Conceptos Básicos en Ecuaciones Diferenciales

2. Conceptos Básicos en Ecuaciones Diferenciales

A continuación se muestran los aspectos teóricos relacionados con los elementos básicos en las ecuaciones diferenciales.

2..1 Definición de Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO)

Definición 1.

Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función desconocida (la variable dependiente), las variables de las que depende (variables independientes) y sus derivadas respecto de estas variables independientes.

En particular si dicha ecuación contiene derivadas respecto a una sola variable independiente se le denomina Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) y si contienen derivadas respecto a dos o más variables independientes se le llama Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (EDP).

Ejemplo1

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.

a): $\frac{dy}{dx} + 5 y = e^{x}$ : EDO de variable dependiente $y$ , variable independiente $x$ .
b): $y^{^{″}} + y - 2 x = 0$ : EDO de variable dependiente $y$ , variable independiente $x$ .
c): $\frac{dx}{dt} = 2 x - t^{3}$ : EDO de variable dependiente $x$ , variable independiente $t$ .

Ejemplo2

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales .

a: $\frac{∂u}{∂y} = - \frac{∂u}{∂x}$ : EDP de variable dependiente $u$ , variable independiente $y, x$
b: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$ : EDP de variable dependiente $u$ , variable independiente $x, y$
c: $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - 2 \frac{∂u}{∂t}$ : EDP de variable dependiente $u$ , variable independiente $x, t$

2..2 Orden y grado de las ecuaciones diferenciales ordinarias

Definición 2.

El orden de una EDO se define por el orden de la más alta derivada en la ecuación dada. En general, el $n -$ ésimo orden de una EDO puede simbolizarse por

F (x, y, y^{'}, y^{″}, \dots, y^{(n)}) = 0,

(1.1)

donde $F$ es una función conocida.

Ejemplo3

Considere las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias y determinar que orden tienen cada una de ellas.

a): $y^{″} - 5 y^{'} + 3 y^{3} = 0 .$
b): $\frac{d^{3} y}{d x^{3}} + 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = x .$
c): $M (x, y) + N (x, y) \frac{dy}{dx} = 0 .$

Respuestas:

(a) la ecuación diferencial $y^{″} - 5 y^{'} + 3 y^{3} = 0$ es de orden 2.

(b) la ecuación diferencial $\frac{d^{3} y}{d x^{3}} + 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + y = x$ es de orden 3.

Definición 3.

El grado de una ecuación diferencial ordinaria se define por la potencia sobre $y^{(i)}$ , $i = 1, \dots, n$ , que tiene la más alta derivada, es decir, la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación dada.

Ejemplo4

Considere las siguientes ecuaciones diferenciales y determine su grado.

a): $y^{'} + 2 = y$ es una EDO de primer grado pues solo aparece $y^{'}$ y su grado es uno.
b): $x y^{″} + 6 x = {(y^{'})}^{2}$ es una EDO de primer grado pues la expresión de mayor orden es $y^{″}$ y su grado es uno.
c): ${(y^{'})}^{3} = x {(y^{″})}^{5} + {(y^{(iv)})}^{3}$ es una EDO de tercer grado ya que la expresión de mayor orden es $y^{(iv)}$ y su potencia asociada es 3.

2..3 Clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias

Definición 4.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden $n$ es lineal si y solo si puede escribirse de la siguiente forma :

a_{n} (x) y^{(n)} + a_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + . . . + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = g (x)

(1.2)

donde $a_{0} (x), a_{1} (x), . . ., a_{n} (x), g (x)$ son funciones reales continuas que dependen sólo de la variable independiente $x$ y definidas en un intervalo abierto común $I$ , con $a_{n} \neq 0$ para toda $x \in I$ . Una ecuación diferencial que no puede escribirse de la forma 1.2 es No lineal.

Dentro de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales se distinguen:

1.: ecuación diferencial lineal homogénea cuando el término independiente $g (x) = 0$ .
2.: ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, cuando todos las funciones $a_{i} (x)$ $\forall i = 1, . . ., n$ son funciones constantes.
3.: ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables si alguna función $a_{i} (x)$ no es una función constante, sino una dependiente solo de $x$ .

Ejemplo5

Considere las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias y clasificarlas en EDO lineal (con coeficientes contantes o variables) y no lineal.

(a) $y^{″} - 2 y^{'} + y = 0$

(b) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{dy}{dx} = e^{x}$ .

(d) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + (x + 1) \frac{dy}{dx} + 2 = 0$ .

(e) $e^{x} y^{″} + 2 xy = 0$ .

(f) $y y^{″} - 2 y^{'} = x$ .

(g) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + sen y = 0$ .

(h) $y^{‴} + y^{2} = cos x$ .

Respuestas:

De acuerdo a las definiciones dadas anteriormente, se tiene que las ecuaciones diferenciales $(a)$ y $(b)$ son lineales con coeficientes constantes. Las ecuaciones diferenciales $(c), (d)$ y $(e)$ son lineales con coeficientes variables. Las ecuaciones diferenciales $(f), (g)$ y $(h)$ son no lineales.

Definición 5.

Si una ecuación diferencial de orden $n$ dada en la forma $F (x, y, y^{'}, . . ., y^{(n)}) = 0$ puede expresarse de manera que la derivada de orden $n$ aparezca despejada, es decir:

y^{(n)} = G (x, y, y^{'}, . . ., y^{(n - 1)})

(1.3)

entonces se dice dicha ecuación diferencial esta representada en su forma normal.

Ejemplo6

Para cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias dadas, escribir en forma normal las ecuaciones diferenciales:

a): $y y^{′′} - 2 y^{'} = x$ .
b): $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + sen x = 0$ .
c): $y^{′′′} + y^{2} = cos x$ .

Soluciones

Se despeja la derivada más alta en cada una de las ecuaciones diferenciales del ejemplo y obtenemos su forma normal:

(a) $y y^{′′} - 2 y^{'} = x,$ por tanto $y^{′′} = 2 \frac{y^{'}}{y} + \frac{x}{y}$ con $y \neq 0$ .

(b) $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + sen x = 0,$ por tanto $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - sen x$ .

2..4 Solución de una ecuación diferencial ordinaria

Resolver una ecuación diferencial ordinaria,

F (x, y, y^{'}, . . ., y^{(n)}) = 0

de orden

n

, es hallar una expresión para la función

y (x)

que satisfaga la relación de igualdad que determina dicha ecuación,

\forall x \in I

un intervalo común.

Definición 6.

Se llama solución de una ecuación diferencial ordinaria $F (x, y, y^{'}, . . ., y^{(n)}) = 0$ en un intervalo $J$ a una función $φ (x)$ definida en $J$ que, sustituida en la ecuación junto con sus derivadas, la verifica en dicho intervalo, es decir:

F (x, φ (x), φ {(x)}^{'}, . . ., φ {(x)}^{(n)}) = 0, \forall x \in J

(1.4)

Nota: Es importante rescatar que una solución puede ser definida en alguno de los siguientes intervalos $J$ : $] α, β [$ , $] α, β]$ , $[α, β [$ , $[α, β]$ , $[α, \infty [$ , $] α, \infty [$ , $] - \infty, β]$ , $] - \infty, β [$ y $] - \infty, \infty [= ℝ$ ; donde $α, β \in ℝ$ y $α < β$ .

Ejemplo7

Se puede comprobar que la función $φ (x) = e^{5 x}$ es solución de la ecuación diferencial ordinaria de primer orden $y^{'} = 5 y$ en el intervalo $] - \infty, \infty [$ .

En efecto, derivando $φ (x)$ $= e^{5 x}$ respecto de $x,$ se obtiene $φ^{'} (x) = 5 e^{5 x}$ , luego sustituyendo en la ecuación diferencial se verifica la ecuación diferencial: $φ^{'} (x) = 5 e^{5 x} = 5 φ (x),$ $\forall x \in ℝ$ .

Ejemplo8

Considere la función $φ (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ y verificar qué es solución de la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden $y^{′′} - \frac{2}{x^{2}} y = 0$ , $\forall x \neq 0 .$

Derivando dos veces la función $φ (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ respecto de $x$ , se tiene:

φ^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x^{2}}, φ^{″} (x) = 2 - \frac{2}{x^{3}} .

Sustituyendo en la ecuación diferencial, se verifica:

2 - \frac{2}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} (x^{2} - \frac{1}{x}) = 2 - \frac{2}{x^{3}} - 2 + \frac{2}{x^{3}} = 0, \forall x \neq 0 .

Por tanto, $φ (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ es solución en cualquier intervalo que no contenga al cero.

Ejemplo9

Se puede comprobar que toda función de la forma $φ (x) = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{2 x}$ es solución de la ecuación diferencial $y^{′′} - y^{'} - 2 y = 0$ para cualquier valor de las constantes $C_{1}$ y $C_{2} .$

En efecto, derivando dos veces $φ (x) = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{2 x},$ se tiene que:

φ^{'} (x) = - C_{1} e^{- x} + 2 C_{2} e^{2 x},

φ^{″} (x) = C_{1} e^{- x} + 4 C_{2} e^{2 x},

y sustituyendo se verifica en la ecuación diferencial:

C_{1} e^{- x} + 4 C_{2} e^{2 x} + C_{1} e^{- x} - 2 C_{2} e^{2 x} - 2 C_{1} e^{- x} - 2 C_{2} e^{2 x} = 0 . \forall x \in ℝ .

Ejemplo10

Verifique que la función $ϕ (x) = \frac{c}{x} + 1$ , con $x > 0$ y $c$ una constante real es una solución de la ecuación diferencial $x \frac{dy}{dx} + y = 1$ .

En efecto, si sustituimos $ϕ$ en el lugar de $y$ en la ecuación $x \frac{dy}{dx} + y = 1$ :

x \frac{d}{dx} (\frac{c}{x} + 1) + (\frac{c}{x} + 1) = 1

, luego simplificando obtenemos:

x (- \frac{c}{x^{2}}) + (\frac{c}{x} + 1) = 1

Por lo que $ϕ (x) = \frac{c}{x} + 1$ es solución de la ecuación diferencial

x \frac{dy}{dx} + y = 1

Observe que el intervalo en el cual la función $ϕ$ está definida $I =] 0, + \infty [$ excluye el punto de discontinuidad $x = 0$ . De la misma forma podemos ver que la función definida $ϕ (x) = \frac{c}{x} + 1$ para $x < 0$ también es solución de la ecuación diferencial.

Ejemplo11

La ecuación diferencial ${(y^{'})}^{2} + 1 = 0$ no tiene solución real, pues no existe una función real y derivable que la satisfaga, es decir, no es posible se cumpla que exista $y (x)$ tal que ${(y^{'})}^{2}$ sea -1.

Ejemplo12

Compruebe que si se deriva implícitamente la relación $x^{2} + y^{2} = 4$ con respecto a la variable $x$ y si se sustituye en la ecuación diferencial $y^{'} = - \frac{x}{y},$ dicha relación satisface tal ecuación diferencial para $- 2 < x < 2$ .

Derivando implícitamente con respecto a

x

la relación

x^{2} + y^{2} = 4

, con respecto a la variable

x

se tiene:

2 x + 2 y y^{'} = 0,

,es decir,

2 x + 2 y \frac{dy}{dx} = 0 .

Por tanto $\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{y} (y \neq 0)$ , de esta forma se comprueba que tal realción verifica la ecuación diferencial para $- 2 < x < 2$ pues $y = \pm \sqrt{4 - x^{2}}$ .

Ejemplo13

Sabiendo que en la relación o familia de curvas

sen x + y ln y = C \cdot y

la función implícita $y$ dependiente de $x$ (con $y > 0$ ), y con $C$ una constante arbitraria. Compruebe que ésta es solución implícita de la ecuación diferencial

y^{'} = \frac{y cos x}{sen x - y}

Si en la familia de curvas dada $sen x + y ln y = C \cdot y$ despejamos la constante $C$ , se tiene

C = \frac{sen x + y ln y}{y} [1]

Ahora derivando [1] implicítamente con respecto a la variable $x$ , tenemos

0 = \frac{(cos x + y^{'} ln y + y^{'}) y - (sen x + y ln y) y^{'}}{y^{2}} \Leftrightarrow 0 = y cos x + (y - sen x) y^{'}

de donde simplificando y reordenando términos se obtiene la ecuación diferencial asociada

y^{'} = \frac{y cos x}{sen x - y}

Como se observa en los ejemplos anteriores, las soluciones de una ecuación diferencial pueden venir dadas como una función o una relación que verifica la ecuación. De las cuales llamaremos soluciones explícitas aquellas en donde la solución es una relación de la forma $y = y (x)$ y soluciones implícitas aquellas en donde la solución es una relación de la forma $g (x, y) = 0 .$ A continuación se detallan dichas definiciones.

Definición 7 — Solución Explícita de una EDO de Primer Orden.

Sea $F (x, y, y^{'}) = 0$ una EDO de primer orden. La función $y = ϕ (x)$ es llamada una solución explícita si se satisface que $F (x, ϕ (x), ϕ^{'} (x)) = 0$ en intervalo común $J$ . Algunos ejemplos de este tipo de soluciones son los mostrados en los ejemplos: 1.7, 1.8, 1.9 y 1.10.

Definición 8 — Solución Implícita de una EDO de Primer Orden.

Una relación de la forma $ψ (x, y) = 0$ se dice que es una solución implícita de $F (x, y, y^{'}) = 0$ en cierto intervalo $I$ si para $y = ϕ (x)$ se satisface $F (x, ϕ (x), ϕ^{'} (x)) = 0$ .

En el ejemplo 1.12, la relación $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ define dos funciones en el intervalo $- 2 < x < 2$ : $y = \pm \sqrt{4 - x^{2}}$ (soluciones explícitas). También obsérvese que cualquier relación $x^{2} + y^{2} - C = 0$ con $C \in ℝ$ satisface la ecuación $\frac{dy}{dx} = \frac{- x}{y}$ para cualquier constante $C$ (solución implícita).

Ejemplo14

La relación $y - ln y = x^{2} + 1$ es una solución implícita de la EDO $y^{'} = \frac{2 xy}{y - 1}$ para $y > 0$ y $x \in ℝ$ ,

pues, derivando la relación dada con respecto a $x$ , se tiene $y^{'} - \frac{y^{'}}{y} = 2 x$ , es decir, $y^{'} y - y^{'} = 2 xy$ . Luego como $y^{'} = \frac{2 xy}{y - 1}$ y sustituyendo en $y^{'} y - y^{'} = 2 xy$ se verifica dicha igualdad para $y > 0$ y $x \in ℝ$ .

Ejemplo15

Se puede verificar que $y^{2} - x^{3} + 8 = 0$ es solución implícita de la ecuación diferencial $y^{'} = \frac{3 x^{2}}{2 y}$ en $] 2, + \infty [.$

Observe que al derivar la expresión $y^{2} - x^{3} + 8 = 0$ respecto de la variable $x$ se tiene $2 y y^{'} - 3 x^{2} = 0$ de donde al despejar $y^{'}$

y^{'} = \frac{3 x^{2}}{2 y}

de donde se observa que satisface la ecuación diferencial dada, pues

\frac{3 x^{2}}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y}

y además se verifica $\forall x \in] 2, + \infty [,$ ya que si despejamos $y$ en la expresión de la solución implícita, se obtiene $y = \pm \sqrt{x^{3} - 8},$ la cual esta definida para $x \geq 2$ .

Ejemplo16

Considere la función definida por $y = x \int_{0}^{x} \frac{sen (t)}{t} dt$ y comprobar es solución de la ecuación diferencial $x y^{'} = y + x sen (x) .$

Para calcular $y^{'}$ se usa teorema fundamental de cálculo¹ de donde

y^{'} = \int_{0}^{x} \frac{sen (t)}{t} dt + sen (x) .

Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene

x y^{'} = x (\int_{0}^{x} \frac{sen (t)}{t} dt + sen (x)) = y + x sen (x) .

Ejemplo17

Muestre que la función

y (x) = 1 + e^{- x} \int_{0}^{x} e^{\sqrt{t}} dt [1]

es solución del problema de valor inicial

{\begin{matrix} y^{'} + y & = & 1 + e^{- x + \sqrt{x}} \end{matrix}

Claramente en la función dada $y (0) = 1 + e^{- 0} \int_{0}^{0} e^{\sqrt{t}} dt = 1$ , donde se comprueba que satisface la condición inicial. Posteriormente usando el teorema fundamental del cálculo al calcular $y^{'}$ en [1], se tiene:

y^{'} = - e^{- x} \int_{0}^{x} e^{\sqrt{t}} dt + e^{- x} e^{\sqrt{x}}

, de donde luego sustituyendo en la ecuación diferencial del P.V.I se cumple que

- e^{- x} \int_{0}^{x} e^{\sqrt{t}} dt + e^{- x} e^{\sqrt{x}} + 1 + e^{- x} \int_{0}^{x} e^{\sqrt{t}} dt = 1 + e^{- x + \sqrt{x}}

Puede ingresar al link https://youtu.be/lyGaqN1Xtng o en su defecto escaneando el código QR adjunto para visualizar explicación de tal ejemplo.

En ejemplos anteriores se ha resuelto ejercicios sobre comprobación o verificación de si cierta función, una o familia de estas es o no solución ya sea explícita o implícita de una ecuación diferencial dada, en próximos capítulos nos encargaremos del problema de hallar la solución general de una ecuación diferencial.

Ahora se aborda el problema inverso; a saber, el de hallar la ecuación diferencial a partir de su solución general. Para ello se ilustra tal proceso a través de los siguientes ejemplos.

Ejemplo18

Determine una ecuación diferencial cuya solución general viene dada en forma implícita por $x y^{2} = x + \frac{C}{x}$ , con $C$ constante arbitraria. Note que:

x y^{2} = x + \frac{C}{x} \Rightarrow x^{2} y^{2} = x^{2} + C

Aplicando derivación implícita con respecto a $x$ a ambos lados le lo obtenido en paso anterior, se tiene que la ecuación diferencial correspondiente es:

2 x y^{2} + 2 x^{2} y y^{'} = 2 x

Ejemplo19

Determine una ecuación diferencial para la siguiente familia de curvas dada por $y = A {(x - B)}^{3}$ , con $A, B$ constantes reales.

Si despejamos la constante $A$ , es decir, $\frac{y}{{(x - B)}^{3}} = A$ y derivamos implícitamente con respecto a $x$

\frac{y^{'} {(x - B)}^{3} - 3 y {(x - B)}^{2}}{{(x - B)}^{6}} = 0 \Rightarrow \frac{y^{'}}{{(x - B)}^{3}} - \frac{3 y}{{(x - B)}^{4}} = 0 [*]

Dado que ecuación diferencial buscada debe estar libre constantes $A, B$ , al multiplicar $[∗]$ por ${(x - B)}^{4}$ se obtiene $y^{'} (x - B) = 3 y \Rightarrow x - B - \frac{3 y}{y^{'}} = 0$ . y luego derivando de nuevo implícitamente con respecto a $x$ , se tiene $1 = \frac{3 {(y^{'})}^{2} - 3 y y^{″}}{{(y^{'})}^{2}}$ , es decir, la ecuación diferencial buscada es ${(y^{'})}^{2} = 3 {(y^{'})}^{2} - 3 y y^{″}$ .

Puede ingresar al link https://youtu.be/PS1f1xPbk-Y o en su defecto escanear el código QR adjunto para visualizar explicación de tal ejemplo.

Ejemplo20

Halle la ecuación diferencial cuya solución viene dada de forma implícita por la curva H $: e^{cx} + y = x$ con $c$ una constante real.

De forma similar al ejemplo anterior se debe obtener una ED libre de constantes, en este caso de la constante $c$ . Para ello se procede primero derivando implícitamente la curva H con respecto a $x$ , de donde [1]: $e^{cx} c + y^{'} = 1$ , luego en H despejando $e^{cx}$ se tiene [2]: $e^{cx} = x - y$ además [3]: $c = \frac{\ln (x - y)}{x}$ . Ahora se sustituyen [2] y [3] en [1] se obtiene la ecuación diferencial de orden uno

(x - y) \frac{\ln (x - y)}{x} + y^{'} = 1

Observación 1.1. Note que en estos dos últimos ejemplos, la idea consiste básicamente en derivar las veces según cantidad de constantes que posea la solución general, así como efectuar ciertas maniobras algebraicas hasta llegar a tener una ecuación diferencial libre de constantes.

2..5 Tipos de soluciones en ecuaciones diferenciales ordinarias

Familia n-paramétrica de soluciones (solución general): Dada una ecuación diferencial de la forma $F (x, y, y^{'}, . . ., y^{(n)}) = 0$ la solución de dicha ecuación diferencial que contiene $n$ constantes arbitrarias, es decir, de la forma $g (x, y, C_{1}, C_{2}, . . . C_{n}) = 0$ se le conoce como familia n-paramétrica de soluciones. A este tipo de soluciones se le llama solución general.

Ejemplo21

Por ejemplo $y (x) = C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{2 x}$ es solución 2-paramétrica (solución general) de la ecuación diferencial ordinaria $y^{″} - y^{'} - 2 y = 0$ para $C_{1}$ y $C_{2}$ constantes arbitrarias.

Ejemplo22

La familia de curvas solución $y = \frac{x^{2}}{2} + C$ es una solución 1-paramétrica (solución general) de la ecuación diferencial $y^{'} = x$ , las cuales se muestran en la figura 1.1 para ciertos valores de $C$ .

Fig. 1.1: gráficas de la familia 1-paramétrica

y = \frac{x^{2}}{2} + C

, para

y^{'} (x) = x .

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Solución particular: es una solución de la ecuación diferencial que no contiene constantes arbitrarias y que se obtiene dando valores numéricos a las constantes de la familia $n$ -paramétrica de soluciones. Por ejemplo para $y = \frac{x^{2}}{2} + C$ solución 1-paramétrica de la ecuación diferencial $y^{'} = x$ ; si $C = 0$ , $C = - 1$ se obtienen las soluciones particulares $y = \frac{x^{2}}{2}$ , $y = \frac{x^{2}}{2} - 1$ respectivamente y mostradas en la figura 1.2.

Fig. 1.2: gráficas de soluciones particulares

y = \frac{x}{2}

, y

y = \frac{x}{2} - 1 .

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Solución singular: es una solución de la ecuación diferencial que no contiene constantes arbitrarias y no esta contenida en solución general. No siempre existen; si existe, se trata de la curva llamada envolvente de la familia de curvas integrales definida por la familia $n$ -paramétrica de soluciones.

Ejemplo23

La función $y (x) = \frac{x^{2}}{4}$ es una solución singular de la ecuación ${(y^{'})}^{2} - x y^{'} + y = 0$ en $J = ℝ$ , ya que satisface dicha EDO y no puede obtenerse de sustituir $C$ por algún valor numérico de la solución general $y (x) = Cx - C^{2}$ .

En efecto, note que

\begin{array}{rcl} {({(\frac{x^{2}}{4})}^{'})}^{2} - x {(\frac{x^{2}}{4})}^{'} + (\frac{x^{2}}{4}) & = & {(\frac{x}{2})}^{2} - x (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4} \\ = & \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{4} \\ = & - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{4} \\ = & 0 . \end{array}

Por otro lado, al igualar $y (x) = Cx - C^{2}$ con $y (x) = \frac{x^{2}}{4}$ para encontrar un $C$ en común, se determina que

Cx - C^{2} = \frac{x^{2}}{4} \Leftrightarrow 0 = x^{2} - 4 Cx + C^{2} .

Sin embargo, al cambiar $C$ por cualquier valor numérico se determina que $x$ debe ser fija, lo cual contradice el hecho de que $x$ es variable. Note como en la figura 1.3 $y (x) = \frac{x^{2}}{4}$ es envolvente de las curvas solución de la familia 1-paramétrica $y (x) = Cx - C^{2}$ .

Fig. 1.3: gráfica de la solución singular

y (x) = \frac{x^{2}}{4}

y familia 1-paramétrica

y (x) = Cx - C^{2} .

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Ejemplo24

La relación $x^{2} + y^{2} = 1$ es una solución singular de la ecuación $y = x y^{'} + \sqrt{1 + {(y^{'})}^{2}}$ , ya que satisface dicha EDO y no puede obtenerse de sustituir $C$ por algún valor numérico de la solución general $y (x) = xC + \sqrt{1 + C^{2}}$ .

.
En efecto, note que al derivar implícitamente $y$ con respecto a $x$ se obtiene $2 x + 2 y y^{'} = 0 \Leftrightarrow y^{'} = \frac{- x}{y}$ .

Luego al sustituir este resultado en la ecuación diferencial se verifica que

\begin{array}{rcl} y = x (\frac{- x}{y}) + \sqrt{1 + {(\frac{- x}{y})}^{2}} & \Leftrightarrow & y = \frac{- x^{2}}{y} + \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{y^{2}}} \\ \Leftrightarrow & y = \frac{- x^{2}}{y} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}} \\ \Leftrightarrow & y = \frac{- x^{2}}{y} + \sqrt{\frac{1}{y^{2}}} \\ \Leftrightarrow & y = \frac{- x^{2}}{y} + \frac{1}{\sqrt{y^{2}}}; y > 0 \\ \Leftrightarrow & y = \frac{- x^{2}}{y} + \frac{1}{y} \\ \Leftrightarrow & y = \frac{- x^{2} + 1}{y} \\ \Leftrightarrow & y = \frac{y^{2}}{y} \\ \Leftrightarrow & y = y . \end{array}

Por otro lado, al sustituir $y (x) = xC + \sqrt{1 + C^{2}}$ en $x^{2} + y^{2} = 1$ para encontrar un $C$ en común, se determina que

\begin{array}{rcl} x^{2} + {(xC + \sqrt{1 + C^{2}})}^{2} = 1 & \Leftrightarrow & {(xC + \sqrt{1 + C^{2}})}^{2} = 1 - x^{2} \\ \Leftrightarrow & x^{2} C^{2} + 2 xC \sqrt{1 + C^{2}} + 1 + C^{2} = 1 - x^{2} . \end{array}

Sin embargo, al cambiar $C$ por cualquier valor numérico se determina que $x$ debe ser fija, lo cual contradice el hecho de que $x$ es variable. En la figura 1.4 se muestra como $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ es envolvente de la familia 1-paramétrica $y (x) = C . x + \sqrt{1 + C^{2}}$ .

Fig. 1.4: gráfica de la solución singular

x^{2} + y^{2} = 1

y la solución general

y (x) = C . x + \sqrt{1 + C^{2}} .

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Observación 1.2. En este caso, la solución singular está restringida al dominio $[- 1, 1]$ . De esta manera, $J \subseteq [- 1, 1]$ donde $J$ es cualquier subconjunto de restricción del dominio.

Solución Total de una ecuación diferencial ordinaria de orden $n :$ es la que contiene todas las soluciones de la ecuación. Esta formada por la solución general y las soluciones singulares en caso de que hallan o se puedan determinar.

Observación 1.3. Por lo general para efectos prácticos cuando resolvemos una ecuación diferencial, suponemos están las funciones y derivadas de ella bien definidas para evitar analizar casos de donde se puede desprender algunas soluciones singulares, con ello, se pide solo solución general y no total.

Definición 9.

La gráfica de una solución de una ecuación diferencial se denomina curva integral de la ecuación diferencial.

Ejemplo25

Estudiar los distintos tipos de soluciones que admite la ecuación diferencial

y^{'} = \sqrt{y} .

Esta ecuación es sencilla de resolver por el método de variables separables que se verá más adelante en apartado de métodos de resolución para EDO1. Por ahora se admite como la solución general $\sqrt{y} = \frac{1}{2} (x + C)$ , la cual representa una familia de funciones definidas en $[- C, + \infty [$ . De donde dando valores a $C$ se obtiene soluciones particulares. Por ejemplo, para $C = 0$ se obtiene la solución particular $\sqrt{y} = \frac{x}{2}$ definida en $[0, + \infty [.$

Observe que la función $y = 0$ también es solución de esta ecuación diferencial ya que la verifica o satisface; sin embargo, no está incluida en la solución general que hemos obtenido. Se trata de una solución singular.

De acuerdo a lo anterior, se tiene que la Solución Total de la ecuación diferencial $y^{'} (x) = \sqrt{y (x)}$ esta dada por

$\sqrt{y (x)} = \frac{x + C}{2}, C \in ℝ$ : Solución general; $y = 0$ : Solución singular.

Fig. 1.5: Gráficas de la familia de curvas solución para

y^{'} (x) = \sqrt{y (x)} .

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Las correspondientes curvas integrales a la solución general y singular se muestran en la figura 1.5.

2..6 Ejercicios resueltos de apoyo mediante videos

1.: Video1: https://youtu.be/kF_O6DpwBvA
2.: Video2: https://youtu.be/sB6mXqvfibc
3.: Video3: https://youtu.be/UYIP3z5HlHo

Ejercicios 1.1 — Ejercicios de Retroalimentación

Ejercicio 2.1

Considerando a

y

como la variable dependiente de

x

, clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales según el orden y la linealidad:

1.: $(x^{2} + e^{xy} + xy) dx + (y^{2} + x) dy = 0 .$
2.: $3 x^{2} y^{′′} + 5 y x^{'} - 8 y = e^{x} cos x .$
3.: $(x^{2} + y^{2}) dx + (3 e^{x} - 2 y) dy = 0 .$
4.: $(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}) + tan x (\frac{d^{2} y}{d x^{2}}) - e^{x} \frac{dy}{dx} - xy = e^{3 x} .$
5.: $4 y^{vi} - 5 y^{′′′} + 8 y^{′′} + 3 y y^{'} = \frac{x ln x}{x + 1} .$

1.: Orden 1, no lineal.
2.: Orden 2, lineal.
3.: Orden 1, no lineal.
4.: Orden 4, lineal.
5.: Orden 6, no lineal.

Ejercicio 2.2

Escribir en forma normal las ecuaciones diferenciales del ejercicio anterior.

1.: $\frac{dy}{dx} = - \frac{x^{2} + e^{xy} + xy}{x^{2} + y} .$
2.: $y^{′′} = - \frac{5}{3 x} y^{'} + \frac{8}{3 x^{2}} y + \frac{e^{x} cos x}{x^{2}} .$
3.: $\frac{dy}{dx} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{3 e^{x} - 2 y} .$
4.: $(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}) = - tan x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} - e^{x} \frac{dy}{dx} + xy + e^{3 x} .$
5.: $y^{vi} = \frac{5}{4} y^{′′′} - 2 y^{′′} - \frac{3}{4} y y^{'} + \frac{x ln x}{4 (x + 1)} .$

Ejercicio 2.3

Comprobar si las siguientes funciones o relaciones son solución de la ecuación diferencial dada:

1.: La función $φ (x) = e^{x}$ es solución de $y^{′′} (x) - y (x) = 0$ en $] - \infty, + \infty [.$
2.: La función $y (x) = \frac{x^{4}}{16}$ solución de $y^{'} (x) - y (x) x^{\frac{1}{2}} = 0$ en $] - \infty, + \infty [.$
3.: Las funciones $φ_{1} (x) = sen (2 x)$ y $φ_{2} (x) = cos (2 x)$ son soluciones de la ecuación diferencial $y^{′′} (x) + 4 y (x) = 0$ .
4.: La relación $x + y + e^{xy} = 0$ es solución implícita de $(1 + x e^{xy}) y^{'} + y e^{xy} = 0$ .
5.: La función $φ (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{x} - \frac{ln x}{x} + \frac{{ln}^{2} x}{x},$ para la ecuación $x^{3} y^{′′′} + 6 x^{2} y^{′′} + 7 x y^{'} + y = x$ .
6.: La relación $x^{2} - 2 y^{2} = 3,$ para la ecuación $x - 2 y y^{'} = 0$ .
7.: La relación $2 x - 2 y - e^{xy} = 0$ para la ecuación $(1 - y e^{xy}) + (2 - x e^{xy}) y^{'} = 0$ .

1.: Sí.
2.: Sí.
3.: $φ_{1} (x) .$ sí, $φ_{2} (x)$ sí.
4.: Sí.
5.: Sí.
6.: Sí.
7.: No.

Ejercicio 2.4

Sustituir

y = e^{rx}

en la ecuación diferencial

5 y^{′′} - 3 y = 0

y determina todos los valores de

r

para los que

φ (x)

= e^{rx}

es solución de dicha ecuación.

r = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}

Ejercicio 2.5

Considerar la relación

y - 3 ln (y + 4) = x^{2} + C

, determine si es solución implícita de la ecuación diferencial,

\frac{dy}{dx} = \frac{2 x (y + 4)}{y + 1}

y luego comprobar que $y = - 4$ es solución de dicha ecuación diferencial e indicar qué tipo de solución es. Finalmente determinar el valor de $C$ para que $y (1) = - 3$ .

Sí es solución implícita , $y = - 4$ . es solución singular, luego $C = - 4$ cuando $y (1) = - 3$ .

Ejercicio 2.6

Dada la ecuación diferencial

3 {(y^{′′′})}^{4} + y^{2} = 0

¿existe alguna familia 2 paramétrica de soluciones de dicha ecuación? ¿Tiene alguna solución?

No; Si

y (x) = 0

Ejercicio 2.7

La expresión

y (x) = \frac{1}{C - 3 x}

define una familia 1-paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial

y^{'} = 3 y^{2}

¿Hay algún valor de

C

para el que

y (0) = 0

Ejercicio 2.8

Sabiendo que las relaciones (o ecuaciones) dadas definen a

y

como función implícita de

x

, compruebe que cada una de éstas es solución implícita de la correspondiente ecuación diferencial.

1.: $ln (xy) - y e^{y} = C \cdot y$ , ED: $y^{'} = \frac{y}{xy e^{y} (1 + y) - x}$ .
2.: $C \cdot y^{2} = xy + C$ , ED: $(x y^{2} + x) \cdot y^{'} = y^{3} - y$
3.: ${(y - C)}^{2} = C \cdot x$ ED: $4 x {(y^{'})}^{2} + 2 x y^{'} = y$

Ejercicio 2.9

Dada la ecuación diferencial

3 {(y^{′′′})}^{4} + y^{2} = 0

¿existe alguna familia 2 paramétrica de soluciones de dicha ecuación? ¿Tiene alguna solución?

No; Si

y (x) = 0

Ejercicio 2.10

Compruebe que

(x^{2} - 2 x + 2) (y^{2} + 1) e^{2 arctan (y)} = C,

donde

C

es una constante arbitraria, es solución general en forma implícita de la ecuación

(x y^{2} - y^{2} + x - 1) dx + (x^{2} y - 2 xy + x^{2} + 2 y - 2 x + 2) dy = 0

Ejercicio 2.11

Si curva con ecuación

y^{2} - xy = A

es una solución implícita de la ecuación diferencial

y^{'} = \frac{y}{2 y - x}

, halle una solución particular que satisfaga la condición

y (1) = 2

y^{2} - xy = 2

Ejercicio 2.12

Sabiendo que las siguientes funciones (relaciones o ecuaciones) corresponden a la solución general de una determinada ecuación diferencial,(

A, B, C

constantes arbitrarias) encuentre la ecuación diferencial respectiva.

1.: $y = Ax + B x^{2}$
2.: $y = A x^{3} + B x^{2} + Cx$
3.: $y = A x^{2} + B e^{x} + x - 1$
4.: $y = x + A sen x$
5.: $y = A x^{2} + A^{2}$
6.: ${(x - A)}^{2} + y^{2} = 4$

1.: $x^{2} y^{″} - 2 x y^{'} + 2 y = 0$
2.: $x^{3} y^{‴} - 3 x^{2} y^{″} + 6 x y^{'} - 6 y = 0$
3.: falta
4.: $y^{'} = 1 + (y - x) cot (x)$
5.: ${(y^{'})}^{2} + 2 x^{3} y^{'} - 4 x^{2} y = 0$
6.: $y^{2} {(y^{'})}^{2} + y^{2} = 4$

2..7 El problema de valor inicial

En algunos casos es importante no solo determinar la solución general de una ecuación diferencial sino también se busca una solución $y (x)$ de una ecuación diferencial de modo que $y (x)$ satisfaga condiciones adicionales prescritas, es decir, condiciones impuestas en la $y (x)$ desconocida o sus derivadas. Para ello, se expone la siguiente definición.

Definición 10 — Problema de Valores Iniciales (PVI).

Si $I$ es un intervalo que contiene a $x_{0}$ , el problema de resolver

\frac{d^{n} y}{d x^{n}} = f (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)}) con, y (x_{0}) = y_{0}, y^{'} (x_{0}) = y_{1}, \dots, y^{(n - 1)} (x_{0}) = y_{n - 1}

(1.5)

donde $y_{0}, y_{1}, \dots, y_{n - 1}$ son constantes reales especificadas de manera arbitraria, se llama problema de valores iniciales (PVI). Los valores de $y (x)$ y sus primeras $n - 1$ derivadas en un solo punto $x_{0}$ : $y (x_{0}) = y_{0}, y^{'} (x_{0}) = y_{1}, \dots, y^{(n - 1)} (x_{0}) = y_{n - 1}$ se llaman condiciones iniciales.

El problema que se expone en 1.5 se llama también problema de valores iniciales de $n$ -ésimo orden. Por ejemplo, resolver

\frac{dy}{dx} = f (x, y) sujeta a y (x_{0}) = y_{0}

(1.6)

\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = f (x, y, y^{'}) sujeta a y (x_{0}) = y_{0}, y^{'} (x_{0}) = y_{1}

(1.7)

son problemas de valores iniciales de primer y segundo orden, respectivamente. En el caso de la ecuación 1.6, se busca una solución $y (x)$ de la ecuación diferencial $y^{'} = f (x, y)$ en el intervalo $I$ que contiene a $x_{0}$ de modo que su gráfica pase por el punto $(x_{0}, y_{0})$ , como se muestra en la figura 1.6.

Fig. 1.6: solución del PVI de primer orden.

Fuente: elaboración propia con Inkscape 0.47.

En el caso de 1.7 se desea encontrar una solución $y (x)$ de la ecuación diferencial $y^{″} = f (x, y, y^{'})$ en un intervalo $I$ que contiene a $x_{0}$ , de manera que su gráfica pase no solo por $(x_{0}, y_{0})$ , sino que la pendiente de la curva en este punto sea el número $y_{1}$ , como se muestra en la figura 1.7.

Fig. 1.7: solución del PVI de segundo orden.

Fuente: elaboración propia con Inkscape 0.47.

Las palabras condiciones iniciales derivan de sistemas físicos donde la variable independiente es el tiempo $t$ y donde $y (t_{0}) = y_{0}$ y $y^{'} (t_{0}) = y_{1}$ representan la posición y la velocidad, respectivamente, de un objeto en algún tiempo inicial $t_{0}$ .

La estrategia para resolver un PVI para una EDO se resume, (como se muestra en la ecuación 1.5) por lo general, en hallar primero una familia de soluciones $n$ paramétricas (solución general) de la ecuación diferencial dada y luego usar las $n$ condiciones iniciales en $x_{0}$ , para determinar valores numéricos de las $n$ constantes en la familia. La solución particular resultante se define en algún intervalo $I$ que contiene al punto inicial $x_{0}$ .

Para efectos de esta sección, se hará énfasis en los PVI para EDO de primer orden. Por ende, la estrategia del párrafo anterior se resume en resolver la ecuación diferencial en términos de un parámetro, despejando luego este con la condición inicial dada.

Ejemplo26

Al resolver el problema de valor inicial: $y^{'} (x) = y (x), y (0) = 3$ , es fácil comprobar que $y (x) = C e^{x}$ , con $C$ una constante arbitraria, representa la solución general de la ecuación diferencial $y^{'} (x) = y (x)$ en el intervalo $] - \infty, + \infty [$ .

La figura 1.8, muestra la gráfica de la familia de curvas solución generadas a partir de dicha solución general. Luego para hallar la solución particular cuya curva integral pasa por el punto $(0, 3)$ , se sustituye la condición inicial $y (0) = 3$ en la solución general, de donde:

3 = C e^{0} \Leftrightarrow C = 3,

y así de esta forma la solución particular buscada es $y = 3 e^{x}$ , la cual se muestra en la figura 1.8.

Fig. 1.8: gráfica de familia de curvas solución de

y^{'} (x) = y (x)

ysolución del P.V.I

y^{'} = y, y (0) = 3

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Ejemplo27

Se puede comprobar que la función $φ (x) = senx - cosx$ es solución del problema de valor inicial: $y^{′′} + y = 0$ con $y (0) = - 1, y^{'} (0) = 1$ .

En efecto, note que para $φ (x) = sen x - cos x$ , se tiene que $φ^{'} (x) = cosx + senx$ y que $φ^{′′} (x) = - sen x + cos x$ . Luego, sustituyendo en la ecuación diferencial se comprueba que $- sen x + cos x + sen x - cos x = 0$ ; por tanto, $φ (x)$ es solución de la ecuación diferencial. Pero además: $φ (0) = sen 0 - cos 0 = - 1$ y $φ^{'} (0) = cos 0 + sen 0 = 1$ , así por tanto, se verifican las condiciones iniciales dadas al P.V.I, su representación gráfica se muestran en figuras 1.9.

Fig. 1.9: gráfica de familia curvas solución

y = A cos (x) + B sen (x)

y gráfica de solución del P.V.I :

y^{′′} + y = 0

con

y (0) = - 1, y^{'} (0) = 1

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Ejemplo28

Un PVI puede tener varias soluciones. Por ejemplo, las funciones $y = 0$ ; $y = \frac{x^{4}}{16}$ satisfacen la ecuación diferencial $\frac{dy}{dx} = x y^{\frac{1}{2}},$ y la condición inicial $y (0) = 0$ , por lo cual, el problema de valor inicial $\frac{dy}{dx} = x y^{\frac{1}{2}}, y (0) = 0,$ tiene al menos dos soluciones, como se ilustra en la figura 1.10, donde las gráficas de ambas funciones pasan por el mismo punto $(0, 0)$ .

Fig. 1.10: dos soluciones del mismo PVI.

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Este ejemplo nos manifiesta que al tratar de resolver un problema de valores iniciales es posible que existan más de una solución que satisfaga la condición inicial dada. En consecuencia, es deseable saber por adelantado si existe una solución y , cuando es así, si la solución es única. Para ello, es necesario establecer un teorema que dé las condiciones suficientes de existencia y unicidad de una solución de un problema de valor inicial de primer orden, como se muestra en apartado más adelante.

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