Ecuación diferencial ordinarias de primer orden mediante cambio de variable

2. Ecuación diferencial ordinarias de primer orden mediante cambio de variable

En algunos casos se pueden hacer cambios de variable dependiente o independiente apropiados que permiten transformar una EDO1 en otra que puede ser resuelta de acuerdo a los métodos estudiados. Consiguientemente se ilustra mediante los siguientes ejemplos.

Ejemplo93

Considere la ED (1): $\frac{y^{'}}{y} - \frac{2 ln y}{x} = ln x$ en el intervalo $] 0, + \infty [$ . Aplique el cambio de variable $z = \frac{x}{ln y}$ para transformar la ED en una de Bernoulli, luego resuelvala para obtener la solución general de (1).

Solución

Dado que $z = \frac{x}{ln y}$ entonces se despeja $y = e^{\frac{x}{z}}$ y se deriva para obtener $y^{'} = e^{\frac{x}{z}} \frac{z - x z^{'}}{z^{2}}$ , sustituyendo en la ED (1) se tiene: $\frac{e^{\frac{x}{z}} \cdot \frac{z - x z^{'}}{z^{2}}}{e^{\frac{x}{z}}} - \frac{2}{z} = ln x$

$\Rightarrow x z^{'} + z = - z^{2} ln x$ (2) Ecuación diferencial de Bernoulli en $z (x)$ .

Para resolver dicha ecuación de Bernoulli tome $v = \frac{1}{z} \Rightarrow z = \frac{1}{v} \Rightarrow z^{'} = \frac{- v^{'}}{v^{2}}$ , luego sustituyendo en la ED (2) se obtiene $x (\frac{- v^{'}}{v^{2}}) + \frac{1}{v} = - ln x \frac{1}{v^{2}}$ $\Rightarrow - x v^{'} + v = - ln x$
$\Rightarrow v^{'} - \frac{v}{x} = \frac{ln x}{x}$ (3) Ecuación diferencial de Lineal en $v (x)$ .

Multiplicando ahora por el factor integrante $e^{\int - \frac{1}{x} dx} = e^{- ln x} = \frac{1}{x}$ para recibir (3) en

$\frac{v^{'}}{x} - \frac{v}{x^{2}} = \frac{ln x}{x^{2}}$

$\Rightarrow \int d (\frac{v}{x}) = \int x^{2} ln xdx$

Aplica integración por partes y obtiene:

$\int d (\frac{v}{x}) = - \frac{ln x}{x} + \int x_{2} dx$

$\Rightarrow \frac{v}{x} = - \frac{ln x}{x} - \frac{1}{x} + C, C \in ℝ .$

Finalmente considerando los cambios de variable para devolverse a las variables originales $x e y$ , se obtiene por solución general de (1).

\frac{ln y}{x} = Cx - ln x - 1

Ejemplo94

Usando la sustitución $u = ln (y)$ , determine la solución de la siguiente ecuación diferencial:

x \frac{dy}{dx} - 4 x^{2} y + 2 y ln (y) = 0

(5.1)

Solución:

Haciendo $u = ln (y) \Rightarrow u^{'} = \frac{y^{'}}{y}$ la ecuación diferencial se transforma en la ecuación diferencial lineal:

\begin{array}{rcl} x e^{u} \frac{du}{dx} - 4 x^{2} e^{u} + 2 u e^{u} = 0 \\ \Rightarrow & x \frac{du}{dx} - 4 x^{2} + 2 u = 0 \\ \Rightarrow & \frac{du}{dx} + \frac{2 u}{x} = 4 x : ED Lineal en u (x) . \end{array}

Resolviendo la ecuación anterior y usando $u (x) = ln y$ se obtiene por solución general de 5.1

\begin{array}{rcl} u x^{2} = x^{4} + c \\ \Rightarrow & ln (y) = x^{2} + \frac{c}{x^{2}} \end{array}

Ejemplo95

Resuelva la siguiente ecuación diferencial

\frac{dy}{dx} = 3 \sqrt[3]{y - 3 x} .

(5.2)

Solución:

La raíz cúbica en la ecuación diferencial sugiere cambiar la variable dependiente $y$ a otra por ejemplo $z$ , de modo tal que la raíz pueda evitarse.

En este caso, si $y - 3 x = z^{3}$ entonces al derivar con respecto $x$ se tiene

\frac{dy}{dx} = 3 + 3 z^{2} \frac{dz}{dx},

de donde sustituyendo en la ecuación 5.2 se tiene

3 + 3 z^{2} \frac{dz}{dx} = 3 z,

es decir,

z^{2} \frac{dz}{dx} = z - 1,

al separar variables

\frac{z^{2}}{z - 1} dz = dx,

posteriormente integrando a ambos lados

\frac{z^{2}}{2} + z + ln ∣ z - 1 ∣ = x + K .

Finalmente como $z = \sqrt[3]{y - 3 x}$ , se concluye que

\sqrt[3]{{(y - 3 x)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{y - 3 x} + 2 ln ∣ \sqrt[3]{y - 3 x} - 1 ∣ = 2 x + C . (C = 2 K)

Ejemplo96

Resolver la siguiente ecuación diferencial

(2 \sqrt{xy} - y) dx - xdy = 0 .

(5.3)

Solución:

La raíz nos sugiere hacer el cambio de variable $u^{2} = xy,$ así, $u$ y $y$ son funciones que dependen de $x .$

luego derivando con respecto a $x$ se tiene que $2 u \frac{du}{dx} = y + x \frac{dy}{dx},$
despejando $\frac{dy}{dx}$

se obtiene

\frac{dy}{dx} = \frac{2 u \frac{du}{dx} - y}{x}, (x \neq 0)

Ahora sustituyendo en la ecuación 5.3, pero expresada en su forma normal se tiene

\frac{2 u \frac{du}{dx} - y}{x} = \frac{2 \sqrt{u^{2}} - y}{x},

es decir, $2 u \frac{du}{dx} = 2 u,$ de donde separando variable e integrando a ambos miembros de la ecuación

u = x + c,

finalmente devolviendo el cambio de variable $u^{2} = xy$ se obtiene por solución general en su forma implícita

\pm \sqrt{xy} = x + c .

Ejemplo97

Considere la siguiente ecuación diferencial de primer orden:

$y (2 x^{2} \sqrt{y} + 2) dx + x (x^{2} \sqrt{y} + 2) dy = 0$ (1)

(a) Verificar que la solución general de la ecuación (1), al utilizar cambio de variable $u = x^{2} \sqrt{y}$ , viene dada por $(x^{2} \sqrt{y} + 3) xy = c$ , donde $c$ es una constante arbitraria.

Solución

Al expresar ED (1) en su forma normal se tiene $\Rightarrow \frac{dy}{dx} = y^{'} = \frac{- y (2 x^{2} \sqrt{y} + 2)}{x (x^{2} \sqrt{y} + 2)}$ (2).

Al tomar la sustitución sugerida: $u = x^{2} \sqrt{y}$ $\Rightarrow$ $u^{'} = 2 x \sqrt{y} + \frac{x^{2} \cdot y^{'}}{2 \sqrt{y}}$ $\Rightarrow$ $\frac{2 \sqrt{y} (u^{'} - 2 x \sqrt{y})}{x^{2}} = y^{'}$ . Luego sustituyendo en (2) se tiene

$\Rightarrow \frac{2 \sqrt{y} u^{'} - 4 xy}{x^{2}} = - \frac{2 y (u + 1)}{x (u + 2)}$

$\Rightarrow 2 \sqrt{y} u^{'} - 4 xy = - 2 xy \frac{u + 1}{u + 2}$

$\Rightarrow 2 \sqrt{y} u^{'} = 2 xy (2 - \frac{u + 1}{u + 2})$

$\Rightarrow 2 \sqrt{y} u^{'} = 2 xy (\frac{2 u + 4 - u - 1}{u + 2})$

$\Rightarrow 2 \sqrt{y} u^{'} = 2 xy (\frac{u + 3}{u + 2})$

$\Rightarrow 2 \sqrt{y} (\frac{u + 2}{u + 3}) u^{'} = 2 xy$ Note que se tiene ED con 3 variables y como : $\sqrt{y} = \frac{u}{x^{2}}$

$\Rightarrow$ $(\frac{u + 2}{u + 3}) u^{'} = \frac{u}{x}$ , ED ahora 2 variables $u (x)$ .

$\Rightarrow \frac{u + 2}{u (u + 3)} u^{'} = \frac{1}{x}$ ED variables separables

$\Rightarrow \int (\frac{2}{3 u} + \frac{1}{3 (u + 3)}) du = \int \frac{1}{x} dx$

$\Rightarrow \frac{2}{3} \ln (u) + \frac{1}{3} \ln (u + 3) = \ln (x) + \ln (c)$

$\Rightarrow u^{\frac{2}{3}} {(u + 3)}^{\frac{1}{3}} = cx$

$\Rightarrow 3 \sqrt{u^{3} + 3 u^{2}} = cx$

$\Rightarrow$ $u^{3} + 3 u^{2} = k x^{3}$ $k = c^{3}$

$\Rightarrow x^{6} y^{\frac{3}{2}} + 3 x^{4} y = k x^{3}$

$\Rightarrow x^{3} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 xy = k$

Por lo tanto la solución general de (1) viene dada por

xy (x^{2} \sqrt{y} + 3) = k

con $k$ constante arbitraria.

(b) Hallar la solución particular de (1) que cumple que $y (1) = 1$ .

Solución

Con $y (1) = 1$ se tiene que $1 \cdot 1 (1^{2} \sqrt{1} + 3) = k$ $\Rightarrow$ $4 = k$ . Entonces de esta forma se tiene que la solución particular es:

xy (x^{2} \sqrt{y} + 3) = 4

Ejemplo98

Considere la ecuación diferencial E: $y + x y^{'} = \frac{x}{x^{2} + e^{2 xy}}$ y determine la solución general utilizando el cambio de variable $z = e^{xy}$ .

Solución

Tomando el cambio $z = e^{xy}$

$\Rightarrow y = \frac{ln z}{x}$

$\Rightarrow y^{'} = \frac{\frac{z^{'}}{z} x - ln z}{x^{2}}$

Sustituyendo en E se obtiene: $\frac{ln z}{x} + x \frac{\frac{z^{'}}{z} x - ln z}{x^{2}} = \frac{x}{x^{2} + z^{2}}$

$\Rightarrow \frac{ln z}{x} + \frac{\frac{z^{'}}{z} x - ln z}{x} = \frac{x}{x^{2} + z^{2}}$

$\Rightarrow \frac{z^{'}}{z} = \frac{x}{x^{2} + z^{2}}$ (1) ED homogénea en $z (x)$ .

Para resolver la ecuación diferencial (1) se toma $v = \frac{z}{x} \Rightarrow z = xv \Rightarrow z^{'} = v + x v^{'}$ , sustituyendo ahora en (1) se obtiene

v + x v^{'} = \frac{x^{2} v}{x^{2} + x^{2} v^{2}}

$\Rightarrow x v^{'} = \frac{v}{1 + v^{2}} - v$
$\Rightarrow x v^{'} = \frac{- v^{3}}{1 + v^{2}}$

$\Rightarrow \frac{1 + v^{2}}{v^{3}} dv = - \frac{dx}{x}$

$\Rightarrow (v^{- 3} + \frac{1}{v}) dv = - \frac{dx}{x}$
$\Rightarrow - \frac{1}{2} v^{- 2} + ln | v | = - ln | x | + C$

Escribiendo la solución general E en términos de $x, y$ se tiene

$\Rightarrow - \frac{1}{2} {(\frac{z}{x})}^{- 2} + ln | \frac{z}{x} | = - ln | x | + C$
$\Rightarrow - \frac{1}{2} {(\frac{e^{xy}}{x})}^{- 2} + ln | \frac{e^{xy}}{x} | = - ln | x | + C$ ,es decir,

- \frac{x^{2}}{2 e^{2 xy}} + xy = C

Ejercicios 5.2 — Ejercicios de retroalimentación

Ejercicio 2.1

Considere el cambio de variable

u^{2} = xy

para resolver

(2 \sqrt{xy} - y) dx - xdy = 0

Con

u^{2} = xy

la ecuación se reduce a

u^{'} = 1

, de donde

\sqrt{xy} = x + C

, es decir

xy = {(x + C)}^{2}

Ejercicio 2.2

Considere la ecuación diferencial

2 x y^{3} dx + (x^{2} y^{2} - 1) dy = 0

a): Muestre que la sustitución $y = z^{a}$ transforma la ecuación dada en $2 x z^{3 a} dx + a (x^{2} z^{3 a - 1} - z^{a - 1}) dy = 0$
b): Determine el valor de $a$ tal que la ecuación sea homogénea, luego resuelva la ecuación diferencial.

a = - 1

y la solución general es

\frac{y}{x^{2} y^{2} + 1} = C

, equivalentemente

x^{2} y^{2} + 1 = Ky

Ejercicio 2.3

Considere la ecuación diferencial

x \frac{du}{dx} + \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} u = \frac{4 \sqrt{x} arctan x}{\sqrt{1 + x^{2}}} u^{\frac{1}{2}}

a): Muestre que la sustitución $y = xu$ transforma la ecuación en diferencial en una Bernoulli.
b): Resuelva la ecuación de Bernoulli encontrada en la parte anterior.

a)
b)

Ejercicio 2.4

Considere la siguiente ecuación diferencial de primer orden:

$y (2 x^{2} \sqrt{y} + 2) dx + x (x^{2} \sqrt{y} + 2) dy = 0$ (1)

Verificar que la ecuación general de la ecuación (1), al utilizar cambio de variable $u = x^{2} \sqrt{y}$ , es dada por $(x^{2} \sqrt{y} + 3) xy = c$ , donde $c$ es una constante arbitraria

Ejercicio 2.5

Considere para

x > 0

la siguiente ecuación diferencial:

\frac{1}{x^{2}} + y^{2} y^{'} = {(\frac{1}{x} + y^{3} - 1)}^{2}

Verificar que el cambio de variable $u = y^{3} - 1$ convierte a la ecuación dada en una ecuación Bernoulli. Luego resuelva dicha ecuación

Con

u = y^{3} - 1

se obtiene la ecuación de Bernoulli

u^{'} - \frac{6}{x} u = 3 u^{2}

, cuya solución conduce a

y^{3} = 1 + \frac{7 x^{6}}{C - 3 x^{7}}

← Anterior ⌂ Inicio