Teorema fundamental del calculo

82. Teorema fundamental del cálculo

Teorema 28 — (TFC).

1.

f

es R-integrable en

[a, b]

F^{'} (x) = f (x)

para todo

x \in [a, b],

entonces

\int_{a}^{b} f (x) 𝑑𝑥 = F (x) |_{a}^{b} = F (b) - F (a)

2.

g

es continua en

[a, b]

(por tanto R-integrable), entonces definimos la función

G

como

G (x) : = \int_{a}^{x} g (t) 𝑑𝑡, x \in [a, b]

Entonces $G$ es continua en $[a, b]$ y $G^{'} (x) = g (x)$ en $[a, b]$

Ejemplo51(Interpretación física).

Si $s (t)$ es la distancia recorrida en un tiempo $t$ por un objeto, entonces la velocidad instantánea es $v (t) = s^{'} (t) .$ Supongamos que conocemos la velocidad de un objeto que se mueve sobre una línea recta, en centímetros por segundo,

s^{'} (t) = v (t) = t^{2} - \frac{10}{{(t + 1)}^{2}} y \int v (t) 𝑑𝑡 = s (t) + K

Es decir, $s$ es una primitiva de $v$ .

1

Como

v (0) = - 10,

esto nos dice que en

t = 0

el objeto se movía para atrás, a una velocidad de

10

cm/seg. Y a partir de

t \approx 1.34

se empezó a mover hacia adelante.

2

Cinco segundos después, su velocidad era

v (5) = 24.72

cm/seg. ¿Cuál fue la distancia recorrida hacia adelante cuando

t = 5

De acuerdo al TFC, la distancia neta recorrida es $\int_{0}^{5} (t^{2} - 10 ∕ {(t + 1)}^{2}) 𝑑𝑡 = s (5) - s (0) \approx 33.3333,$ es decir, el área neta de la región bajo la curva $v$ nos da la distancia neta recorrida.

3

¿Cuál es la distancia total recorrida (incluyendo el recorrido hacia atrás)?

Si $\int | t^{2} - 10 ∕ {(t + 1)}^{2} | 𝑑𝑡 = S (t) + K,$ la distancia recorrida total es

\int_{0}^{5} | t^{2} - 10 ∕ {(t + 1)}^{2} | 𝑑𝑡 = S (5) - S (0) \approx 43.1825

Corolario 2 (Extremos variables).

Si $f$ es continua y $u, v$ son derivables, entonces

\frac{d}{𝑑𝑥} [\int_{u (x)}^{v (x)} f (t) 𝑑𝑡] = f (v (x)) v^{'} (x) - f (u (x)) u^{'} (x) .

Ejemplo52Derivar una integral con extremos variables

Calculemos $\frac{d}{𝑑𝑥} [\int_{x}^{x^{2}} e^{t^{2}} 𝑑𝑡]$ .

1.: El integrando $e^{t^{2}}$ es continuo, y los extremos $u (x) = x$ y $v (x) = x^{2}$ son derivables: se puede aplicar el corolario. (Obsérvese que no hace falta calcular la integral, que no tiene primitiva elemental.)
2.: Aporte del extremo superior: $f (v (x)) v^{'} (x) = e^{{(x^{2})}^{2}} \cdot 2 x = 2 x e^{x^{4}}$ .
3.: Aporte del extremo inferior, que va restando: $f (u (x)) u^{'} (x) = e^{x^{2}} \cdot 1$ .
4.: Por lo tanto la derivada es $2 x e^{x^{4}} - e^{x^{2}}$ .

Funciones definidas por una integral

Cuando una función $f$ no tiene primitiva elemental, como es el caso de $e^{- x^{2}},$ $\frac{sen x}{x},$ $\sqrt{1 - x^{4}}$ , etc., el Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que sí existe una primitiva para $f$ , aunque no podamos calcularla y, en ese caso, podemos definir una nueva función.

Por ejemplo,

1: $\erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} 𝑑𝑡$
2: $Si (x) = \int_{0}^{x} \frac{sen t}{t} 𝑑𝑡$
3: $F (x) = \int_{0}^{x} \frac{𝑑𝑡}{\sqrt{1 - t^{4}}}$ (función elíptica)

Ejercicio 83.1

Derive las siguientes funciones

1: $F (t) = \int_{t}^{5} \ln (6 + y^{2}) 𝑑𝑦$
$F^{'} (t) = - \ln (6 + t^{2})$
2: $F (t) = \int_{4}^{e^{t}} \ln u 𝑑𝑢$
$F^{'} (t) = t e^{t}$
3: $F (r) = \int_{- 1}^{sen (𝑟𝜋)} \sqrt[5]{w^{2} + 1} 𝑑𝑤$
$F^{'} (r) = π \cos (𝑟𝜋) \sqrt[5]{{sen}^{2} (𝑟𝜋) + 1}$
4: $F (y) = \int_{e^{y}}^{\sqrt{y^{3}}} \frac{sen α}{α} 𝑑𝛼$
$F^{'} (y) = \frac{3 sen (y^{3 ∕ 2})}{2 y} - sen (e^{y})$
5: $F (x) = \int_{x}^{2} \cos (t^{2}) 𝑑𝑡$
$F^{'} (x) = - \cos (x^{2})$
6: $G (x) = \int_{x^{2}}^{x^{3}} \ln (t) 𝑑𝑡$ , $x > 0$
$G^{'} (x) = 3 x^{2} \ln x^{3} - 2 x \ln x^{2}$
7: $F (x) = \int_{1 - 3 x}^{1} \frac{u^{3}}{1 + u^{2}} 𝑑𝑢$
$F^{'} (x) = \frac{3 {(1 - 3 x)}^{3}}{{(1 - 3 x)}^{2} + 1}$

Ejercicio 83.2

Sea

g

una función integrable. Encontrar

c

, de modo que

\int_{c}^{x} g (t) 𝑑𝑡 = \cos (x) - \frac{1}{2}

c \in {\frac{π}{3} + 2 𝜋𝑘 \lor \frac{- π}{3} + 2 𝜋𝑘, k \in ℤ}

Ejercicio 83.3

Sea

f

una función integrable; si

f

cumple que

\int_{0}^{x} f (t) 𝑑𝑡 = \int_{x}^{1} t^{2} f (t) 𝑑𝑡 + \frac{x^{16}}{8} + \frac{x^{18}}{9} + C, con C constante

1.: Determine el criterio de $f$
2.: Determine el valor de $C,$ que satisface la igualdad anterior.

f (x) = 2 x^{15}

, b)

c = - \frac{1}{9}

Ejercicio 83.4

Encuentre una función

f

y un número

a

tales que

6 + \int_{a}^{x} \frac{f (t)}{t^{2}} 𝑑𝑡 = 2 \sqrt{x}, \forall x > 0

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{x}}

a = 9

Ejercicio 83.5

(*)

Verifique que la gráfica de

y = f (x)

es cóncava hacia arriba en

ℝ

, si

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{a^{2} + t^{2}}} 𝑑𝑡

con

a \neq 0

Por el TFC,

f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}

y entonces

f^{″} (x) = \frac{\sqrt{a^{2} + x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}}}{a^{2} + x^{2}} = \frac{a^{2}}{{(a^{2} + x^{2})}^{3 ∕ 2}} > 0

para todo

x \in ℝ

(pues

a \neq 0

); luego la gráfica es cóncava hacia arriba.

Ejercicio 83.6

Sea

f

una función tal que

\int_{0}^{1} f (t) 𝑑𝑡 = 2, \int_{0}^{4} f (t) 𝑑𝑡 = - 6

\int_{4}^{3} f (t) 𝑑𝑡 = 1 .

Hallar

\int_{1}^{3} f (t) 𝑑𝑡

-7

Ejercicio 83.7

Sea

f

una función tal que

\int_{1}^{4} f (t) 𝑑𝑡 = 6, \int_{2}^{4} f (t) 𝑑𝑡 = 4

\int_{1}^{3} f (t) 𝑑𝑡 = 1 .

Hallar

\int_{2}^{3} f (t) 𝑑𝑡

-1

Ejercicio 83.8

Hallar todos los valores de

x

, tales que

\int_{0}^{x} (t^{3} - t) 𝑑𝑡 = \frac{1}{3} \int_{\sqrt{2}}^{x} (t - t^{3}) 𝑑𝑡 .

x = 0

x = \pm \sqrt{2}

Ejercicio 83.9

f

es una función continua en

ℝ

\int_{0}^{4} f (x) 𝑑𝑥 = 20,

calcule

\int_{0}^{2} f (2 x) 𝑑𝑥 .

Ejercicio 83.10

Considere las funciones

g

h

definidas por

g (x) = \int_{0}^{x} f (u) 𝑑𝑢

h (x) = \int_{0}^{g (x)} 3 f (t) 𝑑𝑡

con

f

derivable tal que

f (0) = 2 .

Calcule

h^{'} (0)

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