Problema de valores frontera

3. Problema de valores frontera

Otro tipo de problema es resolver una ecuación diferencial lineal en donde la variable dependiente $y$ (función desconocida) se le imponen ciertos valores a la variable independiente.

Definición 11 — Problema de Valores Frontera (PVF).

Un Problema de valores en la frontera (PVF) consiste de una ED de orden $n$ en $I$

F (x, y, y^{'}, y^{″} \dots y^{(n)}) = 0 con n condiciones y (x_{0}) = y_{0}, y (x_{1}) = y_{1}, \dots, y (x_{n - 1}) = y_{n - 1}

Así por ejemplo para una ecuación diferencial de orden dos

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = f (x, y, y^{'}) sujeta a y (a) = y_{0}, y (b) = y_{1}

(1.8)

se llama un problema de valores en la frontera (PVF). Los valores necesarios, $y (a) = y_{0}; y (b) = y_{1}$ , se denominan condiciones en la frontera.

Ejemplo29

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON: Si $T (t)$ es la temperatura de un objeto en un instante de tiempo $t$ , $T$ a es la temperatura del ambiente constante y $β$ la constante de proporcionalidad entonces la ecuación diferencial asociada a los problemas de enfriamiento (calentamiento) es:

\frac{dT (t)}{dt} = β (T (t) - T_{a})

Al resolver dicha ecuación se necesita conocer la temperatura del objeto en dos instantes diferentes, ya que hay dos constantes por determinar: la constante de proporcionalidad $β$ y la constante de integración. De esta manera un PVF que lo permite resolver es

\frac{dT}{dt} = β (T (t) - T_{a}) sujeta a T (0) = T_{0}, T (t_{1}) = T_{1}

(1.9)

La solución del problema de valor de frontera permite obtener la Ley de Variación de la temperatura en función del tiempo ( esto es, una ecuación para $T (t)$ ).

Ejercicios 1.2 — Ejercicios sobre problemas de valores iniciales y frontera

Ejercicio 3.1

Verificar que

y = 3 e^{2 x} + e^{- 2 x} - 3 x

es solución del problema de valor inicial:

$y^{′′} - 4 y = 12 x,$ con $y (0) = 4, y^{'} (0) = 1$

Ejercicio 3.2

Comprobar que la función

φ (x) = \frac{1}{4} sen 4 x

es solución del problema de valor inicial:

$y^{′′} + 16 y = 0$ con $y (0) = 0, y^{'} (0) = 1$

Ejercicio 3.3

Sabiendo que

y = A cos (2 x) + B sen (2 x)

es la solución general de la ecuación

y^{″} + 4 y = 0

, halle, para cada caso, la solución al problema de valor frontera:

1.: $y (\frac{π}{4}) = 1$ ; $y (\frac{π}{2}) = 2$ .
2.: $y (0) = 1$ ; $y^{'} (\frac{π}{8}) = \sqrt{2}$

1.
2.

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