Formas en ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

1. Formas en ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

En esta sección se consideran formas equivalentes de ecuaciones de primer orden

y^{'} = f (x, y) .

(2.1)

Una de estas es la ecuación diferencial de la forma

M (x, y) + N (x, y) \frac{dy}{dx} = 0 .

(2.2)

Las formas 2.1 y la dada por 2.2 son equivalentes tomando $N (x, y) = 1$ y $M (x, y) = - f (x, y)$ , pues $M (x, y) + N (x, y) \frac{dy}{dx} = 0$ puede escribirse como

\frac{dy}{dx} = \frac{- M (x, y)}{N (x, y)} = f (x, y),

con $N (x, y) \neq 0$ .

Por otra parte se tiene que $M (x, y) + N (x, y) \frac{dy}{dx} = 0$ puede escribirse de forma equivalente como

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0,

(2.3)

pues multiplicando $M (x, y) + N (x, y) \frac{dy}{dx} = 0$ por $dx$ , se obtiene

(M (x, y) + N (x, y) \frac{dy}{dx}) dx = 0 \Leftrightarrow M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 .

Esta última forma 2.3, se utiliza ampliamente y tiene ventaja de ser simétrica en $x$ e $y$ en el sentido de que cualquiera de ellas puede ser tratada como variable independiente, según las circunstancias.

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