Considere la ED (1): $\frac{y^{\prime }}{y}-\frac{2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y}{x}=\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$ en el intervalo $]0,+\infty [$. Aplique el cambio de variable $z=\frac{x}{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y}$ para transformar la ED en una de Bernoulli, luego resuelvala para obtener la solución general de (1).

Solución

Dado que $z=\frac{x}{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y}$ entonces se despeja $y=e^{\frac{x}{z}}$ y se deriva para obtener $y^{\prime }=e^{\frac{x}{z}}\frac{z-x{z}^{\prime }}{z^2}$, sustituyendo en la ED (1) se tiene: $\frac{e^{\frac{x}{z}}\cdot \frac{z-x{z}^{\prime }}{z^2}}{e^{\frac{x}{z}}}-\frac{2}{z}=\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

$\Rightarrow x{z}^{\prime }+z=-z^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$ (2) Ecuación diferencial de Bernoulli en $z(x)$.

Para resolver dicha ecuación de Bernoulli tome $v=\frac{1}{z}\Rightarrow z=\frac{1}{v}\Rightarrow z^{\prime }=\frac{-v^{\prime }}{v^2}$, luego sustituyendo en la ED (2) se obtiene $x(\frac{-v^{\prime }}{v^2})+\frac{1}{v}=-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\frac{1}{v^2}$ $\Rightarrow -x{v}^{\prime }+v=-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$
$\Rightarrow v^{\prime }-\frac{v}{x}=\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x}$ (3) Ecuación diferencial de Lineal en $v(x)$.

Multiplicando ahora por el factor integrante $e^{\int -\frac{1}{x}\mathit{dx}}=e^{-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}=\frac{1}{x}$ para recibir (3) en

$\frac{v^{\prime }}{x}-{\displaystyle \frac{v}{x^2}}=\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x^2}$

$\Rightarrow \int d(\frac{v}{x})=\int \; <!--\; nolimits\; -->x^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\mathit{xdx}$

Aplica integración por partes y obtiene:

$\int d(\frac{v}{x})=-\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x}+\int \; <!--\; nolimits\; -->x_2\mathit{dx}$

$\Rightarrow \frac{v}{x}=-\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x}-\frac{1}{x}+C,C\in ℝ.$

Finalmente considerando los cambios de variable para devolverse a las variables originales $xey$, se obtiene por solución general de (1).

$$\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y}{x}=\mathit{Cx}-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x-1$$

Usando la sustitución $u=\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y)$, determine la solución de la siguiente ecuación diferencial:

$$x\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}-4x^{2}y+2y\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y)=0$$

(5.1)

Solución:

Haciendo $u=\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y)\Rightarrow u^{\prime }=\frac{y^{\prime }}{y}$ la ecuación diferencial se transforma en la ecuación diferencial lineal:

$$\begin{array}{rcll}& & x{e}^u\frac{\mathit{du}}{\mathit{dx}}-4x^2{e}^u+2u{e}^u=0& \\ & \Rightarrow & x\frac{\mathit{du}}{\mathit{dx}}-4x^2+2u=0& \\ & \Rightarrow & \frac{\mathit{du}}{\mathit{dx}}+\frac{2u}{x}=4x:EDLinealenu(x).& \\ & & & \end{array}$$

Resolviendo la ecuación anterior y usando $u(x)=\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y$ se obtiene por solución general de 5.1

$$\begin{array}{rcll}& & u{x}^2=x^4+c& \\ & \Rightarrow & \text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(y)=x^2+\frac{c}{x^2}& \end{array}$$

Resuelva la siguiente ecuación diferencial

$$\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=3\sqrt[3]{y-3x}.$$

(5.2)

Solución:

La raíz cúbica en la ecuación diferencial sugiere cambiar la variable dependiente $y$ a otra por ejemplo $z$, de modo tal que la raíz pueda evitarse.

En este caso, si $y-3x=z^3$ entonces al derivar con respecto $x$ se tiene

$$\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=3+3z^2\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dx}},$$

de donde sustituyendo en la ecuación 5.2 se tiene

$$3+3z^2\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dx}}=3z,$$

es decir,

$$z^2\frac{\mathit{dz}}{\mathit{dx}}=z-1,$$

al separar variables

$$\frac{z^2}{z-1}\mathit{dz}=\mathit{dx},$$

posteriormente integrando a ambos lados

$$\frac{z^2}{2}+z+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\mid z-1\mid =x+K.$$

Finalmente como $z=\sqrt[3]{y-3x}$, se concluye que

$$\sqrt[3]{{(y-3x)}^2}+2\sqrt[3]{y-3x}+2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\mid \sqrt[3]{y-3x}-1\mid =2x+C.(C=2K)$$

Resolver la siguiente ecuación diferencial

$$\left(2\sqrt{\mathit{xy}}-y\right)\mathit{dx}-\mathit{xdy}=0.$$

(5.3)

Solución:

La raíz nos sugiere hacer el cambio de variable $u^2=\mathit{xy},$ así, $u$ y $y$ son funciones que dependen de $x.$

luego derivando con respecto a $x$ se tiene que $2u\frac{\mathit{du}}{\mathit{dx}}=y+x\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}},$
despejando $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}$

se obtiene $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=\frac{2u\frac{\mathit{du}}{\mathit{dx}}-y}{x},(x\ne 0)$.

Ahora sustituyendo en la ecuación 5.3, pero expresada en su forma normal se tiene

$$\frac{2u\frac{\mathit{du}}{\mathit{dx}}-y}{x}=\frac{2\sqrt{u^2}-y}{x},$$

es decir, $2u\frac{\mathit{du}}{\mathit{dx}}=2u,$ de donde separando variable e integrando a ambos miembros de la ecuación

$$u=x+c,$$

finalmente devolviendo el cambio de variable $u^2=\mathit{xy}$ se obtiene por solución general en su forma implícita

$$\pm \sqrt{\mathit{xy}}=x+c.$$

Considere la siguiente ecuación diferencial de primer orden:

(a) Verificar que la solución general de la ecuación (1), al utilizar cambio de variable $u=x^2\sqrt{y}$, viene dada por $(x^2\sqrt{y}+3)\mathit{xy}=c$, donde $c$ es una constante arbitraria.

Solución

Al expresar ED (1) en su forma normal se tiene $\Rightarrow \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=y^{\prime }=\frac{-y(2x^2\sqrt{y}+2)}{x(x^2\sqrt{y}+2)}$ (2).

Al tomar la sustitución sugerida: $u=x^2\sqrt{y}$ $\Rightarrow$ $u^{\prime }=2x\sqrt{y}+\frac{x^2\cdot y^{\prime }}{2\sqrt{y}}$ $\Rightarrow$ $\frac{2\sqrt{y}(u^{\prime }-2x\sqrt{y})}{x^2}=y^{\prime }$. Luego sustituyendo en (2) se tiene

$\Rightarrow \frac{2\sqrt{y}{u}^{\prime }-4\mathit{xy}}{x^2}=-\frac{2y(u+1)}{x(u+2)}$

$\Rightarrow 2\sqrt{y}{u}^{\prime }-4\mathit{xy}=-2\mathit{xy}\frac{u+1}{u+2}$

$\Rightarrow 2\sqrt{y}{u}^{\prime }=2\mathit{xy}\left(2-\frac{u+1}{u+2}\right)$

$\Rightarrow 2\sqrt{y}{u}^{\prime }=2\mathit{xy}\left(\frac{2u+4-u-1}{u+2}\right)$

$\Rightarrow 2\sqrt{y}{u}^{\prime }=2\mathit{xy}\left(\frac{u+3}{u+2}\right)$

$\Rightarrow 2\sqrt{y}\left(\frac{u+2}{u+3}\right)u^{\prime }=2\mathit{xy}$ Note que se tiene ED con 3 variables y como : $\sqrt{y}=\frac{u}{x^2}$

$\Rightarrow$ $\left(\frac{u+2}{u+3}\right)u^{\prime }=\frac{u}{x}$, ED ahora 2 variables $u(x)$.

$\Rightarrow \frac{u+2}{u(u+3)}{u}^{\prime }=\frac{1}{x}$ ED variables separables

$\Rightarrow \int \left(\frac{2}{3u}+\frac{1}{3(u+3)}\right)\mathit{du}=\int \; <!--\; nolimits\; -->\frac{1}{x}\mathit{dx}$

$\Rightarrow \frac{2}{3}\mathit{ln}(u)+\frac{1}{3}\mathit{ln}(u+3)=\mathit{ln}(x)+\mathit{ln}(c)$

$\Rightarrow u^{\frac{2}{3}}{(u+3)}^{\frac{1}{3}}=\mathit{cx}$

$\Rightarrow 3\sqrt{u^3+3u^2}=\mathit{cx}$

$\Rightarrow$ $u^3+3u^2=k{x}^3$ $k=c^3$

$\Rightarrow x^6{y}^{\frac{3}{2}}+3x^{4}y=k{x}^3$

$\Rightarrow x^{3}y\cdot y^{\frac{1}{2}}+3\mathit{xy}=k$

Por lo tanto la solución general de (1) viene dada por

$$\mathit{xy}(x^2\sqrt{y}+3)=k$$

con $k$ constante arbitraria.

(b) Hallar la solución particular de (1) que cumple que $y(1)=1$.

Solución

Con $y(1)=1$ se tiene que $1\cdot 1(1^2\sqrt{1}+3)=k$ $\Rightarrow$ $4=k$. Entonces de esta forma se tiene que la solución particular es:

$$\mathit{xy}(x^2\sqrt{y}+3)=4$$

Considere la ecuación diferencial E: $y+x{y}^{\prime }=\frac{x}{x^2+e^{2\mathit{xy}}}$ y determine la solución general utilizando el cambio de variable $z=e^{\mathit{xy}}$ .

Solución

Tomando el cambio $z=e^{\mathit{xy}}$

$\Rightarrow y=\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z}{x}$

$\Rightarrow y^{\prime }=\frac{\frac{z^{\prime }}{z}x-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z}{x^2}$

Sustituyendo en E se obtiene: $\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z}{x}+x\frac{\frac{z^{\prime }}{z}x-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z}{x^2}=\frac{x}{x^2+z^2}$

$\Rightarrow \frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z}{x}+\frac{\frac{z^{\prime }}{z}x-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->z}{x}=\frac{x}{x^2+z^2}$

$\Rightarrow \frac{z^{\prime }}{z}=\frac{x}{x^2+z^2}$ (1) ED homogénea en $z(x)$.

Para resolver la ecuación diferencial (1) se toma $v=\frac{z}{x}\Rightarrow z=\mathit{xv}\Rightarrow z^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$, sustituyendo ahora en (1) se obtiene

$$v+x{v}^{\prime }=\frac{x^{2}v}{x^2+x^2{v}^2}$$

$\Rightarrow x{v}^{\prime }=\frac{v}{1+v^2}-v$
$\Rightarrow x{v}^{\prime }=\frac{-v^3}{1+v^2}$

$\Rightarrow \frac{1+v^2}{v^3}\mathit{dv}=-\frac{\mathit{dx}}{x}$

$\Rightarrow (v^{-3}+\frac{1}{v})\mathit{dv}=-\frac{\mathit{dx}}{x}$
$\Rightarrow -\frac{1}{2}{v}^{-2}+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->|v|=-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->|x|+C$

Escribiendo la solución general E en términos de $x,y$ se tiene

$\Rightarrow -\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{x}\right)}^{-2}+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left|\frac{z}{x}\right|=-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->|x|+C$
$\Rightarrow -\frac{1}{2}{\left(\frac{e^{\mathit{xy}}}{x}\right)}^{-2}+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left|\frac{e^{\mathit{xy}}}{x}\right|=-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->|x|+C$ ,es decir,

$$-\frac{x^2}{2e^{2\mathit{xy}}}+\mathit{xy}=C$$