Derivada de r(t)

3. Derivada de $r (t)$

Vector velocidad. Sea $C$ es una trayectoria (continua) parametrizada por $r = r (t) .$ En en el intervalo de tiempo que va de $t$ a $t + Δ t,$ una partícula que recorre $C,$ se mueve de la posición $r (t)$ a $r (t + Δ t)$ y la velocidad promedio es

\frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t}

Si la velocidad promedio tiene un límite, cuando

Δ t \to 0,

entonces este límite lo llamamos la velocidad (instantánea) de la partícula en el tiempo

t

y se denota

v (t) .

v (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} = \frac{d r (t)}{dt}

Definición 6.

1

Sea

C

es una curva parametrizada por

r = r (t)

con

t \in I .

Decimos que

r

es diferenciable en

t

\frac{d r}{dt} = lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} existe

También escribimos $r^{'} (t) = \frac{d r}{dt}$

2

La curva

C

se dice suave en

I

\frac{d r}{dt}

es continua en

I

. Es decir, el sentido y la dirección de la curva cambian de manera fluida sin "picos" donde la derivada no existe.

3

La curva

C

se dice regular en

I

si es suave y

\frac{d r}{dt} \neq 0 para todo t \in I

. Es decir, la curva avanza constantemente hacia adelante.

La derivada

r^{'} (t)

1

x (t)

y (t)

son funciones derivables en

I

y si

r (t) = x (t) i + y (t) j,

entonces

\begin{matrix} \frac{d r}{dt} & = & lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} \\ = & lim_{Δ t \to 0} \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} i + \frac{y (t + Δ t) - y (t)}{Δ t} j \end{matrix}

Es decir

r^{'} (t) = x^{'} (t) i + y^{'} (t) j

2

x (t),

y (t)

z (t)

son funciones derivables en

I

y si

r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

entonces

\begin{matrix} \frac{d r}{dt} & = & lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} \\ = & lim_{Δ t \to 0} \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} i + \frac{y (t + Δ t) - y (t)}{Δ t} j + \frac{z (t + Δ t) - z (t)}{Δ t} k \end{matrix}

Es decir

r^{'} (t) = x^{'} (t) i + y^{'} (t) j + z^{'} (t) k

r (t)

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Ejemplo62Curvas continuas, suaves y regulares

1

La derivada de

L (t) = P + t v

es el vector dirección:

L^{'} (t) = v

2

C : r (t) = (t, | t |)

t \in ℝ

Esta curva $C$ es continua en $ℝ$ , pero tiene un "pico" en $t = 0$ .

$r^{'} (t) = {\begin{matrix} (1, 1) & si & t > 0 \\ (1, - 1) & si & t < 0 \end{matrix}$

En $t = 0$ la componente $y (t) = | t |$ no es derivable por lo que no es suave en $ℝ$

3

C : r (t) = (t - sen t, 1 - cos t)

t \in ℝ

$r^{'} (t) = (1 - cos t, sen t)$ y $r^{'} (0) = (0, 0)$ , así que $C$ es suave pero no es regular (Figura 3.27).

4

C : r (t) = (t^{3}, t^{5})

t \in ℝ

$r^{'} (t) = (3 t^{2}, 5 t^{4})$ y $r^{'} (0) = (0, 0)$ , así que $C$ es suave pero no es regular (Figura 3.28).

5

C : r (t) = (t, t^{3} + t)

t \in ℝ

$r^{'} (t) = (1, 3 t^{2} + 1) \neq (0, 0)$ para todo $t$ , luego es suave y regular (Figura 3.29).

Figura 3.27:

Figura 3.28:

Figura 3.29:

Reglas de derivación. Sean

u (t)

v (t)

funciones vectoriales diferenciales y

f : ℝ \to ℝ

una función derivable. Entonces,

1.: $\frac{d}{dt} (u (t) + v (t)) = u^{'} (t) + v^{'} (t)$
2.: $\frac{d}{dt} (f (t) u (t)) = f^{'} (t) u (t) + f (t) u^{'} (t)$
3.: $\frac{d}{dt} (u [f (t)]) = f^{'} (t) u^{'} (f (t))$
4.: $\frac{d}{dt} (u (t) \times v (t)) = u^{'} (t) \times v (t) + u (t) \times v^{'} (t)$
: Derivada de funciones escalares relacionadas
5.: $\frac{d}{dt} (u (t) \cdot v (t)) = u^{'} (t) \cdot v (t) + u (t) \cdot v^{'} (t)$
6.: $\frac{d}{dt} (| | u (t) | |) = \frac{u^{'} (t) \cdot u (t)}{| | u (t) | |}$ si $u (t) \neq 0 .$

Observe que $proy u^{'} (t) u (t) = \frac{d}{dt} (| | u (t) | |) u (t)$ . Esto dice que $\frac{d}{dt} (| | u (t) | |)$ mide un factor de escalamiento (estiramiento o encogimiento) de $u (t)$

Ejemplo63Cálculo de derivadas

1

r (t) = (cos t, sen t), t \in ℝ .

\frac{d}{dt} ∥ r (t) ∥ = \frac{(- sen t, cos t) \cdot (cos t, sen t)}{| | r (t) | |} = 0 .

Dice que la distancia al origen es constante; la velocidad es siempre perpendicular al vector posición, por lo que la norma no varía.

2

r (t) = (t, 0), t \in ℝ .

\frac{d}{dt} ∥ r (t) ∥ = \frac{(1, 0) \cdot (t, 0)}{| t |} = sgn (t) (t \neq 0), no derivable en t = 0 .

Dice que aunque la rapidez $∥ r^{'} (t) ∥ = 1$ es constante, la distancia al origen crece o decrece según el signo de $t$ . La derivada de la norma no coincide con la norma de la derivada.

3

r

parametriza una curva en

ℝ^{2}

y si

T = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |}

(unitario), entonces

T^{'} (t_{0})

es igual a la tasa de cambio angular en

t_{0}

en la dirección de

T

T

es unitario en el plano así que su longitud no varía, pero si su dirección (medida con el ángulo).

4

T = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |}

(unitario) entonces

T \cdot \frac{d T}{dt} = 0

(es decir, son perpendicules).

3. Derivada de r(t)

3. Derivada de $r (t)$