
\chapter{Funciones algebraicas}

%-------------------------------------------------------
\section{Función lineal}
% === Sección de origen: La Funci\'on Lineal ===

\begin{definicion}
Sea $f$ una funci\'on tal que, $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}.$\\

$f$ se llama funci\'on lineal si $f(x) = mx+b,$ com $m$ y $b$ constantes reales.
\end{definicion}


\begin{ejemplo}
\end{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item La funci\'on $f$ definida por $f(x) = 5x+3,$ es una
funci\'on lineal, con $m=5\;$ y $b=3$.\\

\item La funci\'on $f$ definida por $f(x) = -\sqrt{2}x +5,$ es una
funci\'on lineal, con $m=-\sqrt{2}\;$ y $b=5$.\\

\item La funci\'on $f$ definida por $f(x) = -3x,$ es una funci\'on
lineal, con $m=-3\;$ y $b=0$.\\

\item La funci\'on $f$ definida por $f(x) = k,$ con $k$ constante
real es una funci\'on lineal, con $m=0\;$ y $b=k$.\\
\end{enumerate}



\textbf{Notaci\'on}\\

Como la imagen de $x$ por la funci\'on $f$ usualmente se denota
por $y$, es decir $y = f(x)$, es frecuente escribir $y=mx+b$ en
lugar de $f(x)=mx+b.$\\


\subsection{Gr\'afico de una funci\'on lineal}

\begin{definicion}
Sea $f$ una funci\'on lineal tal que $f(x) = mx+b$.\\

El gr\'afico de $f$ es el conjunto $G_f$ definido por $G_f = \{(x,y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \;
\mbox{ {\rm tal que} } \; y=mx+b\}$
\end{definicion}


\begin{definicion}
Se llama recta al gr\'afico de una funci\'on lineal.
\end{definicion}


\textbf{Convenio}\\

Si $l$ es una recta definida por $l = \{(x,y)\in \mathbb{R} \times \mathbb{R}
\; \mbox{ {\rm tal que} } \;y=mx+b\}$ con $m$ y $b$ constantes reales.\\

Diremos que $l$ es la recta cuya ecuaci\'on es $y=mx+b.$\\

\begin{definicion}
Sean $m$ y $b$ constantes reales y sea $l$ la recta cuya
ecuaci\'on es $y=mx+b$. Diremos que el n\'umero $m$ es la
pendiente de la recta $l$.
\end{definicion}


\textbf{Ejercicio}\\
La pendiente de la recta cuya ecuaci\'on es $y=-2x+5$ es
\underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\

La pendiente de la recta cuya ecuaci\'on es $y=\sqrt{7}x-7$
es \underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\

La pendiente de la recta cuya ecuaci\'on es
$\displaystyle{y=\frac{x}{2} +\sqrt{2}}$ es \underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}



\begin{proposicion}
Dados dos puntos en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ existe una y s\'olo una recta que los contiene.\\
\end{proposicion}

As\'i, si conocemos dos puntos $A$ y $B$ en  $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$, tal
que $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2),$ podemos hallar la ecuaci\'on de
la
recta que los contiene, de la siguiente manera:\\

\begin{enumerate}
\item La pendiente $m$ de la recta est\'a dada por la igualdad:\\

$\displaystyle{m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}$, $x_2 \neq x_1$\\

\textbf{Justificaci\'on}\\

Sea $l$ la recta cuya ecuaci\'on es $y=mx+b$, y que contiene a
$(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2).$ Como $(x_2,y_2) \in L$ se cumple que:

\begin{equation}\label{Cap6eq2}
y_2 = mx_2+b
\end{equation}

Y como $(x_1,y_1) \in l$ se cumple que:

\begin{equation}\label{Cap6eq3}
y_1 =mx_1+b
\end{equation}

Multiplicando a ambos miembros de la ecuaci\'on \ref{Cap6eq3} por  $-1$ y sumando t\'ermino a
t\'ermino con la ecuaci\'on \ref{Cap6eq2} tenemos:\\

\begin{center}
\begin{tabular}{rclcrrclr}
 &     & $y_{2}$ & = &     & $mx_{2}$ & $+$ & b \\
 & $-$ & $y_{1}$ & = & $-$ & $mx_{1}$ & $-$ & b  \\    \hline
$y_{2}$ & $-$& $y_{1}$ & = & &$mx_{2}$ & $-$ & $mx_{1}$  \\
\end{tabular}
\end{center}

como: \hspace{0.3cm}$y_2 - y_1 = mx_2-mx_1$\\

$y_2 - y_1 = m(x_2-x_1)$\\

$\displaystyle{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = m}$

\item Conociendo $m$ lo sustituimos en la ecuaci\'on $y=mx+b$, y
sustituimos $x$ e $y$ por las coordenadas de $A$ o de $B$ en dicha
ecuaci\'on y podemos despejar $b$, obteniendo su valor.

\item Conociendo $m$ y $b$ podemos escribir la ecuaci\'on de la
recta $y=mx+b$
\end{enumerate}



\begin{ejemplo}

Hallar la ecuaci\'on de la recta que contiene a los puntos $(3,-2)$\,\,\,y\,\,$(5,-6)$

 \wsolu

Buscamos una ecuaci\'on de la forma

\begin{equation}\label{Cap6eq4}
y=mx+b\mbox{,}
\end{equation}

?`Por qu\'e?\\

Para ello debemos calcular el valor de $m$  y el valor de $b$.\\

El valor de $m$ est\'a dado por: $\displaystyle{m= \frac{-6-(-2)}{5-3}} = \frac{-4}{2} = -2$, es decir
$m=-2$\\

Sustituyendo el valor de $m$ en \ref{Cap6eq4} tenemos $y=-2x+b$\\

Sustituyendo $x$ e $y$ por las coordenadas de $(3,-2)$ tenemos\\

 \begin{tabular}{rcl}
$-2$   & $=$ & $-2 \cdot 3+b$\\\\

$-2$   & $=$ & $-6+b$\\\\

$-2+6$ & $=$ & $b$\\\\

$4$    & $=$ & $b$\\\\
 \end{tabular}

Y por lo tanto la ecuaci\'on de la recta que contiene a los puntos
$(3,-2)$ y\, $(5,-6)$ es $y=-2x+4$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Calcular la ecuaci\'on de la recta que contiene al punto $(5,2)$ y
tiene una pendiente igual a $-2$

 \wsolu

Buscamos una ecuaci\'on de la forma

\begin{equation}\label{Cap6eq5}
y=mx+b
\end{equation}

?`Por qu\'e?\\

En este caso el valor de la pendiente es conocido, y sustituyendo en \ref{Cap6eq5} tenemos que:

\begin{equation}\label{Cap6eq6}
y=-2x+b
\end{equation}

Como esta recta contiene al punto $(5,2),$ entonces las coordenadas
de este punto satisfacen la ecuaci\'on \ref{Cap6eq6} es decir:\\

 \begin{tabular}{rcl}

$2$  & $=$ & $-2 \cdot 5+b$\\\\

$2$  & $=$ & $-10+b$\\\\

$12$ & $=$ & $b$\\\\

 \end{tabular}

Por lo tanto la ecuaci\'on de la recta cuya pendiente es $-2$ y
contiene al $(5,2)$ es $y=-2x+12$

\end{ejemplo}


\begin{proposicion}
Sean $A, B, C$ constantes reales con $B \neq 0,$ entonces toda
ecuaci\'on de la forma $Ax+By+C = 0$ es equivalente a otra de la forma $y=mx+b$.\\
\end{proposicion}

En efecto:\\

Si $Ax+By+C = 0$ entonces \,\,$By = -Ax-C$  y como $B \neq 0$ entonces:\\

$\displaystyle{y = \frac{-Ax-C}{B}}$ \hspace{0.7cm} y por lo tanto\\

$\displaystyle{y = \frac{-Ax}{B} + \frac{-C}{B}}$\\

Ahora, tomamos $\displaystyle{m = \frac{-A}{B}}$\,\, y\,\, $\displaystyle{b =
\frac{-C}{B}}$ tenemos $y=mx+b$\\

Debido a la proposici\'on anterior, es que en algunos casos
hablamos de rectas determinadas por una ecuaci\'on de la forma
$Ax+By+C = 0$, con $A,B,C$ constantes reales y $B \neq 0$\\

\begin{ejemplo}

?`Cu\'al es la pendiente de la recta cuya ecuaci\'on es
$3x-y+1=0$?

 \wsolu

Debemos encontrar una ecuaci\'on de la forma $y=mx+b,$ que sea
equivalente a $3x-y+1=0$\\

$3x-y+1=0$ $ \Longrightarrow \; \;$\,\,\,
 $y=3x+1$.\,\,Por lo tanto la pendiente de la recta cuya ecuaci\'on es\,
$3x-y+1=0$\, es \,$3$.\\

\end{ejemplo}


\begin{definicion}
Sean $l_1$ y $l_2$ dos rectas cuyas ecuaciones son
respectivamente:\\
$y=m_1x+b_1$\,\, e \,\,$y=m_2x+b_2,$ entonces decimos que:\\

\begin{enumerate}
\item[a)] $l_1$ es paralela a $l_2\;\;(l_1 \parallel L_2)$ si y
s\'olo
s\'i $m_1 = m_2$\\

\item[b)] $l_2$ es perpendicular a $L_2\;\;(l_1 \perp l_2)$ si y
s\'olo s\'i $m_1 \cdot m_2 = -1$
\end{enumerate}
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

Las rectas $l_1$ y $l_2$ cuyas ecuaciones respectivas son
$y=-3x+7$\,\, y \,\,\,$\displaystyle{y=\frac{1}{3}\;x +12}$\,\, son
perpendiculares pues el producto de sus pendientes es $-1$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Hallar la ecuaci\'on de la recta que contiene al punto
$(2,3)$ y es paralela a la recta cuya ecuaci\'on es $2x+y-1=0$


\wsolu

Buscamos una ecuaci\'on de la forma

\begin{equation}\label{Cap6eq7}
y=mx+b
\end{equation}

donde $m$ es igual a la pendiente de la recta cuya ecuaci\'on es $2x+y-1=0$\\

?` Por qu\'e?\\

Como $2x+y-1=0$ entonces $y=-2x+1$ de donde tenemos que $m=-2$\\

Sustituyendo $m$ por $-2$ en \ref{Cap6eq7}, tenemos $y=-2x+b;$ como esta
recta contiene al punto $(2,3)$ entonces:\\

$3=-2 \cdot 2+b \; \; \Longrightarrow \; \; 3=-4+b \; \; \Longrightarrow \; \; 7=b$\\

Por lo tanto la ecuaci\'on de la recta que contiene al punto
$(2,3),$ y que es paralela a la recta cuya ecuaci\'on es\, $2x+y-1=0$\,\, es \,\,$y=-2x+7$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Hallar la ecuaci\'on de la recta que contiene al punto $(2,3)$ y
es perpendicular a la recta cuya ecuaci\'on es $2x+y-1=0$


\wsolu

Buscamos una ecuaci\'on de la forma

\begin{equation}\label{Cap6eq8}
y=mx+b
\end{equation}

Como la pendiente de la recta cuya ecuaci\'on es $2x+y-1=0$ es
$-2\;$(ver ejemplo anterior) entonces debe darse que $-2 \cdot m=-1$
?`Por qu\'e? \\

$-2 \cdot m=-1\;\;\;\; \; \Longrightarrow \; \;\;\;\;\displaystyle{m=\frac{1}{2}}$\\

Sustituyendo $m$ por $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ en \ref{Cap6eq8} tenemos
$\displaystyle{y=\frac{1}{2}x+b};$ como esta recta contiene al punto $(2,3)$ entonces:\\

$\displaystyle{3=\frac{1}{2} \cdot 2+b \; \; \Longrightarrow \; \; 3=1+b \; \; \Longrightarrow \; \; 2=b}$\\

Por lo tanto la ecuaci\'on que buscamos es $\displaystyle{y=\frac{1}{2}x+2}$

\end{ejemplo}



% === Sección de origen: Trazo de la gr\'afica de una recta ===



Dado que una recta queda determinada si se conocen dos de sus
puntos, entonces para trazar su gr\'afica basta con conocer dos de
sus puntos. Para este efecto dos puntos convenientes son la
intersecci\'on de la recta con los ejes coordenados, los cuales
los determinamos de la manera siguiente.\\

Consideremos la recta $l$ cuya ecuaci\'on es $y=mx+b$\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Su intersecci\'on con el eje $X$ es el punto $(x_0,0),$
donde $x_0$ es la soluci\'on de la ecuaci\'on $0=mx+b$ ?`Por
qu\'e?

\item[b)] Su intersecci\'on con el eje $Y$ es el punto $(0,b)$
?`Por qu\'e?
\end{enumerate}



\begin{ejemplo}

Trazar la gr\'afica de la recta cuya ecuaci\'on es $y=-2x+3$

 \wsolu

\begin{enumerate}
\item[a)] Como $\displaystyle{0=-2x+3 \; \; \Longrightarrow \; \; -3= -2x \;
\; \Longrightarrow \; \; \frac{3}{2} = x},$ entonces el punto de
intersecci\'on de la recta
con el eje $X$ es $\displaystyle{\left(\frac{3}{2},0 \right)}$\\

\item[b)] El punto de intersecci\'on de la recta con el eje $Y$ es
$(0,3)$\\

\item[c)] Ubicamos los puntos $\displaystyle{\left(\frac{3}{2},0 \right)}$ y
$(0,3)$ en un sistema de coordenadas rectangulares, as\'i podemos
trazar la recta que contiene a estos puntos como se muestra en la
figura siguiente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig44}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig33}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}
\end{ejemplo}



% === Sección de origen: Puntos de intersecci\'on entre dos rectas ===

 Dadas las rectas $\;l_1\;$ y $\;l_2\;$ de ecuaciones
respectivas $\;y=m_1x+b_1\;$ y $\;y=m_2x+b_2\;$; si $\;l_1\;$ y
$\;l_2\;$ no son paralelas $\;(m_1 \neq m_2)\;$, entonces
$\;l_1\;$ y $\;l_2\;$ se intersecan en un punto,
el cual se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones\\


 $\left\{\begin{array}{rcl}
  y & = &m_1x+b_1\\
  y & = &m_2x+b_2\hspace{1cm}\mbox{?`Por qu\'e?}\\
\end{array}\right.$


\begin{ejemplo}

Hallar el punto de intersecci\'on entre las rectas $l_1$ y $l_2$
cuyas ecuaciones respectivas son:\\

$2x-y-1=0$\,\,\, y \,\,\,$x-y+7=0$

 \wsolu

Debemos resolver el sistema  $\; \left\{
\begin{array}{rcl}
  2x-y-1 & = & 0 \\
  & & \\
  x-y+7 & = & 0 \\
\end{array}\right.
$\\


A la primera ecuación le restamos, miembro a miembro, la segunda ecuación\\


\begin{tabular}{rclcrclc}
  $2x-y-1$ & $=$ & $0$ &                             & $2x-y-1$ & $=$ & $0$ &\\
           &     &     & $\; \Longleftrightarrow \;$ &          &     &     &\\
  $x-y+7$ & $=$ & $0$  &                             &  $-(x-y+7)$ & $=$ & $0$ &\\ \cline{5-7}
           &     &     &                             &  $x-8$   & $=$ & $0$ & $\; \; \Longrightarrow \; \; x \,=\, 8$\\
\end{tabular}



Sustituyendo $\;x = 8\;$ en $\;x-y+7=0\;$ obtenemos:\\

$8-y+7 =0 \; \; \Longrightarrow \; \; -y+15=0 \; \;
\Longrightarrow \; \; -y=-15 \; \; \Longrightarrow \; \;
y=15$\\

Por lo tanto la intersecci\'on entre $l_1$ y $l_2$ es el punto
$(8,15)$

\end{ejemplo}

%

% === Sección de origen: Distancia entre dos puntos de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ===

 Sean $P_0 = (x_0,y_0)$ y $P_1 = (x_1,y_1)$ dos puntos en $\mathbb{R}
\times \mathbb{R},$ vamos a calcular la distancia $d$ entre $P_0$ y $P_1,$
es decir la
longitud del segmento que estos determinan.\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig46}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig34}
\end{center}
%\end{figure}

Aplicando el teorema de Pit\'agoras tenemos que:\\

$\displaystyle{d^{2} = (x_1-x_0)^{2} + (y_1-y_0)^{2}},$ de donde tenemos que
$\displaystyle{d = \sqrt{(x_1-x_0)^{2} + (y_1-y_0)^{2}}}$\\

\begin{ejemplo}

Calcule la distancia entre los puntos $(3,4)$ y $(2,1)$

 \wsolu

 \begin{tabular}{rcl}
$d$ & $=$ & $\displaystyle{\sqrt{(1-4)^{2} + (2-3)^{2}}}$\\\\

$d$ & $=$ & $\displaystyle{\sqrt{(-3)^{2} + (-1)^{2}}}$\\\\

$d$ & $=$ & $\displaystyle{\sqrt{9+1}}$\\\\

$d$ & $=$ & $\displaystyle{\sqrt{10}}$\\\\
 \end{tabular}

As\'i, la distancia entre los puntos $(3,4)$ y $(2,1)$ es
$\displaystyle{\sqrt{10}}$

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Dada la recta $l$ cuya ecuaci\'on es $2x+3y-5=0$.  Encontrar
una ecuaci\'on de la recta perpendicular a $l$ que contenga al
punto $(-1,3)$.\\

Hallar la ecuaci\'on de la recta que contiene al punto
$(1,4)$ y es paralela a la recta cuya ecuaci\'on es $2x-5y+7=0$\\

Hallar la ecuaci\'on de la recta que contiene a los puntos
$(1,1)$ y $(-2,2).$\\

Muestre que la ecuaci\'on de la recta que interseca a los
ejes coordenados en los puntos $(a,0)$ y $(0,b)$ puede escribirse
en la forma: $\displaystyle{\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1}$\\

Hallar la ecuaci\'on del conjunto de puntos equidistantes de
los puntos $(3,-1)$ y $(-3,3)$\\

Determinar la ecuaci\'on de la recta paralela a la recta
cuya ecuaci\'on es $\displaystyle{x + \frac{y}{2} - \frac{5}{2} =0}$ y que
contiene al punto de intersecci\'on entre las rectas $3x-y+6=0$ y
$x-5=-2y$\\

Demostrar que el tri\'angulo cuyos v\'ertices son los puntos
$(-1,4)$,  $(0,1)$ y $(2,5)$ es is\'osceles.\\

Verifique que el tri\'angulo cuyos v\'ertices son $(2,2)$,
$(5,7)$ y $(10,4)$ es rect\'angulo.\\

Determine el punto de la recta $y-2x-2=0,$ que equidista de
$(-2,5)$ y $(-1,0)$\\

Determine el \'area del tri\'angulo determinado por la recta
cuya ecuaci\'on es $7x-14y+21=0$ y los ejes coordenados.\\

Si $x$ denota el n\'umero de unidades diarias que se producen de un cierto art\'iculo,
$C(x)$ denota el costo total. Para la elaboraci\'on de este art\'iculo pueden usarse dos
procedimientos.\\

El primero tiene un costo fijo de $\;100\;$ colones, m\'as $6$ colones por cada unidad
producida.\\

El segundo tiene un costo fijo de $300$ colones, m\'as $4$ colones por cada unidad producida.  \begin{enumerate}

\item Halle $C(x)$ para ambos procedimientos

\item Encuentre el n\'umero de unidades que es necesario
producir para que ambos procesos tengan el mismo costo total.

\item Que procedimiento es m\'as barato, si se desea producir
m\'as de $100$ unidades diarias

\end{enumerate}


\section{Función cuadrática}
% === Sección de origen: Funci\'on cuadr\'atica ===

\begin{definicion}
Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$\, una funci\'on, $f$\, recibe el
nombre de {\bf{funci\'on polinomial de segundo grado o funci\'on
cuadr\'atica}} si $\forall\;x,\;x\in \mathbb{R}$\, se cumple que:\\

$f(x)=ax^{2}+bx+c$,\, con $a,\;b\;\mbox{y}\;\;c$\, constantes
reales, $a\neq 0$
\end{definicion}


{\begin{ejemplo}
Son funciones cuadr\'aticas las definidas por:\\

\begin{enumerate}
\item $f(x)=4x^{2}+5x+8$ \item $f(x)=3x^{2}+5$ \item
$\displaystyle{f(x)=x^{2}-x-\frac{2}{5}}$ \item $f(x)=4x^{2}+2x$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}}


\begin{definicion}{\bf{Concavidad hacia arriba:}}\\

Sea $A\subseteq\mathbb{R},\;I\subseteq A$\\

Sea $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$,\, se dice que $f$\, es {\rm c\'oncava hacia arriba en $I$},\,
si su trazo en $I$\, tiene la siguiente forma:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/img01}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig35}
\end{center}
%\end{figure}
\end{definicion}


\begin{definicion}{\bf{Concavidad hacia abajo:}}\\

Sea $A\subseteq \mathbb{R},\;J\subseteq A$\\

Sea $f:A\longrightarrow \mathbb{R}$,\, se dice que $f$\, es
{\rm c\'oncava hacia abajo en $J$},\, si su trazo en $J$\, tiene la siguiente forma:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/img02}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig36}
\end{center}
%\end{figure}
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

Sea $\;f :\mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\; \mathbb{R}, \hspace{0.7cm}
f(x)=x^2$\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Complete la siguiente tabla de valores:\\

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  $x$      & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\
   \hline
           &    &    &    &   &   &   &  \\
  $x^{2}$  &    &    &    &   &   &   &  \\
\end{tabular}

\item[b)] Realice el trazo de $f$ \\
\item[c)] ?`Qu\'e tipo de concavidad presenta esta funci\'on?
\end{enumerate}

 \wsolu

\begin{enumerate}
\item[a)]
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  % after \\:  \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...
  $x$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\
   \hline
             &    &    &    &   &   &   &  \\
  $x^{2}$ & $9$ & $4$ & $1$ & $0$ & $1$ & $4$ & $9$ \\
\end{tabular}

\item[b)] Trazo de $f$\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/img05}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig37}
\end{center}
%\end{figure}

\item[c)] Esta funci\'on es c\'oncava hacia arriba.\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Sea $\; f:\; \mathbb{R} \;\; \longrightarrow \;\; \mathbb{R},  \hspace{0.7cm} f(x)=x^{2}+3x+2$  \begin{enumerate}

\item Complete la siguiente tabla de valores:\\

\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
  $x$          & $-4$ & $-2$ & $\displaystyle-\frac{3}{2}$ & $-1$ & $0$ & $1$ \\
   \hline
 &   &   &   &   &   &   \\
  $x^{2}+3x+2$ &   &   &   &   &   &\\
\end{tabular}


\item Realice el trazo de $f$

\item ?`Qu\'e tipo de concavidad presenta esta funci\'on?

Sea $\; f:\; \mathbb{R} \;\; \longrightarrow \;\; \mathbb{R}, \hspace{0.7cm} f(x)= -x^{2}-1$\\

\item Complete la siguiente tabla de valores:\\

\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c}
  $x$ & $-3$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$& $3$\\
   \hline
   &   &   &   &   & &   \\
  $-x^{2}-1$ &   &   &   &   &   & &   \\
\end{tabular}


\item Realice el trazo de $f$

\item ?`Qu\'e tipo de concavidad presenta esta funci\'on?

\end{enumerate}


\begin{proposicion}
Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$\, una funci\'on tal que
$f(x)=ax^{2}+bx+c$,\, con $a,\;b\;\mbox{y}\;c$\, constantes reales
y $a\neq 0$,\, entonces:\\

\begin{enumerate}
\item Si $a>0$,\, $f$\, es c\'oncava hacia arriba. \item Si
$a<0$,\, $f$\, es c\'oncava hacia abajo (convexa).\\
\end{enumerate}

\end{proposicion}


\begin{ejemplo}\label{Cap6ejem2}

\begin{enumerate}
\item[a)] La funci\'on $f$\, definida por $f(x)=-2x^{2}+5x-3$\, es
convexa.\\
\item[b)] La funci\'on $h$\, definida por
$h(x)=\sqrt{5}x^{2}+x-1$\, es cóncava hacia arriba.\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\begin{definicion}
La gr\'afica de una funci\'on cuadr\'atica recibe el nombre de
par\'abola.
\end{definicion}


Observe el trazo de la funci\'on definida en el ejemplo anterior,
note que $f(x)$\, toma un valor m\'inimo, a saber $0$.\\

El punto de la par\'abola donde $f(x)$ toma su valor m\'inimo (en
este caso), recibe el nombre de {\bf v\'ertice de la par\'abola}, en este caso es el punto
$(0,0)$.


Con respecto al ejemplo \ref{Cap6ejem2} a)\\

El valor m\'inimo para $f(x)$\, es \rule{2cm}{0.01cm}\, por lo que
el v\'ertice de la par\'abola es:\rule{2cm}{0.01cm}\\

Con respecto al ejemplo \ref{Cap6ejem2} b)\\

Observe el trazo de la funci\'on, note que $h(x)$\, toma un valor
m\'aximo y es: \rule{2cm}{0.01cm}\\

El punto de la par\'abola donde $h(x)$\, toma su valor m\'aximo
(en este caso), recibe el nombre de v\'ertice de la par\'abola, en
este caso el punto
es:\rule{2cm}{0.01cm}\\


\begin{definicion}
Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$,\, una funci\'on cuadr\'atica. El
punto de la par\'abola donde $f(x)$\, alcanza su m\'aximo o su
m\'inimo valor se llama v\'ertice de la par\'abola.
\end{definicion}


\begin{proposicion}
Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$,\, tal que $f(x)=ax^{2}+bx+c$,\, con
$a,\;b\;\mbox{y}\;c$\, constantes reales y $a\neq 0$.\, Entonces
el v\'ertice $V,$\, de la par\'abola est\'a dado por:\\
\begin{center}
$V=\displaystyle{\left(\frac{-b}{2a},f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)}$
\end{center}
\end{proposicion}


\begin{ejemplo}
Determine el v\'ertice de la par\'abola correspondiente a la
funci\'on $f$,\, definida por $f(x)=2x^{2}-3x-2$.\\

 \wsolu

En este caso el v\'ertice $V$\, es
$\displaystyle{\left(\frac{3}{4},f\left(\frac{3}{4}\right)\right)}$,\,
como:\\

$\begin{array}{ccl}
  f\left({\displaystyle{\frac{3}{4}}}\right) & = & 2\cdot\left[{\displaystyle{\frac{9}{16}}}\right]-3\cdot\left[{\displaystyle{\frac{3}{4}}}\right]-2
  \\\\
   & = & {\displaystyle{\frac{9}{8}-\frac{9}{4}-2}} \\\\
   & = &{\displaystyle{ \frac{-25}{8}}} \\\\
\end{array}$

o sea $\displaystyle{f\left(\frac{3}{4}\right)= \displaystyle{\frac{-25}{8}}}$\, y por
lo tanto el v\'ertice es:
$\displaystyle{\left(\frac{3}{4},\frac{-25}{8}\right)}$\\

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Determine el v\'ertice de la par\'abola correspondiente a la
funci\'on $f$,\, definida por $f(x)=x^{2}+3$.\\

\wsolu

En este caso el v\'ertice $V$\, es
$\displaystyle{\left(\frac{0}{2},f\left(\frac{0}{2}\right)\right)}$\\

Como $f(0)=3,$\, entonces el v\'ertice es $(0,3)$\\

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Determine el v\'ertice de la par\'abola correspondiente a la funci\'on $f$\, definida por:  \begin{enumerate}

\item $f(x)=x^{2}-2x-3$

\item $f(x)=-4x^{2}+4x-1$

\item $f(x)=2x^{2}-1$

\item $f(x)=x^{2}+x+1$

\end{enumerate}



% === Sección de origen: Intersecci\'on con el eje $Y$ ===

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$,\, tal que $f(x)=ax^{2}+bx+c$,\, con
$a,\;b\;\mbox{y}\;c$\, constantes reales y $a\neq 0$.\, Sabemos
que $f$\, interseca al eje $Y$\, cuando $x=0$.\, Pero:\\

$f(0)=x\cdot (0)^{2}+b\cdot 0+c$, \, de donde\,\, $f(0)=c$. Por lo que $f$\, interseca el eje $Y$\, en $(0,c)$\\




% === Sección de origen: Estudio de la funci\'on cuadr\'atica ===

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$,\, tal que $f(x)=ax^{2}+bx+c$,\,
con $a,\;b\;\mbox{y}\;c$,\, constantes reales y $a\neq 0$,\,
entonces:\\

$\displaystyle{\begin{array}{ccl}
  f(x) & = & ax^{2}+bx+c \\ \\
       & = & a\left[x^{2}+{\displaystyle{\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}}}\right]\;\;\;\mbox{completando cuadrados tenemos}\\ \\
       & = &
       a\left[x^{2}+{\displaystyle{\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+\frac{c}{a}}}\right]\\
       \\
       & = & a\left[x^{2}+ {\displaystyle{\frac{b}{a}}}x+\left({\displaystyle{\frac{b}{2a}}}\right)^{2}-\left({\displaystyle{\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{c}{a}}}\right)\right]
       \\\\
       & = & a\left[\left(x+{\displaystyle{\frac{b}{2a}}}\right)^{2}-\left({\displaystyle{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\right)\right]\;\;\;(*)
       \\\\
\end{array}}$

\begin{definicion}\end{definicion}

El n\'umero $b^{2}-4ac$\, obtenido en (*) recibe el nombre de {\bf discriminante de $f$}\, y se
denota por el s\'imbolo $\Delta$,\, que se lee ``delta'' o sea:\\

\hspace{1.0cm}$\Delta=b^{2}-4ac$\\

Casos que se pueden presentar, seg\'un el valor de $b^{2}-4ac$

\begin{enumerate}
\item {\bf{$b^{2}-4ac<0$}}\\
Si $b^{2}-4ac\;<0$\, entonces $\displaystyle{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}<0$\,
?`Por qu\'e?\\

por lo que $-\left(\displaystyle{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}\right)>0$\, de
aqu\'i que
$\displaystyle{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)>0}$,\,
pues $\left(x+{\displaystyle{\frac{b}{2a}}}\right)^{2}>0$\\
\begin{enumerate}
\item[i.] Si $a>0$;\,
$\displaystyle{a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)\right]}>0\;
\; \Longrightarrow \; \;
f(x)>0$\\
\item[ii.] Si $a<0$;\,
$\displaystyle{a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right)\right]}<0\;
\; \Longrightarrow \; \;
f(x)<0$\\
\end{enumerate}

Observe que si el discriminante es menor que cero, siempre se
obtiene que $f(x)\neq 0$,\, y por lo tanto el gr\'afico de $f$\,
no interseca al eje $X$.\\


\item $b^{2}-4ac=0$\\

Entonces por (*) tenemos que:\\

$f(x)=\displaystyle{a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{0}{4a^{2}}\right)\right]}$

\begin{equation}\label{Cap6eq9}
f(x)=\displaystyle{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}}
\end{equation}

De aqu\'i se obtiene que $f(x)=0$\, si y s\'olo s\'i:\\

$a=0$\, \'o $\displaystyle{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}}=0,$\,\, pero
$a\neq 0$

por lo que $\displaystyle{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=0 \;
\Longrightarrow \; \;
x+\frac{b}{2a}=0\; \; \Longrightarrow \; \; x=\frac{-b}{2a}}$\\

Adem\'as como $\displaystyle{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}>0}$\, siempre
entonces:\\

\begin{enumerate}
\item[i.] Si $a>0$\, se cumple que $f(x)\geq 0$;\,\, ver \ref{Cap6eq9}\\

\item[ii.] Si $a<0$\, se cumple que $f(x)\leq 0$;\,\, ver \ref{Cap6eq9}\\
\end{enumerate}

Lo anterior se puede resumir as\'i:\\

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$,\, tal que $f(x)=ax^{2}+bx+c$\, donde
$a,\;b\;\mbox{y}\;c$,\, son constantes reales y $a\neq 0$,\, si
$b^{2}-4ac=0$,\, entonces $f$\, tiene dos ceros reales, ambos
iguales a $\displaystyle{\frac{-b}{2a}}$\, y la gr\'afica de $f$\, interseca
al eje $X$\, en $\left({\displaystyle{\frac{-b}{2a}}},0\right)$\\


\item $b^{2}-4ac>0$\\

Por (*) sabemos que:\\

$\displaystyle{\begin{array}{ccl}
  f(x) & = & a\left[\left(x+{\displaystyle{\frac{b}{2a}}}\right)^{2}-\left({\displaystyle{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\right)\right]\;\;\mbox{como}\;b^{2}-4ac>0 \\ \\
       & = & a\left[\left(x+{\displaystyle{\frac{b}{2a}}}\right)^{2}-\left({\displaystyle{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}}\right)^{2}\right]\;\;\;\mbox{por diferencia de cuadrados}\\ \\
       & = &
       a\left[\left(x+{\displaystyle{\frac{b}{2a}}}\right)+\left({\displaystyle{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}}\right)\right]\cdot \left[\left(x+{\displaystyle{\frac{b}{2a}}}\right)-\left({\displaystyle{\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}}\right)\right]\\
       \\
       & = & a\left[x+{\displaystyle{\frac{b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}}\right]\cdot
       \left[x+{\displaystyle{\frac{b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}}\right]\;\;(***)
       \\\\
\end{array}}$

\begin{enumerate}
\item[i.] Por (***), \,\,$f(x)=0$\, si y s\'olo s\'i\\

$\displaystyle{a\left[x+\frac{b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right]\cdot
       \left[x+\frac{b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\right]=0}$,\, como
       $a\neq 0$\\

$\; \; \Longrightarrow \; \; \displaystyle{x+\frac{b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=0}$\,
\,\,\,\'o\,\,\, $\displaystyle{x+\frac{b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=0}$\\



O sea: \,\,\,$x=\displaystyle{\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$\,\,\,\,
\'o\,\,\,\, $x=\displaystyle{\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}}$\\

Lo anterior se puede resumir as\'i:\\

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$,\, tal que $f(x)=ax^{2}+bx+c$\, donde
$a,\;b\;\mbox{y}\;c$,\, son constantes reales y $a\neq 0$,\, si
$b^{2}-4ac>0$,\, entonces $f$\, tiene dos ceros reales, que vienen
dados por las f\'ormulas:\\

$x_{1}=\displaystyle{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$\,\,\,\, \'o\,\,\,\,
$x_{2}=\displaystyle{\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}$\\

donde $\Delta=b^{2}-4ac$\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\textbf{Nota} Si $b^{2}-4ac=0$,\, las f\'ormulas anteriores se
pueden aplicar\\

En este curso estamos interesados en estudiar algunas propiedades
de la funci\'on cuadr\'atica (y en particular de la par\'abola),\,
es por esto que deseamos resumir toda la informaci\'on obtenida
hasta aqu\'i, para poder tener las herramientas necesarias que nos
ayuden en la representaci\'on gr\'afica de la par\'abola.\\


\begin{caja}[Resultado:]

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$,\, tal que $f(x)=ax^{2}+bx+c$\, donde
$a,\;b\;\mbox{y}\;c$,\, son constantes reales y $a\neq 0$.\\

Entonces se cumple uno y s\'olo uno de los siguientes casos:\\

\begin{enumerate}

\item[1)] $\;\;\;$$b^{2}-4ac<0\;\;\mbox{y}\;\;a>0$\\
\item[3)] $\;\;\;$$b^{2}-4ac=0\;\;\mbox{y}\;\;a>0$\\
\item[5)] $\;\;\;$$b^{2}-4ac>0\;\;\mbox{y}\;\;a>0$\\

\item[2)] $\;\;\;$$b^{2}-4ac<0\;\;\mbox{y}\;\;a<0$\\
\item[4)] $\;\;\;$$b^{2}-4ac=0\;\;\mbox{y}\;\;a<0$\\
\item[6)] $\;\;\;$$b^{2}-4ac>0\;\;\mbox{y}\;\;a<0$\\

%
 \end{enumerate}
\end{caja}


Con respecto a los casos anteriores obtenemos la siguiente
informaci\'on:\\


\begin{caja}[Caso]
$b^{2}-4ac<0\;\;\mbox{y}\;\;a>0$

\begin{enumerate}
\item $f$\, No interseca el eje $X$\, o sea $f$\, no tiene ceros
reales ($\Delta<0$)\\

\item $f$\, es c\'oncava hacia arriba ($a>0$)\\

\item $f(x)>0,$\, !`siempre! $\forall \; x \in\mathbb{R}$\\

\item Trazo de $f$:\, supongamos $\displaystyle{\frac{-b}{2a}>0}$\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/img08}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig38}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}
\end{caja}


\begin{caja}[Caso]
$b^{2}-4ac<0\;\;\mbox{y}\;\;a<0$

\begin{enumerate}
\item $f$\, No interseca el eje $X$\, o sea $f$\, no tiene ceros
reales ($\Delta<0$)\\

\item $f$\, es c\'oncava hacia abajo ($a<0$)\\

\item $f(x)<0$,\, !`siempre! $\forall\; x \in\mathbb{R}$\\

\item Trazo de $f$:\, supongamos $\displaystyle{\frac{-b}{2a}>0}$

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/img09}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig39}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}
\end{caja}


\begin{caja}[Caso]
$b^{2}-4ac=0\;\;\mbox{y}\;\;a>0$

\begin{enumerate}

\item $f$\, tiene dos ceros reales iguales, que vienen dados por $\displaystyle{\frac{-b}{2a}}$ \,\, ($\Delta=0$)\\

\item $f$\, interseca el eje $X$\, en un punto, a saber $\displaystyle{\left(\frac{-b}{2a},0\right)}$ \\

\item $f$\, es c\'oncava hacia arriba ($a>0$)\\

\item Trazo de $f$:\, supongamos $\displaystyle{\frac{-b}{2a}>0}$\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/img10}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig40}
\end{center}
%\end{figure}

\item $f(x)>0$,\, si $\displaystyle{x\in\mathbb{R} - \left\{\frac{-b}{2a}\right\}}$\\

\end{enumerate}
\end{caja}


\begin{caja}[Caso]

$b^{2}-4ac=0\;\;\mbox{y}\;\;a<0$

\begin{enumerate}

\item $f$\, tiene dos ceros reales iguales, que vienen dados por $\displaystyle{\frac{-b}{2a}}$ \,\, ($\Delta=0$)\\

\item $f$\, interseca el eje $X$\, en un punto, a saber $\displaystyle{\left(\frac{-b}{2a},0\right)}$ \\

\item $f$\, es c\'oncava hacia abajo ($a<0$)\\

\item Trazo de $f$:\, supongamos $\displaystyle{\frac{-b}{2a}>0}$\\

%\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/img11}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig41}
\end{center}
%\end{figure}

\item $f(x)<0$,\, si $\displaystyle{x\in\mathbb{R} - \left\{\frac{-b}{2a}\right\}}$\\

\end{enumerate}
\end{caja}


\begin{caja}[Caso]

$b^{2}-4ac>0\;\;\mbox{y}\;\;a>0$

\begin{enumerate}

\item $f$\, tiene dos ceros reales, $x_{1}\;\;\mbox{y}\;\;x_{2}$
donde $x_{1}=\displaystyle{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$\,\,\,\, y\,\,\,\,
$x_{2}=\displaystyle{\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}$\\\\

\item $f$\, interseca el eje $X$\, en dos puntos, a saber $\displaystyle{(x_{1},0)}$\, y $(x_{2},0)$,\, donde $x_{1},\;x_{2}$\, est\'an dadas en 1. \\

\item $f$\, es c\'oncava hacia arriba ($a>0$)\\

\item Trazo de $f$:\, supongamos $x_{1}<0$\, y $x_{2}>0$\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/img12}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig42}
\end{center}
%\end{figure}

\item $f(x)<0$,\, si $\displaystyle{x\in ]x_{1},x_{2}[}$\\

\item $f(x)>0$,\, si $\displaystyle{x\in \;\;]-\infty,x_{1}[\;\;\cup\;\;
]x_{2},\infty[}$\\\\
\end{enumerate}
\end{caja}


\begin{caja}[Caso]
$b^{2}-4ac>0\;\;\mbox{y}\;\;a<0$

\begin{enumerate}
\item $f$\, tiene dos ceros reales ($\Delta >0$),
$x_{1}\;\;\mbox{y}\;\;x_{2}$ donde
$x_{1}=\displaystyle{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}$\,\,\,\, y\,\,\,\,
$x_{2}=\displaystyle{\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}$\\\\

\item $f$\, interseca el eje $X$\, en dos puntos, a saber $\displaystyle{(x_{1},0)}$\, y $(x_{2},0)$,\, donde $x_{1},\;x_{2}$\, est\'an dadas en 1. \\

\item $f$\, es c\'oncava hacia abajo ($a<0$)\\

\item Trazo de $f$:\, supongamos $x_{1}<0$\, y $x_{2}>0$\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/img13}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig43}
\end{center}
%\end{figure}

\item $f(x)>0$,\, si $\displaystyle{x\in ]x_{1},x_{2}[}$\\

\item $f(x)<0$,\, si $\displaystyle{x\in \;\;]-\infty,x_{1}[\;\;\cup\;\; ]x_{2},\infty[}$\\
\end{enumerate}
\end{caja}


Para realizar el trazo de una funci\'on cuadr\'atica la
informaci\'on anterior es muy importante.\\

\begin{ejemplo}

Realice el trazo de la funci\'on $f$\, definida por
$f(x)=-2x^{2}+7x-3$.\\

\wsolu

De acuerdo con la notaci\'on $f(x)=ax^{2}+bx+c$,\, en este caso
$a=-2,\;\;b=7\;\;\mbox{y}\;\;c=-3$\\

\begin{enumerate}

\item Determinemos el discriminante de $f$:\\

Sabemos que $\Delta =b^{2}-4ac\; \; \Longrightarrow \; \; \Delta
=49-4(-2)(-3),$\, o sea $\Delta = 25$\\

\item Determinemos el v\'ertice de la par\'abola
$\displaystyle{\left(\frac{-b}{2a},f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)}$\\\\

$\displaystyle{\frac{-b}{2a}=\frac{-7}{2(-2)}=\frac{-7}{-4}=\frac{7}{4}}$\\\\

$\displaystyle{f\left(\frac{7}{4}\right)=-2\left[\frac{7}{4}\right]^{2}+7\left[\frac{7}{4}\right]-3=-2\left[\frac{49}{16}\right]+\frac{49}{4}-3}$\\\\

$\displaystyle{\frac{-98}{16}+\frac{49}{4}-3=\frac{-98+196-48}{16}=\frac{50}{16}=\frac{25}{8}}$\\\\

Por lo que el v\'ertice es:

\begin{equation}\label{Cap6eq10}
\displaystyle{\left(\frac{7}{4},\frac{25}{8}\right)}
\end{equation}

\item Intersecciones con los ejes coordenados.\\

\begin{enumerate}

\item[a)] Intersecci\'on de la par\'abola con el eje $X$.\\
como $\Delta >0$,\, $f$\, tiene dos ceros reales diferentes.\\

$x_{1}=\displaystyle{\frac{-7-\sqrt{25}}{2\cdot
(-2)}=\frac{-7-5}{-4}=\frac{-12}{-4}=3}$,\, por lo tanto
$x_{1}=3$\\\\

$x_{2}=\displaystyle{\frac{-7+\sqrt{25}}{2\cdot
(-2)}=\frac{-7+5}{-4}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}}$,\, por lo tanto
$x_{2}=\displaystyle{\frac{1}{2}}$\\

Por lo anterior la par\'abola interseca al eje $X$\, en:

\begin{equation}\label{Cap6eq11}
(3,0)\mbox{ y }\left(\displaystyle{\frac{1}{2},0}\right)
\end{equation}

\item[b)] Intersecci\'on de la par\'abola con el eje $Y$\\

Dado que la intersecci\'on de la par\'abola con el eje $Y$\, es el
punto $(0,c),$\, en este caso es $(0,-3)$\\
\end{enumerate}

\item Concavidad\\

En este caso como $a=-2$,\, o sea $a<0$,\, entonces:

\begin{equation}\label{Cap6eq12}
f\mbox{ es c\'oncava hacia abajo.}
\end{equation}

\item Con la informaci\'on obtenida en \ref{Cap6eq10}, \ref{Cap6eq11}  y \ref{Cap6eq12}
construimos la siguiente tabla de valores\\

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
      &     &                    &                    & \\
  $x$ & $0$ & $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ & $\displaystyle{\frac{7}{4}}$ & $3$ \\
   \hline
      &     &                    &                    & \\
  $-x^{2}-7x-3$ & $-3$ & $0$ & $\displaystyle{\frac{25}{4}}$ & $0$  \\
\end{tabular}
\end{center}

\item Trazo de $f$\\

Por la tabla anterior y \ref{Cap6eq12}, el trazo correspondiente a $f$\, es:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/img15}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig44}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Realice el trazo de la funci\'on $f$\, definida por
$f(x)=x^{2}+3$\\

 \wsolu

De acuerdo con la notaci\'on $f(x)=ax^{2}+bx+c$,\, en este caso
$a=1,\;\;b=0\;\;\mbox{y}\;\;c=3$\\


\begin{enumerate}
\item Determinemos el discriminante de $f$:\\

Sabemos que $\Delta =b^{2}-4ac\; \; \Longrightarrow \; \; \Delta
=0-4(1)(3)=-12,$\, o sea $\Delta = -12$\\

\item Determinemos el v\'ertice de la par\'abola
$\displaystyle{\left(\frac{-b}{2a},f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)}$\\

$\displaystyle{\frac{-b}{2a}=\frac{-0}{2(1)}=0}$\\

Adem\'as $f(0)=3$.\, Por lo que el v\'ertice es:

\begin{equation}\label{Cap6eq13}
(0,3)
\end{equation}

\item Intersecciones con los ejes coordenados.\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Intersecci\'on de la par\'abola con el eje $X$.\\

Como $\Delta <0$,\, $f$\,no tiene ceros reales y por lo tanto no
interseca al eje $X$.\\

\item[b)] Intersecci\'on de la par\'abola con el eje $Y$\\

Dado que la intersecci\'on de la par\'abola con el eje $Y$\, es el
punto $(0,c),$\, en este caso es:

\begin{equation}\label{Cap6eq14}
(0,3)
\end{equation}

\end{enumerate}

\item Concavidad\\

Como $a=1$,\, o sea $a>0$,\, entonces:

\begin{equation}\label{Cap6eq15}
f\mbox{ es c\'oncava hacia arriba.}
\end{equation}

\item Con la informaci\'on obtenida anteriormente, conocemos \'unicamente un punto de la
par\'abola, a saber $(0,3)$\\

Dado que es conveniente conocer otros puntos de la par\'abola para
realizar su trazo, calcularemos la imagen por $f$\, de $1$\, y
$-1$,\, de la manera siguiente:\\

\begin{enumerate}
\item[a)] $f(1)=1^{2}+3=4,\;\;\mbox{o sea}\;\;f(1)=4$\\
\item[b)] $f(-1)=(-1)^{2}+3=4,\;\;\mbox{o sea}\;\;f(-1)=4$\\
\end{enumerate}
As\'i  $(1,4)$\, y $(-1,4)$\, pertenecen a la par\'abola y
construimos la siguiente tabla de valores:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
   $x$ & $0$  & $-1$  & $1$   \\
   \hline
         &      &      &        \\
   $x^{3}+3$ &  $3$ & $4$  & $4$    \\
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Nota} Los n\'umeros $1$\, y $-1$,\, se escogieron
apropiadamente.

\item Trazo de $f$\\

Por la tabla anterior y \ref{Cap6eq15} el trazo correspondiente a $f$\,
es:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/img17}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig45}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}
\end{ejemplo}

\textbf{Ejercicio}\\

Realizar la representación gráfica de las siguientes funciones,  \begin{enumerate}

\item $f(x)=-x^{2}+1$

\item $f(x)=-4x^{2}+x$

\item $f(x)=4x^{2}+4x+1$

\item $f(x)=x^{2}+x+6$

\item $f(x)=x^{2}+x-6$

\item $f(x)=-x^{2}+2x-1$

\end{enumerate}



\section{Funciones polinomiales}
% === Cap2 - Polinomios ===


\begin{definicion}
Se llama polinomio a toda expresi\'on algebraica que es monomio o una suma de monomios.
\end{definicion}

\inxx{Polinomios}



\begin{ejemplo}
Ejemplos de polinomios \\ \\

\mpage{
a.)  $ \, \, \, 5$ \\ \\
b.)  $ \, \, \, 3 \, x^2 \, y$ \\ \\
c.)  $ \, \, \, \sqrt{5} \, \, x^3 \, y^2 \, z \, + \, 4$ \\ \\
}{
d.)  $ \, \, \, 0$ \\ \\
e.)  $ \, \, \, 2xy^2 \, + \, y \, + \, \displaystyle{{x\over3}}$ \\ \\
f.)  $\displaystyle{ \, \, \, {xyw\over3} \, - \, {xy\over2} \, - \, {yw}}$ \\ \\
}
\end{ejemplo}


\begin{definicion}
Si un polinomio est\'a formado por la suma de dos monomios no semejantes entre s\'i recibe
el nombre de {\rm{binomio.}}
\end{definicion}


\begin{definicion}
Si un polinomio est\'a formado por la suma de tres monomios no semejantes entre s\'i (dos
a dos) recibe el nombre de {\rm{trinomio.}}
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] Son binomios:\\

\begin{tabular}{ccc}
$i.)$ $\,\,x+8$ \;\;& $ii.)$$\;\;x^2-3y^2$ & $iii.)$$\,\,\displaystyle{{{x^2y}\over{7}}+{{ab^2c}\over{\sqrt{5}}}}$ \\
\end{tabular}

\item[b.)] Son trinomios:\\

\begin{tabular}{ccc}
$i.)$ $\,\, a^2-ab+b$ & $ii.)$ $\,\, y^2+y+1$ & $iii.)$ $\,\,a^2bc-5b^2ac^2+8$ \\
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\begin{definicion}
Si un polinomio no involucra variable recibe el nombre de {\rm{polinomio constante.}}\\
\end{definicion}


\begin{definicion}
Si un polinomio involucra $n$ variables recibe el nombre de {\rm{polinomio en
$n$ variables}}
\end{definicion}

\begin{ejemplo}

$i.)$  $\, \, \, \, x^2y+x+y^2$ es un polinomio en dos variables.\\ \\
$ii.)$  $\, \, \, \, x^2-3x+1$ es un polinomio en una variable.\\ \\
$iii.)$  $\displaystyle{\, \, \, \, {3\over2}\sqrt{2}}$ es un polinomio constante.\\ \\
\end{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[1.)] Dado un polinomio en una variable $x$; \'este se puede
denotar por alguna de las siguientes expresiones:
\begin{center}
$A(x), \, \, B(x), \, \, C(x), \, . . .\, , \, \, P(x), \, \,
Q(x), \, . . . \, ,W(x)$
\end{center}

\item[2.)] Dado un polinomio en dos variables $x$ e $y$; \'este se
puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:
\begin{center}
$A(x,y), \, \, B(x,y), \, \, C(x,y), \, . . . \, , \, \, P(x,y),
\, \, Q(x,y), \, . . . \, ,W(x,y)$
\end{center}

\item[3.)] Dado un polinomio en tres variables $x, y, z$; \'este
se
puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:
\begin{center}
$A(x,y,z), \, \, B(x,y,z), \, \, C(x,y,z), \, . . . \, , \, \,
P(x,y,z), \, \, Q(x,y,z), \, . . .\, ,W(x,y,z)$
\end{center}
En forma an\'aloga se denotan los polinomios en $n$ variables
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)]  El polinomio $\; x^2-3x + 1 \;$ se puede denotar por
$A(x)$, y
en tal caso escribimos $A(x)=x^2-3x+1.$ \\
\item[b.)]  El polinomio $\; 3a^2b - 2a + ab \;$ se puede denotar
por $R(a,b)$, y
en tal caso escribimos $R(a,b)=3a^2b-2a+ab.$ \\
\item[c.)]  El polinomio $\; xyz + x^2y^2z + yz + xz \;$ se puede
denotar por $A(x,y,z)$, y
en tal caso escribimos $A(x,y,z)= xyz + x^2y^2z + yz + xz.$ \\
\item[d.)]  El polinomio $\; xacyb + x^2ac + ybc \;$ se puede
denotar por $P(a,b,c,x,y)$, y
en tal caso escribimos $P(a,b,c,x,y)= xacyb + x^2ac + ybc.$
\end{enumerate}

\end{ejemplo}



\subsection*{Divisi\'on de polinomios en una variable}

\inxx{Polinomios, división}
\inxx{Polinomios, cociente}
\inxx{Polinomios, residuo}
\inxx{Polinomios, dividendo}

Podemos observar que al efectuar la suma, la resta y el producto
de dos polinomios, se obtiene otro polinomio. Sin embargo al
dividir un polinomio por otro polinomio el resultado {\rm{{\em{NO}}}}
necesariamente es un polinomio. \\ \\
No obstante en cuanto a la divisi\'on de polinomios se tiene el
siguiente teorema:

\bigskip

\begin{teorema}[(Algoritmo de la divisi\'on)]


Dados dos polinomios $A(x)$ y $B(x)$, con $B(x) \not= 0$, existen \'unicos polinomios
$Q(x)$ y $R(x)$ tales que: \\

$$A(x) \, = \, B(x) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)$$ \\

con el grado de $R(x)$ menor que el grado de $B(x) \, \, o \, \, R(x) \, = \, 0$\\

$A(x)$ recibe el nombre de dividendo, $B(x)$ el de divisor, $Q(x)$ el de cociente y
$R(x)$ el de residuo.\\
\end{teorema}


Los polinomios $Q(x)$ y $R(x)$ se obtiene al efectuar la divisi\'on de $A(x)$ por $B(x)$
mediante el siguiente procedimiento.



\bigskip
\subsubsection{Procedimiento para efectuar la divisi\'on de $A(x)$ por $B(x)$}

\begin{enumerate}
\item[a.)] Ordenar los polinomios $A(x)$ y $B(x)$, en forma
descendente de acuerdo con el exponente de la variable. \\ \\
\item[b.)] Se divide el primer sumando del dividendo (el de mayor
exponente) por el primer sumando del divisor (el de mayor
exponente); el resultado es un sumando del cociente. \\ \\
\item[c.)] Se multiplica el sumando del cociente obtenido en el
paso anterior por el divisor, y el resultado se resta del
dividendo, obteniendo un residuo "parcial". \\ \\
\item[d.)] Si el residuo obtenido en el paso anterior es cero o de
grado menor que el divisor, ah\'i termin\'o el procedimiento, en
caso contrario se repiten los pasos $(a)$, $(b)$, $(c)$ y $(d)$,
pero tomando como dividendo el residuo obtenido en el paso
anterior.
\end{enumerate}



\begin{ejemplo}
Sea $A(x) = x^{3} \, - \, 5x^2 \, + \, x \, - \, 1$ y $B(x) = x \, - \, 1$ \\

Efect\'ue la divisi\'on de $A(x)$ por $B(x)$, e indique el cociente y el residuo \\ \\


\wsolu\\

\begin{tabular}{llclclclc|clcl}
  & $\;x^3$  & - & $5x^2$ & + & $x$ & - & $1$ & & & $x-1$\\ \cline{10-11}

- & $(x^3$ & - & $\;x^2)$ &   &     &   &     & & & \\ \cline{1-9}
  &        &   &        &   &     &   &     & & & $x^2-4x-3$\\
  &        & - & $4x^2$ & + & $x$ & - & $1$ & & &\\
  &     -  & (-& $4x^2$ & + & $4x)$&   &     & & &\\ \cline{1-9}
  &        &   &        &   &     &   &     & & &\\
  &        &   &        & - & $3x$ & - & $1$ & & &\\
  &        &   &   -    &(- & $3x$ & + & $3)$& & &\\  \cline{1-9}
  &        &   &        &   &     &   &     & & &\\
  &        &   &        &   &      & - & $4$ & & &\\ \\
\end{tabular}

Aqu\'i el cociente es $x^2-4x-3$ y el residuo es $-4$.

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Efectuar la divisi\'on de $A(x)$ por $B(x)$ donde $A(x) = 2 \, - \, x^5; \, \, \, B(x) =
x^2 \, + \, x$ \\ \\


\wsolu\\



\begin{tabular}{llllllllllllc|cl}
$-$ & $x^5$ & $+$ & $0x^4$ & $+$ & $0x^3$ & $+$ & $0x^2$ & $+$ & $0x$ & $+$ & $2$ & & & $x^2+x$\\
\cline{14-15} $-$ & $(-x^5$& $-$ & $x^4)$ &  &  &  &  &  &  &  &
& & &\\ \cline{1-13}
&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & $-x^3+x^2-x+1$\\
&  &  & $x^4$ & $+$ & $0x^3$ & $+$ & $0x^2$ & $+$ & $0x$ & $+$ & $2$ & &\\
&  & $-$ & $(x^4$& + & $x^3)$  &   &   &   &   &   &   &  &\\
\cline{1-13}
  &  &  &  &   &   &   &    &   &   &   &   &   &   &\\
  &  &  &  & $-$ & $x^3$ & $+$ & $0x^2$ & $+$ & $0x$ & $+$ & $2$ &\\
  &  &  &   & $-$ & $(-x^3$ & $-$ & $x^2)$ & & & & &\\ \cline{1-13}
  &  &  &  &  &  &  &   &   &   &  & & & &\\
  &  &  &  &  &  &   & $x^2$ & $+$ & $0x$ & $+$ & $2$ &\\
  &  &  &  &  &  & - & $(x^2$ & $+$ & $x)$ & & &\\ \cline{1-13}
  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & & & &\\
  &  &  &  &  &  &  &  & $-$ & $x$ & $+$ & $2$ & & &\\ \\
\end{tabular}



 Aqu\'i el cociente es $-x^3 \, + \, x^2 \, - \, x \, + \, 1$
y el
residuo es $-x \, + \, 2$ \\ \\


Adem\'as: \\ \\
$-x^5 \, + \, 2 \, = \, (x^2 \, + \, x) \, (-x^3 \, + \, x^2 \, -
\, x \, + \, 1 ) \, + \, (-x \, + \, 2)$

\end{ejemplo}

\bigskip

\begin{teorema}
Sean $A(x), \, \, B(x), \, \, Q(x) \, \, $ y $ \, \, R(x)$
polinomios tales que $B(x) \not= 0$ \\ \\

Si $A(x) = B(x) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)$ entonces
$\displaystyle{{A(x) \over B(x)} \, = \, Q(x) \, + \, {R(x) \over
B(x) }}$ \\ \\
\end{teorema}


\textbf{Demostraci\'on:}\\

\begin{tabular}{lcccl}
$A(x) = B(x) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)$ &
$\displaystyle{\Longrightarrow}$ & $\displaystyle{{A(x) \over
B(x)}}$ & = & $\displaystyle{{B(x) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)}
\over
B(x)}$ \\ \\
& $\displaystyle{\Longrightarrow}$ & $\displaystyle{{A(x) \over
B(x)}}$ & = & $\displaystyle{{{B(x) \, \cdot \, Q(x)}\over{B(x)}} \,
+ \, {{R(x)}\over{B(x)}}}$ \\ \\
& $\displaystyle{\Longrightarrow}$ & $\displaystyle{{A(x) \over
B(x)}}$ & = & $\displaystyle{{Q(x)} \,
+ \, {{R(x)}\over{B(x)}}}$ \\ \\
\end{tabular}

Por lo que: $\displaystyle{{A(x) \over B(x)} = Q(x) \, + \, {R(x) \over B(x)}}$


\bigskip

\begin{ejemplo}


\begin{enumerate}
\item[a.)] Como $x^3 \, - \, 5x^2 \, + \, x \, - \, 1 \, = \, (x
\, - \, 1)(x^2 \, - \, 4x \, - \,
3)-4$ \\ \\
entonces por el teorema anterior se cumple que: \\ \\

 $\displaystyle{{{x^3-5x^2+x-1} \over {x-1}} =
{{x^2-4x-3} - {{4}\over{x-1}}}}$ \\

\item[b.)] Como $-x^5+2 =(x^2+x)(-x^3+x^2-x+1)+({-x+2})$ \\ \\
entonces por el teorema anterior se cumple que: \\ \\


$\displaystyle{{{-x^5+2}\over{x^2+x}}={{-x^3+x^2-x+1}+{{-x+1}\over{x^2+x}}}}$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}

\bigskip

\textbf{Ejercicio}\\

\ejersol{   Para cada par de polinomios $A(x)$ y $B(x)$ que se definen a continuaci\'on, realice
la divisi\'on de $A(x)$ por $B(x)$ e indique el cociente y el residuo que se obtiene al
efectuar esta divisi\'on: \\
\begin{enumerate}

\item \;\; $\;\;\;$      $A(x) = 6x^5-5x^4-7x^2+3$\hspace{0.2cm} ; $B(x) = 3x^3-4x^2-x+1$

\item \;\; $\;\;\;$      $A(x) = 2x^7-5x^5+8x^3+3x$\hspace{0.2cm} ; $B(x) = 2x^3-x$

\item \;\; $\;\;\;$      $A(x) = x^3-5x^2-8x-4$\hspace{0.2cm} ;$B(x) = x-2$

\item \;\; $\;\;\;$      $A(x) = 3x-5x^2+9+x^3$\hspace{0.2cm} ;$B(x) = 3-x$

\item \;\; $\;\;\;$       $A(x) = 2x^4-3x^2-6x^3+1-3x$\hspace{0.02cm} ;$B(x) = -3x+x^2+1$
\end{enumerate}
}{

\begin{enumerate}
\item El cociente es $2x^2 + x + 2$ y el residuo es $x + 1 $.
\item El cociente es $x^4 - 2x^2 + 3$ y el residuo es $6x$.
\item El cociente es $x^2 - 3x -14$ y el residuo es $-32$.
\item El cociente es $-x^2 + 2x + 3$ y el residuo es $0$.
\item El cociente es $2x^2 - 5$ y el residuo es $-18x + 6$.

\end{enumerate}


}

\begin{definicion}
Sean $A(x)$ y $B(x)$ dos polinomios con $B(x) \not= 0$. Si al dividir $A(x)$ por $B(x)$ se
obtiene como {\rm{residuo cero}} entonces decimos que {\em{$A(x)$ es divisible por $B(x)$}}
y se cumple que: $A(x) = B(x) \, \cdot \, Q(x)$; donde $Q(x)$ es el cociente que se obtiene al
dividir $A(x)$ por $B(x)$.
\end{definicion}


\begin{ejemplo}
Sean $A(x)$ y $B(x)$ polinomios tales que: \\ \\
$A(x) = x^3-4x^2+2x+1; \, \, \, B(x) = x^2-3x-1$ \\ \\
Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir
$A(x)$ por $B(x)$. \\
?`Es $A(x)$ divisible por $B(x)$? \\ \\


\wsolu\\


\mpage[0.7][0.3]{
\begin{tabular}{llllllllc|cl}
   & $x^3$ & $-$ & $4x^2$ & $+$ & $2x$ & $+$ & $1$ & & &
   $x^2-3x-1$\\ \cline{10-11}
-  & $x^3$ & $+$ & $3x^2$ & $+$ & $x$  &     &     & & &\\
\cline{1-9}
   & & & & & & & & & & $x-1$\\
   & & $-$ & $x^2$ & $+$ & $3x$ & $+$ & $1$ & &\\
   & &     & $x^2$ & $-$ & $3x$ & $-$ & $1$ & &\\ \cline{1-9}
   & & & & & & & & & &\\
   & & & & & & & $0$ & & &\\
\end{tabular}
}{
Por lo que el cociente es $x-1$ y el residuo es $0$. \\
Como en este caso el residuo es $0, \, \, \, A(x)$ es divisible por $B(x)$. \\ \\
}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
\ejersol{   Para cada par de polinomios $A(x)$ y $B(x)$ que se definen a continuaci\'on, determine
el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $A(x)$ por $B(x)$.\\

?`Es $A(x)$ divisible por $B(x)$? Justifique su respuesta.\\

\begin{enumerate}

\item \;\; $\;\;\;$      $A(x) = -3x^3+2x^2-3x+1$\hspace{0.2cm} ;$B(x) = 1+x^2$

\item \;\; $\;\;\;$      $A(x) = 5x^4+10x^3+4x^2+7x-2$\hspace{0.2cm} ;$B(x) = x+2$

\item \;\; $\;\;\;$      $A(x) = 2x-4x^2+3x^3-1$\hspace{0.2cm} ;$B(x) = 1+2x+x^2$

\item \;\; $\;\;\;$      $A(x) = 2x^4+3x^3-x-5$\hspace{0.2cm} ;$B(x) = -5+2x^3+2x-x^2$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}

\item El cociente es $-3x + 2$ y el residuo es $-1$, como el residuo es $\not= 0$, entonces $A(x)$ no es divisible por $B(x)$.

\item El cociente es $5x^3 + 4x -1$ y el residuo es $0$, como el residuo es igual a $0$, entonces $A(x)$ es divisible por $B(x)$.

\item El cociente es $3x - 10$ y el residuo es $19x + 9$, como el residuo es $\not= 0$, entonces $A(x)$ no es divisible por $B(x)$.

\item El cociente es $x + 2$ y el residuo es $5$, como el residuo es $\not= 0$, entonces $A(x)$ no es divisible por $B(x)$.

\end{enumerate}

}


\textbf{Observación}\\

Si $A(x)$ es un polinomio de grado $n$, con $n > 1$ y si $B(x)$ es un polinomio de grado
$1,$\, entonces al dividir $A(x)$\, por $B(x)$ se obtiene: \\

a.)  Como cociente un polinomio $Q(x)$ de grado $n-1$ y \\

b.)  Como residuo una constante \\


\begin{ejemplo}
Si $A(x) = 2x^3+x+1 \, \, \, \,$ y $ \, \, \, \, B(x) = 2x + 1$
\\ \\
Al dividir $A(x)$ por $B(x)$ se tiene: \\ \\

\mpage[0.6][0.4]{
\begin{tabular}{llllllllc|cl}
    & $2x^3$ & $+$ & $0x^2$ & $+$ & $x$ & $+$ & $1$ & & & $2x+1$\\
    \cline{10-11}
$-$ & $2x^3$ & $-$ & $x^2$  &     &     &     &     & & &\\
\cline{1-9}
&&&&&&&&&& $\displaystyle {x^2-{1\over2}x+{3\over4}}$\\
& & $-$ & $x^2$ & $+$ & $x$ & $+$ & $1$ &&&\\
& &     & $x^2$ & $+$ & $\displaystyle {{1\over2}x}$ &&&&&\\ \cline{1-9}
&&&&&&&&&&\\
& & & & & $\displaystyle {{3\over2}x}$ & $+$ & $1$ &&&\\
&&&&&&&&&&\\
& & & &$-$ & $\displaystyle {{3\over2}x}$ & $-$ & $\displaystyle {{3\over4}}$ &&&\\
\cline{1-9}
&&&&&&&&&&\\
&&&&&&&$\displaystyle {{1\over4}}$&&&\\
\end{tabular}
}{
En este caso se tiene que $A(x)$ es un polinomio de grado 3 y el cociente es un polinomio de grado
$2$. \\
Adem\'as el residuo es una constante. \\
}
\end{ejemplo}
\bigskip

\begin{teorema}
Si $P(x)$ es un polinomio de grado $n, \, \, n > 1$ y $\alpha \in I \!\!R$ entonces
$P(\alpha)$ es igual al residuo que se obtiene al dividir $P(x)$ por $x-\alpha$.
\end{teorema}


\textbf{Demostraci\'on:}\\

Como $P(x)$ y $x-\alpha$ son polinomios, por el algoritmo de la divisi\'on, existen
polinomios $Q(x)$ y $R(x)$ tales que: \\

\hspace{1.8cm}$P(x) = (x-\alpha) \, \cdot \, Q(x) \, + \, R(x)$ \\ \\

Pero por la observaci\'on anterior, $R(x)$ es una constante $C$ o sea
\begin{equation}\label{c2eq1}
P(x) = (x-\alpha) \, Q(x) \, + \, C
\end{equation}

donde C es el residuo que se obtiene al dividir $P(x)$ por $x-\alpha$ \\ \\

Tenemos que demostrar que $P(\alpha) = C$ \\ \\

Suatituyendo la $x$ por $\alpha$ en \ref{c2eq1} se tiene: \\ \\

$P(\alpha) = (\alpha \, - \, \alpha) \, Q(\alpha) \, + \, C$ \\

$P(\alpha) = 0 \, \cdot \, Q(\alpha) \, + \, C$ \\

$P(\alpha) = C \, \, $;  que es lo que se quer\'ia demostrar.



\begin{ejemplo}
Si $P(x) = 3x^2+x+1$ y $B(x) = x-4$, al dividir $P(x)$ por $B(x)$ se tiene que: \\ \\

\mpage[0.6][0.4]{
\begin{tabular}{llllllc|cl}
  & $3x^2$ & $+$ & $x$ & $+$ & $1$ & & & $x-4$\\ \cline{8-9}
- & $3x^2$ & $+$ & $12x$ &  & & & &\\ \cline{1-7}
  & & & & & & & & $3x+13$\\
  & & & $13x$ & $+$ & $1$ &&&\\
  & & $-$ & $13x$ & $+$ & $52$ &&&\\ \cline{1-7}
  & & & & & & & & \\
  & & & & & $53$ & & & \\
\end{tabular}
}{
En este caso tenemos que el residuo que se obtiene al dividir $3x^2+x+1$ por $x-4$ es $53$.\\ \\
Luego:\\\\
$P(4) = 3(4)^2+4+1 = 3(16)+4+1 = 48+4+1 = 53,$ \\
o sea $P(4) = 53$\\ \\
}
\end{ejemplo}


\begin{definicion}
Sea $P(x)$ un polinomio y sea $\alpha$ un n\'umero real, $\alpha$ es un cero de $P(x)$ si
y s\'olo s\'i $P(\alpha) = 0$\\
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] Sea $P(x) = x^2-x-6$; se tiene que $3$ y $-2$ son ceros
de
$P(x)$ porque: \\ \\
$P(3) = 3^2-3-6 = 9-3-6 = 0,\;$ as\'i $\;P(3) = 0$ \\ \\
$P(-2) = (-2)^2-(-2)-6 = 4+2-6 = 0,\;$ as\'i $\;P(-2) = 0$ \\ \\
\item[b.)] Sea $A(x) = x^3+8$; se tiene que -2 es un cero de
$A(x)$
porque: \\ \\
$A(-2) = (-2)^3+8 = -8+8 = 0,\;$ as\'i $P(-2) = 0$
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\subsection*{Divisi\'on Sint\'etica}

\inxx{Polinomios, división sintética}

La divisi\'on sint\'etica es un procedimiento "abreviado'' para determinar el cociente y
el residuo que se obtiene al dividir un polinomio $P(x)$ de grado $n, \, \, \, n \geq 1$,
por un polinomio de la forma $x-\alpha$, con $\alpha \in I \! \! R$, a partir de los
coeficiente de $P(x)$ y el cero de $x-\alpha$. \\

El procedimiento que usaremos para realizar la divisi\'on sint\'etica de un polinomio
$P(x)$, por un polinomio de la forma $x-\alpha$, lo ilustraremos a trav\'es de ejemplos.


\begin{ejemplo}
Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que:\\

$P(x) = 4x^3+3x^2-5x+2; \, \, \, \, Q(x) = x-3$\\

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir
$P(x)$ por $Q(x)$: \\

a.) Usando el m\'etodo estudiado anteriormente (Divisi\'on larga)
\\

b.) Usando divisi\'on sint\'etica

\bigskip
\wsolu


a.)

\mpage[0.8][0.2]{
\begin{tabular}{llllllllc|cl}
    & $4x^3$ & $+$ & $3x^2$ & $-$ & $5x$ & $+$ & $2$ & & & $x-3$\\
   \cline{10-11}
$-$ & $4x^3$ & $+$ & $12x^2$ & & & & & & &\\ \cline{1-9}
    &&&&&&&&&& $4x^2+15x+40$\\
    &&& $15x^2$ & $-$ & $5x$ & $+$ & $2$&&&\\
    &&$-$&$15x^2$&$+$&$45x$&&&&&\\ \cline{1-9}
    &&&&&&&&&&\\
    &&&&&$40x$&$+$&$2$&&&\\
    &&&&$-$&$40x$&$+$&$120$&&&\\ \cline{1-9}
    &&&&&&&&&&\\
    &&&&&&&$122$&&&\\
\end{tabular}
}{Por lo que al dividir $P(x)$ por $Q(x)$ se obtiene $4x^2+15x+40$ como cociente y 122 como
residuo.
}\\

\bigskip

b.) Usando divisi\'on sint\'etica, $P(x)$ se divide
por $Q(x)$ de la siguiente manera: \\ \\

\begin{tabular}{lclclclclc|cl}
Coeficiente de $P(x) \Longrightarrow$ & & $4$ & & $3$ & & $-5$ & &
$2$ & & $3$ & $\Longrightarrow$ Cero de $x-3$\\ \cline{11-11}
&&&&&&&&&&&\\
&&&&$12$&&$45$&&$120$&&&\\ \cline{3-10} &&&&&&&&&&&\\
Coeficientes del cociente $\Longrightarrow$& & $4$ & & $15$ & &
$40$ & & $\underline{122}$ & & &$\leftarrow$
Residuo\\ \\
\end{tabular}


Donde los n\'umeros 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente
y 122 el residuo de la divisi\'on.\\ \\

Observe que, seg\'un la parte (a) de este ejercicio, los n\'umeros
obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y
el residuo, como se muestra en el esquema anterior. \\ \\

Los n\'umeros representados en la primera fila son los
coeficientes de $P(x)$ (dividendo) y el cero de $x-3$ (divisor).
\\ \\

Los n\'umeros representados en la segunda fila se obtienen de la
siguiente forma: \\

$12$ es el producto de $4$ y $3$\\

$45$ es el producto de $15$ y $3$\\

$120$ es el producto de $40$ y $3$\\

Los n\'umeros representados en la tercera fila se obtienen de la
siguiente forma: \\

$4$ es el coeficiente de $x^3$ en $P(x)$\\

$15$ es la suma de $3$ y $12$\\

$40$ es la suma de $-5$ y $45$\\

$122$ es la suma de $2$ y $120$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que: $P(x) = -8x^3+x^4-16+2x; \, \, \, Q(x) = x-8$. \\
Usando divisi\'on sint\'etica, determine el cociente $C(x)$ y el
residuo $R(x)$ que se obtiene al dividir $P(x)$ por $Q(x)$.


\wsolu\\

Ordenando $P(x)$ en forma descendente de acuerdo a su grado, se
obtiene:\\ \\
$P(x) = x^4-8x^3+0x^2+2x-16$, y realizando la divisi\'on se
tiene: \\


\begin{tabular}{lclclclclc|cl}
$1$ & & -8 & & $0$ & &$2$ & &-16 & & $8$\\ \cline{11-11}
    & & $8$  & & $0$ & & $0$ & & $16$  & &\\ \cline{1-10}
$1$ & & $0$ & & $0$ & & $2$ & & $0$ & &\\
\end{tabular}

\hspace{4.5cm} $\hookrightarrow Residuo$\\


Los n\'umeros 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el
n\'umero 0 es el residuo.\\

Por lo que $C(x) = x^3+0x^2+0x+2$ o sea $C(x) = x^3+2$ y $R(x) =
0 $ \\
\end{ejemplo}


\begin{nota}

Observe que al realizar la divisi\'on sint\'etica, tanto los coeficientes del dividendo
que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, deben escribirse.
\end{nota}


\begin{ejemplo}
Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios tales que: $P(x) = x^3+x$ y $Q(x)
= x+4$ \\
Usando divisi\'on sint\'etica determine el cociente $C(x)$ y
$Q(x)$.



\wsolu\\

Como $P(x) = x^3+0x^2+x+0$ y el cero de $x+4$ es $-4,$ tenemos que: \\
\\
\begin{tabular}{lclclclc|cl}
$1$ & & 0 & & $1$ & & $0$ & & $-4$\\ \cline{9-9}
    & & $-4$  & & $16$ & & $-68$ & &\\ \cline{1-8}
$1$ & & $-4$ & & $17$ & & $-68$ & &\\ \\
\end{tabular}

Por lo tanto el cociente que se obtiene, al dividir $P(x)$ por
$Q(x)$ es $x^2-4x+17$ y el residuo es -68.
\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios  }
\ejersol{   Para cada par de polinomios $A(x)$ y $B(x)$ que se definen a continuaci\'on, determine por
divisi\'on sint\'etica el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $A(x)$ por $B(x)$: \\
\begin{enumerate}
\item \;\; $A(x) = x^5-32; \, \, \, \, B(x) = x-2$

\item \;\; $A(x) = -7x^2+8x+5x^3+1; \, \, \, \, B(x) = x-3$

\item \;\; $A(x) = x^3+27; \, \, \, \, B(x) = x+3$

\item \;\; $A(x) = x^3+2-3x; \, \, \, \, B(x) = x+5$

\item \;\; $A(x) = x^4-x; \, \, \, \, B(x) = x+1$

\item \;\; $A(x) = 6-5x+4x^2; \, \, \, \, B(x) = x+2$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item El cociente es $x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16$ y el residuo es $0$.
\item El cociente es $5x^2 + 8x + 32$ y el residuo es $97$.
\item El cociente es $x^2 - 3x + 9$ y el residuo es $0$.
\item El cociente es $x^2 - 5x + 22$ y el residuo es $-108$
\item El cociente es $x^3 - x^2 + x -2$ y el residuo es $2$
\item El cociente es $4x - 13$ y el residuo es $32$
\end{enumerate}
}


\begin{ejemplo}
Sea $P(x)$ un polinomio tal que: $P(x) = x^5-3x^4+8x^2-2$; usando divisi\'on sint\'etica
determine $P(-2)$ y $P(1)$ \\ \\

\wsolu\\

 Recuerde que $P(\alpha)$ es igual al residuo que se obtiene
al
dividir $P(x)$ por $x-\alpha$. \\
Efectuando las divisiones correspondientes se tiene: \\ \\

\mpage{
\begin{tabular}{lclclclclclc|cl}
1 && -3 && 0 && 8  && 0 && -2 && -2\\ \cline{13-13}
  &&    &&   &&    &&   &&    &&\\
  && -2 && 10 && -20 && 24 && -48 &&\\ \cline{1-12}
  &&    &&   &&    &&   &&    &&\\
1 && -5 && 10 && -12 && 24 && $\fbox{-50}$&&\\
\end{tabular}
}{}



\mpage{
\begin{tabular}{lclclclclclc|cl}
1 && -3 && 0 && 8  && 0 && -2 && 1\\ \cline{13-13}
  &&    &&   &&    &&   &&    &&\\
  && 1 && -2 && -2 && 6 && 6 &&\\ \cline{1-12}
  &&    &&   &&    &&   &&    &&\\
1 && -2 && -2 && 6 && 6 && $\fbox{4}$&&\\
\end{tabular}
}{}


\vspace{1cm}
Por lo tanto $P(-2)=-50$ y $P(1)=4$\\
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
\ejersol{   Sea $P(x)$ un polinomio tal que $P(x) = x^3-2x^2-9x+18$. Usando divisi\'on sint\'etica determine $P(1), \, \, P(2), \, \,P(-3), \, y \, P(-4)$.

}{
\begin{enumerate}

\item $P(1)= 8$
\item $P(2)= 0$
\item $P(-3)= 0$
\item $P(-4)= -42$
\end{enumerate}
}




% === Cap2 - Factorizaci\'on de Polinomios ===

\inxx{Polinomios, factorización}



\begin{definicion}
Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes reales. \\

Si existen polinomios $A(x)$ y $B(x)$ no constantes, con coeficientes reales tales que
$P(x) = A(x) \, \cdot \, B(x)$ entonces decimos que $P(x)$ es factorizable en el conjunto de los
n\'umeros reales.
\end{definicion}


\begin{definicion}
Sean $A(x), B(x)$ y $P(x)$ polinomios no constantes con coeficientes reales. Si $P(x) = A(x) \,
\cdot \, B(x)$ entonces decimos que $A(x)$ y $B(x)$ son factores de $P(x)$.
\end{definicion}


\begin{definicion}
Sean $A(x), B(x)$ y $P(x)$ polinomios no constantes con coeficientes reales. Si $P(x) = A(x)\,
\cdot \, B(x)$ entonces decimos que el producto indicado de $A(x)$ y $B(x)$ es una factorizaci\'on
de $P(x)$.
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] Como $x^2+2x = x(x+2)$, entonces decimos que $x(x+2)$
es
una factorizaci\'on de $x^2+2x$.\\ \\
\item[b.)] Como $x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1)$, entonces decimos que
$(x^2-1)(x^2+1)$ es una factorizaci\'on de $x^4-1$
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{nota} \\

Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes reales; si no existen polinomios $A(x)$ y
$B(x)$ no constantes con coeficientes reales y tales que  $P(x) = A(x) \, \cdot\, B(x)$, entonces
decimos que $P(x)$ no es factorizable en el conjunto de los n\'umeros reales.
\end{nota}


\begin{definicion}
Sea $P(x)$ un polinomio no constante con coeficientes reales tal que $P(x) = A(x)_1 \, \cdot \,
A(x)_2 \, \cdot \, A(x)_3 \, \cdots \, A(x)_n$ donde $A(x)_1 \, \cdot \, A(x)_2 \, \cdot \, A(x)_3 \,
\cdots \, A(x)_n$ son polinomios no constantes con coeficientes reales.\\

Decimos que el producto indicado $A_1 \, \cdot \, A_2 \, \cdot \, A_3 \, \cdots \, A_n$ es una
factorizaci\'on completa de $P(x)$ si cada uno de los polinomios $A(x)_1 \, \cdot \, A(x)_2 \, \cdot \,
A(x)_3 \, \cdots \, A(x)_n$ no es factorizable en el conjunto de los n\'umeros reales.
\end{definicion}




\subsection*{T\'ecnicas de factorizaci\'on}


\inxx{Polinomios, t\'ecnicas de factorizaci\'on}

A continuaci\'on enfocaremos nuestra atenci\'on hacia el estudio de algunas t\'ecnicas que se
utilizan en la factorizaci\'on de polinomios.



\subsubsection{Factorizaci\'on por factor com\'un}

La factorizaci\'on de polinomios por factor com\'un consiste b\'asicamente en la aplicaci\'on de
la propiedad distributiva de la multiplicaci\'on con respecto a la adici\'on, para esto recordemos
que esta propiedad expresa: \\ \\

Si $a \in I \!\!R, \, \, \, b \in I \!\!R, \, \, \, c \in I \!\!R,$ entonces
$a \, \cdot \, (b \, + \, c) =  a \, \cdot \, b \, + \, a\, \cdot \, c$\\

En forma m\'as general, \\

Si $a \in I \!\!R, \, \, \, b_1 \in I \!\!R, \, \, \, b_2 \in I \!\!R, \, \, \, b_3 \in I \!\!R,
\, \, \cdots , \, b_n \in I \!\!R$ entonces: \\

$a(b_1+b_2+b_3+ \cdots \, b_n) \, = \, ab_1+ab_2+ab_3+ \cdots \, ab_n$ y en tal caso decimos que \\

$a(b_1+b_2+b_3+ \cdots \, b_n)$ es una factorizaci\'on de la expresi\'on
$ab_1+ab_2+ab_3+ \cdots \, ab_n$, y que $a$ es un factor com\'un de los sumandos $ab_1, ab_2,
\cdots , ab_n$\\


\begin{ejemplo}
Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:\\

\begin{tabular}{ccc}
a.)  $x^2 \, + \, xy$ &\,\,\,\, b.)  $6xa \, - \, 12xy$ &\,\,\,c.)  $a^2 \, + \, a$ \\ \\
\end{tabular}


\wsolu



\mpage[0.4][0.6]{
a.)  $x^2 \, + \, xy$ \\\\
$= x \, \cdot \, x \, + \, xy$\\\\
$= x(x \, + \, y)$\\
}
{Por lo que la factorizaci\'on de $x^2 \, + \, xy$\, es \,$x(x \, + \,y)$, es decir: \\ \\
$x^2 \, + \, xy \, = \, x(x \, + \, y)$
}


\mpage[0.4][0.6]{
b.)  $6xa \, - \, 12xy$ \\\\
$= 6x \, \cdot \, a \, - \, 6 \, x \, 2y$\\\\
$= 6x(a \, - \, 2y)$\\
}{
Por lo que la factorizaci\'on de $6xa \, - \, 12xy$\, es \,$6x(a \,- \, 2y);$, es decir: \\ \\
$6xa \, - \, 12xy = 6x(a \, - \, 2y)$
}


\mpage[0.4][0.6]{
c.)  $a^2 \, + \, a$ \\\\
$= a^2 \, + \, a$\\\\
$= a(a \, + \, 1)$\\
}{
Por lo que la factorizaci\'on de $a^2 \, + \, a$\, es \,$a(a \, + \, 1)$, es decir:\\ \\
$a^2 \, + \, a = a(a \, + \, 1)$
}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:\\


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$      $x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2$\\

\item[b.)] $\;\;\;$      $(3a\, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5)$\\

\item[c.)] $\;\;\;$      $a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x)$\\

\item[d.)] $\;\;\;$      $14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y$
\end{enumerate}


\wsolu



\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$      $x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2$\\


\[\begin{array}{rcl}
 x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2 &=&x^2y^2yz \, + \, x^2xy^2zz\\ \\
&= & x^2y^2z(y \, + \, xz)\\ \\
& &\\
\mbox{Por lo que:}\\\\
 x^2y^3z \, \, + \, \, x^3y^2z^2 \,& = & \,
x^2y^2z(y \, + \,
xz)\\ \\
\end{array}
\]


\item[b.)] $\;\;\;$      $(3a\, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5)$\\


\[\begin{array}{rcl}
(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5)&=&(3a \, + \, 3 \, \cdot \, 5)\, - \, b(a \, + \, 5)\\ \\
&=& 3(a \, + \, 5)\, - \, b(a \, + \, 5)\\ \\
&=&(a \, + \, 5)(3 \, - \, b)\\ \\
\mbox{Por lo que:} \\ \\
(3a \, + \, 15)\, - \, b(a \, + \, 5) \, &=& \, (a \, + \, 5)(3 \,
- \, b)\\ \\
\end{array}
\]


\item[c.)] $\;\;\;$      $a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x)$\\


\begin{equation}\label{c2eq2}
a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x)=a(x \, - \, y) \, + \, (-1)(x \, - \, y)
\end{equation}

\[\begin{array}{rcl}
&= & (x \, - \, y)(a \, - \, 1)\\ \\
\mbox{Por lo que: }\\ \\
a(x \, - \, y) \, + \, (y \, - \, x) \,& = &\, (x \, - \, y)(a \,
- \, 1)\\ \\
\end{array}
\]


\item[d.)] $\;\;\;$      $14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y$\\


\[\begin{array}{rcl}
 14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y &=& 14x^2 \, \cdot \, 1 \, - \,
14x^2 \, \cdot 2x \, + \, 14x^2 \, \cdot \,
4y\\ \\
&=& 14x^2 \, (1 \, - \, 2x \, + \, 4y)\\ \\
\mbox{Por lo que:}\\ \\
14x^2 \, - \, 28x^3 \, + \, 56x^2y \,& = & \, 14x^2 \, (1 \, - \,
2x \, + \, 4y)\\ \\
\end{array}
\]


\end{enumerate}

En \ref{c2eq2}, usando la propiedad distributiva se puede demostrar que:
$ \, \, \, \, \, \, {a\, - \, b \, = \, (-1) \, (b \, - \, a)}$\\

\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios  }
\ejersol{   Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:\\
\begin{enumerate}
\item \;\; $abc \, + \, abc^2$

\item \;\; $9a^2x^2 \, - \, 18ax^3$

\item \;\; $6a^2 \, - \, 12a(x \, + \, 2)$

\item \;\; $(2m \, - \, 4n)\, + \, m(m \, - \, 2n)$

\item \;\; $x(x \, - \, 7) \, - \, (7 \, - \, x)$

\item \;\; $(3x \, + \, 9y) \, + \, d(-x \, - \, 3y)$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item $abc(1 + c)$
\item $9ax^2(a-2x)$
\item $6a (a - 2x -4)$
\item $(m + 2)(m - 2n)$
\item $x^2 - 6x -7$
\item $(d - 3)(-x - 3y)$

\end{enumerate}

}



\subsubsection{Factorizar por agrupaci\'on}


\inxx{Polinomios, agrupación}

Dado un polinomio en el cual no existe un factor com\'un no constante a todos los sumandos que lo
componen, en algunos casos es posible obtener la factorizaci\'on de dicho polinomio, realizando
una "agrupaci\'on conveniente'' de aquellos sumandos que poseen un factor com\'un.


\begin{ejemplo}
Factorice completamente cada una de las siguientes
expresiones:\\


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$      $5by \, - \, 5y \, + \, 2ba \, - \, 2a$\\

\item[b.)] $\;\;\;$      $2x^2 \, - \, 3xy \, - \, 3y \, + \, 2x$\\

\item[c.)] $\;\;\;$      $4a^2x \, + \, 3bm \, - \, 4ab \, - \, 3max$\\

\item[d.)] $\;\;\;$      $2am \, - \, 2an \, + \, 2a \, - \, m \, + \, n \, - \, 1$\\
\end{enumerate}

\wsolu


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$      $5by \, - \, 5y \, + \, 2ba \, - \, 2a$\\


\[\begin{array}{rcl}
5by \, - \, 5y \, + \, 2ba \, - \, 2a &= & (5by \, - \, 5y) \, + \, (2ba \, - \, 2a)\\ \\
&= & {5y(b \, - \, 1) \, + \, 2a(b \, - \, 1)}\\ \\
&= & (b \, - \, 1)(5y \, + \, 2a)\\ \\
\mbox{Por lo que:}\\ \\
5by \, - \, 5y \, + \, 2ba \, - \, 2a &=& (b
\, - \, 1)(5y \, +
\, 2a)\\ \\
\end{array}
\]


\item[b.)] $\;\;\;$      $2x^2 \, - \, 3xy \, - \, 3y \, + \, 2x$\\


\[\begin{array}{rcl}
 2x^2 \, - \, 3xy \, - \, 3y \, + \, 2x &= & 2x^2 \, - \, 3xy \, + \, (-3y) \, + \, 2x\\ \\
&= & (2x^2 \, - \, 3xy) \, + \, (-3y \, + \, 2x)\\ \\
&= & x(2x \, - \, 3y) \, + \, (-3y \, + \, 2x)\\ \\
&= & x(2x \, - \, 3y) \, + \, 1(2x \, - \, 3y)\\ \\
&= & (2x \, - \, 3y) \, (x \, + \, 1)\\ \\
\mbox{Por lo que:}\\ \\
2x^2 \, - \, 3xy \, - \, 3y \, + \, 2x &=&  (2x \, - \, 3y) \, (x
\, + \, 1)\\ \\
\end{array}
\]


\item[c.)] $\;\;\;$      $4a^2x \, + \, 3bm \, - \, 4ab \, - \, 3max$\\



\[\begin{array}{rcl}
4a^2x \, + \, 3bm \, - \, 4ab \, - \, 3max &=& (4a^2x \, - \, 4ab) \, + \, (3bm \, - \, 3max)\\ \\
&=&  4a(ax \, - \, b) \, + \, 3m(b \, - \, ax)\\ \\
&=&  4a(ax \, - \, b) \, + \, 3m(-1)(ax \, - \, b)\\ \\
&=& 4a(ax \, - \, b) \, + \, (-3m)(ax \, - \, b)\\ \\
&=& (ax \, - \, b)(4a \, - \, 3m)\\ \\
\mbox{Por lo que:}\\ \\
4a^2x \, + \, 3bm \, - \, 4ab \, - \, 3max
&=& (ax \, - \, b)(4a
\, - \, 3m)\\ \\
\end{array}
\]


\item[d.)] $\;\;\;$      $2am \, - \, 2an \, + \, 2a \, - \, m \, + \, n \, - \, 1$\\


\[\begin{array}{rcl}
 2am \, - \, 2an \, + \, 2a \, - \, m \, + \, n \, - \, 1 &=& 2am \, - \, 2an \, + \, 2a \, - \, m \, + \, n \, - \, 1\\ \\
&=&  (2am \, - \, 2an \, + \, 2a) \, + \, (-m \, + \, n \, - \, 1)\\ \\
&= & 2a(m \, - \, n \, + \, 1) \, + \, (-m \, + \, n \, - \, 1)\\ \\
&= & 2a(m \, - \, n \, + \, 1) \, + \, (-1)(m \, - \, n \, + \, 1)\\ \\
&= & (m \, - \, n \, + \, 1)(2a \, - \, 1)\\ \\
\mbox{Por lo que:}\\ \\
2am \, - \, 2an \, + \, 2a \, - \, m \, + \,
n \, - \, 1 &=&  (m
\,- \, n \, + \, 1)(2a \, - \, 1)\\ \\
\end{array}
\]

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios  }

\ejersol{   Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:\\
\begin{enumerate}
\item \;\; $ab \, + \, a \, + \, b \, + \, 1$

\item \;\; $6a^2 \, - \, 4ac \, - \, 15ab \, + \, 10bc$

\item \;\; $a^3 \, - \, a^2c \, - \, ba^2 \, + \, abc$

\item \;\; $2c^2 \, + \, 4cd \, - \, 3c \, - \, 6d$

\item \;\; $ax \, - \, bx \, + \, by \, + \, a \, - \, ay \, - \, b$

\item \;\; $cax \, + \, cby \, - \, cbx \, - \, cay$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item $(a + 1)(b + 1)$
\item $(2a - 5b)(3a - 2c)$
\item $a(a - b)(a - c)$
\item $(2c - 3)(c + 2d)$
\item $(a - b)(x - y + 1)$
\item $c(a - b)(x - y)$
\end{enumerate}

}



\subsubsection{Factorizaci\'on por f\'ormulas notables}


\inxx{Polinomios, fórmulas notables}

En esta secci\'on enunciamos algunos teoremas en los cuales se establecen ciertas identidades, que
denominaremos f\'ormulas notables, y que ser\'an utilizadas para factorizar algunas expresiones
algebraicas.



\begin{teorema}
Si $a \in I \! \!R, \, \, \, b \in I \! \!R$ entonces se cumple que:
$(a \, + \, b)^2 \, = \, a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$\\ \\
\end{teorema}


\textbf{Demostraci\'on:}\\

\begin{tabular}{lcl}
$(a \, + \, b)^2$ & = & $(a \, + \, b)(a \, + \, b)$\\ \\
& = & $a(a \, + \, b) \, + \, b(a \, + \, b)$\\ \\
& = & $a \, \cdot \, a \, + \, a \, \cdot \, b \, + \, b \, \cdot \, a \,
+ \, b \, \cdot \, b$\\ \\
& = & $a^2 \, + \, ab \, + \, ab \, + \, b^2$\\ \\
& = & $a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$\\ \\
\end{tabular}


Por lo tanto $(a \, + \, b)^2  =  a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$ y decimos que $(a \, + \, b)^2$ es
factorizaci\'on de la expresi\'on $a^2 \, + \, 2ab \, + \, b^2$\\ \\


\begin{ejemplo}
Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$      $x^2 \, + \, 10x \, + \, 25$\\

\item[b.)] $\;\;\;$      $4x^2 \, + \, 20x \, + \, 25$\\

\item[c.)] $\;\;\;$      $9a^2 \, + \, 6a \, + \, 1$\\
 \end{enumerate}


\wsolu


 \begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$      $x^2 \, + \, 10x \, + \, 25$\\


\begin{tabular}{rcl}
$x^2+10x+25$& $=$ & $(x)^2+2(x)(5)+5^2$\\ \\
            & $=$ & $(x+5)^2$\\ \\

\mbox{Por lo que la factorizacion de $x^2+10x+25$ es $(x+5)^2$}\\ \\

$\therefore \; x^2+10x+25$ & $=$ & $(x+5)^2$\\ \\
\end{tabular}


\item[b.)] $\;\;\;$      $4x^2 \, + \, 20x \, + \, 25$\\


\begin{tabular}{rcl}
$4x^2+20x+25$ & $=$ & $(2x)^2+2(2x)(5)+5^2$\\ \\
              & $=$ & $(2x+5)^2$\\ \\

\mbox{Por lo que la factorizacion de $4x^2+20x+25$ es $(2x+5)^2$}\\ \\

$\therefore \; 4x^2+20x+25$ & $=$ & $(2x+5)^2$\\ \\
\end{tabular}


\item[c.)] $\;\;\;$      $9a^2 \, + \, 6a \, + \, 1$\\


\begin{tabular}{rcl}
$9a^2+6a+1$ & $=$ & $(3a)^2+2(3a)(1)+1^2$\\ \\
            & $=$ & $(3a+1)^2$\\ \\
\mbox{Por lo que la factorizacion de $9a^2+6a+1$ es $(3a+1)^2$}\\ \\

$\therefore \; 9a^2+6a+1$ & $=$ & $(3a+1)^2$\\ \\
\end{tabular}

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios  }
\ejersol{   Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:\\
\begin{enumerate}
\item \;\; $\;\;\;$      $25x^2+30x+9$

\item \;\; $\;\;\;$      $4r^6+12r^3s^2+9s^4$\

\item \;\; $\;\;\;$      $a^2+8ab+16b^2$

\item \;\; $\;\;\;$      $2x^2+2\sqrt{2}x+1$

\item \;\; $\;\;\;$      $\displaystyle{{c^2\over9}+{2c\over d}+{9\over d^2}}$

\item \;\; $\;\;\;$      $\displaystyle{{9h^2\over16}+{4hk\over3}+{64k^2\over81}}$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item $(5x + 3)^2$
\item $(3s^2 + 2r^3)^2$
\item $(a + 4b)^2$
\item $2 \left (x + {1 \over \sqrt{2}} \right )^2$
\item ${{(cd + 9)^2} \over {9d^2}}$
\item $\left({3h \over 4} + {8k \over 9}\right)^2$
\end{enumerate}

}

\bigskip

\begin{teorema}
Si $a \in I \!\! R, \, \, \, b  \in I \!\! R$ entonces se cumple
que: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
\end{teorema}


\textbf{Demostraci\'on:}\\

\mpage{
\begin{tabular}{lcl}
$(a-b)^2$ & = & $(a-b)(a-b)$\\ \\
& = & $[a+(-b)][a+(-b)]$\\ \\
& = & $a[a+(-b)]+(-b)[a+(-b)]$\\ \\
& = & $a \,a \cdot \, +a(-b)+(-ba)+(-b)(-b)$\\ \\
& = & $a^2-ab-ab+b^2$\\ \\
& = & $a^2-2ab+b^2$\\ \\
\end{tabular}
}{
Por lo tanto $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ y decimos que $(a-b)^2$ es la factorizaci\'on de la expresi\'on
$a^2-2ab+b^2$.
}



\begin{ejemplo}
Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$       $\displaystyle{{x^2\over4}-\sqrt{3}x+3}$\\

\item[b.)] $\;\;\;$       $9x^2y^2-12xy+4$\\

\item[c.)] $\;\;\;$       $3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$\\
 \end{enumerate}


\wsolu


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$      $\displaystyle{{x^2\over4}-\sqrt{3}x+3}$\\



\begin{tabular}{rcl}
$\displaystyle{{x^2\over4}-\sqrt{3}x+3}$
& $=$ & $\displaystyle{\left({x\over2}\right)^2-{2\left({x\over 2}\right)(\sqrt{3})}+{(\sqrt{3})^2}}$\\ \\
& $=$ & $\displaystyle{\left({x\over2}-\sqrt{3}\right)^2}$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $\displaystyle{{x^2\over4}-\sqrt{3}x+3}$ es
$\displaystyle{\left({x\over2}-\sqrt{3}\right)^2}$\\ \\
 $\therefore\;\displaystyle{{x^2\over4}-\sqrt{3}x+3=({x\over2}-\sqrt{3})^2}$\\

\bigskip

\item[b.)] $\;\;\;$      $9x^2y^2-12xy+4$\\



\begin{tabular}{rcl}
$9x^2y^2-12xy+4$
& $=$ & $(3xy)^2-2(3xy)(2)+(2)^2$\\ \\
& $=$ & $(3xy - 2)^2$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $9x^2y^2-12xy+4$ es $(3xy - 2)^2$\\ \\
 $\therefore\;9x^2y^2-12xy+4=(3xy - 2)^2$\\

\bigskip

\item[c.)] $\;\;\;$      $3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$\\



\begin{tabular}{rcl}
$3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$
& $=$ & $(\sqrt{3}a)^2-2(\sqrt{3}a)(\sqrt{2}b)+(\sqrt{2}b)^2$\\ \\
& $=$ &   $(\sqrt{3}a-\sqrt{2}b)^2$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2$ es $(\sqrt{3}a-\sqrt{2}b)^2$\\ \\
$\therefore\;3a^2-2\sqrt{6}ab+2b^2=(\sqrt{3}a-\sqrt{2}b)^2$\\ \\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}



\section*{Ejercicios  }

\ejersol{   Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:\\
\begin{enumerate}
\item \;\; $\;\;\;$      $\displaystyle{20x^2-2\sqrt{5}xy+{y^2\over4}}$

\item \;\; $\;\;\;$      $\displaystyle{x^2y^2z^2-z+{1\over 4x^2y^2}}$

\item \;\; $\;\;\;$      $\displaystyle{{1\over x^2}+ 4y^2-{4y\over x}}$

\item \;\; $\;\;\;$      $\displaystyle{{x^2\over9} - {10x\over3}+25}$

\item \;\; $\;\;\;$      $\displaystyle{{4n^2\over9}-{20nm \over 3} +25m^2}$

\item \;\; $\;\;\;$      $x^2-2\sqrt{2}xy+2y^2$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item $ \left (2 \sqrt{5}x - {y \over 2}\right)^2$
\item $\left(xyz - {1 \over 2xy}\right)^2$
\item $\left({1 \over x} - 2y \right)^2$
\item $\left({x \over 3} - 5 \right)^2$
\item $\left({2n \over 3} - 5m\right)^2$
\item $\left(x - \sqrt{2}y\right)^2$
\end{enumerate}

}


\begin{teorema}
Si $a \in I \! \! R, \, \, \, b \in I \! \! R$ entonces se cumple que $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
\end{teorema}


\textbf{Demostraci\'on:}\\

\begin{tabular}{lcl}
$(a+b)(a-b)$ & = & $a(a-b)+b(a-b)$\\ \\
& = & $a[a+(-b)]+b[a+(-b)]$\\ \\
& = & $a \, \cdot \, a \, + \, a(-b) \, + \, b \, \cdot \, a \, + \,
b(-b)$\\ \\
& = & $a^2-ab+ab-b^2$\\ \\
& = & $a^2-b^2$\\ \\
\end{tabular}

Por lo tanto: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ y decimos que $(a+b)(a-b)$ es la factorizaci\'on de la
expresi\'on $a^2-b^2$.


\begin{ejemplo}
Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:\\


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$       $4x^2-y^2$\\

\item[b.)] $\;\;\;$       $\displaystyle{3x^2 -
{c^2\over25}}$\\

\item[c.)] $\;\;\;$       $(3+2b)^2-(c-4)^2$\\

\item[d.)] $\;\;\;$       $9x^2-12x-4-y^2$\\
 \end{enumerate}


\wsolu


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$       $4x^2-y^2$\\



\begin{tabular}{rcl}
 $4x^2-y^2$
& $=$ & $(2x)^2-y^2$\\ \\
& $=$ & $(2x+y)(2x-y)$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $(4x^2-y^2)$ es $(2x+y)(2x-y)$\\
$\therefore\;(4x^2-y^2)=(2x+y)(2x-y)$\\



\item[b.)] $\;\;\;$       $\displaystyle{3x^2 - {c^2\over25}}$\\



\begin{tabular}{rcl}
$\displaystyle{3x^2 - {c^2\over25}}$
& $=$ & $\displaystyle{\left(\sqrt{3}x\right)^2-{\left({c\over5}\right)^2}}$\\ \\
& $=$ & $\displaystyle{\left(\sqrt{3}x+{c\over5}\right)\left(\sqrt{3}-{c\over5}\right)}$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $\displaystyle{3x^2 -{c^2\over25}}$ es
$\displaystyle{\left(\sqrt{3}x+{c\over5}\right)\left(\sqrt{3}-{c\over5}\right)}$\\ \\
$\therefore\;\displaystyle{3x^2 -{c^2\over25}=\left(\sqrt{3}x+{c\over5}\right)\left(\sqrt{3}-{c\over5}\right)}$\\



\item[c.)] $\;\;\;$       $(3+2b)^2-(c-4)^2$\\



\begin{tabular}{rcl}
$(3+2b)^2-(c-4)^2$
& $=$ & $[(3+2b)+(c-4)][(3+2b)-(c-4)]$\\ \\
& $=$ & $(3+2b+c-4)(3+2b-c+4)$\\ \\
& $=$ & $(2b+c-1)(2b-c+7)$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $(3+2b)^2-(c-4)^2$ es $(2b+c-1)(2b-c+7)$\\ \\
$\therefore\;(3+2b)^2-(c-4)^2=(2b+c-1)(2b-c+7)$\\


\item[d.)] $\;\;\;$       $9x^2-12x+4-y^2$\\



\begin{tabular}{rcl}
$9x^2-12x+4-y^2$
& $=$ & $(9x^2-12x+4)-y^2$\\ \\
& $=$ & $[{(3x)^2}-2(3x)(2)+(2)^2]-y^2$\\ \\
& $=$ & $(3x-2)^2-y^2$\\ \\
& $=$ & $ [(3x-2)+y][(3x-2)-y]$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $9x^2-12x+4-y^2$ es $[(3x-2)+y][(3x-2)-y]$\\ \\
$\therefore\;9x^2-12x+4-y^2=[(3x-2)+y][(3x-2)-y]$\\ \\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios  }
\ejersol{   Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:\\
\begin{enumerate}
\item \;\; $\;\;\;$      $5x^2-8$

\item \;\; $\;\;\;$      $9c^2-4a^2-4ab-b^2$

\item \;\; $\;\;\;$      $\displaystyle{{4\over9}r^2 - {25\over16}s^2}$

\item \;\; $\;\;\;$      ${(6a+5b)^2} - {(4c+7d)^2}$

\item \;\; $\;\;\;$      ${(a+b)^2}-4c^2$

\item \;\; $\;\;\;$      $\displaystyle{{2\over3}y^2-{5\over4}}$
\end{enumerate}
}{

\begin{enumerate}
\item $\left(\sqrt{5}x + 2 \sqrt{2}\right)\left(\sqrt {5}x - 2 \sqrt{2}\right)$
\item $(3c - 2a - b)(3c + 2a + b)$
\item $\left({2r \over 3} + {5s \over 4}\right)\left({2r \over 3} - {5s \over 4}\right)$
\item $(6a + 5b - 4c -7d)(6a + 5b + 4c +7d)$
\item $(a + b - 2c)(a + b + 2c)$
\item $\left (\sqrt{2 \over 3}y - {\sqrt{5} \over 2} \right)  \left (\sqrt{2 \over 3}y + {\sqrt{5} \over 2} \right)$
\end{enumerate}


}


\begin{teorema}
Si $a \in I \!\! R, \, \, \, b \in I \!\! R$ entonces se cumple que:\\ \\
    $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$\\ \\
\end{teorema}


\textbf{Demostraci\'on:}\\ \\

\begin{tabular}{lcl}
$(a+b)(a^2-ab+b^2)$ & = & $a(a^2-ab+b^2)+b(a^2-ab+b^2)$\\ \\
& = & $a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3$\\ \\
& = & $a^3+(-a^2b)+a^2b+ab^2-ab^2+b^3$\\ \\
& = & $a^3+(-a^2b+a^2b)+(ab^2-ab^2)+b^3$\\ \\
& = & $a^3+b^3$\\ \\
\end{tabular}


Por lo tanto: $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ y decimos que\\

\begin{equation}\label{c2eq3}
(a+b)(a^2-ab+b)
\end{equation}


es la factorizaci\'on de la expresi\'on $a^3+b^3$.\\ \\
En \ref{c2eq3} $a^2-ab+b^2$ no es factorizable en el conjunto de los n\'umeros reales, lo cual
ser\'a estudiado posteriormente.


\begin{ejemplo}
Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:\\


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$       $27 \, + \, p^3$\\

\item[b.)] $\;\;\;$       $8p^3 \, + \,125q^3$\\

\item[c.)] $\;\;\;$       $x^3 \, + \, 2$\\

\item[d.)] $\;\;\;$       $5a^3 \, + \, 2b^3$\\
 \end{enumerate}


\wsolu


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$       $27 \, + \, p^3$\\



\begin{tabular}{rcl}
$27 \, + \, p^3$
& $=$ & $(3)^3 \, + \, p^3$\\ \\
& $=$ & $(3 \, + \, p)(3^2 \, - \, 3p \, + \, p^2)$\\ \\
& $=$ & $(3 \, + \, p)(9 \, - \, 3p \, + \, p^2)$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $27 \, + \, p^3$ es $(3 \, + \,
p)(9 \, - \, 3p \, + \, p^2)$\\ \\
 $\therefore\;27 \, + \, p^3=(3 \, + \, p)(9 \, - \, 3p \, + \, p^2)$\\

\bigskip

\item[b.)] $\;\;\;$       $8p^3 \, + \,125q^3$\\



\begin{tabular}{rcl}
$8p^3 \, + \, 125q^3$
& $=$ & $(2p)^3 \, + \, (5q)^3$\\ \\
& $=$ & $(2p+5q)[(2p)^2-(2p)(5q)+(5q)^2]$\\ \\
& $=$ & $(2p+5q)(4p^2-10pq+25q^2$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $8p^3 \, + \, 125q^3$ es $(2p+5q)(4p^2-10pq+25q^2$\\ \\
$\therefore\;8p^3 \, + \, 125q^3=(2p+5q)(4p^2-10pq+25q^2)$\\

\bigskip

\item[c.)] $\;\;\;$       $x^3 \, + \, 2$\\



\begin{tabular}{rcl}
$x^3+2$
& $=$ & $x^3+\left(\sqrt[3]{2}\right)^3$\\ \\
& $=$ & $\left(x+\sqrt[3]{2}\right)\left[x^2-x \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2\right]$\\ \\
& $=$ & $\left(x+\sqrt[3]{2}\right)\left(x^2-x\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizac\'on de $x^3+2$ es $\left(x+\sqrt[3]{2}\right)\left(x^2-x\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)$\\ \\
$\therefore\;x^3+2 = \left(x+\sqrt[3]{2})(x^2-x\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)$\\

\bigskip

\item[d.)] $\;\;\;$       $5a^3 \, + \, 2b^3$\\



\begin{tabular}{rcl}
$5a^3+2b^3$
& $=$ & $\left(\sqrt[3]{5}a\right)^3+\left(\sqrt[3]{2}b\right)^3$\\ \\
& $=$ & $\left[\sqrt[3]{5}a+\sqrt[3]{2}b\right]\left[(\sqrt[3]{5}a)^2-\sqrt[3]{5}a
\sqrt[3]{2}b+(\sqrt[3]{2}b)^2\right]$\\ \\
& $=$ & $\left(\sqrt[3]{5}a+\sqrt[3]{2}b\right)\left(\sqrt[3]{25}a^2-\sqrt[3]{10}ab+\sqrt[3]{4}b^2\right)$\\
\\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'on de $5a^3+2b^3$ es $\left(\sqrt[3]{5}a+\sqrt[3]{2}b\right)\left(\sqrt[3]{25}a^2-\sqrt[3]{10}ab+\sqrt[3]{4}b^2\right)$\\\\
$\therefore\;5a^3+2b^3 =\left(\sqrt[3]{5}a+\sqrt[3]{2}b\right)\left(\sqrt[3]{25}a^2-\sqrt[3]{10}ab+\sqrt[3]{4}b^2\right)$
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


 \section*{Ejercicios  }
\ejersol{   Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:\\
\begin{enumerate}
\item \;\; $x^3+27y^3$

\item \;\; $a+a^4$

\item \;\; $x^3+5$

\item \;\; $81a^7+24a^3$

\item \;\; $7a^3b^3+11$

\item \;\; $(2a-b)^3+8$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item $(x +3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$
\item $a(1 + a)(1 - a + a^2)$
\item $\left(x + \sqrt[3]{5}\right)\left(x^2 - \sqrt[3]{5}x + (\sqrt[3]{5})^2\right)$
\item
\item $\left(\sqrt[3]{7}ab + \sqrt[3]{11}\right)\left((\sqrt[3]{7}ab)^2 - \sqrt[3]{7} \sqrt[3]{11}ab + (\sqrt[3]{11})^2\right)$
\item $(2a - b + 2)((2a - b)^2 - 2(2a - b) + 2^2)$
\end{enumerate}

}
\bigskip

\begin{teorema}
Si $a \in \mathbb{R}, \, \, \, b \in \mathbb{R}$ entonces se cumple que: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$
\end{teorema}


\textbf{Demostraci\'on:}\\

 \begin{tabular}{lcl} $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ & = & $[a+(-b)][a^2+ab+b^2]$\\ \\

& = & $a(a^2+ab+b^2)+(-b)(a^2+ab+b^2)$\\ \\

& = & $a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3$\\ \\

& = & $a^3+(a^2b-a^2b)+(ab^2-ab^2)-b^3$\\ \\

& = & $a^3-b^3$\\ \\ \\ \\
 \end{tabular}

Por lo tanto: $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$ y decimos que $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ es la factorizaci\'on
de la expresi\'on $a^3-b^3$.\\

Note que $a^2+ab+b^2$ no es factorizable en el conjunto de los n\'umeros reales.


\begin{ejemplo}
Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:\\


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$       $x^3-8$\\

\item[b.)] $\;\;\;$       $a^3-7$\\

\item[c.)] $\;\;\;$       $54x^3-2y^3$\\

\item[d.)] $\;\;\;$       $3a^3b^3-125$\\
 \end{enumerate}

\wsolu


\mpage[0.6][0.4]{
a.) $\;\;\;$       $x^3-8$\\\\
$= x^3-2^3$\\\\
$= (x-2)(x^2+2x+2^2)$\\\\
$= (x-2)(x^2+2x+4)$\\\\
}{
Por lo que la factorizaci\'on de $x^3-8$ es $(x-2)(x^2+2x+4)$\\\\
$\therefore \; x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$\\
}


\mpage[0.6][0.4]{
b.) $\;\;\;$       $a^3-7$\\\\
$= a^3-\left(\sqrt[3]{7}\right)^3$\\\\
$= \left(a-\sqrt[3]{7}\right)\left[a^2+a \sqrt[3]{7}+\left(\sqrt[3]{7}\right)^2\right]$\\\\
$= \left(a-\sqrt[3]{7}\right)\left(a^2+a \sqrt[3]{7}+ \sqrt[3]{49}\right)$\\
}{
Por lo que la factorizaci\'on de $a^3-7$ es $\left(a-\sqrt[3]{7}\right)\left(a^2+a \sqrt[3]{7}+ \sqrt[3]{49}\right)$\\\\
$\therefore \; a^3-7=\left(a-\sqrt[3]{7}\right)\left(a^2+a \sqrt[3]{7}+ \sqrt[3]{49}\right)$\\
}


\mpage[0.6][0.4]{
c.) $\;\;\;$       $54x^3-2y^3$\\\\
$= 2(27x^3-y^3)$\\\\
$= 2[(3x)^3-y^3]$\\\\
$= 2[3x-y][(3x)^2+3xy+y^2]$\\\\
$= 2(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$\\\\
}{
Por lo que la factorizaci\'on de $54x^3-2y^3$ es $2(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$\\\\
$\therefore \; 54x^3-2y^3 = 2(3x-y)(9x^2+3xy+y^2)$\\
}


\mpage[0.6][0.4]{
d.) $\;\;\;$       $3a^3b^3-125$\\\\
$= \left(\sqrt[3]{3}ab\right)^3-5^3$\\\\
$= \left[\sqrt[3]{3}ab-5\right]\left[\left(\sqrt[3]{3}ab\right)^2+\sqrt[3]{3}ab \cdot 5+5^2\right]$\\\\
$= \left(\sqrt[3]{3}ab-5\right)\left(\sqrt[3]{9}a^2b^2+5\sqrt[3]{3}ab+25\right)$\\\\
}{
Por lo que la factorizaci\'on de $3a^3b^3-125$ es $\left(\sqrt[3]{3}ab-5\right)\left(\sqrt[3]{9}a^2b^2+5\sqrt[3]{3}ab+25\right)$\\\\
$\therefore \; 3a^3b^3-125 = \left(\sqrt[3]{3}ab-5\right)\left(\sqrt[3]{9}a^2b^2+5\sqrt[3]{3}ab+25\right)$\\
}
\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios  }
\ejersol{   Factorice totalmente cada una de las siguientes expresiones:\\
\begin{enumerate}
\item \;\; $\;\;\;$      $a^3-64$

\item \;\; $\;\;\;$      $4a^5-32a^2b^3$

\item \;\; $\;\;\;$      $a^3-11$

\item \;\; $\;\;\;$      $a^3-(b-1)^3$

\item \;\; $\;\;\;$      $8a^2b^3-7$

\item \;\; $\;\;\;$      $16x^5-2x^2$

\end{enumerate}
}{

\begin{enumerate}
\item $(a - 4)(a^2 + 4a + 4^2)$
\item $4a^2(a - 2b)(a^2 + 2ab + ab^2)$
\item $(a - \sqrt[3]{11})(a^2 + a \sqrt[3]{11} + (\sqrt[3]{11})^2)$
\item $(a - b + 1)(a^2 + (b-1)a + (b-1)^2)$
\item $(2ab - \sqrt[3]{7})(4a^2b^2 + 2ab \sqrt[3]{7} + (\sqrt[3]{7})^2)$
\item $2x^2(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$
\end{enumerate}

}



% === Cap2 - Factorizaci\'on de polinomios en una variable ===



\subsection*{Factorizaci\'on de polinomios de grado $2$}

Enunciaremos en esta secci\'on dos m\'etodos los cuales usaremos para factorizar polinomios de
una variable, de grado $2$ (del tipo $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}$). Uno de estos m\'etodos se conoce con el
nombre de {\rm{{\em factorizaci\'on por completaci\'on de cuadrados}}}, y
el otro m\'etodo se conoce con el nombre de {\rm{{\em factorizaci\'on
por f\'ormula general}}}.


\subsubsection {Completaci\'on de cuadrados}

\inxx{Polinomios, completación de cuadrados}


Este procedimiento nos permitir\'a obtener a partir de una expresi\'on de la forma
$\displaystyle {x^{2}+bx+c}$, una expresi\'on de la forma $\displaystyle{\left (x\mbox { } +\mbox { }{b
\over {2}} \right ) ^ {2} + k}$


\begin{teorema}
Si $b$ y $c$ son constantes reales y $x$ es una variable real, entonces se cumple la siguiente
igualdad:

$$\displaystyle {x^{2}+bx+c = \left (x\mbox { } +\mbox { }{\,b \over {2}} \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{b ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }c}$$
\end{teorema}

\textbf{Demostraci\'on:} \\

\begin{tabular}{r c l}
  $ \displaystyle {\left (x\mbox { } +\mbox { }{b \over {2}} \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{b ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }c \mbox { }}$ & $=$ & $\mbox { }\left [\mbox { }x^{2}\mbox { }+\mbox { }2(x)\left ({ \displaystyle{b \over 2}}\right )\mbox { }+\mbox { }\left ({\displaystyle{ b \over 2}}\right )^{2}\mbox { } \right ]\mbox { } - \mbox { }{\displaystyle{b^{2} \over 4}}\mbox { } + \mbox { }c$\\ \\
 &$=$ & $ \displaystyle{\displaystyle{\mbox { } \left [\mbox { }x ^{2}\mbox { }+\mbox { }bx \mbox { }+\mbox { }{b^{2} \over 4}\mbox { } \right ]}}- \mbox { }{\displaystyle{b^{2} \over 4}}\mbox { } + \mbox { }c$ \\ \\
 &$=$ & $ \displaystyle{\mbox { }x^{2}\mbox { }+\mbox { }bx\mbox { }+\mbox { }{b^{2} \over 4}\mbox { }-\mbox { }{b^{2} \over 4}\mbox { }+\mbox { }c}$ \\ \\
 &$=$ & $ \displaystyle{\mbox { }x^{2}\mbox { }+\mbox { }bx\mbox { }+\mbox { }c}$\\
\end{tabular}

por lo que:\\
$$\displaystyle {x^{2}+bx+c = \left (x\mbox { } +\mbox { }{\,b \over {2}} \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{b ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }c}$$\\

as\'i por ejemplo, usando el teorema anterior se tiene que: \\ \\
a)\mbox{ }$\displaystyle {x^{2}+6x+5\mbox { } = \left (x\mbox { } +\mbox { }{\,6 \over {2}} \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{6 ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }5}$\\ \\
b)\mbox{ }$\displaystyle {x^{2}-3x+2\mbox { }=\mbox { } x^{2}+(-3)x+2 \mbox
{ }=\mbox { }\left (x\mbox { } +\mbox { }{\,-3 \over {2}} \right )
^ {2}\mbox { } - \mbox { }{(-3) ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox {
}2}$



c)\mbox{ }$\displaystyle {x^{2}-8x-7\mbox { } =\mbox { }x^{2}+(-8x)-7\mbox { }=\mbox { } \left (x\mbox { } +\mbox { }{\,-8 \over {2}} \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{(-8) ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }-7}$\\ \\
d)\mbox{ }$\displaystyle {x^{2}+x-1\mbox { } =\mbox { }x^{2}+x+(-1)\mbox { }=\mbox { } \left (x\mbox { } +\mbox { }{\,1 \over {2}} \right ) ^ {2}\mbox { } - \mbox { }{1 ^ {2} \over {4}}\mbox { }+ \mbox { }-1}$\\ \\

\subsubsection{Factorizaci\'on por completaci\'on de cuadrados}
~

\begin{ejemplo}
Usando la completaci\'on de cuadrados factorice cada una de las siguientes expresiones: \\

$\displaystyle {\mbox{a)}x^{2}+5x+4 \hspace{1.5cm}\mbox{b)  }x^{2}+4x+2 \hspace{1.5cm}\mbox{c)  }4x^{2}+8x-5\hspace{1.5cm}\mbox{d)  }3x^{2}-7x+2}$\\

 \wsolu

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {a.) }x^{2}+5x+4\mbox { }}$&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + {5 \over 2}\right)^{2}\mbox { }-\mbox { }{5^{2} \over 4}\mbox { }+\mbox { }4}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + {5 \over 2}\right)^{2}\mbox { }-\mbox { }{25 \over 4}\mbox { }+\mbox { }{16 \over 4}}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + {5 \over 2}\right)^{2}\mbox { }-\mbox { }{9 \over 4}}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left [\left (x + {5 \over 2}\right)\mbox { }-\mbox { }{3 \over 2}\right ]\left [\left (x + {5 \over 2}\right)\mbox { }+\mbox { }{3 \over 2}\right ]}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + {5 \over 2}\mbox { }-\mbox { }{3 \over 2}\right )\left (x + {5 \over 2}\mbox { }+\mbox { }{3 \over 2}\right )}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x \mbox { }+ \mbox { } {2 \over 2}\right)\mbox { } \left (x \mbox { }+ \mbox { } {8 \over 2}\right)}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x+1 \right )\left (x+4 \right )}$ \\
\end{tabular}

Por lo que la factorizaci\'{o}n de $\displaystyle {x^{2}+5x+4\mbox { es
}\left (x+1\right)\left (x+4\right)}$\\\\

$\therefore\;\displaystyle{x^{2}+5x+4\mbox{ }=\mbox { }\left (x+1\right)\left (x+4\right)}$\\\\



\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {b.) }x^{2}+4x+2\mbox { }}$&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + {4 \over 2}\right)^{2}\mbox { }-\mbox { }{4^{2} \over 4}\mbox { }+\mbox { }2}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + 2 \right)^{2}\mbox { }-{16 \over 4}\mbox { }+2}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + 2 \right)^{2}\mbox { }-4\mbox { }+2}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + 2 \right)^{2}\mbox { }-2}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + 2 \right)^{2}\mbox { }-\left (\sqrt{2}\right)^2}$ \\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left [\left (x + 2\right)\mbox { }-\sqrt{2}\right ]\left [\left (x + 2\right)\mbox { }+\mbox { }\sqrt{2}\right ]}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }\left (x + 2 \mbox { }-\sqrt{2}\right)\left (x + 2 \mbox { }+\mbox { }\sqrt{2}\right)}$\\ \\
\end{tabular} \\

Por lo que la factorizaci\'{o}n de $\displaystyle {x^{2}+4x+2\mbox { es }\left (x + 2 \mbox { }-\sqrt{2}\right)\left (x + 2 \mbox { }+\mbox {
}\sqrt{2}\right)}$\\\\

$\therefore \; \displaystyle{\displaystyle {x^{2}+4x+2\mbox { }=\left (x + 2 \mbox { }-\sqrt{2}\right)\left (x + 2 \mbox { }+\mbox { }\sqrt{2}\right)}}$ \\




\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {c.) }4x^{2}+8x-5 \mbox { }}$&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }4 \left (x^{2}+2x-{5 \over 4}\right )}$ \\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }4 \left [\left(x +{2 \over 2}\right )^{2}\mbox { }- \mbox { }{2^{2} \over 4} \mbox { }- \mbox{ }{5 \over 4}\right ]}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }4 \left [\left(x +1\right )^{2}\mbox { }- \mbox { }{4 \over 4} \mbox { }- \mbox{ }{5 \over 4}\right ]}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }4 \left [\left(x +1\right )^{2}\mbox { }- \mbox{ }{9 \over 4}\right ]}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }4 \left [\left(x +1\right )^{2}\mbox { }- \mbox{ }\left ({3 \over 2}\right )^{2}\right ]}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }4 \left [\left(x +1\right )\mbox { }- \mbox{ }{3 \over 2}\right ]\left [\left(x +1\right )\mbox { }+ \mbox{ }{3 \over 2}\right ]}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }4 \left(x +1\mbox { }- \mbox{ }{3 \over 2}\right )\left(x +1\mbox { }+ \mbox{ }{3 \over 2}\right )}$\\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }4 \left(x\mbox { }- \mbox{ }{1 \over 2}\right
)\left(x\mbox { }+ \mbox{ }{5 \over 2}\right)}$\\
\end{tabular}\\ \\

Por lo que la factorizaci\'{o}n de $\displaystyle{4x^{2}+8x-5 \mbox{ es }  4
\left(x\mbox { }- \mbox{ }{1 \over 2}\right
)\left(x\mbox { }+ \mbox{ }{5 \over 2}\right)}$\\

$\therefore \; \displaystyle{\displaystyle {4{x}^{2}+8x-5}\mbox { }=\mbox { }4\left
(x\mbox { }-\mbox { }{1 \over 2}\right )\left (x\mbox { }+\mbox {
}{5
\over 2}\right )}$\\


\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {d) }3x^{2}-7x+2 \mbox { }}$&$=$&$ \displaystyle{\mbox { }3 \left (x^{2}\mbox { }-\mbox { }{7 \over 3}x\mbox { }+\mbox { }{2 \over 3}\right )}$ \\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }3 \left [\left (x-{\displaystyle{7 \over 3} \over 2}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }{\left (\displaystyle{-7 \over 3}\right )^{2} \over 4}\mbox { }+\mbox { }{2 \over 3}\right ]} $\\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }{\displaystyle{49 \over 9} \over 4}\mbox { }+ \mbox { }{2 \over 3}\right ]} $\\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }{49 \over 36}\mbox { }+\mbox { }{2 \over 3}\right ]}$ \\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }{49 \over 36}\mbox { }+\mbox { }{24 \over 36}\right ]} $\\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }{25 \over 36}\mbox { }\right ]}$ \\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }3 \left [\left (x-{7 \over 6}\right )^{2}\mbox { }-\mbox { }\left ({5 \over 6}\right )^{2}\mbox { }\right ]}$ \\ \\
&$=$&$ \displaystyle   {\mbox { }3 \left (x-{7 \over 6}-{5 \over 6}\right )\left (x-{7 \over 6}+{5 \over 6}\right )}$ \\ \\
&$=$&$ \displaystyle {\mbox { }3 \left (x-{12 \over 6}\right )\left (x-{2 \over 6}\right )}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {\mbox { }3 \left (x-2\right )\left (x-{1 \over 3}\right )}$\\
\end{tabular}\\\\

$\therefore \; {x}^{2}-7x+2 \mbox { }= \mbox { }3\left (x-2 \right )\left (x-\displaystyle{1 \over 3} \right )$\\ \\
\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios}
\ejersol{   Usando la completaci\'{o}n de cuadrados factorice cada una de las siguientes expresiones: \\
\begin{enumerate}
\item \;\; $x^{2}+x-6$

\item \;\; $x^{2}-4x+1$

\item \;\; $2{x}^{2}-5x+2$

\item \;\; $-2{x}^{2}+x+1$

\item \;\; $2{x}^{2}-12x-15$

\item \;\; $2{x}^{2}-3x-3$
\end{enumerate}
}{}


\subsubsection{F\'{o}rmula General:}

La f\'{o}rmula general es un procedimiento que se usa para factorizar polinomios de la forma
$\displaystyle {\mbox {a}x^{2}+\mbox{b}x+c}$, con $a$, $b$ y $c$ constantes reales y $a \neq 0$.
\bigskip

\begin{teorema}[Teorema del factor]\\

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n$, $n$ $\geq$ 1 y sea $\alpha \mbox { }\in \mbox { }I\!\!R$: \\ \\
a.) Si $\alpha$ es un cero de $P(x)$, $\left (\mbox { P(}\alpha \mbox {) = 0 }\right )$, entonces
$x-\alpha$ es un factor de$P(x)$. \\ \\
b.) Si $x-\mbox { }\alpha$ es un factor de $P(x)$, entonces $\alpha$ es un cero de $P(x)$.
\end{teorema}


\textbf{Demostraci\'on:} \\

\begin{enumerate}


\item [a.)] Supongamos que $\alpha$ es un cero de $P(x)$, debemos
demostrar que $x-\alpha$ es un factor de $P(x)$. \item [ ]  Por el
algoritmo de la divisi\'{o}n existen \'{u}nicos polinomios $Q(x)$
y $R(x)$, $R(x)$ constante real tales que : \item [ ]  $P(x) =
(x-\mbox { }\alpha)\mbox { }Q(x)+\mbox { }R(x)$ ; sustituyendo $x$
por $\alpha$ se tiene \item [ ]  $P(\alpha) = (\alpha-\alpha)\mbox
{ } Q(\alpha)+\mbox { }R(x)$ \item [ ]  $P(\alpha) = 0 \cdot
Q(\alpha)\mbox { }+\mbox { }R(x)$ \item [ ]  $P(\alpha) = R$(x),
pero como $P(\alpha) = 0$ entonces $R(x) = 0$ y se cumple que:
\item [ ] $P(\alpha) = (x-\alpha)\mbox { } Q(x)$, de donde se
tiene que
$x-\alpha$ es un factor de $P(x)$\\



\item [b.)] Supongamos que
$x-\alpha$ es un factor de $P(x)$, debemos demostrar que $\alpha$
es un \item [ ]  cero de $P(x)$, o sea $P(\alpha) = 0$ \item [ ]
Si $x-\alpha$ es un factor de $P(x)$, entonces existe un polinomio
$Q(x)$ tal que \item [ ]  $P(x) = (x-\alpha)\mbox { }Q(x)$, de
donde se tiene que \item [ ]  $P(\alpha) = (\alpha-\alpha)\mbox {
} Q(\alpha)$ \item [ ]  $P(\alpha) = 0 \cdot Q(\alpha)$ \item [ ]
$P(\alpha) = 0$\,; que es lo que se quer\'{i}a demostrar

\end{enumerate}



\begin{ejemplo}
Sea $P(x)$ tal que $P(x)= x^{3}-2x+1$, observe que $P(1)=1^{3}-2(1)+1$, o sea $P(1)=0$, por lo que
$x-1$ debe ser un factor de $P(x)$. En efecto, realizando la divisi\'{o}n de $P(x)$ por $x-1$ se
tiene que: \\

\mpage[0.4][0.6]{
\begin{tabular}{ccrr|r}
  1 & 0 & -2&1&1 \\ \cline{5-5}
    & 1 &  1&-1& \\\cline{1-4}
  1 & 1 & -1&0& \\
\end{tabular}
}{
Por lo tanto: \\\\
$\displaystyle x^{3}-2x+1\mbox { }=(x-1)(x^{2}+x-1)$ y se cumple que $x-1$ es un factor de $P(x)$  \\ \\
}
\end{ejemplo}


{Consecuencias del teorema anterior}\\

Sea $P(x)$ tal que $P(x)= a{x}^{2}+bx+c$ con $a\neq0$. Si $P(x)$ no tiene ceros reales, entonces
$P(x)$ no es factorizable en $I\!\!R$.



\begin{definicion}
Sea $P(x)$ un polinomio tal que $P(x)=a{x}^{2}+bx+c$, con $a$, $b$ y $c$ constantes reales y
$a\neq0$, el n\'{u}mero $b^{2}-4ac$, recibe el nombre de {\rm discriminante de $P(x)$.}
\end{definicion}


\begin{nota} \\ \\
El discriminante de $a{x}^{2}+bx+c$, con $a\neq0$ se denota por el s\'{i}mbolo: $\Delta$; o sea:\\
$$\Delta= b^{2}-4ac$$ \\
\end{nota}


\begin{ejemplo}
Calcule el discriminante de cada uno de los siguientes polinomios:\\

$\displaystyle {\mbox{a.)  }4{x}^{2}+5x+8 \hspace{3cm}\mbox{b.)  }{x}^{2}-x-2 \hspace{3cm}\mbox{c.)  }4{x}^{2}-4x+1 }$\\
$\displaystyle {\mbox{d.)  }4{x}^{2}-2x \hspace{3.6cm}\mbox{e.)  }3{x}^{2}+5
\hspace{3.5CM}\mbox{f.)  }-2{x}^{2}+7x-3}$\\ \\




\wsolu\\

\mpage{
a.) $4{x}^{2}+5x+8$\\\\
En este caso:\\\\
$\Delta=5^{2}-4(4)(8)$\\\\
$\Delta=25-128$\\\\
$\Delta=-103$ \\\\
}{
b.) ${x}^{2}-x-2$ \\\\
En este caso: \\\\
$\Delta={(-1)}^{2}-4(1)(-2)$ \\\\
$\Delta=1+8$\\\\
$\Delta=9$ \\\\
}


\mpage{
c.) $4{x}^{2}-4x+1$ \\\\
En este caso: \\\\
$\Delta=(-4)^{2}-4(4)(1)$ \\\\
$\Delta=16-16$ \\\\
$\Delta=0$ \\\\
}{
d.) $4{x}^{2}-2x$ \\\\
En este caso: \\\\
$\Delta=(-2)^{2}-4(4)(0)$ \\\\
$\Delta=4-0$ \\\\
$\Delta=4$ \\\\
}


\mpage{
e.) $3{x}^{2}+5$ \\\\
En este caso: \\\\
$\Delta={(0)}^{2}-4(3)(5)$ \\\\
$\Delta=0-60$ \\\\
$\Delta=-60$ \\\\
}{
f.) $-2{x}^{2}+7x-3$ \\\\
En este caso: \\\\
$\Delta=7^{2}-4(-2)(-3)$ \\\\
$\Delta=49-24$ \\\\
$\Delta=25$\\\\
}
\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios}
\ejersol{   Calcule el discriminante de cada uno de los siguientes polinomios:\\
\begin{enumerate}
\item \;\; $-3{x}^{2}+3x-{3 \over 2}$

\item \;\; $9{x}^{2}-30x+25$

\item \;\; ${x}^{2}+4$

\item \;\; $12x-{x}^{2}$

\item \;\; ${1 \over 2}{x}^{2}+x+{3 \over 4}$

\item \;\; $5x-2{x}^{2}+4$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item $\Delta= -9$
\item $\Delta= 0$
\item $\Delta= -16$
\item $\Delta= 144$
\item $\Delta= {-1 \over 2}$
\item $\Delta= 57$
\end{enumerate}


}


\begin{teorema}
Sea $P(x)$ un polinomio tal que $P(x)=a{x}^{2}+bx+c$, con $a\neq0$
y $\Delta=b^{2}-4ac$

\begin{enumerate}

\item [$i.)$] Si $\Delta<0$ entonces $P(x)$ no es factorizable en
el conjunto de los n\'{u}meros reales


\item [$ii.)$] Si $\Delta=0$ entonces $P(x)$ es factorizable en el
conjunto de los n\'{u}meros reales y su factorizaci\'{o}n viene
dada por:

    \begin{enumerate}

    \item []$\displaystyle a{x}^{2}+bx+c=a\left (x +{b \over 2a} \right )^{2}$
    \end{enumerate}

\item [$iii.)$] Si $\Delta>0$ entonces $P(x)$ es factorizable en
el conjunto de los n\'{u}meros reales y su factorizaci\'{o}n viene
dada por:

    \begin{enumerate}

    \item []$\displaystyle a{x}^{2}+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta);\mbox { } \alpha= {-b-\sqrt{\Delta} \over 2a}\; \mbox { y }\;\beta= {-b+\sqrt{\Delta} \over 2a} $ \\ \\
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{teorema}


{Demostraci\'{o}n:} \\

\begin{center}
\begin{enumerate}
\item [$P(x)$] $\displaystyle = \mbox { } a{x}^{2}+bx+c$ \item [ ]$\displaystyle
=\mbox { }a \left [x^{2}+{b \over a}x+{c \over a} \right ]$ \item
[ ]$\displaystyle =\mbox { }a \left [x^{2}+{b \over a}x+{b^{2}\over
4{a}^{2}}-{b^{2}\over 4{a}^{2}}+{c \over a} \right ]$ \item [
]$\displaystyle =\mbox { }a \left [x^{2}+{b \over a}x+\left ({b\over
2{a}}\right )^{2}-\left ({b^{2}\over 4{a}^{2}}-{c \over a}\right )
\right ]$ \item [ ]$\displaystyle =\mbox { }a\left [\left (x + {b \over
2a}\right )^{2}-\left ({b^{2}-4ac \over 4{a}^{2}}\right )\right ]$
\end{enumerate}
\end{center}


\begin{equation}\label{c2eq4}
\displaystyle =\mbox { }a\left [\left (x + {b \over 2a}\right )^{2}-\left ({\Delta\over 4{a}^{2}}\right )\right ]
\end{equation}

a partir de aqu\'{i} consideramos los tres casos siguientes: \\

\begin{enumerate}
\item [$i.)$]  Si $\Delta<0$ entonces $\displaystyle-{\Delta\over 4{a}^{2}}>0$, por lo que $\displaystyle P(x)\neq0$,$\forall x\in I\!\!R$ \\ \\
Debe aqu\'{i} se deduce que $P(x)$ no tiene ceros reales y por lo tanto $P(x)$ no es factorizable (ver la consecuencia del teorema del factor anotado en la pagina anterior).\\
\item [$ii.)$] Si $\Delta=0$ entonces por \ref{c2eq4}
    \begin{itemize}

    \item [$P(x)$] $\displaystyle =\mbox { }a\left [\left(x+{b \over 2a}\right)^{2}- {0 \over 4{a}^{2}}\right ]$



    \item [ ] $\displaystyle =\mbox { }a\left [\left(x+{b \over 2a}\right)^{2}- 0 \right ]$
    \item [ ] $\displaystyle =\mbox { }a\left(x+{b \over 2a}\right)^{2}$

    \end{itemize}


\item [] o sea:
\item []\fbox{Si $\Delta=0$ entonces $\displaystyle a{x}^{2}+bx+c\mbox { }=\mbox { }=\mbox { }a\left (x +{b \over 2a}\right)^{2}$}\\
\item [$iii.)$] {Si $\Delta>0$ entonces volviendo a \ref{c2eq4} tenemos
que:}
    \begin{enumerate}
    \item [ ]
    \begin{itemize}

    \item [$P(x)$] $\displaystyle =\mbox { }a\left [\left(x+{b \over 2a}\right)^{2}- {\Delta \over 4{a}^{2}}\right ]$
    \item [ ] $\displaystyle =\mbox { }a\left [\left(x+{b \over 2a}\right)^{2}-  \left (\sqrt{{\Delta \over 4{a}^{2}}}\right )^{2}\right ]$
    \item [ ] $\displaystyle =\mbox { }a\left [\left(x+{b \over 2a}\right) + \sqrt{{\Delta \over 4{a}^{2}}}\right ]\left [\left(x+{b \over 2a}\right) - \sqrt{{\Delta \over 4{a}^{2}}}\right ]$
    \item [ ] $\displaystyle =\mbox { }a\left [x+{b + \sqrt{\Delta} \over 2{a}}\right ]\left [x+{b - \sqrt{\Delta} \over 2{a}}\right ]$
    \item [ ] $\displaystyle =\mbox { }a\left [x-\left ({-b - \sqrt{\Delta} \over 2{a}}\right )\right ]\left [x-\left ({-b + \sqrt{\Delta} \over 2{a}}\right )\right ]$
    \item [ ] $=\displaystyle a(x-\alpha)(x-\beta)$ donde $\displaystyle \alpha \mbox { }=\mbox { }{-b - \sqrt{\Delta} \over 2{a}}$,$\; \beta\mbox { }=\displaystyle{\mbox { }{-b + \sqrt{\Delta} \over 2{a}}}$
    \end{itemize}
    \end{enumerate}
\item []  o sea:
\item [] \fbox { Si $\Delta>0$ entonces: \mbox { }$\displaystyle a{x}^{2}+bx+c \mbox { }=\mbox { }a(x-\alpha)(x-\beta)$
 donde $\displaystyle \alpha \mbox { }=\mbox { }{-b-\sqrt{\Delta} \over 2a}$,$\; \; \displaystyle \beta \mbox { }=\mbox { }{-b+
 \sqrt{\Delta} \over 2a}$}\\ \\
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
Factorice (si es posible) cada una de las siguientes expresiones:\\ \\

$\displaystyle {\mbox{a.)  }-2{x}^{2}+3x-4 \hspace{3cm}\mbox{b.)  }{x}^{2}+4 \hspace{3.65cm}\mbox{c.)  }-4{x}^{2}+20x-25}$\\ \\
$\displaystyle {\mbox{d.)  }-2{x}^{2}-6x \hspace{3.65cm}\mbox{e.)  }2{x}^{2}+5x-3\hspace{2.65cm}\mbox{f.)  }{x}^{2}-x-3}$\\



\wsolu



\mpage[0.4][0.6]{
\begin{enumerate}
\item [a.)] $-2{x}^{2}+3x-4$ \item [] En este caso: \item
[]$\Delta=3^{2}-4(-2)(-4)$ \item []$\Delta=9-32$ \item
[]$\Delta=-23$
\end{enumerate}
}{Como $\Delta<0$ \,\,entonces $-2{x}^{2}+3x-4$ no es factorizable en el conjunto de los n\'{u}meros reales\\ \\
}


\mpage[0.4][0.6]{
\begin{enumerate}
\item [b.)] ${x}^{2}+4$ \item [] En este caso: \item
[]$\Delta={(0)}^{2}-4(1)(4)$ \item []$\Delta=0-16$ \item
[]$\Delta=-16$
\end{enumerate}
}{Como $\Delta<0$ entonces ${x}^{2}+4$ no es factorizable en el conjunto de los n\'{u}meros reales\\ \\
}


\mpage[0.4][0.6]{
\begin{enumerate}
\item[c.)] $-4{x}^{2}+20x-25$ \item[] En este caso:
\item[]$\Delta=(20)^{2}-4(-4)(-25)$
\item[]$\Delta=400-400$
\item[]$\Delta=0$
\end{enumerate}
}{
Como $\Delta=0$ entonces:\\
$\displaystyle-4{x}^{2}+20x-25=-4 \left (x +{-20 \over 2\cdot4}\right)^{2}$\\
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\displaystyle =-4 \left (x -{20 \over 8}\right )^{2}\displaystyle =\mbox-4 \left (x -{5 \over 2}\right )^{2}$\\\\
$\therefore \; \displaystyle -4{x}^{2}+20x-25=-4 \left (x -{5 \over 2}\right )^{2}$
}

\mpage[0.4][0.6]{
\begin{enumerate}
\item [d.)] $-2{x}^{2}-6x$
\item []En este caso:
\item[]$\Delta={(-6)}^{2}-4(-2)(0)$ \item []$\Delta=36$
\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item []$\therefore \; \displaystyle -2{x}^{2}-6x=-2(x-0)(x+3)$
\item []$\displaystyle -2{x}^{2}-6x=-2x(x+3)$ \\
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item [] Como
$\Delta>0$ entonces:
 \item []$\displaystyle
-2{x}^{2}-6x=-2(x-\alpha)(x-\beta)${\mbox{ con:}} \item []$\displaystyle
\alpha={-(-6)-\sqrt{36} \over 2(-2)}$; $\beta={-(-6)+\sqrt{36} \over 2(-2)}$
\item []$\displaystyle \alpha={6-6
\over -4}$;\hspace {1cm}$\displaystyle \beta={6+6 \over -4}$ \item []$\displaystyle
\alpha=0$;\hspace {1.55cm} $\displaystyle \beta=-3$ \item []
\end{enumerate}
}



 \begin{nota}
 La expresi\'{o}n $\displaystyle -2{x}^{2}-6x$ se puede factorizar en un menor n\'{u}mero de pasos
usando la factorizaci\'{o}n por factor com\'{u}n.
\end{nota}


\mpage{
\begin{enumerate}
\item [e.)] $2{x}^{2}+5x-3$ \item [] En este caso: \item
[]$\Delta={(5)}^{2}-4(2)(-3)$ \item []$\Delta=25+24$ \item
[]$\Delta=49$ \item [] Como $\Delta>0$ entonces \item []$\displaystyle
2{x}^{2}+5x-3=2(x-\alpha)(x-\beta)${\mbox{ con:}} \item []$\displaystyle
\alpha={-5-\sqrt{49} \over 2(2)}$; \item []$\displaystyle
\beta={-5+\sqrt{49} \over 2(2)}$ \item []$\displaystyle \alpha={-5-7 \over
4}$;\hspace {1cm}$\displaystyle \beta={-5+7 \over 4}$ \item []$\displaystyle
\alpha=-3$;\hspace {1.55cm} $\displaystyle \beta={1 \over 2}$  \item
[]$\therefore \;\displaystyle 2{x}^{2}+5x-3=2(x+3)(x-{1 \over 2})$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item[f.)] ${x}^{2}-x-3$ \item [] En este caso:
\item
[]$\Delta={(-1)}^{2}-4(1)(-3)$
\item[]$\Delta=1+12$ \item
[]$\Delta=13$
\item[] Como $\Delta>0$ entonces
\item[]$\displaystyle
{x}^{2}-x-3=1\cdot(x-\alpha)(x-\beta)${\mbox{ con:}} \item []$\displaystyle
\alpha={-(-1)-\sqrt{13} \over 2(1)}$;
\item[]$\displaystyle
\beta={-(-1)+\sqrt{13} \over 2(1)}$
\item[]$\displaystyle
\alpha={1-\sqrt{13} \over 2}$;$\;\displaystyle \beta={1+\sqrt{13}
\over 2}$
\item[]$\therefore \; {x}^{2}-x-3=\\
\left (x-{1-\sqrt{13} \over 2}\right )
\left (x-{1+\sqrt {13}\over 2}\right)$ \\ \\
\end{enumerate}
}
\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios}
\ejersol{   Factorice (si es posible) cada una de las siguientes expresiones:\\
\begin{enumerate}
\item\;\; $6{x}^{2}-13x+6$

\item \;\; $2{x}^{2}- \sqrt{3}x+1$

\item \;\; ${x}^{2}+x+1$

\item \;\; $-3{x}^{2}+7x+20$

\item \;\; $-2{x}^{2}-5x-3$

\item \;\; ${1 \over 4}{x}^{2}+x+1$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item $(3x - 2)(2x - 3)$
\item $x(2x - \sqrt{3}) + 1$
\item $x(x + 1) + 1$
\item $-((3x + 5)(x - 4))$
\item $-((x + 1)(2x + 3)$
\item ${1 \over 4}(x + 2)^2$
\end{enumerate}

}



\subsubsection{Factorizaci\'{o}n de polinomios
de grado mayor que $2$, con coeficientes enteros}


A continuaci\'on nuestro objetivo es factorizar polinomios de grado mayor que dos, para lo cual
haremos uso de: la divisi\'on sint\'etica, del procedimiento para factorizar polinomios de grado
2, del teorema del factor y de las siguientes proposiciones:\\ \\


\begin{proposicion}
Si $P(x)$ es un polinomio de {\rm grado $n$}, entonces $P(x)$ tiene a lo sumo $n$ ceros
reales.
\end{proposicion}


\begin{ejemplo}
\begin{enumerate}
\item [a.)] El polinomio $\displaystyle x^{3}+1$, es de grado $3$ por lo que
tiene a lo sumo $3$ ceros reales. \item [b.)] El polinomio $\displaystyle
2{x}^{4}-4{x}^{2}-4$, es de grado $4$ por lo que tiene a lo sumo
$4$ ceros reales.
\end{enumerate}

\end{ejemplo}
 \bigskip

\begin{teorema}
Sea $\displaystyle P(x)$ un polinomio tal que: $\displaystyle P(x)= a_{n}x^{n}+
a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$  donde $\displaystyle
a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$\\

Son n\'{u}meros enteros. Y sean $c$ y $d$ n\'{u}meros enteros tales que $\displaystyle {c \over d}$ es una fracci\'{o}n can\'{o}nica.\\ \\
Si $\displaystyle {c \over d}$ es un cero de $\displaystyle P(x)$ entonces, $\displaystyle
a_{0}$ es divisible por $\displaystyle c$ y $\displaystyle a_{n}$ es divisible por
$\displaystyle d$.
\end{teorema}


\begin{nota} De la proposici\'{o}n anterior se deduce que todos los ceros racionales de $\displaystyle P(x)$ est\'{a}n contenidos en el conjunto $D$, donde: \\
$$\displaystyle D= \left \{ {c \over d} \in Q\;:\;\;c \mbox { es un divisor de }a_{0}\mbox { y}\;d\;\; \mbox{es un divisor de}\;\; a_{n}\right \}$$\\
(pero no necesariamente todo elemento de $\displaystyle D$ es un cero de $P(x)$).\\
\end{nota}

Para aplicar las proposiciones anteriores en la factorizaci\'{o}n de un polinomio $P(x)$, con:
$$\displaystyle P(x)= a_{n}x^{n}+ a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$$
con $\displaystyle a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$, n\'{u}meros enteros,
$a_{n}\neq0$, $\displaystyle n\in I\!\!N$, $\displaystyle n>2$ se sigue el siguiente procedimiento:

\begin{enumerate}
\item [1.)] Se determina el conjunto $\displaystyle D_{a_{0}}$, donde:\\
    \begin{enumerate}
        \item [] $$\displaystyle D_{a_{0}}= \left \{c\in Z \;:\;\; c \mbox { es un divisor de }a_{0}\right \}$$
    \end{enumerate}
\item [2.)] Se determina el conjunto $\displaystyle D_{a_{n}}$, donde:\\
    \begin{enumerate}
        \item [] $$\displaystyle D_{a_{n}}= \left \{d\in I \!\!N \;:\;\; d \mbox { es un divisor de }a_{n}\right \}$$
    \end{enumerate}
\item [3.)] Se forma el conjunto $\displaystyle D$, donde:\\
    \begin{enumerate}
        \item [] $$\displaystyle D= \left \{{c \over d}\;:\;\;c \in D_{a_{0}} \mbox { y }d \in D_{a_{n}}\right
        \}$$\\
    \end{enumerate}
\item [4.)] Entre los elementos de $\displaystyle D$ se busca un $\alpha$ tal que $\displaystyle P(\alpha)=0$.\\
\item [5.)] Se efect\'{u}a la divisi\'{o}n de $\displaystyle P(x)$ por $\displaystyle
x-\alpha$, y se expresa la identidad
    \begin{enumerate}
        \item [] \fbox {$\displaystyle P(x)= (x-\alpha)C(x)$}
    \end{enumerate}
\item [] donde $\displaystyle C(x)$ es el cociente que se obtiene al dividir $\displaystyle P(x)$ por $\displaystyle x-\alpha$\\
\item [6.)] Si $\displaystyle C(x)$ de grado mayor que $2$, se repiten los pasos $4$ y $5$ para $\displaystyle C(x).$\\
\item [7.)] Si $\displaystyle C(x)$ es de grado $2$, se utiliza alguno de los m\'{e}todos de factorizaci\'{o}n de polinomios de este tipo. \\

\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
Factorice $\displaystyle P(x)$ (si se posible), donde:\\ \\
$$\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6$$


\wsolu



En este caso:
\begin{enumerate}
\item [$\displaystyle D_{6}$] $\displaystyle =\left \{1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 \right \}$  (divisores enteros de $6$)\\
\item [$\displaystyle D_{1}$] $\displaystyle =\left \{1\right \}$ (divisores naturales de $1$)\\


\item [$D$] $\displaystyle =\left \{1,-1,2,-2,3,-3,6,-6\right \}$ cada elemento de $\displaystyle D$ es el cociente de un elemento de $\displaystyle D_{6}$ y un elemento de $\displaystyle D_{1}.$ \\
\end{enumerate}
El paso siguiente es determinar alg\'{u}n $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \alpha \in D$ tal que $\displaystyle P(\alpha)=0$ \\ \\
Calculemos $\displaystyle P(-1)$, (por divisi\'{o}n sint\'{e}tica):\\ \\

\mpage{
\begin{tabular}{rrrr|r}
1 & -4 & 1 &  6 & -1 \\\cline{5-5}
  & -1 & 5 & -6 &   \\\cline{1-4}
1 & -5 & 6 &  0 &   \\
\end{tabular}
}
{}


De aqu\'{i} se tiene que $\displaystyle P(-1)=0$ y adem\'{a}s $\displaystyle x^{3}-4{x}^{2}+x+6 = (x+1)(x^{2}-5x+6)$\\ \\
Como $\displaystyle x^{2}-5x+6$ es de grado $2$, podemos utilizar alguno de los m\'{e}todos de factorizaci\'{o}n estudiados para polinomios de este tipo.\\ \\
Por f\'{o}rmula general se tiene que en $\displaystyle x^{2}-5x+6$: \\
\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle \Delta= (-5)^{2}-4(1)(6)$\hspace {2cm}$\displaystyle \alpha=
{5-\sqrt{1} \over 2}$ \hspace {1cm}$\displaystyle \beta={5+\sqrt{1}\over 2}$
\item [] $\displaystyle \Delta= 25-24$\hspace {3.25cm}$\displaystyle \alpha= {4 \over
2}$ \hspace {1.9cm}$\displaystyle \beta={6 \over 2}$
\item [] $\displaystyle \Delta= 1$\hspace {4.25cm}$\displaystyle \alpha= 2$ \hspace {1.9cm}$\displaystyle \beta=3$ \\
\end{enumerate}


por lo que:
\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ \hspace {2mm}y como \hspace
{2mm} $\displaystyle x^{3}-4x+6=(x+1)(x^{2}-5x+6)$ \item []  entonces
\hspace {2mm}$\displaystyle x^{3}-4x+6=(x+1)(x-2)(x-3)$
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Factorice $\displaystyle P(x)$ (si se posible), donde:\\ \\
$$\displaystyle P(x)=2x^{4}-4x^{2}-6x-4$$


\wsolu



En este caso:
\begin{enumerate}
\item []$\displaystyle D_{-4}$ $\displaystyle =\left \{1,-1,2,-2,4,-4 \right \}$  Divisores enteros de $-4$\\



\item []$\displaystyle D_{2}$ $\displaystyle =\left \{1,2\right \}$ Divisores naturales de $2$\\
\item [] $\displaystyle D=\left \{1,-1,2,-2,4,-4,{1 \over 2},{-1 \over 2}\right \}$ \\
\end{enumerate}

El paso siguiente es determinar alg\'{u}n $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \alpha \in D$, tal que $\displaystyle P(\alpha)=0$ \\ \\
Calculemos $\displaystyle P(1)$ por divisi\'{o}n sint\'{e}tica:\\ \\

\mpage{
\begin{tabular}{rrrrr|r}
2 & 0 & -4 & -6 &  -4 & 1 \\ \cline{6-6}
  & 2 &  2 & -2 &  -8 &   \\ \cline{1-5}
2 & 2 & -2 & -8 & -12 &  \\
\end{tabular}
}{}


Como $\displaystyle P(1)=-12$, $\displaystyle x-1$ {\bf no} es un factor de $\displaystyle P(x)$ \\

Calculemos $P(-1)$ por divisi\'{o}n sint\'{e}tica:\\ \\

\mpage{
\begin{tabular}{rrrrr|r}
2 &  0 & -4 & -6 & -4 & -1 \\ \cline{6-6}
  & -2 &  2 &  2 &  4 &    \\ \cline{1-5}
2 & -2 & -2 & -4 &  0 &   \\
\end{tabular}
}{}
\\ \\

De aqu\'{i} se tiene que $\displaystyle P(-1)=0$ y adem\'{a}s \\
\begin{equation}\label{c2eq5}
\displaystyle 2{x}^{4}-4{x}^{2}-6x-4=(x+1)(2{x}^{3}-2{x}^{2}-2x-4)
\end{equation}


Sea $C(x)=2{x}^{3}-2{x}^{2}-2x-4$ que es un polinomio de grado $3$, debemos encontrar un $\beta$, $\beta \in D$ tal que $C(\beta)=0$ \\ \\
Calculemos $C(2)$ por divisi\'{o}n sint\'{e}tica:\\ \\

\mpage{
\begin{tabular}{rrrr|r}
2 & -2 & -2 & -4 & 2 \\ \cline{5-5}
  &  4 &  4 &  4 &   \\ \cline{1-4}
2 &  2 &  2 &  0 &  \\
\end{tabular}
}{}
\\ \\

De aqu\'{i} se tiene que $\displaystyle C(2)=0$ y adem\'{a}s\\

\begin{equation}\label{c2eq6}
\displaystyle 2{x}^{3}-2{x}^{2}-2x-4=(x-2)(2{x}^{2}+2{x}+2)
\end{equation}


Como $\displaystyle 2{x}^{2}+2{x}+2$ es de grado $2$, podemos utilizar alguno de los m\'{e}todos de factorizaci\'{o}n estudiados para polinomios de este
tipo.\\\\
Por f\'{o}rmula general se tiene que en $\displaystyle 2{x}^{2}+2{x}+2$ \\ \\
\mpage{
\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle \Delta= (2)^{2}-4(2)(2)$ \item [] $\displaystyle \Delta= 4-16$
\item [] $\displaystyle \Delta= -12$\\
\end{enumerate}
}{}

Como $\displaystyle \Delta<0$ entonces $\displaystyle 2{x}^{2}+2{x}+2$ {\bf no} es factorizable en el conjunto de los
n\'{u}meros reales.\\

\begin{enumerate}
\item [ As\'{i},]por \ref{c2eq5} y \ref{c2eq6} se tiene que: \item []
$\displaystyle 2{x}^{4}-4{x}^{2}-6x-4=(x+1)(2{x}^{3}-2{x}^{2}-2x-4)$
\item[$\therefore$] $\displaystyle 2{x}^{4}-4{x}^{2}-6x-4=(x+1)(x-2)(2{x}^{2}+2x+2)$
\end{enumerate}

\vspace {-1cm} \hspace {3.5mm}
$\displaystyle \cdot$ \\ \\
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}


Factorice $\displaystyle P(x)$ (si se posible), donde:\\
$$\displaystyle P(x)=x^{4}-2x^{3}-4{x}^{2}+8x$$ \\



\wsolu\\

Factorizando $\displaystyle P(x)$ por factor com\'{u}n se tiene que:\\
\begin{equation}\label{c2eq7}
\displaystyle P(x)=x(x^{3}-2{x}^{2}-4x+8)
\end{equation}


Sea $\displaystyle P_{1}(x)=x^{3}-2{x}^{2}-4x+8$, para $\displaystyle P_{1}(x)$ se tiene:\\
\begin{enumerate}
\item []$\displaystyle D_{8}=\left \{1,-1,2,-2,4,-4,8,-8\right \}$ \item
[]$\displaystyle D_{1}=\left \{1\right \}$
\item []$\displaystyle D=\left \{1,-1,2,-2,4,-4,8,-8\right \}$ \\
\end{enumerate}
Calculando $\displaystyle P_{1}(1)$ y $\displaystyle P_{1}(-1)$ se tiene que \\
\begin{enumerate}
\item []$\displaystyle P_{1}(1)=3$ y $\displaystyle P_{1}(-1)=9$ \\
\end{enumerate}


Calculemos $\displaystyle P_{1}(2)$ (por divisi\'{o}n sint\'{e}tica):\\ \\

\mpage{
\begin{tabular}{rrrr|r}
1 & -2 & -4 &  8 & 2 \\ \cline{5-5}
  &  2 &  0 & -8 &   \\ \cline{1-4}
1 &  0 & -4 &  0 &  \\
\end{tabular}
}{}
\\ \\

De aqu\'{i} se tiene que $\displaystyle P_{1}(2)=0$ y adem\'{a}s\\
\begin{enumerate}
\item []$\displaystyle x^{3}-2{x}^{2}-4x+8=(x-2)\left(x^{2}-4\right)$\\
\end{enumerate}

y como $\displaystyle x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ entonces\\
\begin{equation}\label{c2eq8}
x^{3}-2{x}^{2}-4x+8=(x-2)(x-2)(x+2)
\end{equation}


As\'{i} por \ref{c2eq7} y \ref{c2eq8} se tiene que:\\
\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle x^{4}-2{x}^{3}-4{x}^{2}+8x= x(x-2)(x-2)(x+2)$
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Factorice $\displaystyle P(x)$ (si se posible), donde:\\
$$\displaystyle P(x)=x^{3}+4x^{2}+4x+3$$ \\


\wsolu\\

En este caso:
\begin{enumerate}
\item []$\displaystyle D_{3}=\left \{1,-1,3,-3\right \}$ \item []$\displaystyle
D_{1}=\left \{1\right \}$
\item []$\displaystyle D=\left \{1,-1,3,-3\right \}$ \\
\end{enumerate}

Calculando $\displaystyle P(1)$, $\displaystyle P(-1)$, $\displaystyle P(3)$ y $\displaystyle P(-3)$ se tiene que:\\
\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle P(1)=12$,\hspace {10mm}$\displaystyle P(-1)=2$, \hspace {10mm}  $\displaystyle P(3)=78$, \hspace {10mm}  $\displaystyle P(-3)=0$\\
\end{enumerate}


Dividiendo $\displaystyle P(x)$ por $\displaystyle (x+3)$, (usando divisi\'{o}n sint\'{e}tica), obtenemos:\\

\mpage{
\begin{tabular}{rrrr|r}
1 &  4 &  4 &  3 & -2 \\ \cline{5-5}
  & -3 & -3 & -3 &   \\ \cline{1-4}
1 &  1 &  1 &  0 &  \\
\end{tabular}
}{}
\\ \\

y por lo tanto:

\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle x^{3}+4x^{2}+4x+3=(x+3)\left (x^{2}+x+1\right)$\\
\end{enumerate}

factorice, si es posible, $\displaystyle x^{2}+x+1$, para esto se tiene que:\\ \\

\mpage[0.4][0.6]{
\begin{enumerate}
\item []$\displaystyle \Delta= (1)^{2}-4(1)(1)$ \item []$\displaystyle \Delta= 1-4$
\item []$\displaystyle \Delta= -3$
\end{enumerate}
}{
Como $\displaystyle \Delta<0$ entonces $\displaystyle x^{2}+x+1$ {\bf no} es factorizable en el conjunto de los n\'{u}meros reales.\\
}


As\'{i} se tiene que:
\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle x^{3}+4x^{2}+4x+3=(x+3)\left (x^{2}+x+1\right)$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}

\begin{ejemplo}
Factorice $\displaystyle P(x)$ (si se posible), donde: $$\displaystyle P(x)=x^{4}-8x^{2}-9$$ \\


\wsolu


En este caso:
\begin{enumerate}
\item []$\displaystyle D_{-9}=\left \{1,-1,3,-3,9,-9\right \}$ \item []$\displaystyle
D_{1}=\left \{1\right \}$
\item []$\displaystyle D=\left \{1,-1,3,-3,9,-9\right \}$ \\
\end{enumerate}

Calculando $\displaystyle P(1)$ y $\displaystyle P(-1)$ se tiene que: $\displaystyle P(1)=-16$, $P(-1)=-16$\\ \\


Calculemos $\displaystyle P(3)$ por divisi\'{o}n sint\'{e}tica:\\ \\

\mpage{
\begin{tabular}{rrrrr|r}
1 & 0 & -8 & 0 & -9 & 3 \\ \cline{6-6}
  & 3 &  9 & 3 &  9 &   \\ \cline{1-5}
1 & 3 &  1 & 3 &  0 &   \\
\end{tabular}
}{}
\\ \\

De aqu\'{i} se tiene que $\displaystyle P(3)=0$ y adem\'{a}s:\\
\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle x^{4}-8x^{2}-9=(x-3)\left( x^{3}+3{x}^{2}+x+3\right)$\\
\end{enumerate}
Sea $\displaystyle P_{1}(x)= x^{3}+3{x}^{2}+x+3$\\

Como $\displaystyle 1$ y $\displaystyle -1$ {\bf no} son ceros de $\displaystyle P(x)$, tampoco lo son de $\displaystyle P_{1}(x)$; por lo que los posibles ceros de $\displaystyle P_{1}(x)$ ser\'{i}an los restantes elementos de $D$.\\ \\
Calculando $P_{1}(3)$ se tiene que $P_{1}(3)=60$\\ \\
Calculemos $P_{1}(-3)$ por divisi\'{o}n sint\'{e}tica: \\ \\

\mpage{
\begin{tabular}{rrrr|r}
1 &  3 & 1 &  3 & -3 \\ \cline{5-5}
  & -3 & 0 & -3 &    \\ \cline{1-4}
1 &  0 & 1 &  0 &  \\
\end{tabular}
}{}
\\ \\

De aqu\'{i} se tiene que $\displaystyle P_{1}(-3)=0$ y adem\'{a}s\\
\begin{enumerate}
\item []$\displaystyle x^{3}+3{x}^{2}+x+3=(x+3)(x^{2}+1)$
\end{enumerate}
factoricemos, si es posible $\displaystyle x^{2}+1$\\ \\
Para $\displaystyle x^{2}+1$ se tiene que:\\

\mpage[0.4][0.6]{
\begin{enumerate}
\item []$\Delta=0^{2}-4(1)(1)$ \item []$\Delta=-4$
\end{enumerate}
}{
Como $\displaystyle \Delta<0$, entonces $\displaystyle x^{2}+1$ no es factorizable en el conjunto de los
n\'{u}meros reales.\\
}


As\'{i} se tiene que:
\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle x^{3}+3{x}^{2}+x+3=(x+3)(x^{2}+1)$ y por lo tanto $\displaystyle x^{4}-8{x}^{2}-9=(x-3)(x+3)\left(x^{2}+1\right)$\\ \\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios}
\ejersol{   Factorice, si es posible, cada uno de los siguientes polinomios $\displaystyle P(x)$ que se definen a
continuaci\'{o}n.\\
\begin{enumerate}

\item \;\; $\displaystyle P(x)=x^{3}-4{x}^{2}+x+6$

\item \;\; $\displaystyle P(x)=2{x}^{3}-x^{2}-18x+9$

\item \;\; $\displaystyle P(x)={x}^{3}+2{x}^{2}+x+2$

\item \;\; $\displaystyle P(x)=2{x}^{4}-5{x}^{3}+4{x}^{2}-x$

\item \;\; $\displaystyle P(x)=x^{3}-12x+16$

\item \;\; $\displaystyle P(x)=x^{4}-4{x}^{3}-3{x}^{2}+4x-4$

\item \;\; $\displaystyle P(x)=6{x}^{3}+23{x}^{2}+9x-18$

\item \;\; $\displaystyle P(x)=5{x}^{3}+9{x}^{2}-7x+1$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item $(x + 1)(x - 2)(x - 3)$
\item $(2x - 1)(x - 3)(x + 3)$
\item $(x + 2)(x^2 + 1)$
\item $x(x - 1)^2 (2x - 1)$
\item $(x - 2)^2 (x + 4)$
\item
\item $(3x - 2)(2x + 3)(x + 3)$
\item $(5x - 1)(x^2 + 2x - 1)$
\end{enumerate}

}



\section{Funciones racionales}
% === Sección de origen: Fracciones Racionales en una Variable ===

\subsection*{Fracciones Racionales en una Variable}




\begin{definicion}
Sean $\displaystyle P(x)$ y $\displaystyle Q(x)$ dos polinomios en una variable. La expresi\'{o}n $\displaystyle{P(x)\over Q(x)}$
recibe el nombre de {\rm fracci\'{o}n racional}, $\displaystyle P(x)$ recibe el nombre de numerador y
$\displaystyle Q(x)$ recibe el nombre de denominador de la fracci\'{o}n.
\end{definicion}


\begin{ejemplo}
Son fracciones racionales las siguientes expresiones: \\ \\

\begin{tabular}{lll}
$\displaystyle{\mbox{a.)} {{x^{2}-3x+1} \over 2x-1}}$ &
$\displaystyle{\mbox{b.)} {{x^{2}-1} \over {3{x}^{3}-2{x}^{2}+x-1}}}$
&$\displaystyle{\mbox{c.)} {1 \over {x^{3}+1}}}$\\
&&\\
$\displaystyle{\mbox{d.)} {{x+1} \over {x+4}}}$
&$\displaystyle{\mbox{e.)} {{x^{2}-9} \over {x-3}}}$
&$\displaystyle{\mbox{f.)} {{x+3\left (x-1\right)} \over {x+3}}}$ \\
\end{tabular}
\end{ejemplo}


\subsection*{Simplificaci\'{o}n de fracciones racionales}

Diremos que una fracci\'{o}n racional est\'{a} expresada en su forma m\'{a}s simple, cuando el numerador y el denominador de dicha fracci\'{o}n no tienen factores comunes. Para simplificar fracciones racionales haremos uso del siguiente resultado:\\ \\

\begin{caja}[Resultado:]
Si $\displaystyle P(x)$, $\displaystyle Q(x)$ y $\displaystyle C(x)$ son polinomios entonces se cumple que:\\
\begin{enumerate}
\item [] $\displaystyle {{P(x) \cdot C(x)} \over {Q(x) \cdot C(x)}}={P(x) \over Q(x)}$; para todo $\displaystyle x$, tal que $\displaystyle C(x)\neq0$ \\ \\
\end{enumerate}
\end{caja}


\begin{ejemplo}
Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes fracciones racionales:\\ \\


\begin{tabular}{lll}
$\displaystyle{\mbox{a.)}{{2x-6} \over {2{x}^{2}-18}}}$
&$\displaystyle{\mbox{b.)}{{x^{3}-8} \over {x^{2}-4}}}$
&$\displaystyle{\mbox{c.)}{{x^{2}-4} \over {x^{2}-4\left( x-1\right)}}}$\\
&&\\
$\displaystyle{\mbox{d.)}{{x^{3}+2{x}^{2}-x-2} \over {x^{2}-1}}}$
&$\displaystyle{\mbox{e.)}{{x^{2}-9\left(x-2\right)} \over {x-3\left (x-2\right)}}}$
&$\displaystyle{\mbox{f.)}{{x^{2}+x-6} \over {x^{2}+7x+12}}}$ \\
\end{tabular}



\wsolu\\


\begin{enumerate}
\item [a.) ]  $\displaystyle \,{{2x-6} \over {2{x}^{2}-18}} =
{{2\left(x-3\right)} \over {2\left(x^{2}-9\right)}}$
    \begin{enumerate}
    \item [ ]
        \begin{enumerate}
        \item [] $\displaystyle \,= {{2\left(x-3\right)} \over {2\left (x-3\right )\left (x+3\right )}}$
        \item []
        \item [] $\displaystyle \,={1 \over {x+3}}$, si $x-3\neq0$\\ \\
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
Por lo que:\\ \\
$\displaystyle {{{2x-6} \over {2{x}^{2}-18}} = {1 \over {x+3}}}$, si $\displaystyle {x\neq3}$ \\ \\


\begin{enumerate}
\item [b.) ] $\displaystyle \,\,\,{{{x}^{3}-8} \over {{x}^{2}-4}}\,\,  = {{\left(x-2\right)\left(x^{2}+2x+4\right)} \over {\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}$\\ \\
    \begin{enumerate}
    \item [ ]
        \begin{enumerate}
        \item [] $\displaystyle{= {{x^{2}+2x+4} \over {x+2}}}$, si $\displaystyle {x-2\neq0}$ \\ \\
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
Por lo que:\\ \\
$\displaystyle {{{x^{3}-8} \over {{x}^{2}-4}} = {{x^{2}+2x+4} \over {x+2}}}$, si $\displaystyle {x\neq2}$\\ \\


\begin{enumerate}
\item [c.) ]$\displaystyle{{x^{2}-4} \over {x^{2}-4\left(x-1\right)}} =
{{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} \over {x^{2}-4x+4}}$
        \begin{enumerate}
        \item[] $\displaystyle \,\,\,= {{\left(x-2\right)\left(x+2\right)} \over {\left (x-2\right )\left (x-2\right )}}$\\
        \item[] $\displaystyle \,\,\;={{\left(x+2\right)} \over {\left(x-2\right)}}$, si $x-2\neq0$\\ \\
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

Por lo que:\\ \\
$\displaystyle {{{x^{2}-4} \over {{x}^{2}-4\left(x-1\right)}} = {{\left(x+2\right)} \over {\left(x-2\right)}}}$, si $\displaystyle {x\neq2}$ \\ \\ \\

\begin{tabular}{r c l}
    $\displaystyle {\mbox { d.)  }{{x^{3}+2{x}^{2}-x-2 } \over {x^{2}-1}}} $& $=$ & $\displaystyle {{{\left(x^{3}+2{x}^{2}\right)-\left(x+2\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}}$ \\ \\
    &$ =$& $\displaystyle {{{x^{2}\left(x+2\right)-\left(x+2\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}}$ \\ \\
    & $=$&$ \displaystyle {{{\left(x+2\right)\left(x^{2}-1\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}} $\\ \\
    &$ =$&$ \displaystyle {{{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}}$ \\ \\
    &$ =$&$ \displaystyle {x+2}\mbox { , si }\displaystyle {x-1\neq0}$ y $\displaystyle {x+1\neq0}$ \\ \\
\end{tabular} \\ \\

Por lo que:\\ \\
$\displaystyle {{{x^{3}+2{x}^{2}-x-2} \over {{x}^{2}-1}} = x+2}$, si $\displaystyle {x\neq1}$ y $\displaystyle {x\neq-1}$ \\ \\ \\


\begin{tabular}{r c l}
    $\displaystyle {\mbox { e.)  }{{x^{2}-9\left (x-2\right )} \over {x-3\left (x-2\right)}}}$&$=$&$\displaystyle {{{x^{2}-9x+18} \over {x-3x+6}}}$ \\ \\
    & $=$ & $\displaystyle {{{\left(x-6\right)\left(x-3\right)} \over {-2x+6}}}$ \\ \\
    &$ = $& $\displaystyle {{{\left(x-6\right)\left(x-3\right)} \over {-2\left (x-3\right )}}}$ \\ \\
    & $= $& $\displaystyle {{{x-6} \over -2}\mbox { , si }x-3\neq0}$\\
\end{tabular}\\ \\


Por lo que:\\ \\
$\displaystyle {{{x^{2}-9\left (x-2\right )} \over {x-3}\left ( x-2\right)} = {x-6 \over -2}}$, si $\displaystyle {x\neq3}$ \\ \\ \\


\begin{tabular}{r c l}
    $\displaystyle {\mbox { f.)  }{{{x}^{2}+x-6} \over {{x}^{2}+7x+12}}}$& $= $&$\displaystyle { {{\left(x+3\right)\left(x-2\right)} \over {\left(x+3\right)\left(x+4\right)}}}$ \\ \\
    &$ =$ &$\displaystyle { {{x-2} \over {x+4}};\mbox { si }x+3\neq0}$
\end{tabular} \\
Por lo que:\\ \\ \\
$\displaystyle {{{x^{2}+x-6} \over {{x}^{2}+7x+12}} = {{x-2} \over {x+4}}}$,
si $\displaystyle {x\neq-3}$\\ \\
\end{ejemplo}




\section*{Ejercicios}
\ejersol{   Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes fracciones racionales.\\ \\
\begin{enumerate}
\item \;\; $\dfrac{{\left (m-2 \right)}^{2}}{{m}^{2}-4}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\dfrac{3{x}^{3}+9{x}^{2}}{x^{2}+6x+9}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\dfrac{x^{2}-4\left (x-1 \right)}{x^{2}-4}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\dfrac{a^{3}+1}{a^{4}-{a}^{3}+a-1}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\dfrac{a^{3}-3{a}^{2}+3a-1}{{a}^{2}-2a+1}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\dfrac{\left(x+3\right)\left(x+12\right)}{x+3\cdot x+12}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\dfrac{x^{2}+x-6}{{\left(2x-7\right)}^{2}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\dfrac{x+1-{x}^{3}-{x}^{2}}{{x}^{3}-x-2{x}^{2}+2}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\dfrac{x\cdot x-25}{x^{2}-5x}$ \vspace{0.1 cm}\\ \\
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item ${m - 2 \over m + 2}$
\item ${3x^2 \over x + 3}$
\item ${x - 2 \over x + 2}$
\item ${a + 1 \over a^4 - a}$
\item
\item ${x + 12 \over 4}$
\item
\item
\item ${x + 5 \over x}$
\end{enumerate}


}


\subsection* {Operaciones con fracciones racionales}

Para realizar operaciones con fracciones racionales usaremos los procedimientos utilizados para realizar operaciones con n\'{u}meros racionales. As\'{i}: \\

Si $\displaystyle {{A(x) \over B(x)}}$ y $\displaystyle {{C(x)\over B(x)}}$ son
fracciones racionales entonces son verdaderas las siguientes
igualdades:

\begin{enumerate}
\item[1.)]  $\displaystyle {{A(x) \over B(x)}+{C(x) \over
D(x)}={{A(x)\cdot D(x)+C(x)\cdot B(x)} \over {B(x)\cdot D(x)}}}$
\item[2.)]  $\displaystyle {\displaystyle {{A(x) \over B(x)}}-{C(x) \over
D(x)}={{A(x)\cdot D(x)-C(x)\cdot B(x)} \over {B(x)\cdot D(x)}}}$
\item[3.)]  $\displaystyle {{A(x) \over B(x)}\cdot {C(x) \over
D(x)}={{A(x)\cdot C(x)} \over {B(x)\cdot D(x)}}}$
\item[4.)]  $\displaystyle{{A(x) \over B(x)}\div {C(x) \over D(x)}={\frac{A(x)\cdot D(x)}{B(x)\cdot C(x)}}}$ \\ \\
\end{enumerate}

\begin{nota}
$\displaystyle {{A(x) \over B(x)}\div {C(x) \over D(x)}={\displaystyle
{{A(x) \over B(x)}} \over \displaystyle {{C(x)\over D(x)}}}}$ \hspace {2mm}
por lo que \hspace {2mm}
$\displaystyle {{\displaystyle {{A(x) \over B(x)}} \over \displaystyle {{C(x)\over D(x)}}}={{A(x)\cdot D(x)} \over {B(x)\cdot C(x)}}}$ \\ \\
\end{nota}


\begin{ejemplo}
Sean $\hspace {3mm}\displaystyle {{P(x) \over Q(x)}= {{x^{2}+5x+6} \over {x^{2}-1}}}$;\hspace {2cm}$\displaystyle {{R(x) \over S(x)}= {{x^{2}+2x-3} \over {3x+6}}}$ \\ \\

{\bf Determine:} \\  \\
$\displaystyle {\mbox {a)  }{P(x) \over Q(x)}\cdot {R(x) \over S(x)}\hspace {3cm}\mbox {b)  }{P(x) \over Q(x)} \div {R(x) \over S(x)}}$ \\ \\

En cada caso exprese el resultado como una fracci\'{o}n racional en su forma m\'{a}s simple. \\ \\



\wsolu



\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {a.)   }{P(x) \over Q(x)}\cdot {R(x) \over S(x)}}$ &$=$& $\displaystyle {{{x^{2}+5x+6} \over {x^{2}-1}}\cdot {{x^{2}+2x-3} \over {3x+6}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\left(x^{2}+5x+6\right)\left(x^{2}+2x-3\right)} \over {\left( x^{2}-1\right)\left(3x+6\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{[(x+3)(x+2)][(x+3)(x-1)]} \over {[(x-1)(x+1)]\cdot 3\left(x+2\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\left(x+3\right)\left(x+3\right)} \over {3\left(x+1\right)}}}$ \\ \\
\end{tabular} \\ \\ \\ \\


\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {b.)   }{P(x) \over Q(x)}\div {R(x) \over S(x)}}$&$=$&$\displaystyle {{{x^{2}+5x+6} \over {x^{2}-1}}\div {{x^{2}+2x-3} \over {3x+6}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle{{(x^2+5x+6)(3x+6) \over (x^2-1)(x^2+2x-3)}}$\\\\
&$=$&$\displaystyle {{{\left[\left(x+3\right)\left(x+2\right)\right]3\left(x+2\right)} \over {\left( x^{2}-1\right)\left(x^{2}+2x-3\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{[(x+3)(x+2)]\left(3x+6\right)} \over {\left( x-1\right)\left( x+1\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{3\left(x+2\right)\left(x+2\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}}$ \\
\end{tabular}\\ \\

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Realice las operaciones indicadas en cada una de las expresiones siguientes y escriba la fracci\'{o}n racional resultante en su forma m\'{a}s simple: \\ \\

$\displaystyle {\mbox {a.) }{3 \over {x-7}}+{2 \over {x+6}}\hspace {3cm}\mbox {b.) }{x \over {x+1}}-{2x \over {1-{x}^{2}}}}$ \\ \\



\wsolu


\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {a.)   }{3 \over {x-7}}+{2 \over {x+6}}}$&$=$& $\displaystyle {{{3\left(x+6\right)+2\left(x-7\right)} \over {\left( x-7\right)\left(x+6\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{3x+18+2x-14} \over {\left( x-7\right)\left(x+6\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{5x+4} \over {\left( x-7\right)\left(x+6\right)}}}$ \\ \\
\end{tabular}\\ \\

Por lo que:\\ \\
$\displaystyle {{3 \over {x-7}}+{2 \over {x+6}}={{5x+4} \over {\left( x-7\right)\left(x+6\right)}}}$  \\ \\ \\

\begin{tabular}{r c l}
 $\displaystyle {\mbox {b.)   }{x \over {x+1}}-{2x \over {1-{x}^{2}}}}$&$=$&$\displaystyle {{{x\left(1-{x}^{2}\right)-2x\left(x+1\right)} \over {\left(x+1\right)\left(1-{x}^{2}\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x-{x}^{3}-2{x}^{2}-2x} \over {\left(x+1\right)\left(1-{x}^{2}\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-{x}^{3}-2{x}^{2}-x} \over {\left(x+1\right)\left(1-{x}^{2}\right)}}}$ \\ \\
&$=$& $\displaystyle {{{-x\left({x}^{2}+2x+1\right)} \over {\left(x+1\right)\left(1-{x}^{2}\right)}}}$ \\ \\
&$=$& $\displaystyle {{{-x{\left(x+1\right)}^{2}} \over {\left(x+1\right)\left(1-{x}^{2}\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-x\left(x+1\right)} \over {\left(1-{x}^{2}\right)}}}$ \\ \\
&$=$& $\displaystyle {{{-x\left(x+1\right)} \over {\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{-x \over {\left(1-x\right)}}}$ \\ \\
\end{tabular} \\ \\
Por lo que:\\ \\
$\displaystyle {{x \over {x+1}}-{2x \over {1-{x}^{2}}} = {-x \over {\left(1-x\right)}}}$ \\ \\
\end{ejemplo}

A continuaci\'{o}n enunciaremos un resultado que puede ser usado para sumar y restar fracciones racionales. \\ \\

{Resultado:} \\  \\

Si $\displaystyle {{A(x) \over B(x)}}$ y $\displaystyle {{C(x) \over B(x)}}$ son fracciones racionales entonces son verdaderas las siguientes igualdades: \\

\begin{enumerate}
\item [$i.)$] $\displaystyle {{A(x) \over B(x)}+{C(x) \over
B(x)}}={{A(x)+C(x)}\over {B(x)}}$
\item [$ii.)$] $\displaystyle {{A(x) \over B(x)}-{C(x) \over B(x)}}={{A(x)-C(x)}\over {B(x)}}$ \\
\end{enumerate}


{Justificaci\'{o}n del resultado:} \\
\begin{enumerate}
\item [$i.)$] $\displaystyle {{A(x) \over B(x)}+{C(x) \over B(x)}={{A(x)\cdot B(x)+C(x)\cdot B(x)} \over {B(x)\cdot B(x)}}}$ \\ \\
\item [] \hspace {2.2cm}$\displaystyle {={{\left [A(x)+C(x)\right ]B(x)} \over {B(x)\cdot B(x)}}}$ \\ \\
\item [] \hspace {2.2cm}$\displaystyle {={{A(x)+C(x)} \over B(x)}}$ \\ \\
Por lo que:\\ \\

$\displaystyle {{A(x) \over B(x)}+{C(x) \over B(x)}={{A(x)+C(x)} \over B(x)}}$ \\ \\
\item [$ii.)$] Justificaci\'{o}n an\'{a}loga a la anterior.

\end{enumerate}



\textbf{Nota} el resultado enunciado anteriormente se generaliza al caso en que se suman o restan tres o m\'{a}s fracciones racionales. \\ \\

En los ejemplos siguientes ilustraremos el uso de este resultado
al sumar o restar fracciones racionales.


\begin{ejemplo}
Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracci\'{o}n racional resultante en su forma m\'{a}s simple. \\ \\

\mpage[0.6][0.4]{
\begin{enumerate}
\item [a.)] $\displaystyle {{8x \over {x+2}}+{{-6x+4} \over {x+2}}}$ \\
\item [c.)] $\displaystyle {{{-3x+5} \over {x^{2}-25}}+{2 \over {x-5}}}$ \\
\item [e.)] $\displaystyle {{1 \over {x^{2}-16}}+{1 \over {x^{2}-5x+4}}-{2 \over {x^{2}+8x+16}}}$ \\
\item [g.)] $\displaystyle {{2 \over {x^{3}-2}}-{{x^{2}-x+1} \over {x-1}}-{{x+1} \over {x^{2}+x+1}}}$ \\
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item [b.)] $\displaystyle {{{1+3b} \over {3ab}}+{{-a+1} \over {a^{2}b}}-{{b^{2}+1} \over {2a{b}^{2}}}}$ \\
\item [d.)] $\displaystyle {{x \over {x^{2}-1}}-{{x+1} \over {\left(x-1 \right)^{2}}}}$ \\
\item [f.)] $\displaystyle {{1 \over {x^{2}-2x}}-{1 \over {x^{2}+2x}}-{4 \over {x^{3}-4x}}}$ \\ \\
\end{enumerate}
}


\wsolu


\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {a.)   }{8x \over {x+2}}+{{-6x+4} \over
{x+2}}}$&$=$&$\displaystyle {{{8x+ \left(-6x \right)+4} \over {x+2}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{2x+4} \over {x+2}}}$\\\\
&$=$&$\displaystyle {{{2 \left(x+2 \right)} \over {x+2}}}$\\\\
&$=$&$\displaystyle {2}$\\ \\
\end{tabular} \\

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{8x \over {x+2}}+{{-6x+4} \over {x+2}}=2}$\\ \\ \\

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {b.)   }{{1+3b} \over {3ab}}+{{-a+1} \over {a^{2}b}}-{{b^{2}+1} \over {2a{b}^{2}}}}$&$=$&$\displaystyle {{{1+3b} \over {3ab}}\cdot {2ab \over 2ab}+{{-a+1} \over {a^{2}b}}\cdot {6b \over 6b}-{{b^{2}+1} \over {2a{b}^{2}}}\cdot {3a \over 3a}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\left(1+3b\right)\left(2ab\right)} \over {6{a}^{2} b^{2}}}+{{\left(-a+1\right)6b} \over {6{a}^{2}b^{2}}}-{{\left(b^{2}+1\right)3a} \over {6{a}^{2}b^{2}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\left(1+3b\right )2ab+\left(-a+1\right)6b-\left(b^{2}+1\right)3a} \over {6{a}^{2}b^{2}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{2ab+6a{b}^{2}-6ab+6b-3a{b}^{2}-3a} \over {6{a}^{2}b^{2}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-4ab+3a{b}^{2}+6b-3a} \over {6{a}^{2}b^{2}}}}$\\ \\
\end{tabular}\\

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{{1+3b} \over {3ab}}+{{-a+1} \over {a^{2}b}}-{{b^{2}+1} \over {2a{b}^{2}}}}={{-4ab+3a{b}^{2}+6b-3a} \over {6{a}^{2}b^{2}}}$ \\ \\ \\

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {c.)   }{{-3x-5} \over {x^{2}-25}}+{2 \over {x-5}}}$&$=$&$\displaystyle {{{-3x-5} \over {\left(x-5\right)\left(x+5\right)}}+{2 \over {x-5}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-3x-5} \over {\left(x-5\right)\left(x+5\right)}}+{2 \over {x-5}}\cdot {{x+5} \over {x+5}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-3x-5} \over {\left(x-5\right)\left(x+5\right)}}+{{2\left (x+5\right)} \over {\left (x-5\right)\left (x+5\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-3x-5+2\left(x+5\right)} \over {\left(x-5\right)\left(x+5\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-3x-5+2x+10} \over {\left(x-5\right)\left(x+5\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-x+5} \over {\left(x-5\right)\left(x+5\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-1\left(x-5\right)} \over {\left(x-5\right)\left(x+5\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{-1 \over {\left(x+5\right)}}}$\\
\end{tabular}\\ \\

\bigskip
Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{{-3x-5} \over {x^{2}-25}}+{2 \over {x-5}}={-1 \over
{\left(x+5\right)}}}$ \\ \\ \\


\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {d.)   }{x \over {x^{2}-1}}-{{x+1} \over {\left(x-1\right)^{2}}}}$&$=$&$\displaystyle {{x \over {\left (x-1\right)\left (x+1\right)}}-{{x+1} \over {\left (x-1\right)\left (x-1\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{x \over {\left (x-1\right)\left (x+1\right)}}\cdot {{x-1} \over {x-1}}-{{x+1} \over {\left (x-1\right)\left (x-1\right)}}\cdot {{x+1} \over {x+1}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x\left (x-1\right)} \over {\left (x-1\right)^{2}\left (x+1\right)}}-{{\left(x+1\right)^{2}} \over {\left (x-1\right)^{2}\left (x+1\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x\left (x-1\right)-\left(x+1\right)^{2}} \over {\left (x-1\right)^{2}\left (x+1\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x^{2}-x-\left(x^{2}+2x+1\right)} \over {\left (x-1\right)^{2}\left (x+1\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x^{2}-x-x^{2}-2x-1} \over {\left (x-1\right)^{2}\left (x+1\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{-3x-1} \over {\left (x-1\right)^{2}\left (x+1\right)}}}$\\
\end{tabular} \\

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{x \over {x^{2}-1}}-{{x+1} \over {\left(x-1\right)^{2}}}={{-3x-1} \over {\left (x-1\right)^{2}\left (x+1\right)}}}$\\ \\ \\

\begin{enumerate}
\item [\mbox {e.)   }] $\displaystyle {{1 \over {x^{2}-16}}+{1 \over {x^{2}-5x+4}}-{2 \over {x^{2}+8x+16}}}$\\
\item [] $\displaystyle {={1 \over {\left(x-4\right)\left(x+4\right)}}+{1 \over {\left(x-1\right)\left(x-4\right)}}-{2 \over {\left(x+4\right)^{2}}}}$\\
\item [] $\displaystyle {={1 \over {\left(x-4\right)\left(x+4\right)}}\cdot {{\left(x-1\right)\left(x+4\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x+4\right)}}+{1 \over {\left(x-1\right)\left(x-4\right)}}\cdot {{\left(x+4\right)^{2}} \over {\left(x+4\right)^{2}}}-{2 \over {\left(x+4\right)^{2}}}\cdot {{\left(x-1\right)\left(x-4\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x-4\right)}}}$\\
\item [] $\displaystyle {={{\left(x-1\right)\left(x+4\right)+\left(x+4\right)^{2}-2\left(x-1\right)\left(x-4\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)^{2}}}}$\\
\item [] $\displaystyle {={{x^{2}+4x-x-4+\left(x^{2}+8x+16\right)-2\left(x^{2}-4x-x+4\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)^{2}}}}$\\
\item [] $\displaystyle {={{x^{2}+3x-4+x^{2}+8x+16-2{x}^{2}+8x+2x-8} \over {\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)^{2}}}}$\\
\item [] $\displaystyle {={{21x+4} \over
{\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)^{2}}}}$\\ \\
\end{enumerate}

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{1 \over {x^{2}-16}}+{1 \over {x^{2}-5x+4}}-{2 \over {x^{2}+8x+16}}={{21x+4} \over {\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x+4\right)^{2}}}}$\\ \\ \\ \\

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {f.)   }{1 \over {x^{2}-2x}}-{1 \over {x^{2}+2x}}-{4 \over {x^{3}-4x}}}$&$=$&$\displaystyle {{1 \over {x\left(x-2\right)}}-{1 \over {x\left(x+2\right)}}-{4 \over {x\left(x^{2}-4\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{1 \over {x\left(x-2\right)}}-{1 \over {x\left(x+2\right)}}-{4 \over {x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{1 \over {x\left(x-2\right)}}\cdot {{x+2}\over {x+2}}-{1 \over {x\left(x+2\right)}}\cdot {{x-2}\over {x-2}}-{4 \over {x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x+2} \over {x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}-{{x-2} \over {x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}-{4 \over {x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x+2-x+2-4} \over {x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{0 \over {x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {0}$ \\ \\
\end{tabular}\\ \\

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{1 \over {x^{2}-2x}}-{1 \over {x^{2}+2x}}-{4 \over
{x^{3}-4x}}}=0$\\ \\ \\


\begin{tabular}{rl}
$\displaystyle {\mbox {g.)   }{2 \over {x^{3}-1}}-{{x^{2}-x+1} \over {x-1}}-{{x+1} \over {x^{2}+x+1}}}$
$\displaystyle {{2 \over {\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}}-{{x^{2}-x+1} \over {x-1}}-{{x+1} \over {x^{2}+x+1}}}$ &=\\
$\displaystyle {x^{2}+x+1}$ \mbox{ no es factorizable en el conjunto de los n\'{u}meros reales.}\\ \\
$\displaystyle {{2 \over {\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}}-{{x^{2}-x+1} \over {x-1}}\cdot {{x^{2}+x+1} \over {x^{2}+x+1}}-{{x+1} \over {x^{2}+x+1}}\cdot {{x-1} \over {x-1}}}$ &=\\
$\displaystyle {{2 \over {\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}}-{{\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}}-{{\left(x+1\right)\left(x-1\right)} \over {\left(x^{2}+x+1\right)\left(x-1\right)}}}$ &=\\
$\displaystyle {{{2-\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)-\left(x+1\right)\left(x-1\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}}}$ &=\\
$\displaystyle {{{2-\left(x^{4}+x^{3}+x^{2}-x^{3}-x^{2}-x+x^{2}+x+1\right)-\left(x^{2}-1\right)} \over {\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}}}$ &=\\
$\displaystyle {{{2-x^{4}-x^{3}-x^{2}+x^{3}+x^{2}+x-x^{2}-x-1-x^{2}+1} \over {\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}}}$ &=\\
$\displaystyle {{{x^{4}-2{x}^{2}+2} \over {\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}}}$ \\ \\
\end{tabular}

Por lo que: \\ \\

$\displaystyle {{2 \over {x^{3}-2}}-{{x^{2}-x+1} \over {x-1}}-{{x+1} \over {x^{2}+x+1}}={{x^{4}-2{x}^{2}+2} \over {\left(x-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)}}}$ \\ \\

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracci\'{o}n racional resultante en su forma m\'{a}s simple:\\ \\
$\displaystyle  {\mbox {a.)}\hspace {5mm}{{{x-1}\hspace {1mm}-\displaystyle{{12 \over {x-2}}}\over {{x+6}\hspace {5mm}+\displaystyle {{16 \over {x-2}}}}}}}$\hspace {5cm}$\displaystyle {\mbox {b.)}\hspace {5mm}{{\displaystyle {{3 \over {3+x}}}-{\displaystyle {{3 \over {6+2x}}}}} \over {\displaystyle {{3 \over {3-x}}}+{3 \over {3+x}}}}}$\\



\wsolu\\

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {a.)   }{{{x-1}\hspace {1mm}-\displaystyle{{12 \over {x-2}}}\over {{x+6} +\displaystyle {{16 \over {x-2}}}}}}}$&$=$&$\displaystyle {{\displaystyle {{{\left(x-1\right)\left(x-2\right)-12} \over {x-2}}}\over {\displaystyle {{{\left(x+6\right)\left(x-2\right)+16}\over {x-2}}}}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{\displaystyle {{{x^{2}-2x-x+2-12} \over {x-2}}}\over {\displaystyle {{x^{2}-2x+6x-12+16}\over {x-2}}}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{\displaystyle {{{x^{2}-3x-10} \over {x-2}}}\over {\displaystyle {{x^{2}+4x+4}\over {x-2}}}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\left(x^{2}-3x-10\right)\left(x-2\right)}\over {\left(x^{2}+4x+4\right)\left(x-2\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\left(x-5\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\over {\left(x+2\right)^{2}\left(x-2\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x-5} \over {x+2}}}$
\end{tabular}

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{{{x-1}\hspace {1mm}-\displaystyle {{12 \over {x-2}}}}\over {{x+6}\hspace {1mm}+\displaystyle {{16 \over {x-2}}}}}={{x-5} \over
{x+2}}}$\\

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox{b.)   }{{\displaystyle {{3 \over {3+x}}}-{\displaystyle {{3 \over {6+2x}}}}} \over {\displaystyle {{3 \over {3-x}}}+{3 \over {3+x}}}}}$&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{6 \over {2\left(3+x\right)}}}-{\displaystyle {{3 \over {6+2x}}}}} \over {\displaystyle {{3 \over {3-x}}}+ \displaystyle {{3 \over {3+x}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{6-3 \over {2\left(3+x\right)}}}} \over {\displaystyle {{{3\left(3+x\right)+3\left(3-x\right)} \over {\left(3-x\right)\left(3+x\right)}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{3 \over {2\left(3+x\right)}}}} \over {\displaystyle {{{9+3x+9-3x} \over {\left(3-x\right)\left(3+x\right)}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{3 \over {2\left(3+x\right)}}}} \over {\displaystyle {{18 \over {\left(3-x\right)\left(3+x\right)}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{{3\left(3-x\right)\left(3+x\right)} \over {2\left(3+x\right)18}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle{{{3-x} \over 12}}$ \\ \\
\end{tabular}\\ \\

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{{\displaystyle {{3 \over {3+x}}}-{\displaystyle {{3 \over {6+2x}}}}} \over {\displaystyle
{{3 \over {3-x}}}+{3 \over {3+x}}}}={{3-x} \over 12}}$\\

\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios}
\ejersol{   Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la
fracci\'{o}n racional resultante en su forma m\'{a}s simple: \\
\begin{enumerate}
\item \;\; $\displaystyle {{{\left(x^{3}+1\right)\left(x^{2}-1\right)} \over {{\left(x-1\right)^{2}{\left(x+1\right)}^{3}}}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{{x^{3}-121x} \over {x^{2}-49}}\div {{x^{2}-11x} \over {x+7}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{{y^{2}-y-6} \over {2{y}^{2}+12y+16}}\cdot {{-{y}^{2}-2y+8} \over {2-y}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{1 \over {m^{3}-8}}-{1 \over {{\left(m-2\right)}^{3}}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{1 \over {{\left(n-1\right)}^{2}}}+{1 \over {n-1}}-{1 \over {\left(n-1\right)^{3}}}-{1 \over n}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{1 \over {y-1}}+{{2y} \over {y^{2}-1}}-{{3{y}^{2}} \over {{y}^{3}-1}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{{x+1} \over {x^{2}-\displaystyle {{4 \over x}}-6}}-{{x-4} \over {x^{2}-4x+3}}+{{x+4} \over {x^{2}+x-2}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {\left[x+3 \hspace {2mm}-{5 \over {x-1}} \right]\left[x-2 \hspace {2mm}+{5 \over {x+4}}\right]}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {\left[{{a+1} \over {a-1}}+{{a-1} \over {a+1}} \right ] \div \left[{{a+1} \over {a-1}}-{{a-1} \over {a+1}}\right]}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{\displaystyle {{{10x+4} \over x}} \over {\displaystyle {{4 \over {x^{2}}}}-25}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{{{1-x \hspace {2mm}+ \displaystyle {{{x^{2}} \over {1+x}}}}} \over  {\displaystyle {{1 \hspace {2mm} -{1 \over {1+x}}}}}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{{2{x}^{2}+2x} \over {2{x}^{2}}}\cdot {{x^{2}-3x} \over {x^{2}-2x-3}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{{a^{3}-27} \over {a^{2}-4}} \div {{a^{2}+3a+9} \over {a-2}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {\left[{{a^{2}-16a+64} \over {a^{2}-64}}\cdot {{a^{3}-9{a}^{2}+8a} \over {2{a}^{2}-128}}\right] \div {{a^{2}+a} \over 2}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{{n^{2}-6n} \over {3{n}^{2}-27}}+{3 \over {2n-6}}-{n \over {4n+12}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{x \over {x^{2}+x-2}}-{3 \over {x^{2}+2x-3}}-{x \over {x^{2}+5x+6}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{2 \over {r+r^{2}}}-{1 \over {r-r^{2}}}-{{1-3r} \over {r-r^{3}}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{{y^{3}} \over {27-y^{3}}}-{y \over {3-y}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {\left[3-{6 \over {x+2}}\right]\left[1+{1 \over x}\right] \div \left[{{x+1} \over {2x+4}}\right]}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {\left[{{x+3} \over {x-1}}-x\right]\left[2x+{{x^{2}} \over {x+1}}\right] \div \left[{{2x} \over {x-1}}-x\right]}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{{\displaystyle {{3 \over {x+1}}}-\displaystyle {{{x-2} \over {x^{2}-1}}}} \over {\displaystyle {{{2x-1} \over {x^{2}+2x-3}}}}}}$ \vspace{0.1 cm}

\item \;\; $\displaystyle {{1-{\displaystyle {{7 \over {x}}}+\displaystyle {{12 \over {x^{2}}}}} \over {x-\displaystyle {{16 \over x}}}}}$ \vspace{0.1 cm}
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item ${x^2 - x + 1 \over x^2 -1}$
\item ${x + 11 \over x - 7}$
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\end{enumerate}
}

A continuaci\'{o}n nuestro objetivo es efectuar operaciones con expresiones algebraicas que involucran potencias enteras negativas y con expresiones algebraicas de varias
variables.\\

Para esto, haremos uso de las propiedades de las potencias, y de los procedimientos que se usan para realizar operaciones con fracciones racionales, como se ilustra en los ejemplos que siguen. \\




\begin{ejemplo}
Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba el resultado en su forma m\'{a}s simple: \\ \\

\mpage{
\begin{enumerate}
\item [a.)] $\displaystyle {{{a^{-1}+b^{-1}} \over {a^{-2}-b^{-2}}}} $\\
\item [c.)] $\displaystyle {{x \over {y+3}}-{{x^{2}-1} \over {xy+3x}}-{{1-6x} \over {y^{2}-9}}}$\\
\item [e.)] $\displaystyle {{{\displaystyle {{x \over {y^{2}}}}+\displaystyle {{y \over {x^{2}}}}} \over {\displaystyle {{1 \over {x^{2}}}}-\displaystyle {{1 \over xy}}+\displaystyle {{1 \over {y^{2}}}}}} \div {{x+y} \over {x\cdot y}}}$\\
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item [b.)] $\displaystyle {{\left(x^{-2}-4{y}^{-2}\right)^{-1}} \over {x-\displaystyle {{{xy} \over {y+2x}}}}}$\\
\item [d.)] $\displaystyle {\left({1 \over {x-y}}-{1 \over {x+y}}\right) \div \left({1 \over {x-y}}+{1 \over {x+y}}\right)}$\\
\item [f.)] $\displaystyle {{{2{x}^{-6}} \over
{\left(x+1\right)^{2}x^{-4}-\left(2x+1\right)x^{-4}}}}$\\ \\\\
\end{enumerate}
}


\wsolu\\

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {a.)  }{{a^{-1}+b^{-1}} \over {a^{-2}-b^{-2}}}}$&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {1 \over a}}+\displaystyle {{1 \over b}}} \over {\displaystyle {{1 \over {\displaystyle {a^{2}}}}}-\displaystyle {{1 \over {b^{2}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{b+a} \over {ab}}} \over {\displaystyle {{b^{2}-a^{2}} \over {a^{2}b^{2}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{\left(b+a\right)a^{2}b^{2}} \over {\left(b^{2}-a^{2}\right)ab}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{\left(b+a\right)a^{2}b^{2}} \over {\left(b+a\right)\left(b-a\right)ab}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{ab} \over {\left(b-a\right)}}}$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{{a^{-1}+b^{-1}} \over {a^{-2}-b^{-2}}}={{ab} \over {\left(b-a\right)}}}$\\ \\ \\


\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {b.)  }{{\left(x^{-2}-4{y}^{-2}\right)^{-1}} \over {x \hspace {1mm}-\displaystyle {{{xy} \over {y+2x}}}}}}$&$=$&$\displaystyle {{{\left(\displaystyle {{1 \over {x^{2}}}-\displaystyle {{4 \over {y^{2}}}}}\right)^{-1}} \over {\displaystyle {{x \over 1}}-\displaystyle {{xy \over {y+2x}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\left(\displaystyle {{{y^{2}-4{x}^{2}} \over {x^{2}y^{2}}}}\right)^{-1}} \over {\displaystyle {{{x\left(y+2x\right)-xy} \over {y+2x}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{{x^{2}y^{2}} \over {y^{2}-4{x}^{2}}}}} \over {\displaystyle {{{xy+2{x}^{2}-xy} \over {y+2x}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x^{2}y^{2}\left(y+2x\right)} \over {\left(y^{2}-4{x}^{2}\right)\left(xy+2{x}^{2}-xy\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x^{2}y^{2}\left(y+2x\right)} \over {\left(y-2x\right)\left(y+2x\right)\left(2{x}^{2}\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{y^{2}} \over {2\left(y-2x\right)}}}$\\ \\
\end{tabular}\\ \\

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{{\left(x^{-2}-4{y}^{-2}\right)^{-1}} \over {x \hspace {1mm}-\displaystyle {{{xy} \over {y+2x}}}}}={{y^{2}} \over {2\left(y-2x\right)}}}$\\ \\ \\

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {c.)  }{x \over {y+3}}-{{x^{2}-1} \over {xy+3x}}-{{1-6x} \over {y^{2}-9}}}$&$=$&$\displaystyle {{x \over {y+3}}-{{x^{2}-1} \over {x\left(y+3\right)}}-{{1-6x} \over {\left(y+3\right)\left(y-3\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x\left[ x\left(y-3\right)\right]-\left(x^{2}-1\right)\left(y-3\right)-\left(1-6x\right)x} \over {x\left(y+3\right)\left(y-3\right)}}}$ \\ \\
&$=$&$\displaystyle {{x\left(xy-3x\right)-\left(x^{2}y-3{x}^{2}-y+3\right)-\left(x-6{x}^{2}\right)} \over {x\left(y+3\right)\left(y-3\right)}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{x^{2}y-3{x}^{2}-x^{2}y+3{x}^{2}+y-3-x+6{x}^{2}} \over {x\left(y+3\right)\left(y-3\right)}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{6{x}^{2}-x+y-3} \over {x\left(y+3\right)\left(y-3\right)}}$\\ \\
\end{tabular}

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{x \over {y+3}}-{{x^{2}-1} \over {xy+3x}}-{{1-6x} \over {y^{2}-9}}={{6{x}^{2}-x+y-3} \over {x\left(y+3\right)\left(y-3\right)}}}$\\ \\ \\

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {d.)  }\left({1 \over {x-y}}-{1 \over {x+y}}\right)\div \left({1 \over {x-y}}+{1 \over {x+y}}\right)}$&$=$&$\displaystyle {\left[{{1\left(x+y\right)-1\left(x-y\right)} \over {\left(x-y\right)\left(x+y\right)}}\right] \div \left[{{1\left(x+y\right)+1\left(x-y\right)} \over {\left(x-y\right)\left(x+y\right)}}\right]}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{x+y-x+y} \over {\left(x-y\right)\left(x+y\right)}}\div {{x+y+x-y} \over {\left(x-y\right)\left(x+y\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{2y} \over {\left(x-y\right)\left(x+y\right)}}\div {{2x} \over {\left(x-y\right)\left(x+y\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{2y\left(x-y\right)\left(x+y\right)} \over {2x\left(x-y\right)\left(x+y\right)}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{y \over x}}$\\ \\
\end{tabular}\\ \\

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{\left({1 \over {x-y}}-{1 \over {x+y}}\right)\div \left({1 \over {x-y}}+{1 \over {x+y}}\right)}={y \over x}}$\\ \\ \\


\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {e.)  } {{\displaystyle {{x \over {y^{2}}}}+\displaystyle {{y \over {x^{2}}}}} \over {\displaystyle {{1 \over {x^{2}}}}-\displaystyle {{1 \over {xy}}}}+\displaystyle {{1 \over {y^{2}}}}} \div {{x+y} \over {xy}}}$&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{x\cdot x^{2}+y\cdot y^{2}} \over {x^{2}y^{2}}}} \over {\displaystyle {{{1\cdot y^{2}-1\left(xy\right)+1\cdot x^{2}} \over {x^{2}y^{2}}}}}}\div {{x+y} \over {xy}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{x^{3}+y^{3}} \over {x^{2}y^{2}}}} \over {\displaystyle {{{y^{2}-xy+x^{2}} \over {x^{2}y^{2}}}}}}\div {{x+y} \over {xy}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{\displaystyle {{\left(x^{3}+y^{3}\right)x^{2}y^{2}} \over {\left(y^{2}-xy+x^{2}\right)x^{2}y^{2}}}} \div {{x+y} \over {xy}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{\displaystyle {{\left(x+y\right)\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)x^{2}y^{2}} \over {\left(y^{2}-xy+x^{2}\right)x^{2}y^{2}}}} \div {{x+y} \over {xy}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {\left(x+y\right) \div {{x+y} \over {xy}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\left(x+y\right)xy} \over {x+y}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {xy}$\\ \\
\end{tabular}\\ \\

Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{\displaystyle {{x \over {y^{2}}}}+\displaystyle {{y \over {x^{2}}}}} \over {\displaystyle {{1 \over {x^{2}}}}-\displaystyle {{1 \over {xy}}}}+\displaystyle {{1 \over {y^{2}}}}} \displaystyle{\div {{x+y} \over {xy}}={xy}}$\\ \\ \\

\begin{tabular}{r c l}
$\displaystyle {\mbox {f.)  }{{2x^{-6}} \over {\left(x+1\right)^{2}x^{-4}-\left(2x+1\right)x^{-4}}}}$&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{2 \over {x^{6}}}}} \over {\displaystyle {{{\left(x+1\right)^{2}} \over {x^{4}}}}}-\displaystyle {{{2x+1} \over {x^{4}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{2 \over {x^{6}}}}} \over {\displaystyle {{{\left(x+1\right)^{2}-\left(2x+1\right)} \over {x^{4}}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{2{x}^{4}} \over {{{x^{6}\left [\left(x+1\right)^{2}-\left(2x+1\right)\right]}}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{2{x}^{4}} \over {{{x^{6}\left(x^{2}+2x+1-2x-1\right)}}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{2{x}^{4}} \over {{{x^{6}x^{2}}}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{2{x}^{4}} \over {{{x^{8}}}}}}}}$\\ \\
&$=$&$\displaystyle {{{\displaystyle {{2} \over {{{x^{4}}}}}}}}$\\ \\
\end{tabular}\\ \\
Por lo que: \\ \\
$\displaystyle {{{2x^{-6}} \over {\left(x+1\right)^{2}x^{-4}-\left(2x+1\right)x^{-4}}}={{\displaystyle {{2} \over {{{x^{4}}}}}}}}$\\

\end{ejemplo}


\section*{Ejercicios}
\ejersol{   Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba el resultado en su forma m\'{a}s simple:\\
\begin{enumerate}
\item \;\; $\displaystyle {\left(x^{-1}-y^{-1}\right)^{-1}} \div \left(x^{-1}y^{-1}\right)^{-1}$

\item \;\; $\displaystyle {\left(x+y\right)^{-2}\left(x+y\right)^{3}\left(x^{2}{y}^{3}\right)^{-2}}$

\item \;\; $\displaystyle {\left[{{x^{-2}-{y}^{-2}} \over {x^{-1}-{y}^{-1}}}\right]^{-1}}$

\item \;\; $\displaystyle {\left({{a^{-2}-2{b}^{-1}} \over {a^{-4}-4{b}^{-2}}}\right)^{-1}\cdot \left(b-2a\right)^{-1}}$

\item \;\; $\displaystyle {{{1+\displaystyle {\displaystyle {{{3b} \over {a-2b}}}}} \over {1+\displaystyle {{b \over {a-2b}}}}}}$

\item \;\; $\displaystyle {\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^{-1}\cdot \left(a^{-1}+b^{-1}\right)^{-1}}$

\item \;\; $\displaystyle {{{x^{2}} \over {x-y}} \div {1 \over {x^{-1}-{y}^{-1}}}}$

\item \;\; $\displaystyle {{{\left(x^{-1}+{y}^{-1}\right)^{-1}} \over {x^{-1}-{y}^{-1}}} \div \left(x^{-2}-{y}^{-2}\right)^{-1}}$

\item \;\; $\displaystyle {\left(a{x}^{-2}+{b}^{-1}\right)^{3}\left(b^{-3}{x}^{-6}\right)^{-1}\left(ab+{x}^{2}\right)^{-3}}$

\item \;\; $\displaystyle {\left(\displaystyle {{{\displaystyle {{x \over y}} +\displaystyle {{y \over x}}} \over {\displaystyle {{x \over y}}-\displaystyle {{y \over x}}}}}\right)+ \displaystyle {{xy} \over {x^{2}-{y}^{2}}}}$
\end{enumerate}
}{
\begin{enumerate}
\item ${1 \over y - x}$
\item ${x + y \over x^4 y^6}$
\item ${xy \over y + x}$
\item ${b + 2a \over (a^2b)(b - 2a^2)}$
\item ${a + b \over a - b}$
\item ${(ab)^2 \over (b^2 - a^2)}$
\item ${-x \over y}$
\item $1$
\item $1$
\item ${(x^2 + y^2)(xy)  \over x^2 - y^2}$
\end{enumerate}
}


\section{Ejercicios}
