Tutor: Continuidad — determinar a y b

Ejercicio · Continuidad

Determinar parámetros para que \(f\) sea continua en \(\mathbb{R}\)

Determine \(a\) y \(b\) de modo que la función \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por

f(x)= \begin{cases} ax + b, & \text{si } x < 0,\\[4pt] x^{2}+a, & \text{si } 0\le x\le 1,\\[4pt] bx - a, & \text{si } x > 1, \end{cases}

sea continua en todo \(\mathbb{R}\).

Pistas progresivas

En el interior de cada trozo la función es un polinomio (en \(a\) y \(b\) fijos), por lo tanto es continua automáticamente. El único peligro está en los puntos de unión, donde la fórmula cambia: \(x=0\) y \(x=1\).

La condición de continuidad en un punto \(c\) es:

\lim_{x\to c^{-}} f(x) \;=\; f(c) \;=\; \lim_{x\to c^{+}} f(x).

Aplicando esto en \(x=0\) y en \(x=1\) obtendremos dos ecuaciones en las incógnitas \(a\) y \(b\), cuya solución dará los valores buscados.

Plan: imponer continuidad en \(x=0\) → ecuación (I); imponer continuidad en \(x=1\) → ecuación (II); resolver el sistema.

En \(x=0\) se une el trozo I (\(x<0\)) con el trozo II (\(0\le x\le 1\)). El valor de la función es \(f(0)=0^{2}+a=a\).

Límite por la izquierda (trozo I):

\lim_{x\to 0^{-}}f(x) = \lim_{x\to 0^{-}}(ax+b) = b

Límite por la derecha (trozo II):

\lim_{x\to 0^{+}}f(x) = \lim_{x\to 0^{+}}(x^{2}+a) = a

Igualando (los tres valores deben coincidir):

\[ b = a \]

Ecuación (I): \(\;b = a.\)

En \(x=1\) se une el trozo II (\(0\le x\le 1\)) con el trozo III (\(x>1\)). El valor de la función es \(f(1)=1^{2}+a=1+a\).

Límite por la izquierda (trozo II):

\lim_{x\to 1^{-}}f(x) = \lim_{x\to 1^{-}}(x^{2}+a) = 1+a

Límite por la derecha (trozo III):

\lim_{x\to 1^{+}}f(x) = \lim_{x\to 1^{+}}(bx-a) = b - a

Igualando:

\[ 1 + a = b - a \]

Ecuación (II): \(\;1+a = b-a,\) es decir \(\;b = 1+2a.\)

Las dos condiciones forman el sistema:

\begin{cases} b = a & \text{(I)}\\ b = 1 + 2a & \text{(II)} \end{cases}

Sustituyendo (I) en (II):

a = 1 + 2a \;\implies\; -a = 1 \;\implies\; a = -1

Valor de b:

\[ b = a = -1 \]

Solución del sistema: \(\;a = -1,\quad b = -1.\)

Con \(a=-1,\;b=-1\), la función queda:

f(x)= \begin{cases} -x-1, & x < 0\\[4pt] x^{2}-1, & 0\le x\le 1\\[4pt] -x+1, & x > 1 \end{cases}

En \(x=0\):

\lim_{x\to 0^{-}}(-x-1)=-1,\quad f(0)=0-1=-1,\quad \lim_{x\to 0^{+}}(x^{2}-1)=-1. \quad \checkmark

En \(x=1\):

\lim_{x\to 1^{-}}(x^{2}-1)=0,\quad f(1)=1-1=0,\quad \lim_{x\to 1^{+}}(-x+1)=0. \quad \checkmark

En ambos puntos de unión los tres valores coinciden: la función es continua en \(x=0\) y \(x=1\), y por tanto en todo \(\mathbb{R}\). \(\blacksquare\)

\(x=0\) Límites laterales iguales: \(b = a\) Ecuación (I) \(x=1\) Límites laterales iguales: \(1+a = b-a\) Ecuación (II) Sistema Sustitución directa: \(a = 1+2a \Rightarrow a=-1\) \(a=b=-1\)

Solución completa

Para que \(f\) sea continua en \(\mathbb{R}\) basta imponer continuidad en los dos puntos de unión \(x=0\) y \(x=1\), ya que en el interior de cada trozo \(f\) es polinómica.

Continuidad en \(x=0\):

\lim_{x\to 0^{-}}(ax+b)=b \;=\; f(0)=a \;=\; \lim_{x\to 0^{+}}(x^{2}+a)=a \;\;\Longrightarrow\;\; b=a. \tag{I}

Continuidad en \(x=1\):

\lim_{x\to 1^{-}}(x^{2}+a)=1+a \;=\; f(1)=1+a \;=\; \lim_{x\to 1^{+}}(bx-a)=b-a \;\;\Longrightarrow\;\; 1+a=b-a. \tag{II}

Resolución del sistema:

\text{(I) en (II):}\quad a = 1+2a \;\Rightarrow\; a=-1,\quad b=a=-1.

Conclusión:

\boxed{a = -1, \quad b = -1.}

La IA resolverá el mismo ejercicio desde cero. Compara el enfoque con la solución del profesor.