Coordenadas cilíndricas y esféricas

10. Coordenadas cilíndricas y esféricas

Parametrizar usando Coordenadas Cilíndricas.

Primero veamos un ejemplo: Un Parabolide Elíptico de ecuación $S_{2} : z = x^{2} + y^{2}$ se puede ver como un conjunto de circunferencias $s = x^{2} + y^{2}$ donde el valor $s \geq 0$ , les va dando dezplazamiento vertical (altura).

1

Las circunferencias

s = x^{2} + y^{2}

son curvas de nivel parametrizadas como

r_{p} (t) = (\sqrt{s} cos (t), \sqrt{s} sen (t), 0), t \in [0, 2 π [, s \geq 0

2

Las trazas se parametrizan como

C_{p} : r_{tr} (t) = (\sqrt{s} cos (t), \sqrt{s} sen (t), s), t \in [0, 2 π [, s \geq 0

3

Una parametrización del Parabolide Elíptico de ecuación

S_{2} : z = x^{2} + y^{2}

es

S_{1} : r (t, s) = (\sqrt{s} cos (t), \sqrt{s} sen (t), s), t \in [0, 2 π [, s \geq 0

Esta parametrización obtenida girando con ángulo

𝜃

alrededor de un eje coordenado con un radio

ρ

posiblemente variable y otra variable para el desplazamiento

z

(abajo y/o arriba) se conoce como "parametrización usando coordenadas cilíndricas"

Coordenadas cilíndricas .

En el sistema de coordenadas cilíndricas, con el plano $XY$ como base, un punto $P$ en el espacio tridimensional se representa mediante la triplete ordenado $(ρ, 𝜃, z)$ , donde

1: $ρ$ (coordenada radial) y $𝜃$ (coordenada acimutal) son las coordenadas polares de la proyección de $P$ sobre el plano $XY$
2: $”z”$ es la distancia "dirigida" desde el plano $XY$ hasta $P$ .

Para convertir de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares (cartesianas), utilizamos las ecuaciones:

${\begin{matrix} x & = & ρ cos 𝜃 \\ y & = & ρ sen 𝜃 \\ z & = & z \end{matrix}$

Para pasar de coordenadas rectangulares a cilíndricas, utilizamos:

${\begin{matrix} ρ^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ 𝜃 & = & arctan (\frac{y}{x}), x \neq 0 \\ z & = & z \end{matrix}$

En la práctica $”𝜃 = arctan (\frac{y}{x}) ”$ requiere algunos ajustes porque el valor del ángulo depende del cuadrante en el que vive $(x, y)$ . En matemáticas aplicadas, física e informática, se utiliza la función de dos argumentos $atan2 (y, x)$ , que maneja automáticamente los cuadrantes y el caso $x = 0$ .

Propósito: Visualizar la parametrización de algunas superficies usando coordenadas cilindricas.

1

Cilindro circular recto.

x^{2} + y^{2} = z^{2} .

En coordenadas cilíndricas, $ρ = z .$

Una parametrización de la superficie es

\begin{matrix} x (𝜃, z) & = & z cos 𝜃, \\ y (𝜃, z) & = & z sen 𝜃, \\ z (𝜃, z) & = & z, \end{matrix} 0 \leq 𝜃 \leq 2 π .

2

Paraboloide circular.

z = x^{2} + y^{2} .

En coordenadas cilíndricas, $z = ρ^{2} .$

Una parametrización de la superficie es

\begin{matrix} x (ρ, 𝜃) & = & ρ cos 𝜃, \\ y (ρ, 𝜃) & = & ρ sen 𝜃, \\ z (ρ, 𝜃) & = & ρ^{2}, \end{matrix} ρ \geq 0, 0 \leq 𝜃 \leq 2 π .

3

Cono doble.

z^{2} = x^{2} + y^{2} .

En coordenadas cilíndricas, $z^{2} = ρ^{2}, es decir z = \pm ρ .$

Una parametrización de la superficie es

\begin{matrix} x (ρ, 𝜃) & = & ρ cos 𝜃, \\ y (ρ, 𝜃) & = & ρ sen 𝜃, \\ z (ρ, 𝜃) & = & \pm ρ, \end{matrix} ρ \geq 0, 0 \leq 𝜃 \leq 2 π .

4

Esfera.

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} .

En coordenadas cilíndricas, $ρ^{2} + z^{2} = R^{2},$ de donde $ρ = \sqrt{R^{2} - z^{2}} .$

Una parametrización de la superficie es

\begin{matrix} x (z, 𝜃) & = & \sqrt{R^{2} - z^{2}} cos 𝜃, \\ y (z, 𝜃) & = & \sqrt{R^{2} - z^{2}} sen 𝜃, \\ z (z, 𝜃) & = & z, \end{matrix} - R \leq z \leq R, 0 \leq 𝜃 \leq 2 π .

5

Hiperboloide de una hoja.

x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1 .

En coordenadas cilíndricas, $ρ^{2} - z^{2} = 1,$ de donde $ρ = \sqrt{1 + z^{2}} .$

Una parametrización de la superficie es

\begin{matrix} x (z, 𝜃) & = & \sqrt{1 + z^{2}} cos 𝜃, \\ y (z, 𝜃) & = & \sqrt{1 + z^{2}} sen 𝜃, \\ z (z, 𝜃) & = & z, \end{matrix} - a \leq z \leq a, 0 \leq 𝜃 \leq 2 π .

Hacer clic en los botones para cambiar de superficie.

Parametrización con coordenadas cilíndricas

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Ejemplo73Parametrizar con coordenadas cilíndricas

Determine una parametrización, usando coordenadas cilíndricas, de las superficies

1: $4 y = x^{2} + z^{2}$
2: $x^{2} = y^{2} + 2 z^{2}$

Solución.

1

4 y = x^{2} + z^{2}

. Tenemos que adaptar las ecuaciones a el plano

XZ

, así en la ecuaciones, "

y = y

"

$4 y = x^{2} + z^{2}$ lo escribimos como $x^{2} + z^{2} = ρ^{2}$ , entonces

4 y = ρ^{2} ⟹ 0 \leq y = \frac{ρ^{2}}{4} o ρ = 2 \sqrt{y} \geq 0 .

Por tanto, una parametrización es

\begin{matrix} x (ρ, 𝜃) & = & ρ cos 𝜃, \\ y (ρ, 𝜃) & = & y, \\ z (ρ, 𝜃) & = & ρ sen 𝜃, \end{matrix} ρ \geq 0, 0 \leq 𝜃 \leq 2 π .

2

x^{2} = y^{2} + 2 z^{2}

. Podemos adaptar las ecuaciones con el plano

Y Z

como base, así en las ecuaciones "

x = x

"

Como $x^{2} = y^{2} + 2 z^{2}$ tenemos $ρ^{2} = y^{2} + 2 z^{2}$

y = ρ cos 𝜃, \sqrt{2} z = ρ sen 𝜃, x^{2} = ρ^{2}

Una parametrización es

\begin{matrix} x (ρ, 𝜃) & = & \pm ρ, \\ y (ρ, 𝜃) & = & ρ cos 𝜃, \\ z (ρ, 𝜃) & = & \frac{ρ}{\sqrt{2}} sen 𝜃, \end{matrix} ρ \geq 0, 0 \leq 𝜃 \leq 2 π .

Coordenadas Esféricas

Las coordenadas esféricas de un punto

P

en el espacio se denotan por

(ρ, 𝜃, φ),

donde

1: $ρ$ (coordenada radial) es la distancia del origen al punto $P$
2: $𝜃$ (ángulo azimutal) es el ángulo medido en el plano $XY$ desde el eje positivo $X$
3: $φ$ (ángulo polar o cenital) es el ángulo medido desde el eje positivo $Z$ hasta el vector $OP$ .

Usualmente,

ρ \geq 0, 0 \leq 𝜃 \leq 2 π, 0 \leq φ \leq π .

Esféricas a cartesianas:

{\begin{matrix} x & = & ρ sen φ cos 𝜃, \\ y & = & ρ sen φ sen 𝜃, \\ z & = & ρ cos φ . \end{matrix}

(3.3)

Cartesianas a esféricas:

{\begin{matrix} ρ & = & \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ 𝜃 & = & arctan (\frac{y}{x}) \\ φ & = & arccos (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) \end{matrix}

(3.4)

Para parametrizar con coordenadas esféricas, a veces son útiles las fórmulas (sustituyendo según las ecuaciones 3.3 y 3.4)

•

x^{2} + y^{2} + z^{2} = ρ^{2}

• $x^{2} + y^{2} = ρ^{2} {sen}^{2} φ$

Ejemplo74Parametrizar en coordenadas esféricas

Parametrizar, usando coordenadas esféricas, las siguientes superficies

1: Esfera de radio $R$ . $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$
2: Cono circular. $z^{2} = x^{2} + y^{2} .$
3: Toro anular. ${(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} = a^{2} (x^{2} + y^{2}), a > 0$

Solución.

1

Esfera de radio

R

.

x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}

En coordenadas esféricas, $ρ^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2} ⟹ ρ = R > 0$

2

Cono circular.

z^{2} = x^{2} + y^{2} .

En este caso no tenemos a al vista

ρ

como una suma de cuadrados. Pero si podemos determinar fácilmente los ángulos.

3

Toro anular.

{(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} = a^{2} (x^{2} + y^{2}), a > 0

Podemos sustituir de manera direca $ρ^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}$ y $x^{2} + y^{2}$

11.1Determine una parametrización de las siguientes superficies, usando coordenadas cilíndricas o esféricas u otra parametrización

1.: $x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9$
2.: $x = z^{2} - 4 {(y - 1)}^{2}$
3.: $x^{2} - y^{2} + z^{2} = 1$
4.: ${(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 3)}^{2} = 16 (x^{2} + z^{2})$

1.

Usamos coordenadas cilíndricas alrededor del eje

Y

. Como

x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9,

tomamos

x = 3 cos t, z = 1 + 3 sen t, y = s .

Entonces $r (s, t) = (3 cos t, s, 1 + 3 sen t), s \in ℝ, 0 \leq t \leq 2 π .$

2.

Usamos una parametrización directa tomando:

y = s, z = t .

Entonces

x = t^{2} - 4 {(s - 1)}^{2} .

Por tanto, $r (s, t) = (t^{2} - 4 {(s - 1)}^{2}, s, t), s, t \in ℝ .$

3.

Usamos coordenadas cilíndricas alrededor del eje

Y

.

Como $x^{2} + z^{2} - y^{2} = 1,$ tomamos $x = r cos t, z = r sen t, y = s .$

Entonces $r^{2} - s^{2} = 1,$ de donde $r = \sqrt{1 + s^{2}} .$

Por tanto, $r (s, t) = (\sqrt{1 + s^{2}} cos t, s, \sqrt{1 + s^{2}} sen t), s \in ℝ, 0 \leq t \leq 2 π .$

4.

Usamos coordenadas esféricas tomando

x = ρ sen s cos t, y = ρ cos s, z = ρ sen s sen t .

Entonces $x^{2} + y^{2} + z^{2} = ρ^{2} y x^{2} + z^{2} = ρ^{2} {sen}^{2} s .$

Sustituyendo en la ecuación, ${(ρ^{2} + 3)}^{2} = 16 ρ^{2} {sen}^{2} s .$

Como $ρ \geq 0$ , tomamos $ρ^{2} + 3 = 4 ρ sen s .$ . Por tanto, $ρ^{2} - 4 ρ sen s + 3 = 0 .$

Resolviendo para $ρ$ : $ρ = 2 sen s \pm \sqrt{4 {sen}^{2} s - 3} .$

Así, la superficie se puede parametrizar mediante

r_{\pm} (s, t) = (ρ_{\pm} (s) sen s cos t, ρ_{\pm} (s) cos s, ρ_{\pm} (s) sen s sen t),

donde

ρ_{\pm} (s) = 2 sen s \pm \sqrt{4 {sen}^{2} s - 3},

con

\frac{π}{3} \leq s \leq \frac{2 π}{3}, 0 \leq t \leq 2 π .