Integrales impropias

86. Integrales impropias

Definición 19 — Integral impropia.

Las integrales sobre intervalos no acotados y las integrales cuyo integrando no es acotado se definen mediante límites. Por ejemplo,

\int_{a}^{+ \infty} f (x) 𝑑𝑥 = \lim_{b \to + \infty} \int_{a}^{b} f (x) 𝑑𝑥, \int_{a}^{b} f (x) 𝑑𝑥 = \lim_{c \to a^{+}} \int_{c}^{b} f (x) 𝑑𝑥

cuando $f$ no es acotada al acercarse a $a$ . La integral converge si el límite correspondiente existe y es finito; en caso contrario, diverge. Si existe una singularidad interior, o si el intervalo es $(- \infty, + \infty)$ , la integral se separa en dos integrales impropias y ambas deben converger.

Ejemplo54Una integral sobre un intervalo no acotado

Estudiemos $\int_{1}^{+ \infty} \frac{𝑑𝑥}{x^{2}}$ .

1.: Por definición, se integra hasta un extremo finito $b$ y luego se toma el límite: $\int_{1}^{+ \infty} \frac{𝑑𝑥}{x^{2}} = \lim_{b \to + \infty} \int_{1}^{b} \frac{𝑑𝑥}{x^{2}}$ .
2.: Se calcula la integral con extremo $b$ : $\int_{1}^{b} x^{- 2} 𝑑𝑥 = {- \frac{1}{x} |}_{1}^{b} = 1 - \frac{1}{b}$ .
3.: Se toma el límite: $\lim_{b \to + \infty} (1 - \frac{1}{b}) = 1$ .
4.: El límite existe y es finito, de modo que la integral converge y vale $1$ . (En cambio $\int_{1}^{+ \infty} \frac{𝑑𝑥}{x}$ diverge, porque $\ln b \to + \infty$ .)

Teorema 30 — Criterios básicos de convergencia.

Para $p \in ℝ$ ,

\int_{1}^{+ \infty} \frac{𝑑𝑥}{x^{p}} converge si, y solo si, p > 1, \int_{0}^{1} \frac{𝑑𝑥}{x^{p}} converge si, y solo si, p < 1 .

Si $0 \leq f (x) \leq g (x)$ a partir de cierto punto, la convergencia de $\int g$ implica la de $\int f$ , mientras que la divergencia de $\int f$ implica la de $\int g$ .

Ejemplo55Los dos criterios

Decidamos, sin calcularlas, si convergen $\int_{0}^{1} \frac{𝑑𝑥}{\sqrt[3]{x}}$ y $\int_{1}^{+ \infty} e^{- x^{2}} 𝑑𝑥$ .

1.: La primera es impropia en $0$ , donde el integrando no es acotado, y tiene la forma $\int_{0}^{1} \frac{𝑑𝑥}{x^{p}}$ con $p = \frac{1}{3}$ .
2.: Como $p < 1$ , el criterio dice que converge. (Con $p = \frac{1}{3}$ el cálculo directo daría $\frac{3}{2}$ .)
3.: Para la segunda se busca una comparación: si $x \geq 1$ , entonces $x^{2} \geq x$ y por lo tanto $0 \leq e^{- x^{2}} \leq e^{- x}$ .
4.: Como $\int_{1}^{+ \infty} e^{- x} 𝑑𝑥 = e^{- 1}$ converge, el criterio de comparación garantiza que $\int_{1}^{+ \infty} e^{- x^{2}} 𝑑𝑥$ también converge, aunque su primitiva no sea elemental.

Ejercicio 87.1

Estudie la convergencia o divergencia de cada integral

1: $\int_{0}^{1} \frac{𝑑𝑤}{\sqrt{1 - w^{2}}}$
Converge a: $\frac{π}{2} .$
2: $\int_{2}^{10} \frac{𝑑𝑡}{\sqrt[3]{t - 2}}$
Converge a: $6 .$
3: $\int_{- \infty}^{0} p e^{p} 𝑑𝑝$
Converge a: $- 1 .$
4: $\int_{1}^{\infty} \frac{𝑑𝑦}{y \ln y}$
Diverge.
5: $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{𝑑𝑟}{1 + r^{2}}$
Converge a: $π .$
6: $\int_{0}^{1} \frac{𝑑𝑥}{\sqrt{1 - x^{2}}}$
Converge a: $\frac{π}{2} .$
7: $\int_{- \infty}^{π ∕ 2} sen (2 𝜃) 𝑑𝜃$
Diverge.
8: $\int_{0}^{\infty} e^{- 𝑎𝑥} 𝑑𝑥$ con $a \in ℝ$
Converge a: $\frac{1}{a}$ si $a > 0$ y diverge si $a \leq 0$ .
9: $\int_{1}^{\infty} \frac{\arctan x}{1 + x^{2}} 𝑑𝑥$
Converge a: $\frac{3 π^{2}}{32} .$
10: $\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} 𝑑𝑥$
Converge a: $0 .$
11: $\int_{0}^{1} \frac{𝑑𝑥}{x^{3} - 5 x^{2}}$
Diverge.
12: $\int_{0}^{π ∕ 4} \frac{\cos x}{\sqrt{sen x}} 𝑑𝑥$
Converge a: $\sqrt[4]{8}$ .
13: $\int_{3}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{3 y^{2} + y - 1}} 𝑑𝑦$
Diverge.
14: $\int_{- 2}^{4} \frac{𝑑𝑥}{\sqrt{| x - 2 |}}$
Converge a: $4 + 2 \sqrt{2}$ .
15: $\int_{0}^{\infty} x e^{- 2 | x |} 𝑑𝑥$
Converge a: $\frac{1}{4} .$
16: $\int_{0}^{1} \ln (\frac{1}{1 - x}) 𝑑𝑥$
Converge a: $1 .$

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