Parametrización de superficies

8. Parametrización de superficies

Parametrización de Cilindros. Si podemos obtener una parametrización de la curva directriz de un cilindro $S$ , entonces podemos parametrizar el cilindro agregando un parámetro $s$ en la componente que decide la dirección de las generatrices.

1: Directriz en el plano $XY$ : $S : r (t, s) = (x (t), y (t), s), (t, s) \in [a, b] \times [p, q]$
2: Directriz en el plano $XZ$ : $S : r (t, s) = (x (t), s, z (t)), (t, s) \in [a, b] \times [p, q]$
3: Directriz en el plano $Y Z$ : $S : r (t, s) = (s, y (t), z (t)), (t, s) \in [a, b] \times [p, q]$

Propósito: Visualizar cilindros con curva direztriz en los planos coordenados. Un cilindro en el espacio puede describirse mediante una función vectorial $r (t, s)$ .

El widget muestra algunos cilindros con curva directriz en los planos coordenados, con cierto dominio, y se muestra la paraemtrización en el plano respectivo y la representación gráfica en el espacio.

1

Curva directriz en el plano

XY

: Cilindro elíptico

{(x - 2)}^{2} + \frac{y^{2}}{16} = 1, x \in [1, 3]

. Una parametrización:

r (t, s) = (2 + cos (t), 4 sen (t), s), t \in [0, π] .

2

Curva directriz en el plano

XZ

: Cilindro parabólico

z = 4 - x^{2}, x \in [- 2, 2]

. Una parametrización:

r (t, s) = (t, s, 4 - t^{2}), t \in [- 2, 2] .

3

Curva directriz en el plano

Y Z

: Cilindro hipérbolico

y^{2} - {(z - 2)}^{2} = 1, y \in [1, cosh (2)]

. Una parametrización:

r (t, s) = (s, cosh (t), 2 - senh (t)), t \in [- 2, 2] .

Parametrización en planos coordenados

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Ejemplo72Parametrizar un cilindro

Determine una parametrizacion de los cilindros

1: $S : x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$ con $x \in [0, 1]$ (Figura 3.39)
2: $Π : x + y = 2$ (Figura 3.40)

Figura 3.39: Cilindro elíptico

Figura 3.40: Plano

Solución.

1

Medio cilindro elíptico

S : x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1, x \in [0, 1]

: La curva directriz es una circunferencia, entonces una parametrización trigonométrica es

r (t, s) = (cos (t), 1 + sen (t))

Ahora establecemos el recorrido del parámetro $t$ que es el ángulo. Debemos observar que $x \geq 0$ pues $x \in [0, 1] .$ Ahora como $x (t) = cos (t) \geq 0$ debemos tomar $t \in [- π ∕ 2, π ∕ 2]$ y así obtenemos esta media circunferencia.

r (t, s) = (cos (t), s, 1 + sen (t)), t \in [- π ∕ 2, π ∕ 2], s \in ℝ

2

Plano

Π : x + y = 2

: Como

y = 2 - x

, tomamos

x = t

. Una parametrización es

r (t, s) = (t, 2 - t, s), s \in ℝ

9.1Determine una parametrización de las siguientes superficies

1.: $z = {(x - 2)}^{2}$
2.: $z = 4 {(1 - y)}^{2}$
3.: $z = {(x - 2)}^{2} + 4 {(1 - y)}^{2}$
4.: $x^{2} = z^{2} - y^{2}$

1.

Como la ecuación depende de

x

z

, podemos tomar

x = t, y = s, z = {(t - 2)}^{2} .

Por tanto, una parametrización es

r (s, t) = (t, s, {(t - 2)}^{2}), s, t \in ℝ .

2.

Como la ecuación depende de

y

z

, podemos tomar

x = s, y = t, z = 4 {(1 - t)}^{2} .

Por tanto, una parametrización es

r (s, t) = (s, t, 4 {(1 - t)}^{2}), s, t \in ℝ .

3.

Una parametrización trigonométrica es

r (s, t) = (2 + s cos t, 1 + \frac{s}{2} sen t, s^{2}), s \geq 0, 0 \leq t \leq 2 π .

4.

La ecuación se puede escribir como

z^{2} = x^{2} + y^{2},

que corresponde a un cono circular. Usando coordenadas cilíndricas, podemos tomar

x = s cos t, y = s sen t, z = s .

Por tanto, una parametrización es

r (s, t) = (s cos t, s sen t, s), s \in ℝ, 0 \leq t \leq 2 π .