Integracion definida

78. Integración definida

Idea intuitiva de la integral definida

Supongamos que $f$ es una función continua y positiva en un intervalo $I$ que contiene a $0$ y al intervalo $[a, b]$ , con $0 \leq a$ , y sea $R$ la región entre la curva $f$ y el eje $X$ desde $0$ hasta $x \in I$ . Vamos a denotar el área de la región $R$ como $A (x)$

A (x) = \int_{0}^{x} f (t) 𝑑𝑡

Con esta definición, $A (0) = 0$

Figura 3: Área bajo la curva

Idea intuitiva: Relación entre integración y derivación. Consideremos

A (x)

, el área de la región que va desde

0

hasta

x

.
Entonces, para conectar con la derivada, observemos la variación

A (x + h) - A (x)

Intuitivamente vemos que, según la figura 4, si $h > 0$ es pequeño esa variación es el área de una franja delgada que se parece a un rectángulo de base $h$ y altura $f (x)$ :

A (x + h) - A (x) \approx h f (x)

es decir, $\frac{A (x + h) - A (x)}{h} \approx f (x),$ y la aproximación es tanto mejor cuanto menor es $h$ .

Figura 4:

A (x + h) - A (x) \approx h f (x)

Entonces si $h \to 0$ , tendríamos que $A^{'} (x) = f (x)$ , es decir, $A (x)$ es una primitiva de $f (x)$ : precisamente la que cumple $A (0) = 0$ . (Formalmente, el teorema del valor medio para integrales da $A (x + h) - A (x) = h f (c)$ con $c$ entre $x$ y $x + h$ , y la continuidad de $f$ hace que $f (c) \to f (x)$ cuando $h \to 0$ .)

Ahora, $\int_{a}^{b} f (x) 𝑑𝑥 = \int_{0}^{b} f (x) 𝑑𝑥 - \int_{0}^{a} f (x) 𝑑𝑥 = A (b) - A (a)$ (recuerde que en esta definición $A (0) = 0$ .)

Figura 5:

\int_{a}^{b} f (x) 𝑑𝑥 = A (b) - A (a)

Ejemplo47Un caso en que

A (x)

se puede calcular con geometría

Sea $f (t) = 2 t$ , continua y positiva para $t > 0$ , y sea $A (x) = \int_{0}^{x} 2 t 𝑑𝑡$ con $x > 0$ .

1.: La región bajo la recta $y = 2 t$ desde $0$ hasta $x$ es un triángulo de base $x$ y altura $2 x$ , de modo que $A (x) = \frac{x \cdot 2 x}{2} = x^{2}$ .
2.: Se cumple $A (0) = 0$ , como pide la construcción.
3.: Al derivar, $A^{'} (x) = 2 x = f (x)$ : en efecto, $A$ es una primitiva de $f$ , tal como sugiere el argumento de la franja.
4.: Y entonces $\int_{1}^{3} 2 t 𝑑𝑡 = A (3) - A (1) = 9 - 1 = 8$ , que coincide con el área del trapecio de bases $2$ y $6$ y altura $2$ .

Teorema 26 — Propiedades de la integral definida.

Si $f$ y $g$ son integrables en $[a, b]$ y $α, β \in ℝ$ , entonces

\int_{a}^{b} (𝛼𝑓 + 𝛽𝑔) = α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g, \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f .

Además,

\int_{a}^{a} f = 0, \int_{a}^{b} f = - \int_{b}^{a} f .

Si $f \leq g$ en $[a, b]$ , entonces $\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ ; en particular, si $m \leq f (x) \leq M$ , se cumple

m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (x) 𝑑𝑥 \leq M (b - a) .

Cambiar una función integrable en un número finito de puntos no modifica el valor de su integral. Si $f$ es impar, $\int_{- a}^{a} f = 0$ ; si es par, $\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f$ .

Ahora ya no dependemos de la derivada para integrar una función.

Ejemplo48Uso de las propiedades antes de integrar

Calculemos $\int_{- 2}^{2} (x^{3} + 3 x^{2}) 𝑑𝑥$ sin hacer todo el cálculo.

1.: Por la linealidad, la integral se separa: $\int_{- 2}^{2} x^{3} 𝑑𝑥 + 3 \int_{- 2}^{2} x^{2} 𝑑𝑥$ .
2.: La función $x^{3}$ es impar y el intervalo es simétrico, de modo que $\int_{- 2}^{2} x^{3} 𝑑𝑥 = 0$ : no hace falta calcularla.
3.: La función $x^{2}$ es par, así que $\int_{- 2}^{2} x^{2} 𝑑𝑥 = 2 \int_{0}^{2} x^{2} 𝑑𝑥 = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$ .
4.: Por lo tanto el valor es $3 \cdot \frac{16}{3} = 16$ . (Como comprobación gruesa, en $[- 2, 2]$ se tiene $0 \leq x^{3} + 3 x^{2} \leq 20$ , y $16$ está entre $0 \cdot 4$ y $20 \cdot 4$ .)

Teorema 27 — Cambio de variable.

Si $g$ es derivable y $f$ es continua en los valores recorridos por $g$ , entonces

\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) 𝑑𝑥 = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) 𝑑𝑢 .

Al cambiar la variable deben cambiarse también los extremos de integración.

Ejemplo49Cambio de variable con extremos

Calculemos $\int_{0}^{π ∕ 2} {sen}^{2} x \cos x 𝑑𝑥$ .

1.: Se reconoce la forma $f (g (x)) g^{'} (x)$ con $g (x) = sen x$ y $f (u) = u^{2}$ , pues ${(sen x)}^{'} = \cos x$ .
2.: Se sustituye $u = sen x$ , $𝑑𝑢 = \cos x 𝑑𝑥$ y se cambian los extremos: $x = 0$ da $u = 0$ , y $x = \frac{π}{2}$ da $u = 1$ .
3.: La integral queda $\int_{0}^{1} u^{2} 𝑑𝑢 = {\frac{u^{3}}{3} |}_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ .
4.: Al cambiar los extremos ya no hay que regresar a la variable $x$ : el resultado es $\frac{1}{3}$ . (Si se prefiere no cambiarlos, hay que deshacer la sustitución antes de evaluar.)

Ejercicio 79.1

Calcule las siguientes integrales

1: $\int_{0}^{1} e^{x} {(e^{x} - 1)}^{4} 𝑑𝑥$
$\frac{{(e - 1)}^{5}}{5}$
2: $\int_{- 2}^{3} (p^{3} (p - 4 p^{- 2})) 𝑑𝑝$
$45$
3: $\int_{- π ∕ 2}^{π} [4 \cos r + sen (r - \frac{π}{2})] 𝑑𝑟$
$3$
4: $\int_{- 2}^{- 2 ∕ \sqrt{3}} \frac{𝑑𝑢}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$
$\frac{- π}{6}$
5: $\int_{1}^{5} | 6 - 4 u | 𝑑𝑢$
$25$
6: $\int_{- 1}^{1} \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{2}} 𝑑𝑥$
$\frac{2}{9}$
7: $\int_{2}^{7} q \sqrt{q + 2} 𝑑𝑞$
$\frac{886}{15}$
8: $\int_{1}^{2} \frac{v^{2} + 3}{2 v^{3} + 18 v - 5} 𝑑𝑣$
$\frac{1}{6} \ln (\frac{47}{15})$
9: $\int_{0}^{- 1} \frac{x + 1}{x + 2} 𝑑𝑥$
$\ln 2 - 1$
10: $\int_{\ln 3}^{\ln 8} e^{r} \sqrt{1 + e^{r}} 𝑑𝑟$
$\frac{38}{3}$
11: $\int_{π ∕ 6}^{π ∕ 4} 3 \sec^{2} u (\tan u + 5) 𝑑𝑢$
$16 - 5 \sqrt{3}$
12: $\int_{1}^{9} \sqrt{s} \ln s 𝑑𝑠$
$36 \ln 3 - \frac{104}{9}$
13: $\int_{- π ∕ 6}^{π ∕ 6} z \cos 2 z 𝑑𝑧$
0
14: $\int_{- 1}^{0} w^{3} 8^{w^{2} + 1} 𝑑𝑤$
$\frac{28 - 32 \ln 8}{\ln^{2} 8}$
15: $\int_{1}^{e} {(1 + \ln u)}^{2} 𝑑𝑢$
$2 e - 1$
16: $\int_{- 3}^{0} \frac{\ln (4 - 7 x)}{\sqrt{{(4 - 7 x)}^{3}}} 𝑑𝑥$
$\frac{2 \ln 4 + 4}{14} - \frac{2 \ln 25 + 4}{35} \approx 0.185535$
17: $\int_{0}^{2} f (x) 𝑑𝑥$ si $f (x) = {\begin{matrix} x^{4} & si & - 4 \leq x < 1 \\ x^{5} & si & 1 \leq x \leq 10 \end{matrix}$
$\frac{107}{10}$
18: $\int_{- π}^{π} f (x) 𝑑𝑥$ si $f (x) = {\begin{matrix} x & si & - π \leq x < 0 \\ sen x & si & 0 \leq x \leq π \end{matrix}$
$2 - \frac{π^{2}}{2}$
19: $\int_{- 3}^{3} (| 2 - x | + x^{2}) 𝑑𝑥$
31
20: $\int_{- 1 ∕ 2}^{0} \frac{5}{4 x^{2} + 4 x + 5} 𝑑𝑥$
$\frac{5}{4} \arctan (\frac{1}{2})$
21: $\int_{0}^{4} | x^{2} - 4 x + 3 | 𝑑𝑥$
4
22: $\int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \frac{\cos^{3} x}{{sen}^{4} x} 𝑑𝑥$
$\frac{2 - \sqrt{2}}{3}$
23: $\int_{5 ∕ 3}^{7 ∕ 3} \frac{𝑑𝑥}{\sqrt{4 - 9 {(x - 2)}^{2}}}$
$\frac{π}{9}$
24: $\int_{0}^{π^{2}} \cos \sqrt{r} 𝑑𝑟$
$- 4$

Ejercicio 79.2

Encuentre la fórmula para

g (u)

, dado que

g (0) = 1

y que

g^{'} (u) = \frac{1 - u}{\sqrt{4 - u^{2}}}

g (u) = arcsen (\frac{u}{2}) + \sqrt{4 - u^{2}} - 1

Ejercicio 79.3

Verifique que

\int_{a}^{b} f (x) 𝑑𝑥 = b - c

f (x) = {\begin{matrix} 0 & si & a \leq x < c \\ k & si & x = c \\ 1 & si & c < x \leq b \end{matrix}

f

es acotada y coincide con la función escalonada

g

(

g = 0

[a, c [

g = 1

[c, b]

) salvo en el punto

x = c

; entonces

\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} g = \int_{a}^{c} 0 𝑑𝑥 + \int_{c}^{b} 1 𝑑𝑥 = b - c

Ejercicio 79.4

Verifique que

\int_{0}^{π ∕ 2} \sqrt{sen (t)} \cos (t) 𝑑𝑡 = \int_{0}^{1} \sqrt{x} 𝑑𝑥

Con

x = sen t

se tiene

𝑑𝑥 = \cos t 𝑑𝑡

, y los límites

t = 0, t = π ∕ 2

pasan a

x = 0, x = 1

; luego ambas integrales valen

\frac{2}{3}

Ejercicio 79.5

Realice el cambio de variable

s = 𝑎𝑡

para mostrar que

\int_{0}^{x} \frac{𝑑𝑠}{a^{2} + s^{2}} = \frac{1}{a} \arctan (\frac{x}{a}) con a \neq 0

Con

s = 𝑎𝑡

se tiene

𝑑𝑠 = a 𝑑𝑡

a^{2} + s^{2} = a^{2} (1 + t^{2})

, de modo que

\int_{0}^{x} \frac{𝑑𝑠}{a^{2} + s^{2}} = \int_{0}^{x ∕ a} \frac{a 𝑑𝑡}{a^{2} (1 + t^{2})} = \frac{1}{a} \arctan (\frac{x}{a})

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