Triedro de Frenet. Curvatura y Torsión.

6. Triedro de Frenet. Curvatura y Torsión.

Definición 8.

Supongamos que la trayectoria $r (t)$ no tiene velocidad nula, es decir, $r^{'} (t) \neq 0$ y que $r$ no es una línea recta, es decir, $r^{'} (t) \times r^{″} (t) \neq 0$ .

1

El "vector velocidad"

r^{'} (t)

es tangente a

C

r (t)

y apunta en la dirección del movimiento.

2

La longitud de

v (t),

se denota

v (t) = | | v (t) | |

, se llama rapidez.

3

Vector unitario tangente

T (t) = \frac{dr}{ds} = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |}

Este vector indica "la dirección de la curva".

——————————————————————————————-

4

Recta tangente en

P = r (t_{0})

:La recta pasa por

P

y va en la dirección de

v = r^{'} (t_{0})

L (t) = r (t_{0}) + t r^{'} (t_{0}), t \in ℝ

5

Vector normal unitario

Como

\frac{dT}{dt}

es perpendicular a

T

(Ejemplo 63)

N (t) = \frac{T^{'} (t)}{| | T^{'} (t) | |}

Se calcula con (triple producto vectorial)

N = \frac{(r^{'} (t) \times r^{″} (t)) \times r^{'} (t)}{∥ (r^{'} (t) \times r^{″} (t)) \times r^{'} (t) ∥}

——————————————————————————————-

6

Vector binormal unitario

B (t) = T (t) \times N (t)

Es perpendicular a

T

y a

N

——————————————————————————————-

7

Torsión

τ

\frac{d B}{ds} = - τ (s) N (s)

\frac{d B}{dt} = - τ (t) ∥ r^{'} (t) ∥ N (t)

τ (t) = \frac{(r^{'} (t) \times r^{″} (t)) \cdot r^{‴} (t)}{∥ r^{'} (t) \times r^{″} (t) ∥^{2}}

De manera intuitiva, la torsión mide "cuánto se aparta la curva de permanecer en un mismo plano". Así, si $τ = 0$ , la curva no se está torciendo fuera de un plano. Obsérve: La curvatura $κ$ siempre es no negativa, pues se define como una magnitud, en cambio, la torsión $τ$ puede ser positiva, negativa o cero, ya que su signo depende de la orientación con que gira el vector binormal $B$ alrededor de la curva.

8

El plano normal.

Plano

Π_{N} : P + t N (t_{0}) + s B (t_{0}), t, s \in ℝ

con

P = r (t_{0}) \in C .

T (t_{0})

es normal a

Π_{N}

——————————————————————————————-

9

Plano osculador.

Π_{O} : P + t N (t_{0}) + s T (t_{0})

con

P = r (t_{0}) \in C .

B (t_{0})

es normal a

Π_{O}

——————————————————————————————-

10

Curvatura.

P = r (t_{0}) \in C,

la curvatura

κ

C

P

es la magnitud de la tasa de cambio de

T

respecto a al longitud de arco

s

, es decir,

κ (t) = ‖ \frac{d T}{ds} ‖ = \frac{∥ T^{'} (t) ∥}{∥ r^{'} (t) ∥}

Para el cálculo

κ (t) = \frac{∥ r^{'} (t) \times r^{″} (t) ∥}{∥ r^{'} (t) ∥^{3}}

11

Circunferencia osculatriz.

Se encuentra en el plano osculador de

C

P

, tiene la misma tangente que

C

P

y se encuentra en el lado cóncavo de

C

(hacia el que apunta

N

) y tiene un radio

1 ∕ κ

. Esta circunferencia describe muy bien cómo se comporta

C

cerca de

P

Centro y radio:

ρ_{c} = \frac{1}{κ (t_{0})}, c = r (t_{0}) + \frac{1}{κ (t_{0})} N (t_{0}), N apunta al centro

Parametrización: $C_{osculatriz} : r_{co} (𝜃) = c + ρ_{c} cos (𝜃) T (t_{0}) + ρ_{c} sen (𝜃) N (t_{0}),$

Además

\frac{d T}{ds} = κ N

——————————————————————————————-

12

Triedro de Frenet-Serret.

Es un sistema de referencia móvil formado por los tres vectores ortonormales

T, N

B

. Estos vectores se desplazan a lo largo de la trayectoria, proporcionando información local sobre la geometría de la curva

C

(como la curvatura y torsión) ——————————————————————————————-

1

Usando la proyección

{proy}_{r^{'}}^{r^{″}}

, descomponemos

r^{″} (t)

como una suma de una componente paralela a

r^{'}

y una componte perpedicular a

r^{'}

, esta última se calcula aplicando al fórmula del triple producto vectorial, como

(r^{'} \times r^{″}) \times r^{'}

2

Como

T

es unitario (no varia su tamaño) lo que

| | T^{'} (t) | |

mide es la tasa de cambio angular en la dirección de la curva.

En el caso bidimensional es fácil verificar esto (Ejemplo 63). En el espacio requiere un cálculo más laborioso. Una justificación rigurosa se puede ver en ([6, Colley]). En forma resumida, una manera de iniciar la justificación de esto, es relacionar la variación de $T$ con el ańgulo entre dos direcciones: Se deriva dos veces la relación conocida:

T (t) \cdot T (t + Δ t) = cos (Δ 𝜃) ⟹ ‖ \frac{d T}{dt} ‖ = \frac{d𝜃}{dt}

3

| | T^{'} (t) | |

mide la tasa de cambio angular de la dirección de

T

por unidad de cambio en el parámetro

t

d s ∕ d t

es la tasa de cambio por unidad de cambio en

t

, entonces

κ (t) = \frac{| | d T ∕ d t | |}{d s ∕ d t} = \frac{dT}{ds}

4

La fórmula

τ (t) = \frac{(r^{'} (t) \times r^{″} (t)) \cdot r^{‴} (t)}{∥ r^{'} (t) \times r^{″} (t) ∥^{2}}

tiene una ventaja práctica: Permite calcular la torsión directamente a partir de la parametrización de la curva, sin construir explícitamente los vectores $T$ , $N$ y $B$ . Geométricamente, el vector $r^{'} (t) \times r^{″} (t)$ es perpendicular al plano osculador, mientras que el producto escalar con $r^{‴} (t)$ mide cuánto empieza a salirse la curva de ese plano. Por eso esta expresión cuantifica "el torcimiento" espacial de la trayectoria.

Triedro de Frenet-Serret

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Ejemplo67Recta tangente a una curva en un punto

Consideremos la curva

C

de intersección entre la superficie

z = 4 - x^{2} - y^{2}

y el plano

x + y = 2 .

Una parametrización de

C

C : r (t) = t i + (2 - t) j + (4 - t^{2} - {(2 - t)}^{2}) k

1

El punto

P = r (1) = (1, 1, 2)

está en esta curva.

2

Un vector tangente a

C

P

r^{'} (1) = (1, - 1, 0)

3

Una ecuación de la recta tangente a la curva en

P

L_{T} (t) = (1, 1, 2) + t \cdot (1, - 1, 0)

Figura 3.34:

Ejemplo68Propiedades intrinsecas.

La velocidad depende de la parametrización de una curva, pero los vectores $T, N, B$ , la curvatura y la torsión, son las mismos aunque cambiemos la parametrización de la curva (en la misma dirección).

Consideremos la media circunferencia (superior) $C : x^{2} + y^{2} = 1, x \geq 0$ . Esta circunferencia podemos parametrizarla de varias maneras. Sobre cada parametrización vamos a calcular velocidad, rapidez y el vector $N$ en $P = (1 ∕ \sqrt{2}, 1 ∕ \sqrt{2})$ .

Parametrizaciones:

1: $r_{1} (t) = cos (t) i + sen (t) j, P = r_{1} (π ∕ 4)$
2: $r_{2} (t) = cos (2 t) i + sen (2 t) j, P = r_{2} (π ∕ 8)$
3: $r_{3} (t) = t i + \sqrt{1 - t^{2}} j, P = r_{3} (1 ∕ \sqrt{2})$

$r_{3} (t)$ tiene orientación a favor de reloj por lo que $N$ aparece con signo invertido. Ahora observemos la invarianza de $N$ (excepto por la orientación) y la no-invarianza de la velocidad y la rapidez.


	$t_{0}$	$r^{'} (t_{0})$	rapidez	$N (t_{0})$

$r_{1}$	$π ∕ 4$	$(- \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$	$1$	$(- \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}})$

$r_{2}$	$π ∕ 8$	$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$	$2$	$(- \frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}})$

$r_{3}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$(1, - 1)$	$\sqrt{2}$	$(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$

Ejemplo69Circunferencia osculatriz

Sea $S : f (x, y) = - x^{2} + cos (x) + cos (y)$ y consideremos una curva $C$ sobre esta superficie

C : r (t) = (t, t^{2}, f (t, t^{2})) = (t, t^{2}, - t^{2} + cos (t) + cos (t^{2}))

Vamos a determinar una ecuación vectorial del plano osculador y de la circunferencia osculatriz en $P = r (0) = (0, 0, 2)$ (Figura 3.35)

Figura 3.35:

C

1

Cálculo y evaluación del vector velocidad

r^{'} (t_{0})

: Derivamos cada componente respecto a

t

aplicando la regla de la cadena en la tercera coordenada:

r^{'} (t) = (1, 2 t, - 2 t - sen (t) - 2 t sen (t^{2}))

Evaluando en $t = 0$ , obtenemos la dirección tangente a la trayectoria de forma inmediata:

r^{'} (0) = (1, 0, 0)

2

Cálculo y evaluación del vector aceleración

r^{″} (t_{0})

: Derivamos nuevamente respecto a

t

para hallar el cambio en el vector velocidad:

r^{″} (t) = (0, 2, - 2 - cos (t) - 2 sen (t^{2}) - 4 t^{2} cos (t^{2}))

Evaluando en $t = 0$ , la aceleración del sistema se reduce a:

r^{″} (0) = (0, 2, - 3)

3

Vector Normal Unitario

N (0)

: Utilizamos la fórmula

N = \frac{(r^{'} \times r^{″}) \times r^{'}}{∥ (r^{'} \times r^{″}) \times r^{'} ∥}

(para evitar derivar raíces cuadradas algebraicas).

Primero calculamos el vector binormal $B (0) = r^{'} (0) \times r^{″} (0)$ :

B (0) = (1, 0, 0) \times (0, 2, - 3) = (0, 3, 2)

Ahora realizamos el segundo producto cruz para devolver el vector al plano del movimiento:

(r^{'} \times r^{″}) \times r^{'} = (0, 3, 2) \times (1, 0, 0) = (0, 2, - 3)

Finalmente, normalizamos. La magnitud es $\sqrt{0^{2} + 2^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{13}$ :

N (0) = (0, \frac{2}{\sqrt{13}}, - \frac{3}{\sqrt{13}})

4

Curvatura

κ (t)

y Radio de curvatura

ρ_{o}

: Aplicamos la fórmula geométrica

κ (t) = \frac{∥ r^{'} (t) \times r^{″} (t) ∥}{∥ r^{'} (t) ∥^{3}}

κ (0) = \frac{∥ (0, 3, 2) ∥}{1^{3}} = \frac{\sqrt{0^{2} + 3^{2} + 2^{2}}}{1} = \sqrt{13}

El radio de la circunferencia osculatriz es el recíproco exacto de la curvatura:

ρ_{o} = \frac{1}{κ (0)} = \frac{1}{\sqrt{13}}

5

Vector Tangente Unitario

T (0)

: Normalizamos el vector velocidad obtenido en el paso 2 para usarlo como base ortonormal del círculo:

T (0) = \frac{r^{'} (0)}{∥ r^{'} (0) ∥} = \frac{(1, 0, 0)}{1} = (1, 0, 0)

6

Centro de la circunferencia osculatriz

c_{o}

: El centro se localiza desplazándonos desde el punto de la curva una distancia igual al radio en la dirección del vector normal principal:

c_{o} = r (0) + ρ_{o} N (0) = (0, 0, 2) + \frac{1}{\sqrt{13}} (0, \frac{2}{\sqrt{13}}, - \frac{3}{\sqrt{13}})

c_{o} = (0, \frac{2}{13}, 2 - \frac{3}{13}) = (0, \frac{2}{13}, \frac{23}{13})

7

Ecuación vectorial paramétrica del Plano Osculador: El plano osculador contiene a la curva en el punto dado y está generado por las direcciones ortogonales

T (0)

N (0)

Π_{plano} (t, s) = r (0) + t T (0) + s N (0)

Π_{plano} (t, s) = (0, 0, 2) + t (1, 0, 0) + s (0, \frac{2}{\sqrt{13}}, - \frac{3}{\sqrt{13}}), t, s \in ℝ

8

Ecuación paramétrica de la Circunferencia Osculatriz:

r_{osc} (𝜃) = c_{o} + ρ_{o} cos (𝜃) T (0) + ρ_{o} sen (𝜃) N (0)

Sustituyendo los valores vectoriales simplificados:

r_{osc} (𝜃) = (0, \frac{2}{13}, \frac{23}{13}) + \frac{1}{\sqrt{13}} cos (𝜃) (1, 0, 0) + \frac{1}{\sqrt{13}} sen (𝜃) (0, \frac{2}{\sqrt{13}}, - \frac{3}{\sqrt{13}})

Finalmente:

r_{osc} (𝜃) = (\frac{cos (𝜃)}{\sqrt{13}}, \frac{2 + 2 sen (𝜃)}{13}, \frac{23 - 3 sen (𝜃)}{13})

Tangente a una curva en un plano.

La curva $C : z = 2 - x^{2}$ esta en el plano $XZ$ (Figura 3.36)

1

Sea

v = (1, 0, 0)

. Si el eje

X

lo vemos como la recta

L (t) = t v

entonces

C : r (t) = (t, 0, 2 - t^{2})

r^{'} (t) = (1, 0, - 2 t)

La derivada usual de $f = z$ es $- 2 t$

2

Si el eje

X

lo vemos como la recta

L (t) = t v

con

v = (2, 0, 0)

entonces

C : r (t) = (2 t, 0, 2 - {(2 t)}^{2})

r^{'} (t) = (2, 0, - 4 t)

Ahora el vector velocidad $r^{'} (t)$ va más rápido.

Para obtener la derivada usual de $z = f$ , debemos normalizar el vector $v = (2, 0, 0)$ , es decir, parametrizar sobre $L (t) = t v$ con $v = (1, 0, 0)$ .

Figura 3.36: Tangente en un plano

Veamos la situación general: Una curva sobre un plano perpendicular al plano $XY$

Tenemos una curva

C : r (t)

parametrizada por

r

, que es la intersección del plano

Π

con una superficie

S : z = f (x, y)

. El plano

Π

esta generado por una recta

L_{v} : P_{xy} + t v

en el plano

XY

, con

v

unitario.

Si $P = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) \in S$ , $P_{xy} = (p_{1}, p_{2}, 0)$ , $v = (v_{1}, v_{2}, 0)$ , entonces

L_{v} (t) = (p_{1} + t v_{1}, p_{2} + t v_{2}, 0)

Una parametrización de la curva de intersección de la superficie $S$ con el plano $Π$ es

r (t) = (p_{1} + t v_{1}, p_{2} + t v_{2}, f (p_{1} + t v_{1}, p_{2} + t v_{2})), t \in ℝ

El vector $r^{'} (0)$ es un "vector tangente a $S$ " en $P$ , en la dirección de $v$ , pues $P = r (0),$ y

r^{'} (0) = (v_{1}, v_{2}, {\frac{d}{dt} f (p_{1} + t v_{1}, p_{2} + t v_{2}) |}_{t = 0})

El valor ${\frac{d}{dt} f (p_{1} + t v_{1}, p_{2} + t v_{2}) |}_{t = 0}$ se conoce como "la derivada direcional de $f$ en $P$ , en la dirección de $v$ "

Figura 3.37: Derivada direccional

Derivada direcciona de

f

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Ejemplo70

Sea $z = 4 - x^{2} - y^{2}$ . Determine la derivada direccional de $z$ en $P = (1, 2, - 1)$ en la dirección del vector $v = (0, 1, 0)$ y en la dirección del vector $v = (2, 1, 0)$

Solución.

1

En la dirección de

v = (0, 1, 0)

. Este vector es unitario.

$L (t) = (1, 2 + t, 0)$

$\frac{d}{dt} f (1, 2 + t) = \frac{d}{dt} (4 - 1^{2} - {(2 + t)}^{2}) = - 2 (t + 2)$

Evaluando en $t = 0$ se obtiene que la derivada direccional en $P$ , en la dirección de $v$ , es $- 4$

2

En la dirección de

v = (2, 1, 0)

. Este vector no es unitario. Entonces hay que normalizarlo (dividiendo por su norma)

$L (t) = (1 + \frac{2 t}{\sqrt{5}}, 2 + \frac{t}{\sqrt{5}}, 0)$

\begin{matrix} \frac{d}{dt} f (1 + \frac{2 t}{\sqrt{5}}, 1 + \frac{t}{\sqrt{5}}) & = & \frac{d}{dt} [(4 - {(1 + \frac{2 t}{\sqrt{5}})}^{2} - {(2 + \frac{t}{\sqrt{5}})}^{2})] \\ = & - \frac{4}{\sqrt{5}} (1 + \frac{2 t}{\sqrt{5}}) - \frac{2}{\sqrt{5}} (2 + \frac{t}{\sqrt{5}}) \end{matrix}

Evaluando en $t = 0$ se obtiene que la derivada direccional en $P$ , en la dirección de $v$ , es $- \frac{8}{\sqrt{5}}$

Movimiento circular

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se define como el ángulo girado en una unidad de tiempo y se designa mediante la letra griega $Ω$ . Su unidad en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s). La rapidez angular $Ω$ de un cuerpo en rotación es su tasa de rotación medida en radianes por unidad de tiempo. Por ejemplo, una lámpara de un faro que gira a una velocidad de tres revoluciones por minuto, tiene una rapidez angular de $Ω = 6 π$ radianes por minuto. Es útil representar la tasa de rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje en términos de un vector de velocidad angular en lugar de sólo un escalar que nos dé la rapidez angular.

El vector de velocidad angular $Ω$ apunta en la dirección del eje de rotación el vector velocidad angular es un vector que es perpendicular al plano de rotación) y su magnitud nos da la tasa de cambio del ángulo de rotación del cuerpo por unidad de tiempo y la su orientación especifica el sentido de la rotación.

Si el origen de coordenadas está en el eje de rotación y si $r (t)$ es el vector de posición en el instante $t,$ en un punto $P$ del cuerpo en rotación, entonces $P$ se mueve a lo largo de una circunferencia de radio $a = | | r (t) | | sen 𝜃$ donde $𝜃$ es el ángulo entre $Ω$ y $r (t) .$

Figura 3.38: Rotación de

P

con velocidad angular

v (t) = Ω \times r (t)

Entonces

P

viaja una distancia de

2 πa

en un tiempo de

2 π ∕ Ω

y su rapidez lineal es

\frac{distancia}{tiempo} = \frac{2 πa}{2 π ∕ Ω} = Ω a = | | Ω | | | | r (t) | | sen 𝜃 = | | Ω \times r (t) | |

Como la dirección de $Ω$ fue definida de tal manera que $Ω \times r (t)$ apunte en dirección del movimiento de $P$ , entonces la velocidad lineal de $P$ en el instante $t$ es

\frac{d r}{dt} = v (t) = Ω \times r (t)

Ejemplo71

Este ejemplo es solo ilustrativo y no indica cómo hacer los cálculos. Supongamos que una partícula se mueve sobre la trayectoria

C : r (t) = i + 3 cos (2 t) j + 3 sen (2 t) k .

$\frac{d r}{dt} = v (t) = - 6 sen (2 t) j + 6 cos (2 t) k = Ω \times r (t)$

Entonces la velocidad angular es

Ω = 2 i

y el movimiento es contra-reloj alrededor del eje

X .

La rapidez angular es

Ω = 2

7.1Determine una ecuación vectorial de la recta tangente a

C

P

, en cada caso.

1.: $C$ es la curva de intersección entre el plano $y + z = 2$ y la superficie $S : z = x + y^{2}$ y $P = (- 2, 0, 2)$
2.: $C$ es la curva de intersección entre el plano $x + y = 1$ y la superficie $S : x^{2} + y + z = 1$ y $P = (2, - 1, - 2)$

1.: Una parametrización de $C$ es $r (t) = (- t^{2} - 2 + t, t, 2 - t) .$ Como $P = r (0),$ entonces una ecuación vectorial de la recta tangente a $C$ en $P$ es $L (t) = (- 2, 0, 2) + t \cdot (1, 1, - 1)$
2.: Una parametrización de $C$ es $r (t) = (t, 1 - t, - t^{2} + t) .$ Como $P = r (2),$ entonces una ecuación vectorial de la recta tangente a $C$ en $P$ es $L (t) = (2, - 1, - 2) + t \cdot (1, - 1, - 3)$

7.2 Consideremos al curva

C

de ecuación

r (t) = (2 t sen (t) + 3, t + 2, 3), t \in ℝ

. Determine una ecuación vectorial del plano osculador y una parametrización de la circunferencia osculatriz en

P = r (0)

1.

Punto en la curva

r (0)

r (0) = (3, 2, 3)

2.

Vector velocidad

r^{'} (0)

r^{'} (t) = (2 sen (t) + 2 t cos (t), 1, 0) ⟹ r^{'} (0) = (0, 1, 0)

3.

Vector aceleración

r^{″} (0)

r^{″} (t) = (4 cos (t) - 2 t sen (t), 0, 0) ⟹ r^{″} (0) = (4, 0, 0)

4.

Vector Normal Unitario

N

(r^{'} (0) \times r^{″} (0)) \times r^{'} (0) = (4, 0, 0) ⟹ N = (1, 0, 0)

5.

Curvatura

κ (0)

y Radio de curvatura

ρ_{o}

κ (0) = \frac{∥ (0, 0, - 4) ∥}{1^{3}} = 4 ⟹ ρ_{o} = \frac{1}{4}

6.

Vector Tangente Unitario

T

T = (0, 1, 0)

7.

Centro de la circunferencia osculatriz

c_{o}

c_{o} = (3, 2, 3) + \frac{1}{4} (1, 0, 0) = (\frac{13}{4}, 2, 3)

8.

Ecuación del Plano Osculador:

Π_{plano} (u, v) = (3, 2, 3) + u (0, 1, 0) + v (1, 0, 0)

9.

Ecuación de la Circunferencia Osculatriz:

r_{osc} (𝜃) = (\frac{13 + sen (𝜃)}{4}, \frac{8 + cos (𝜃)}{4}, 3)

7.3Sea

C : r (t) = (1, t^{2} cos (t), t) .

Determine la ecuación del plano normal, la ecuación del plano osculante y la ecuación de la circunferencia osculatriz en

P_{1} = r (0)

Para

P_{1} = r (0) = (1, 0, 0)

1.: Plano normal: $z = 0$
2.: Plano osculante: $x = 1$
3.: Circunferencia osculatriz: centro $C_{1} = (1, \frac{1}{2}, 0)$ , radio $ρ_{1} = \frac{1}{2}$ , en el plano osculante $x = 1$ , ecuación vectorial $r (𝜃) = (1, \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 𝜃, \frac{1}{2} sen 𝜃), 𝜃 \in [0, 2 π]$

7.4Determine la derivada direccional de

z = 4 - y^{2}

P = (0, 1, 3)

en la dirección de

v = (0, 1, 0)

- 2

7.5Determine la derivada direccional de

z = 4 - y^{2}

P = (0, 1, 3)

en la dirección de

v = (2, 1, 0)

- \frac{2 \sqrt{5}}{5}

7.6Determine la derivada direccional de

z = {(y - 1)}^{2} - x^{2}

P = (0, 1, 3)

en la dirección de

v = (0, 1, 0)