Instituto Tecnológico de Costa Rica

Circulación discretizada sobre una circunferencia

Cálculo en Varias Variables, 2026
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Usamos \(\mathbf F(x,y,z)=(-ky,0,0)\) y la circunferencia \(\mathbf r(t)=(1+r\cos t,1+r\sin t,1)\), con \(0\leq t\leq2\pi\), orientada en sentido antihorario vista desde arriba. Los puntos \(P_i^*\) son los puntos medios de los arcos.
Visualizamos la integral de circulación como una suma de contribuciones locales \[ \sum_i \mathbf F(P_i^*)\cdot\Delta\mathbf r_i. \]
Comparar esa suma con \[ \sum_i\bigl(\mathbf F(P_i^*)\cdot\mathbf T_i^{\,d}\bigr)\Delta s_i^{\,d}, \] donde \(\mathbf T_i^{\,d}=\Delta\mathbf r_i/\|\Delta\mathbf r_i\|\).

1. Curva discretizada en \(z=1\)

Las cuerdas \(\Delta\mathbf r_i\) aproximan los pequeños arcos.

2. Suma \(\sum \mathbf F_i\cdot\Delta\mathbf r_i\)

Cada barra es una contribución escalar con signo.

3. Suma \(\sum(\mathbf F_i\cdot\mathbf T_i^d)\Delta s_i^d\)

Altura: \(\mathbf F_i\cdot\mathbf T_i^d\). Ancho: \(\Delta s_i^d\). Eje horizontal: longitud acumulada de las cuerdas; escala vertical ajustada en cada panel.
\(\mathbf F_i\cdot\Delta\mathbf r_i\)
0
\((\mathbf F_i\cdot\mathbf T_i^d)\Delta s_i^d\)
0
Suma discreta \(S_n\)
0
Valor exacto \(k\pi r^2\)
0
\[ \Delta\mathbf r_i=\mathbf T_i^{\,d}\Delta s_i^{\,d} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf F_i\cdot\Delta\mathbf r_i = (\mathbf F_i\cdot\mathbf T_i^{\,d})\Delta s_i^{\,d}. \] Para esta discretización por cuerdas, las dos sumas son exactamente iguales término a término. Con estos puntos de muestreo, \(S_n=knr^2\sin(\pi/n)\); es una aproximación a la integral sobre la circunferencia, no la integral exacta sobre el polígono. Al aumentar \(n\), ambas sumas aproximan \[ \oint_{\mathcal C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=k\pi r^2. \]
\(\mathcal C\) \(\Delta\mathbf r_i\) o \(\mathbf T_i^d\) \(\mathbf F(P_i^*)\) segmento seleccionado