Práctica General

76. Práctica General

Ejercicio 77.1

Calcule las siguientes integrales indefinidas

1: $\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{e^{x} + 1}} 𝑑𝑥$
$\frac{2}{3} {(e^{x} + 1)}^{3 ∕ 2} - 2 \sqrt{e^{x} + 1} + C$ .
2: $\int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} - 4)}^{3}}} 𝑑𝑥$
$\frac{- x}{4 \sqrt{x^{2} - 4}} + C$ .
3: $\int \frac{4 x}{4 x^{2} + 4 x + 5} 𝑑𝑥$
$\frac{1}{2} \ln | 4 x^{2} + 4 x + 5 | - \frac{1}{2} \arctan (\frac{2 x + 1}{2}) + C$ .
4: $\int \frac{\ln (2 x)}{\sqrt{x^{3}}} 𝑑𝑥$
$\frac{- 2 \ln (2 x)}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}} + C .$
5: $\int \frac{3 x + 7}{\sqrt{6 x - 9 x^{2}}} 𝑑𝑥$
$\frac{8}{3} arcsen (3 x - 1) - \frac{1}{3} \sqrt{6 x - 9 x^{2}} + C .$
6: $\int \frac{x}{\sqrt{4 - 2 x - x^{2}}} 𝑑𝑥$
$- \sqrt{4 - 2 x - x^{2}} - arcsen (\frac{x + 1}{\sqrt{5}}) + C .$
7: $\int \frac{x^{4} - 3 x^{3} + 2 x - 3}{x^{2} - 3 x} 𝑑𝑥$
$\frac{x^{3}}{3} + \ln | x^{2} - 3 x | + C .$
8: $\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 1}{(x - 2) (x^{2} + 3)} 𝑑𝑥$
$3 \ln | x - 2 | - \frac{1}{2} \ln | x^{2} + 3 | + \frac{5}{\sqrt{3}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{3}}) + C .$
9: $\int \frac{4 x + 5}{\sqrt{{(x^{2} - 2 x + 2)}^{3}}} 𝑑𝑥$
$\frac{9 x - 13}{\sqrt{x^{2} - 2 x + 2}} + C .$
10: $\int \frac{\sqrt{4 - \ln^{2} y}}{y} 𝑑𝑦$
$2 arcsen (\frac{1}{2} \ln y) + (\frac{1}{2} \ln y) \sqrt{4 - \ln^{2} y} + C .$
11: $\int \frac{𝑑𝑢}{e^{u} \sqrt{1 + e^{2 u}}} 𝑑𝑢$
$- \frac{\sqrt{1 + e^{2 u}}}{e^{u}} + C .$
12: $\int \frac{q + 1}{q^{3} + q} 𝑑𝑞$
$\arctan q + \ln | q | - \frac{1}{2} \ln | q^{2} + 1 | + C .$
13: $\int \frac{𝑑𝑞}{q^{2} {(q^{2} + 8)}^{3 ∕ 2}}$
$\frac{- (q^{2} + 4)}{32 q \sqrt{q^{2} + 8}} + C .$
14: $\int \frac{1 + sen t}{\cos t} 𝑑𝑡$
$\ln | \sec t + \tan t | - \ln | \cos t | + C .$
15: $\int \frac{2 t^{2} + 3 t - 2}{3 t^{4} - 2 t^{3}} 𝑑𝑡$
$- \frac{1}{2 t^{2}} - \ln | t | + \ln | 3 t - 2 | + C$ .
16: $\int \frac{\ln (\ln x)}{x \ln x} 𝑑𝑥$
$\frac{1}{2} \ln^{2} (\ln x) + C .$
17: $\int \frac{sen (7 x) + \cos (7 x)}{\sqrt{sen (7 x) - \cos (7 x)}} 𝑑𝑥$
$\frac{2}{7} \sqrt{sen (7 x) - \cos (7 x)} + C .$
18: $\int y^{3} \cos (y^{2}) 𝑑𝑦$
$\frac{1}{2} (\cos y^{2} + y^{2} sen y^{2}) + C .$
19: $\int \frac{x - 3}{x^{2} + 4 x + 6} 𝑑𝑥$
$\frac{1}{2} \ln (x^{2} + 4 x + 6) - \frac{5}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x + 2}{\sqrt{2}}) + C .$
20: $\int \frac{3 \cos x}{{sen}^{2} x + sen x - 2} 𝑑𝑥$
$\ln | \frac{sen x - 1}{sen x + 2} | + C .$
21: $\int \frac{4 x^{2} - 3 x - 1}{x^{3} - 7 x^{2} + 16 x - 12} 𝑑𝑥$
$26 \ln | x - 3 | - 22 \ln | x - 2 | + \frac{9}{x - 2} + C$ .
22: $\int \frac{𝑑𝑧}{z \cos (\ln (4 z))}$
$\ln | \sec (\ln (4 z)) + \tan (\ln (4 z)) | + C .$
23: $\int \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) 𝑑𝑥$
$x \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - \sqrt{x^{2} + 1} + C .$
24: $\int \sec^{4} (1 - u) \tan (1 - u) 𝑑𝑢$
$- \frac{1}{4} \sec^{4} (1 - u) + C$
25: $\int \frac{x + 20}{\sqrt{{(5 - 4 x - x^{2})}^{3}}} 𝑑𝑥$
$\frac{2 x + 5}{\sqrt{5 - 4 x - x^{2}}} + C$
26: $\int x^{2} \cdot a^{x} 𝑑𝑥, a > 0$
$\frac{a^{x}}{\ln a} (x^{2} - \frac{2 x}{\ln a} + \frac{2}{\ln^{2} a}) + C$ , para $a \neq 1$ . Para $a = 1$ , la integral es $x^{3} ∕ 3 + C$ .
27: $\int \sqrt{e^{x} - 1} 𝑑𝑥$
$2 \sqrt{e^{x} - 1} - 2 \arctan \sqrt{e^{x} - 1} + C .$
28: $\int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \cdot \frac{1}{x^{2}} 𝑑𝑥$ ,
Sug: $x = \frac{1}{t}$

$- arcsen (\frac{1}{x}) - \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} + C$ , si $x > 1$ ;
$- arcsen (\frac{1}{x}) + \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} + C$ , si $x < - 1$ .
29: $\int \frac{arcsen x}{x^{2}} 𝑑𝑥$
$- \frac{arcsen x}{x} - \frac{1}{2} \ln | \frac{\sqrt{1 - x^{2}} + 1}{\sqrt{1 - x^{2}} - 1} | + C .$
30: $\int x \cos (3 x) 𝑑𝑥$
$\frac{1}{3} x sen (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C .$
31: $\int \frac{y^{2}}{\sqrt{{(1 - y^{2})}^{3}}} 𝑑𝑦$
$\frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} - arcsen y + C .$
32: $\int \frac{sen (2 x)}{\sqrt{1 + {sen}^{2} x}} 𝑑𝑥$
$2 \sqrt{1 + {sen}^{2} (x)} + C$ .
33: $\int e^{x} \ln (e^{x} + 1) 𝑑𝑥$
$e^{x} \ln | e^{x} + 1 | - e^{x} + \ln | e^{x} + 1 | + C .$
34: $\int \frac{x + 1}{(2 x + x^{2}) \sqrt{2 x + x^{2}}} 𝑑𝑥$
$\frac{- 1}{\sqrt{2 x + x^{2}}} + C .$
35: $\int \frac{5 x - \sqrt{arcsen x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} 𝑑𝑥$
$- 5 \sqrt{1 - x^{2}} - \frac{2}{3} {(\sqrt{arcsen x})}^{3} + C .$
36: (*) $\int \frac{\arctan (e^{- x})}{e^{- x}} 𝑑𝑥$
$e^{x} \arctan (e^{- x}) + \frac{1}{2} \ln (1 + e^{2 x}) + C .$
37: $(*) \int \ln (x^{2} + 2 x + 5) 𝑑𝑥$
$(x + 1) \ln (x^{2} + 2 x + 5) - 2 x + 4 \arctan (\frac{x + 1}{2}) + C .$

Ejercicio 77.2

Verifique que

\int \frac{3}{1 + 2 \sqrt{e^{- x}}} 𝑑𝑥 = 6 \ln | e^{x ∕ 2} + 2 | + C .

Al derivar el lado derecho se obtiene

6 \frac{\frac{1}{2} e^{x ∕ 2}}{e^{x ∕ 2} + 2} = \frac{3}{1 + 2 e^{- x ∕ 2}}

, que es el integrando.

Ejercicio 77.3

Verifique que

\int \frac{e^{x} (1 + x \ln x)}{x} 𝑑𝑥 = e^{x} \ln x + C .

\frac{d}{𝑑𝑥} (e^{x} \ln x) = e^{x} \ln x + \frac{e^{x}}{x} = \frac{e^{x} (1 + x \ln x)}{x}

Ejercicio 77.4

(*)

Verifique, utilizando integración por partes, las siguientes fórmulas de reducción:

1: $\int x^{n} \ln x 𝑑𝑥 = \frac{x^{n + 1}}{{(n + 1)}^{2}} ((n + 1) \ln x - 1) + C$ con $n \neq - 1$
Tomando $u = \ln x$ y $𝑑𝑣 = x^{n} 𝑑𝑥$ , se tiene $𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ∕ x$ y $v = x^{n + 1} ∕ (n + 1)$ . La fórmula resulta directamente de $\int u 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 - \int v 𝑑𝑢$ .
2: $\int {sen}^{n} x 𝑑𝑥 = - \frac{1}{n} \cos (x) \cdot {sen}^{n - 1} (x) + \frac{n - 1}{n} \int {sen}^{n - 2} (x) 𝑑𝑥$
Con $u = {sen}^{n - 1} x$ y $𝑑𝑣 = sen x 𝑑𝑥$ , $𝑑𝑢 = (n - 1) {sen}^{n - 2} x \cos x 𝑑𝑥$ y $v = - \cos x$ . Al usar $\cos^{2} x = 1 - {sen}^{2} x$ y despejar $\int {sen}^{n} x 𝑑𝑥$ , se obtiene la fórmula.
3: $\int {sen}^{2} (x) 𝑑𝑥 = \frac{1}{2} (x - sen x \cdot \cos x) + C$
Aplicando la fórmula anterior con $n = 2$ se obtiene $\int {sen}^{2} x 𝑑𝑥 = - \frac{1}{2} sen x \cos x + \frac{x}{2} + C$ .

Ejercicio 77.5

Calcule las funciones que cumplen con las condiciones dadas

1: $p^{'} (w) = 2 w + 1, p (1) = 4$
$p (w) = w^{2} + w + 2$ .
2: $z^{″} (r) = 6 r^{2} + 2 + r^{- 2}, z^{'} (- 1) = - 1, z (1) = \frac{1}{2}$
$z^{'} (r) = 2 r^{3} + 2 r - \frac{1}{r} + 2 .$
$z (r) = \frac{r^{4}}{2} + r^{2} - \ln | r | + 2 r - 3$ .
3: $q^{″} (t) = 12 t^{2} - 12 t - e^{t}, q^{'} (1) = - 1 - e, q (1) = 0$
$q^{'} (t) = 4 t^{3} - 6 t^{2} - e^{t} + 1$ .
$q (t) = t^{4} - 2 t^{3} - e^{t} + t + e$ .

Ejercicio 77.6

(*)

Determine una función

f

tal que

f (- 1) = - 3,

f^{'} (- 1) = - 10

f^{″} (x) = 24 + 4 e^{2 (x + 1)}

f (x) = 12 x^{2} + e^{2 (x + 1)} + 12 x - 4

Ejercicio 77.7

(*)

Sea

f

una función cuya gráfica contiene el punto

(1, 6)

y que la pendiente de su recta tangente en

(x, f (x))

2 x + 1

. Encuentre

f (2) .

f (2) = 10, f (x) = x^{2} + x + 4 .

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