Ejericios

2. Ejericios

2.1Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.

1.)————————————————————————–

2.)————————————————————————–

1.: Parametrización de la curva
$C C_{1} + C_{2} = {\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) = (t, 2 t - t^{2}), t \in [0, 2] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = (3 + cos t, sen t), t \in [π, \frac{3 π}{2}] \end{matrix}$
2.: Parametrización de la curva

$C C_{1} + C_{2} = {\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) = (1 + cos (t), sen (t)), t \in [\frac{π}{2}, π] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = (t, 2 - t), t \in [1, 2] \end{matrix}$

2.2Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.

1.)————————————————————————–

2.)————————————————————————–

1.: ${\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, t^{2}, 0), t \in [0, 3] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (3, 9, t), t \in [0, 5] \\ C_{3} : r_{3} (t) & = & A + t (B - A), t \in [0, 1] con A = (3, 9, 5), B = (0, 12, 0) . \end{matrix}$
2.: ${\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, t), t \in [0, \sqrt{2}] \\ - C_{2} : r_{2} (t) & = & (2 cos (t), 2 sen (t)), t \in [\frac{π}{4}, Pi ∕ 2] \\ C_{3} : r_{3} (t) & = & A + t (B - A), t \in [0, 1],, con A = (2, 0, 4), B = (0, 2, 0) . \\ C_{4} : r_{4} (t) & = & (t, 0, 4 t), t \in [0, 2] \end{matrix}$

2.3Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.

1.)————————————————————————–

2.)————————————————————————–

1.: ${\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, 2 t, 0), t \in [0, 1] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (0, 0, t) t \in [0, 1] \\ - C_{3} : r_{3} (t) & = & (cos (t), 2 cos (t), sen (t)), t \in [0, \frac{π}{2}] \end{matrix}$
2.: ${\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (2 cos (t), 0, 2 sen (t)), t \in [0, \frac{π}{2}] \\ C_{2} : r_{3} (t) & = & (2 cos (t), 4 - 2 cos (t), 2 sen (t)), t \in [0, \frac{π}{2}] \\ - C_{3} : r_{2} (t) & = & (t, 4 - t, 0), t \in [0, 2] \\ - C_{4} : r_{2} (t) & = & (cos (t), 4 - cos (t), 1 + sen (t)), t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \end{matrix}$

2.4Determine la curva de intersección

S_{1} : 1 = {(x - 1)}^{2} + y^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

(Figura 3.23)

Figura 3.19:

Figura 3.20:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.: $x (t) = 1 + cos (t), y (t) = sen (t)$
2.: Proyección $r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)$
3.: Curva de intersección $r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{4 - y^{2} (t) - x^{2} (t)}), t \in [0, 2 π]$

2.5Determine la curva de intersección

S_{1} : y^{2} = x^{2} + z^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} = 1

(Figura 3.23)

Figura 3.21:

Figura 3.22:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.: $x (t) = cos (t) y y (t) = sen (t)$
2.: Proyección $r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)$
3.: Curva de intersección $r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{{sen}^{2} (t) - {cos}^{2} (t)}), t \in [\frac{π}{4}, - \frac{π}{4}]$

2.6

Determine la curva de intersección entre

S_{1} : 1 = {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

(Figura 3.24)

Figura 3.23:

Figura 3.24:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.

x (t) = 1 + cos (t) y y (t) = 1 + sen (t)

2.

Proyección

r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)

3.

Curva de intersección

r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{4 - y^{2} (t) - x^{2} (t)}), t \in [𝜃_{0}, 𝜃_{0}]

4.

Calculo del intervalo

[𝜃_{0}, 𝜃_{1}]

(a)

Las circunferencias

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

se cortan en

\begin{matrix} P_{1} & = & (p_{1}, p_{2}) = (\frac{5 - \sqrt{7}}{4}, \frac{\sqrt{7} + 5}{4}) \\ Q_{2} & = & (q_{1}, q_{2}) = (\frac{5 + \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - \sqrt{7}}{4}) \end{matrix}

(b)

Ahora, como

x (t) = p_{1}

x (t) = q_{1}

, obtenemos los ángulos adecuados (en el 3er y 4to cuadrante)

𝜃_{0} = arccos (\frac{1}{4} (1 - \sqrt{7})) \approx 1.99483, 𝜃_{1} = 2 π - arccos (\frac{1}{4} (\sqrt{7} + 1)) \approx 5.85915

2.7

Determine la curva de intersección

S_{1} : y = x^{2} + z^{2}

S_{2} : \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1

en el primer octante. (Figura 3.25)

Figura 3.25:

Figura 3.26:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.

La proyección es una hipérbola:

$y = x^{2} + z^{2} \cap \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1 ⟹ \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

2.

Nos intersa solo la rama "derecha" de la hipérbola:

x (t) = \sqrt{2} sinh (t) y y (t) = - 2 + \sqrt{2} cosh (t)

3.

Proyección

r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)

4.

Curva de intersección

r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{y (t) - x^{2} (t)}), t \in [𝜃_{0}, 𝜃_{1}]

5.

Calculo del intervalo

[𝜃_{0}, 𝜃_{1}]

. La proyección de la curva de intersección llega hasta el borde de la elipse, es decir,

y = 2

, entonces

- 2 + \sqrt{2} cosh (t) = 2 ⟹ t = arccosh (\sqrt{2})

Entonces $𝜃_{0} = 0$ y $𝜃_{1} = arccosh (\sqrt{2}) \approx 0.881374$ (pues estamos esolo en el 1er octante).

Ejercicios con widget como asistente.

Propósito: Asistente para verificar una parametrización de la curva de intersección entre dos superficies.

El widget acepta dos superficies F1(x,y,z) y F2(x,y z) y la parametrición se escribe como (x(t),y(t),z(t)).

Ejemplos.

1

Curva de intersección entre las superficies F1: x^2+y^2=1 y F2: z=x^2+y^2

(a): Parametrización: (cos(t), sen(t), 1)
(b): Intervalo: 0 $|$ 2*pi

2

Curva de intersección entre las superficies F1: x^2+y^2=z^2 y F2: x=4-y^2-z^2

(a)

Parametrización: Aquí escribir el código requiere mucho cuidado porque

x(t)=(-1/2 + (sqrt(17)/2)*cos(t)

y(t)=(sqrt(17)/(2*sqrt(2)))*sen(t)

z(t)=sqrt( (x(t))^2+(y(t))^2 )

Pero como es para graficar, podemos usar una aproximación numérica:

(-0.5+2.06 cos(t),1.45 sen(t), sqrt((-0.5+2.06 cos(t))^2+2.12 sen(t)^2))

(b)

Intervalo: 0

|

2*pi

Ejercicios propuestos. La idea es usar el asistente para verificar sus respuestas.

Determine y grafique usando una parametrización (posiblemente trigonométrica), de la intersección entre las siguientes superficies:

1.: $S_{1} : x^{2} + y^{2} = z^{2}$ y $S_{2} : z = 2 - y$
2.: $S_{1} : x^{2} + y^{2} = z^{2}$ y $S_{2} : z = 2 - x$
3.: $S_{1} : x = 4 - y^{2} - z^{2}$ y $S_{2} : x^{2} + y^{2} = 1$
4.: $S_{1} : x = 4 - y^{2} - z^{2}$ y $S_{2} : z = 4 - y^{2} - x^{2} = 1$
5.: $S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ y $S_{2} : x^{2} + z^{2} = 1$
6.: $S_{1} : x^{2} ∕ 4 + y^{2} ∕ 9 + z^{2} = 1$ y $S_{2} : z = 4 - y^{2}$

Asistente verificar parametrizaciones de intersección de superficies

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte para ver la versión ampliada del widget