no basta: debe haber cambio de signo de $f^{″}$ en $c$ .

Ejemplo36Signo de

f^{'}

y de

f^{″}

Determinar los extremos locales y la concavidad de

f (x) = x^{4} - 4 x^{3}

en todo $ℝ$ .

1

Cálculo de las derivadas

\begin{aligned} f^{'} (x) & = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3), \\ f^{″} (x) & = 12 x^{2} - 24 x = 12 x (x - 2) . \end{aligned}

2

Puntos críticos y posibles puntos de inflexión

f^{'} (x) = 0 ⟹ x = 0 y x = 3,

mientras que

f^{″} (x) = 0 ⟹ x = 0 y x = 2 .

Los valores correspondientes de la función son

f (0) = 0, f (2) = - 16, f (3) = - 27 .

3

Tabla de signos de

f^{'} (x)

f^{″} (x)

4

Conclusiones

$f$ es decreciente en $] - \infty, 3 [$ y creciente en $] 3, + \infty [$ .
En $x = 3$ , $f^{'}$ cambia de negativo a positivo; por tanto,
$(3, - 27)$

es un mínimo local y absoluto.
En $x = 0$ no hay extremo local, aunque $f^{'} (0) = 0$ , porque $f^{'}$ no cambia de signo.

Los puntos de inflexión son

(0, 0) y (2, - 16) .

El primero es un punto de inflexión estacionario, pues además $f^{'} (0) = 0$ .

Concavidad:
- $f^{″} (x) > 0$ en $] - \infty, 0 [\cup] 2, + \infty [$ : cóncava hacia arriba $\cup$ .
- $f^{″} (x) < 0$ en $] 0, 2 [$ : cóncava hacia abajo $\cap$ .

Ejercicio 60.1

Sea

f (x) = x^{2} + 𝑎𝑥 + b

. Encuentre los valores de

a

b

tales que

f (1) = 3

sea un valor extremo de

f

[0, 2]

. ¿Este valor es máximo o mínimo?

a = - 2

b = 4

. Es valor mínimo.

Ejercicio 60.2

Determine los valores de

a

b

de modo que la función

f (x) = 3 a x^{2} \cdot e^{b x^{2} + 1}

tenga un extremo relativo en el punto

(1, 2)

a = \frac{2}{3}

b = - 1

Ejercicio 60.3

Halle una función de la forma

f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 𝑐𝑥 + d

que alcance extremos relativos en los puntos

(- 2, 3)

(1, 0)

. Verifique que en

(- 2, 3)

se alcanza un máximo relativo y en

(1, 0)

un mínimo relativo.

f (x) = \frac{2}{9} x^{3} + \frac{1}{3} x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{7}{9}

Ejercicio 60.4

A continuación se presentan ciertas afirmaciones, determine si cada una de ellas es verdadera o falsa, justificando su respuesta.

1: Sea $f$ una función tal que $f^{'} (c) = 0$ , entonces necesariamente $f$ tiene un máximo o un mínimo relativo en $x = c$ .
F. Contraejemplo: $f (x) = x^{3}$ cumple $f^{'} (0) = 0$ y es creciente, así que en $x = 0$ no hay extremo.
2: Si $f$ es una función continua en $[- 1, 1]$ y $f (- 1) = f (1)$ entonces necesariamente existe un número real $c$ tal que $- 1 < c < 1$ y $f^{'} (c) = 0$ .
F. Falta la hipótesis de derivabilidad: $f (x) = | x |$ es continua, $f (- 1) = f (1)$ y $f^{'}$ nunca se anula.
3: Si $f$ es una función derivable en $[- 1, 1]$ y $f (- 1) = f (1)$ entonces necesariamente existe un número real $c$ tal que $- 1 < c < 1$ y $f^{'} (c) = 0$ .
V. Es exactamente el teorema de Rolle.
4: Si $f$ es una función tal que $f^{″} (x) = 0$ entonces necesariamente $(2, f (2))$ es un punto de inflexión de la gráfica de $f$ .
F. Que $f^{″}$ se anule no basta: hace falta cambio de signo de $f^{″}$ . Para $f (x) = {(x - 2)}^{4}$ se tiene $f^{″} (2) = 0$ y no hay inflexión.
5: Si $(a, b)$ es un punto de inflexión de la gráfica de $f$ entonces necesariamente $(a, b)$ no puede ser extremo relativo de la gráfica de $f$ .
F. Puede ser ambas cosas: $f (x) = x^{4}$ si $x < 0$ y $f (x) = \sqrt{x}$ si $x \geq 0$ tiene un mínimo en $(0, 0)$ y allí cambia la concavidad.
6: Se puede encontrar una función $f$ tal que $f (x) > 0$ , $f^{'} (x) < 0$ y $f^{″} (x) > 0$ para toda $x \in D_{f}$ .
V. Por ejemplo $f (x) = e^{- x}$ .
7: No se puede encontrar una función $f$ , continua en $ℝ$ tal que $f (1) = - 2$ , $f (3) = 0$ y $f^{'} (x) < 0$ para toda $x \in ℝ$ .
V. Si $f^{'} < 0$ en todo $ℝ$ , $f$ es decreciente y debería cumplirse $f (3) < f (1)$ ; pero $0 > - 2$ . Contradicción.

Ejercicio 60.5

¿Para qué valores de

c

el polinomio

P (x) = x^{4} + c x^{3} + \frac{1}{24} x^{2}

tiene:

1: ¿Dos puntos de inflexión?
$c \in (] - \infty, - \frac{1}{3} [\cup] \frac{1}{3}, + \infty [)$
2: ¿Un punto de inflexión?
Para ningún valor de $c$ . Como $P^{″}$ es un polinomio de grado $2$ , o tiene dos raíces simples (dos cambios de signo) o ninguna, o bien una raíz doble, en la que $P^{″}$ no cambia de signo.
3: ¿Ningún punto de inflexión?
$c \in [- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$

Ejercicio 60.6

Encuentre los números críticos de la función.

1: $g (x) = \sqrt[3]{x^{2} - x}$
$x = \frac{1}{2}, x = 0, x = 1$ .
2: $f (x) = x e^{2 x}$
$x = - \frac{1}{2}$ .

Ejercicio 60.7

Encuentre los extremos absolutos de la función en el intervalo dado.

1: $g (r) = - 3 r^{4} + 4 r^{3} + 72 r^{2}$ en $[- 3, 2]$ .
Máx en $(- 3, 297)$ ; mín en $(0, 0)$ .
2: $f (q) = \frac{q + 1}{\sqrt{q^{2} + 5}}$ en $[- 2, 2]$ .
Máx en $(2, 1)$ ; mín en $(- 2, - \frac{1}{3})$ .
3: $f (y) = y \ln y - 2 y$ en $[1, 4]$ .
Máx en $(1, - 2)$ ; mín en $(e, - e)$ .
4: $g (𝜃) = \cos (4 𝜃)$ en $[- π ∕ 2, π ∕ 2]$ .
Máx en $(- \frac{π}{2}, 1), (0, 1)$ y $(\frac{π}{2}, 1)$ ; mín en $(- \frac{π}{4}, - 1)$ y $(\frac{π}{4}, - 1)$ .

Ejercicio 60.8

Encuentre los intervalos donde la función es creciente o decreciente, y los extremos locales.

1: g(z)= $5 z^{2 ∕ 3} + z^{5 ∕ 3}$
Crece en $] - \infty, - 2 [$ y en $[0, \infty [$ ; decrece en $[- 2, 0]$ ; máx en $(- 2, 3 \sqrt[3]{4})$ ; mín en $(0, 0)$ .
2: g(v)= $\frac{v + 1}{v^{2} + v + 1}$
Crece en $[- 2, 0]$ ; decrece en $] - \infty, - 2]$ y en $[0, \infty [$ ; máx en $(0, 1)$ ; mín en $(- 2, - \frac{1}{3})$ .
3: $f (p) = \frac{p^{2} - 2 p + 2}{p - 1}$
Máx en $(0, - 2)$ ; mín en $(2, 2)$ .
4: $h (x) = x^{2} + e^{4 - x^{2}}$
Máx en $(0, e^{4})$ ; mín en $(- 2, 5)$ y en $(2, 5)$ .
5: $h (t) = \ln (t^{2} + 5)$
Mín en $(0, \ln 5)$ .

Ejercicio 60.9

Determinar el valor de

k

que hace que la función

f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} + k}

tenga un único extremo relativo. ¿Se trata de un máximo o un mínimo?

k = 0

. Se trata de un mínimo, en

(2, \frac{e^{2}}{4})

Ejercicio 60.10

La función

f (x) = x^{3} + a x^{2} + 𝑏𝑥 + c

tiene un punto de derivada nula en

(1, 1)

que no es extremo relativo. Razonar el valor de

a

b

c

a = - 3, b = 3, c = 0

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