Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

2. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

Definición 19.

Se llama ecuación de Bernoulli a una ecuación diferencial de primer orden que se puede expresar de la forma:

y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n},

(4.8)

donde $P (x)$ y $Q (x)$ son funciones continuas en un intervalo $] a, b [$ y $n \in ℝ$ .

Método de resolución

1.: Si $n = 0$ o $n = 1$ , la ecuación 4.8 es una ecuación lineal.
2.: Si n $\neq$ 0 y n $\neq$ 1, entonces se hace el cambio de variable $v = y^{1 - n}$ ,

transformándose de esta forma la ecuación 4.8 en una lineal para las variables $(x, v)$ . Para ello, se divide primero la ecuación 4.8 por $y^{n}$ , luego,

y^{'} \cdot y^{- n} + P (x) y^{1 - n} = Q (x) .

(4.9)

De este modo, tome $v = y^{1 - n}$ y $\frac{dv}{dx} = (1 - n) y^{- n} \frac{dy}{dx}$ , luego sustituyendo en 4.9 se tiene

\frac{1}{1 - n} \cdot \frac{dv}{dx} + P (x) v = Q (x) \Rightarrow v^{'} + (1 - n) P (x) v = (1 - n) Q (x),

que es una ecuación diferencial lineal de variable independiente $x$ y variable dependiente $v$ .

Observación 4.1. Se debe tener en cuenta que al dividir por $y^{n}$ se pierde la solución $y = 0$ , luego habrá que ver si esta solución está contenida en la solución general y si no lo está especificar que también lo es. Una vez resuelta la ecuación para $v (x)$ se deshace el cambio.

Ejemplo81

Hallar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) $x y^{'} + y = y^{2} ln x,$ $(x > 0) .$

(b) $y^{'} + y = e^{x} y^{- 2}$ .

Al considerar las ecuaciones diferenciales dadas, se tiene en cada una de ellas lo siguiente:

(a) Expresando la ecuación en forma normal, se tiene $y^{'} + \frac{1}{x} y = \frac{ln x}{x} y^{2}$

que es una ecuación de Bernoulli, ya que es de la forma 4.8, con $n = 2$ . Al multiplicar esta ecuación por $y^{- 2}$ se tiene

y^{- 2} y^{'} + \frac{1}{x} y^{- 2} y = \frac{ln x}{x}

(4.10)

luego al hacer el cambio de variable $v = y^{1 - 2} = y^{- 1}$ , se tiene que $\frac{dv}{dx} = - y^{- 2} \frac{dy}{dx},$ donde realizando las sustituciones correspondiente en 4.10

- \frac{dv}{dx} + \frac{1}{x} v = \frac{ln x}{x},

es decir,

\frac{dv}{dx} - \frac{1}{x} v = - \frac{ln x}{x},

que es una ecuación lineal para $v$ con $P (x) = - \frac{1}{x}$ y $Q (x) = \frac{ln x}{x},$ entonces, la solución viene dada por

v = μ^{- 1} (x) (\int μ (x) Q (x) dx + C),

con $μ (x) = e^{\int - \frac{1}{x} dx} = e^{- ln | x |} = x^{- 1}$ .

Así por lo tanto,

v (x) = x \int - \frac{ln x}{x^{2}} dx = x (\frac{ln x}{x} + \frac{1}{x} + C) = ln x + 1 + Cx .

Como $v = y^{- 1}$ , deshaciendo el cambio de variable se obtiene la solución

y = \frac{1}{ln x + 1 + Cx},

además de la solución $y = 0 .$

Puesto que $P (x)$ y $Q (x)$ son continuas en el intervalo $] 0, + \infty [$ , la solución obtenida es válida en dicho intervalo.

(b) La ecuación diferencial $y^{'} + y = e^{x} y^{- 2}$ es una ecuación de Bernoulli con $n = - 2$ . Por tanto, se multiplica la ecuación por $y^{2}$ .

y^{2} y^{'} + y^{3} = e^{x},

(4.11)

y al hacer el cambio $v = y^{3} \Rightarrow \frac{dv}{dx} = 3 y^{2} \frac{dy}{dx} .$

Luego al realizar las sustituciones correspondientes en 4.11 se obtiene

\frac{1}{3} \frac{dv}{dx} + v = e^{x},

es decir,

\frac{dv}{dx} + 3 v = 3 e^{x},

ecuación lineal cuya solución es

v (x) = e^{- 3 x} \int 3 e^{4 x} dx = 3 e^{- 3 x} (\frac{e^{4 x}}{4} + C) = \frac{3}{4} e^{x} + C e^{- 3 x} .

Deshaciendo el cambio inicial $v = y^{3},$ se obtiene la solución general

y^{3} = \frac{3}{4} e^{x} + C e^{- 3 x} .

En este caso, $y = 0$ no era solución de la ecuación dada. Como $P (x)$ y $Q (x)$ son continuas en todo el intervalo real, la solución obtenida es válida $\forall x \in ℝ$ .

Puede verificar paso a paso los resultados obtenidos de los ejemplos anteriores, adémas visualizar resumen de teoría mediante página interactiva Ecuación diferencial de Bernoulli.

Ejemplo82

Resolver la ecuación de Bernoulli en la variable dependiente $x$ dada por $2 y^{3} x^{'} - y^{2} x = - 3 x^{- 1}$ con $y > 0$ .

En este caso, la ecuación es equivalente a

2 y^{3} x x^{'} - y^{2} x^{2} = - 3 .

(4.12)

Sea $z = x^{2}$ , de esta forma $z^{'} = 2 x x^{'}$ , luego sustituyendo en 4.12 se tiene $y^{3} z^{'} - y^{2} z = - 3$ , es decir,

z^{'} - \frac{z}{y} = - 3 y^{- 3} .

(4.13)

Multiplicando 4.13 por el factor integrante $μ (y) = e^{- \int \frac{dy}{y}} = e^{- ln y} = \frac{1}{y}$ se obtiene

$y^{- 1} z^{'} - y^{- 2} z = - 3 y^{- 4} \Rightarrow \frac{d}{dy} [z y^{- 1}] = - 3 y^{- 4} \Rightarrow z y^{- 1} = - \int 3 y^{- 4} dy + C$ ,

,es decir,

z y^{- 1} = y^{- 3} + C \Rightarrow z = y^{- 2} + C .

Como $z = x^{2}$ se tiene que la solución general viene dada por la solución implícita $x^{2} = y^{2} + Cy$ .

Ejemplo83

Resuelva la ecuación diferencial $(x sen (y) + x^{2} sen (2 y)) \cdot y^{'} = 1$ y determine su solución general.

Note que dicha ED puede ser escrita de la siguiente forma

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x sen (y) + x^{2} sen (2 y)}

(4.14)

la cual 4.14 no es una ED lineal en $y (x)$ , sin embargo, al reescribirla como una ED en $x (y)$ si lo es como se muestra a continuación

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x sen (y) + x^{2} sen (2 y)} \Rightarrow \frac{dx}{dy} = x sen (y) + x^{2} sen (2 y)$

de donde se tiene que

x^{'} (y) - x (y) sen (y) = {sen}^{2} (2 y) \cdot x^{2}

(4.15)

esta última ecuación diferencial 4.15 una de Bernouilli en $x (y)$ con $n = 2$ . Ahora si en 4.15 la dividimos entre $x^{2}$ se tiene

x^{- 2} \cdot x^{'} - sen (y) \cdot x^{- 1} = sen (2 y)

(4.16)

Si en 4.16 se toma el cambio de variable $v = x^{- 1} \Rightarrow v^{'} = - x^{'} \cdot x^{- 2}$ y se sustituyen en ella

- v^{'} - sen (y) \cdot v = sen (2 y) \Rightarrow v^{'} + sen (y) \cdot v = - sen (2 y)

(4.17)

Esta última ecuación diferencial 4.17 una lineal en $v (y)$ , la cual al resolverla se tiene por solución

v (y) = - 2 (cos y + 1) + C \cdot e^{cos y}

Finalmente retomando las variables originales mediante el cambio de variable inicial $v = x^{- 1}$ se tiene por solución general

x^{- 1} = - 2 (cos y + 1) + C \cdot e^{cos y}

Puede ingresar al link https://youtu.be/7pUVLplpJGA o en su defecto escanear el código QR adjunto para visualizar explicación de tal ejercicio.

Ejercicios 4.2 — Ejercicios de retroalimentación

Ejercicio 2.1

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales, luego verifique sus procedimientos y resultados obtenidos paso a paso mediante página interactiva Ecuación diferencial de Bernoulli.

a): $y^{'} + 2 xy = \frac{1 + 2 x^{2}}{x^{2}} y^{2}$
b): $y^{'} - \frac{2}{x} y = \frac{3}{x^{2}} y^{4}$
c): $x^{2} y^{'} + 2 x^{3} y = y^{2} (1 + 2 x^{2})$
d): $(1 + x^{2}) y^{'} - xy = x y^{2}$
e): $3 x y^{'} - 2 y = x^{3} y^{- 1}$
f): $x y^{'} + 2 y + x^{10} y^{5} = 0$ con $y (- 1) = 2$
g): $2 y^{3} x^{'} - y^{2} x = - 3 x^{- 1}, (y > 0)$ (Ecuación Bernoulli en $x (y)$ ).

a): SG: $\frac{1}{y} = C \cdot e^{x^{2}} + 1$
b): SG: $\frac{1}{y^{3}} = - \frac{9}{5 x} + C \cdot x^{- 6}$
c): SG: $y^{- 1} = C \cdot e^{x^{2}} + \frac{1}{x}$
d): SG: $y^{- 1} = \frac{C}{\sqrt{x^{2} + 1}} - 1$
e): SG: $y^{2} = \frac{2}{5} x^{3} + C \cdot x^{\frac{4}{3}}$
f): SP: $\frac{1}{y^{4}} = x^{8} (2 x^{2} - \frac{31}{16})$
g)

Ejercicio 2.2

Determine la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1.: $x y^{'} + \frac{y}{ln (x)} = \frac{x (x + ln (x))}{y {ln}^{2} (x)}$
2.: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x + y^{3} x^{2}}$
3.: $3 (1 + x^{2}) \frac{dy}{dx} = 2 xy (y^{3} - 1)$
4.: $x y^{'} = x y^{2} + y + xy$

1.: SG: $y^{2} {ln}^{2} (x) = x^{2} + 2 x ln (x) - 2 x + C$
2.: SG: $x = \frac{4 y}{C - y^{4}}$
3.: SG: $y = \frac{1}{\sqrt[3]{1 + C \cdot (1 + x)}}$
4.: SG: $\frac{x}{y} = - x + 1 + C \cdot e^{- x}$

Ejercicio 2.3

Encuentre la solución del siguiente problema de valores iniciales:

{\begin{matrix} (y^{2} + 2 y + x^{2}) y^{'} + 2 x & = & 0 \end{matrix}

Se debe considerar

x = x (y)

para que quede una ecuación de Bernoulli cuya solución general es

x^{2} = - y^{2} + C e^{- y}

y la solución particular que satisface

y (1) = 0

x^{2} = - y^{2} + e^{- y}

Ejercicio 2.4

Una forma generalizada de la ecuación de Bernoulli es la ecuación

f^{'} (y) \frac{dy}{dx} + p (x) f (y) = q (x)

a): Haga un cambio de variable que convierta la ecuación anterior en una ecuación lineal.
b): Usando lo anterior, resuelva la ecuación diferencial $y^{'} + 1 = 4 e^{- y} sen x$ .

1.: El cambio de variable es $z = f (y)$ y la ecuación lineal es $z^{'} + p (x) z = q (x)$ .
2.: En el caso de $y^{'} + 1 = 4 e^{- y} sen x$ la ecuación después del cambio es $z^{'} + z = 4 sen x$ . La solución general es $e^{y} = 2 cos x + 2 sen x + c e^{- x}$ .

Ejercicio 2.5

Considérese la ecuación diferencial

y^{'} = 2 (tan x) (sec x) - (sen x) y^{2}

1.: Pruebe que $y_{1} =$ $sec$ $x$ es solución de esta ecuación diferencial
2.: Mediante la sustitución $y = v + sec x$ transforme esta ecuación diferencial en una ecuación de Bernoulli y resuélvala
3.: Determine la solución general de la ecuación dada inicialmente

1.: Demostrativa.
2.: La ecuación después del cambio es $v^{'} + 2 v tan x + v^{2} sen x = 0$ . La solución general es $v^{- 1} = - \frac{cos x}{3} + c {cos}^{- 2} x$
3.: La solución de la ecuación original es ${(y - sec x)}^{- 1} = - \frac{cos x}{3} + c {cos}^{- 2} x$

Ejercicio 2.6

Considere la ecuación diferencial

x \frac{du}{dx} + \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}} u = \frac{4 \sqrt{x} arctan x}{\sqrt{1 + x^{2}}} u^{\frac{1}{2}}

1.: Muestre que la sustitución $y = xu$ transforma la ecuación on diferencial en una Bernoulli
2.: Resuelva la ecuación de Bernoulli encontrada en la parte anterior
3.: Encuentra la solución de la ecuación original

1.: La ecuación después del cambio es $y^{'} - \frac{2 x}{1 + x^{2}} y - \frac{4 arctan x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \sqrt{y} = 0$ .
2.: La solución general de la ecuación anterior es $\sqrt{y} = ({arctan}^{2} x) \sqrt{1 + x^{2}} + c \sqrt{1 + x^{2}}$
3.: La solución de la ecuación original es $\sqrt{xu} = ({arctan}^{2} x) \sqrt{1 + x^{2}} + c \sqrt{1 + x^{2}}$

Ejercicio 2.7

Compruebe que la ecuación diferencial

(xy + x^{2} y^{3}) y^{'} = 1

es de Bernoulli, cuando se considera

x = x (y)

. También, determine la solución general de esta ecuación

Al hacer el cambio

x = x (y)

, se obtiene la ecuación

x^{'} = xy + x^{2} y^{3}

, cuya solución general viene dada por

x^{- 1} = - (y^{2} - 2) + C \cdot e^{(- \frac{y^{2}}{2})}

Ejercicio 2.8

Determine la solución de la siguiente ecuación diferencial al considerar

x = x (y)

(x^{2} ln y - x) y^{'} = y

Tomamos

ln y

en lugar de

ln x

en la ecuación. Haciendo el cambio

x = x (y)

se obtiene la ecuación

y x^{'} = x^{2} ln y - x

. La solución general es

x^{- 1} = - ln y - 1 + Cy

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