
\chapter{Funciones}

\section{Conceptos básicos}
% === Sección de origen: Producto Cartesiano ===

\begin{definicion}
Sean $A$ y $B$ conjuntos tales que $A \neq \emptyset$ y $B \neq
\emptyset$. Se llama producto cartesiano de $A$ y $B$, denotado
por $A\times B$, al conjunto, $\{(a,b)\; \mbox{ {\rm tal que} } \;
a \in A, b \, \in \, B\}$.
\end{definicion}


O sea: $A\times B = \{(a,b)\; \mbox{ {\rm tal que} } \;a\, \in \, A, b\, \in \, B\}$\\

\begin{ejemplo}

Sean $A=\{1,2\}$  $B=\{1,2,3\}$.\\

Entonces $A\times B=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}$.\\
\end{ejemplo}

\textbf{Ejercicio}\\
\begin{enumerate}
\item Sean $A=\{-1,0\}$ y $B=\{0,1\}$. Determine $B\times A$\\

\item Sean $\displaystyle{X=\left\{\sqrt{2}, \frac{-1}{3}\right\}}$,
$Y=\{7\}$. Determine $X\times Y$

\end{enumerate}


\begin{definicion}
Sean $A$ y $B$ conjuntos tales que $A\neq \emptyset$ y $B\neq \emptyset$. Los elementos de
$A\times B$ se llaman {\rm pares ordenados}, por que si: $a\, \in \, A,\; b\, \in \, B$\, y
$a\neq b$ entonces $(a,b)\neq (b,a)$.\\
\end{definicion}


As\'{i} con respecto al primer ejemplo, observe que: $(1,2)\neq (2,1)$\\



% === Sección de origen: Sistema de Coordenadas Rectangulares ===

En un cap\'itulo anterior vimos que podemos representar los
n\'umeros reales como puntos de una recta. Ahora estamos
interesados en obtener una representaci\'{o}n para $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$,
esto de acuerdo a la definici\'{o}n 1, al conjunto:
$$\{(x,y)\; \mbox{ {\rm tal que} } \;x, \, y \, \in \, \mathbb{R} \}$$

Lo que buscamos ``es establecer una correspondencia entre el
conjunto de todos los pares ordenados de n\'{u}meros reales
$(\mathbb{R} \times \mathbb{R})$ y el conjunto de todos los puntos de un plano.''\\

Una forma de establecer esta correspondencia es por medio de un
{\bf sistema de coordenadas rectangulares} que se puede
construir de la siguiente forma:\\

Se dibujan dos rectas num\'{e}ricas perpendiculares entre s\'{i}, que se intersecan en el punto
cero de cada una, como se muestra en la siguiente figura.\\

%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap6-Funciones/fig01}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig1}
\end{center}
%\end{figure}

{\bf Nota:}\\

El nombre de sistema de coordenadas rectangulares se
debe a que las rectas num\'{e}ricas se intersecan determinando un
\'angulo recto (\'angulo de $90º$).\\

Las dos rectas num\'{e}ricas de la figura anterior recibe el
nombre de
ejes coordenados.\\

Los ejes coordenados son, generalmente (en este curso siempre), un
eje horizontal (que llamamos eje $X$) y un eje vertical (que
llamaremos eje $Y$). \\

El punto cero donde se intersecan el eje $X$ y el eje $Y$ se llama
origen.

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig02}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig2}
\end{center}

%\end{figure}

El plano en que se usa un sistema de coordenadas se llama plano
coordenado o plano real. As\'{i} a cada punto $P$ del plano se le
puede asignar un par ordenado de n\'{u}meros reales, como sigue:\\

Se traza desde $P$ un segmento perpendicular al eje $X$, que le
interseque en el punto $a$. (Ver figura \ref{Cap6fig3}).\\

Se traza desde $P$ un segmento perpendicular al eje $Y$ en el
punto $b$.\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig03}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig3}
\end{center}
%\end{figure}

El n\'{u}mero $a$ recibe el nombre de {\bf abscisa}\\

El n\'{u}mero $b$ recibe el nombre de {\bf ordenada}\\

Al punto $P$ le podemos asignar el par ordenado $(a,b)$. (Note que
primero se escribe la abscisa ($a$) y luego la ordenada ($b$)\,)\\

Diremos que $P$ tiene coordenadas $a$ y $b$.\\

En forma similar, a un par ordenado de n\'umeros reales se le
puede asignar un punto del plano coordenado.\\

De todo lo anterior tenemos:\\

A cada punto $P$ del plano coordenado se le asocia exactamente un
par ordenado de n\'{u}meros reales ($a,b$) y a cada par ordenado
de n\'{u}meros reales se asocia exactamente un punto del plano.\\

\textbf{Ejercicio}\\

Represente en un sistema de coordenadas rectangulares los elementos de cada uno de los
siguientes conjuntos:\\
\begin{enumerate}
\item $\{(-1,3),(3,-1),(-5,-4),(2,3),(0,0)\}$

\item $\displaystyle{\left\{\left(\frac{1}{2},0\right), \left(0,\frac{1}{2}
\right), \left(\frac{-7}{5},1\right),\left(\frac{-3}{4},\frac{-4}{3}\right) \right\}}$

\item $\displaystyle{\left\{\left(\frac{5}{4},-1\right),\left(\frac{-1}{2},\frac{1}{4}\right),
\left(\frac{2}{3}, \frac{-5}{4}\right), \left(1, \frac{-7}{6}\right)\right\}}$

\end{enumerate}


Las cuatro regiones en las que los ejes de un sistema coordenado rectangular divide al plano se
llaman {\bf cuadrantes}. Los cuadrantes se numeran I, II, III y IV, de la siguiente manera: \\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig04}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig4}
\end{center}
%\end{figure}


Tambi\'en se le llama primero, segundo, tercero y cuarto
cuadrante.\\



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Signo de las coordenadas de un punto,
seg\'{u}n el cuadrante donde est\'e}}\\

Sea $P$ un punto de coordenadas $(x,y)$  entonces tenemos que:\\


\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig051}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig5}
%\end{figure}
}
{
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig06}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig6}
%\end{figure}
}


\section{Dominio real y ámbito}
% === Sección de origen: Funciones ===

\begin{definicion}
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vac\'{i}os. Una funci\'{o}n
{\bf $f$ de $A$ en $B$} es una ley, regla o correspondencia
que a cada elemento de $A$, le hace corresponder {\bf un y sólo un elemento de $B$}.
\end{definicion}

\inxx{Funciones}

\begin{definicion}
Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vac\'{i}os y $f$ de $A$ en $B$ una
funci\'{o}n. Sea $a \; \, \in \,\; A$. El elemento que $f$ le hace
corresponder a $a$ en $B$, se llama {\bf imagen de $a$} y se
denota por $f(a)$\,\, ($f(a):$ se lee ``efe de a'') y $a$ recibe el nombre de preimagen de $f(a)$.
\end{definicion}


\begin{ejemplo}\label{Cap6ejem1}
Sea:

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig07}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig7}
\end{center}
%\end{figure}


Tal y como est\'a definida esta correspondencia $f$ es funci\'on de $x$ en $y$.\\

Complete:\\

\begin{enumerate}

\item[a)] Al $1$ se le asigna el $-1$, o sea $f(1) = -1$.  La
imagen de $1$ es\,: \underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\

\item[b)] Al $2$ se le asigna el $-2$, o sea $f(2) = -2$.  La
preimagen de $-2$ es\,: \underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\

\item[c)] Al $3$ se le asigna el $-3$, o sea
\underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} =
\underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}.  La
imagen de $3$ es\,: \underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\

\item[d)] Al $4$ se le asigna el $-4$, o sea
\underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} =
\underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}.  La
preimagen de $-4$ es\,: \underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Notación:}} Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vac\'ios y $a\; \, \in \,\;  A$\\

Si $\,f$ es una funci\'on de A en B y $f(a)$ es la imagen de $a$,
esto se indica de la siguiente forma\\

\[f :A\;\;\longrightarrow \;\; B,  \atop \;\;\;\; \;\;\;a\longrightarrow\;\;f(a)\]


\begin{definicion}

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vac\'ios  y $f: A \longrightarrow B$\, funci\'on.\\

Entonces:

\begin{enumerate}

\item  $A$ recibe el nombre de dominio de la funci\'on

\item  $B$ recibe el nombre de codominio de la funci\'on

\end{enumerate}

\end{definicion}


\inxx{Funciones, dominio}
\inxx{Funciones, codominio}


\textbf{Ejercicio}\\
Complete:\\
\begin{enumerate}
\item Con respecto al ejemplo \ref{Cap6ejem1}:\\

\verb#   #{\bf a.1)} El dominio de la funci\'on es \rule{3cm}{0.01cm}\\

\verb#   #{\bf a.2)} El codominio de la funci\'on es \rule{3cm}{0.01cm}\\

\item Considere la función $\;f:\;]-5,4] \longrightarrow \mathbb{R}$. Entonces:\\

\verb#   #{\bf b.1)} El dominio de la $f$ es \rule{3cm}{0.01cm}\\

\verb#   #{\bf b.2)} El codominio de la $f$ es \rule{3cm}{0.01cm}\\

\end{enumerate}


\begin{definicion}
Sean $A$ y $B$ conjuntos no vac\'ios y $f:A \longrightarrow B$\,
funci\'on.

\begin{enumerate}

\item[a)] Se llama {\rm rango} o {\rm \'ambito} de $f$ al conjunto $A_f$, definido por
la igualdad: $A_f = \{f(x)\; \mbox{ {\rm tal que} } \; x \, \in \, A\}$\\

O sea $A_f$ es el conjunto de las im\'agenes.\\

\item[b)] Se llama {\rm gr\'afico de $f$} al conjunto $G_f$,
definido por la igualdad $G_f = \{(x, f(x))\; \mbox{ {\rm tal que}} \;x \, \in \, A\}$\\

\end{enumerate}
\end{definicion}

\inxx{Funciones, gráfico}
\inxx{Funciones, imágenes}



Una funci\'on se puede definir por medio de diagramas de Venn. Tambi\'en puede definirse dando su
dominio, codominio y  una regla que indica en que forma se asocia cada miembro del dominio, con
uno del codominio.  La regla es a menudo (aunque no siempre) una frase num\'erica abierta.


\begin{ejemplo}

Sea $A = \{-2,-1,0,1,2\}$, $B = \{-6,-5,-4,-2,0,1,2,4,6\}\;$ y $\;f :A\;\;\longrightarrow \;\; B,
\hspace{0.4cm} f(x)=2x$\\

Determine

\begin{enumerate}
\item[a)] El \'ambito o rango de $f$.

\item[b)] El gr\'afico de $f$.

\item[c)] Represente el gr\'afico de $f$ en un sistema de coordenadas rectangulares.



\wsolu

\item[a)]  Para determinar $A_f$, construyamos la siguiente tabla
de valores considerando que $f(x) = 2x$\\

\mpage{
 \begin{tabular}{rcrcl}
$f(-2)$ & $=$ & $2(-2)$ & $=$ & $-4$\\\\
$f(-1)$ & $=$ & $ 2(-1)$ & $=$ & $-2$\\\\
$f(0)$ & $=$ & $2(0)$ & $ =$ & $ 0$\\\\
$f(1)$ & $=$ & $ 2(1)$ & $ = $ &  $2$\\\\
$f(2)$ & $=$ &  $ 2(2)$ & $ =$ & $ 4$\\\\
 \end{tabular}
}{
\begin{tabular}{|r|c|}
   \hline
  $x$ & $2x$ \\
   \hline
  $-2$ & $-4$ \\  \hline
  $-1$ & $-2$ \\  \hline
  $0$ & $0$ \\  \hline
  $1$ & $2$ \\  \hline
  $2$ & $4$ \\  \hline
\end{tabular}
}


Por lo que $A_f = \{-4,-2,0,2,4\}$\\

\item[b)] Por definici\'on $G_f = \{(x,2x)\; \mbox{ {\rm tal que}
} \; x \, \in \, A \}$ por
lo que:\\

$G_f = \{(-2,-4),(-1,-2),(0,0),(1,2),(2,4)\}$\\

\item[c)] Representaci\'on de $G_f$\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig09}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig8}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} Generalmente en vez de escribir ``Represente el
gr\'afico de $f$ en un sistema de coordenadas rectangulares'', escribiremos ``Realice el trazo de
$f$ ''


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada una de las siguientes funciones\\
\begin{enumerate}


\item  Determine:\\

\verb#   #{\bf a.1)} $A_f$\\

\verb#   #{\bf a.2)} $G_f$\\

\item Realice el trazo de $f$\\

\verb#   #{\bf b.1)}\verb# #Sea\verb# #$A=\{-\sqrt{3}, -2, \sqrt{2},-1\},\;\;\; B=\{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5\}\;$
\verb#   # y $\;f :A\;\;\longrightarrow \;\; B, \hspace{0.4cm} f(x)=x^2$\\

\verb#   #{\bf b.2)}\verb# #Sean\verb# #$\displaystyle{A=\left\{\frac{-3}{2}, -1,\frac{-1}{2},0,\frac{1}{2}, 1,\frac{3}{2}\right\},\;B=]-7,7[}$ y $f :A\;\longrightarrow B,$\\
\verb#   #$f(x)=-4x$\\

\end{enumerate}

\begin{definicion}
Sean A y B dos conjuntos no vac\'ios y $f:A\longrightarrow B,$
funci\'on. Sea $\alpha \, \in \, A,\;\;$ se dice que $\alpha$ es
un cero de $f$, si se cumple que: $f(\alpha)=0$
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

Sea $f :\mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;
\mathbb{R}, \hspace{0.4cm} f(x)=2x-1$\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Determine los ceros de $f$.

\item[b)] Realice el trazo de $f$.
\end{enumerate}

 \wsolu

\begin{enumerate}

\item[a)] Ceros de $f$:\\

 \begin{tabular}{rcrcl}

$f(x) = 0$ & $\Longleftrightarrow$ & $2x-1$ & $=$ & $0$\\

           &                   & $ 2x$  & $=$ & $1$\\

           &                   & $  x$  & $=$ & $\displaystyle{\frac{1}{2}}$\\

 \end{tabular}

Por lo que $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ es un cero de $f$.

\item[b)] Trazo de $f$:\\

Observe que en este caso el dominio de $f$ es $\mathbb{R}$, as\'i es que
$x$ se le puede asignar cualquier n\'umero real, pero para
construir la tabla de valores escogemos valores para $x$ ``
apropiados ''.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
&  &  &  &  &  &  &  &  \\
  $x$    & $-2$ & $\displaystyle{\frac{-3}{2}}$ & $-1$ & $0$ & $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ & $1$ & $2$ & $...$ \\
&  &  &  &  &  &  &  &  \\
   \hline
&  &  &  &  &  &  &  &  \\
  $2x-1$ & $-5$ & $-4$ & $-3$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $3$ & $...$ \\
&  &  &  &  &  &  &  &  \\
   \hline
\end{tabular}
\end{center}



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig11}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig9}
\end{center}
%\end{figure}

Observe que en el gr\'afico anterior se obtiene:\\

\item La intersecci\'on entre la gr\'afica de $f$ y el eje $X$ es
$\displaystyle{\left(\frac{1}{2},0\right)}$\\

\item La intersecci\'on entre la gr\'afica de $f$ y el eje $Y$ es
$(0,-1)$\\

\end{enumerate}
\end{ejemplo}

En general:\\

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vac\'ios  y $f:A \longrightarrow
B$
funci\'on.\\
\begin{enumerate}
\item[a)] Intersecci\'on entre la gr\'afica de $f$ y el eje $X$\\

Sea $\alpha \, \in \, A$ tal que $f(\alpha)=0,$ es decir $\alpha$
es un cero de $f$, entonces la gr\'afica de $f$ interseca el eje
$X$
en el punto $(\alpha,0)$\\

\item[b)] Intersecci\'on entre la gr\'afica de $f$ y el eje $Y$\\

Sea $\beta \, \in \, B$ tal que $f(0)=\beta,$ es decir $\beta$ es
la imagen de cero, entonces la gr\'afica de $f$ interseca el eje
$Y$
en el punto $(0,\beta)$\\

\end{enumerate}



\textbf{Ejercicio}\\

Complete, de acuerdo a las gráficas que se presentan:\\


\ejersol{
 $f(x)=y$
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig12}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig10}
%\end{figure}
}{
\begin{enumerate}
\item[a.1)] $f$ interseca al eje $X$ en: \rule{2cm}{0.01cm}\\
\item[a.2)] $f$ interseca al eje $Y$ en: \rule{2cm}{0.01cm}\\
\item[a.3)] $f(x)=0$ cuando $x$ vale: \rule{2cm}{0.01cm}
\end{enumerate}
}

\inxx{Funciones, intersección con ejes}


\ejersol{
 $g(x)=y$
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig13}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig11}
%\end{figure}
}{
\begin{enumerate}
\item[b.1)] $g$ interseca al eje $X$ en: \rule{2cm}{0.01cm}\\
\item[b.2)] $g$ interseca al eje $Y$ en: \rule{2cm}{0.01cm}\\
\item[b.3)] $g(x)=0$ cuando $x$ vale: \rule{2cm}{0.01cm}
\end{enumerate}
}


\ejersol{
$h(x)=y$
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig14}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig12}
%\end{figure}
}
{
\begin{enumerate}
\item[c.1)] $h$ interseca al eje $X$ en: \rule{2cm}{0.01cm}\\
\item[c.2)] $h$ interseca al eje $Y$ en: \rule{2cm}{0.01cm}\\
\item[c.3)] $h(x)=0$ cuando $x$ vale: \rule{2cm}{0.01cm}
\end{enumerate}
}



Recuerde que si $f$ es una funci\'on, el n\'umero
real $f(x)$ se representa en el eje $Y$, por esto a menudo
escribimos $f(x) = y$\\

As\'i para ver cuando una funci\'on es positiva (o negativa) basta
ver para que valores de $x,\;\; f(x)>0$ \,(o $f(x)<0$).\\


\begin{ejemplo}

Considere la gráfica de una funci\'on $f$, $\; f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/fig15}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig13}
\end{center}
%\end{figure}

 Determine, en notación de intervalos, los conjuntos\\


\begin{enumerate}
\item[a)] $A = \{x\; \, \in \,\; \mathbb{R}\; \mbox{ {\rm tal que} } \; f(x)>0 \}$\\

\item[b)] $B = \{x\; \, \in \,\; \mathbb{R}\; \mbox{ {\rm tal que} } \; f(x)<0 \}$\\
\end{enumerate}


 \wsolu

\begin{enumerate}

\item[a)] Como $f(x) = y$, basta ver cuando $y>0$.\\

Por lo que $A=]-1,2[$\\

\item[b)] Similarmente basta ver cuando $y<0$.\\

Por lo que $B=]-\infty,-1[\;\; \bigcup \;\;]2,+\infty[$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Determine para cada una de las siguientes funciones:\\

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.4]{images-Cap6-Funciones/fig16}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig14}
%\end{figure}
}{
$f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$
}



\mpage[0.6][0.4]{
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.4]{images-Cap6-Funciones/fig17}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig15}
%\end{figure}
}{
$f:]-5,5]\longrightarrow\mathbb{R}$
}

\begin{enumerate}



\item Intervalos donde $\,f\,$ es positiva\\

\item Intervalos donde $\,f\,$ es negativa\\

\item Puntos de intersecci\'on con el eje $X$\\

\item Puntos de intersecci\'on con el eje $Y$\\

Sea $f :\mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;
\mathbb{R}, \hspace{0.4cm} f(x)=x$. Realice el trazo de $f$\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} Esta funci\'on recibe el nombre de funci\'on
identidad.\\

Sea $g :\mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;
\mathbb{R}, \hspace{0.4cm} f(x)=3$. Realice el trazo de $g$\\

Sea $c\; \, \in \,\; \mathbb{R},\; $sea $\;h :\mathbb{R}\;\;\longrightarrow
\;\; \mathbb{R}, \hspace{0.4cm} h(x)=c$. Realice el trazo de $h$\\

{\bf Nota:} Las funciones $g$ y $h$ anteriores reciben el nombre
de
funciones constantes.\\

Sea\\

$f(x)=$ $\displaystyle{\left\{\begin{array}{l} \;\;x+2 \hspace{0.2cm} \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\;  [-5,0[\\
-x+2 \hspace{0.2cm} \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\;  [0,5[\\ \end{array}\right.}$\\

Realice el trazo de $f$\\

Sea\\

$f(x)=$ $\displaystyle{\left\{\begin{array}{l} -3 \hspace{0.2cm} \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\;  [-3,-2[\\ -2 \hspace{0.2cm} \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\;  [-2,-1[\\
-1 \hspace{0.2cm} \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\;  [-1,0[\\ \;\;\;0 \hspace{0.2cm} \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\;  [0,1[\\ \;\;\;1 \hspace{0.2cm} \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\;  [1,2[\\
\;\;\;3 \hspace{0.2cm} \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\;  [2,3[\\ \end{array}\right.}$\\

Realice el trazo de $f$\\

Sea\\

$f(x)=$ $\displaystyle{\left\{\begin{array}{l}-x-3
\hspace{0.2cm} \mbox{si}\;\;x\;\;  \, \in \,\; ]-5,-1]\\\;\; -2 \hspace{0.2cm}\;\;\;\; \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\; ]-1,1]\\
x-3 \hspace{0.2cm}\;\; \mbox{si}\;\; x\;  \, \in \,\;  [1,5]\\ \end{array}\right.}$\\

Realice el trazo de $f$\\

Sean $f,\;g,\;h$ funciones con dominio $\mathbb{R}$, tales que:\\

$\displaystyle{f(x)= \frac{x^{2}-3}{x^{2}+1}}$\\

$\displaystyle{g(x)= 3x+1}$\\

$\displaystyle{f(x)= \sqrt[3]{-2x+5}}$\\

\item Determine la intersecci\'on de la gr\'afica de $f$, de $g$ y de $h$ con
los ejes coordenados.\\

\end{enumerate}


Algunas veces cuando una funci\'on est\'a definida por una frase
num\'erica abierta, nos interesa determinar los valores de la
variable para los cuales la frase num\'erica abierta representa un
n\'umero real, es decir nos interesa saber el dominio de la
variable.



\begin{definicion}
Sea $f(x)=y$, donde $y$ es una frase num\'erica abierta que
involucra la variable $x$.  Entonces diremos que el {\rm dominio de la variable $x$} es el
{\rm dominio m\'aximo de $f$} y lo denotamos $D_f$
\end{definicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Recuerde que:\\

\begin{enumerate}
\item Si $\displaystyle{\frac{a}{b}\; \, \in \,\; \mathbb{R}}$ entonces $b \neq 0$

\item Si $\displaystyle{\sqrt[n]{a}\; \, \in \,\; \mathbb{R}},$ con $n$ par entonces
$a\geq 0$
\end{enumerate}



\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item Sea $\displaystyle{f(x)=\frac{x}{x-1}}$. Como $x-1 \neq 0$ entonces $x\neq 1$\\

Por lo que el dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{1\}, $ o sea $D_f = \mathbb{R} - \{1\}$\\

 \item Sea $\displaystyle{f(x)=\frac{x+3}{x^{2}-25}},$ aqu\'i tiene que
cumplirse
que $x^{2}-25 \neq 0$\\

 $\begin{array}{rcl}
  x^{2}-25 & = & 0 \\
  (x-5)(x+5) & = & 0 \hspace{0.5cm}\; \; \Longrightarrow \; \;  \left\{\begin{array}{ccccccc}
    x-5 & = & 0 & \hspace{0.5cm}\; \; \Longrightarrow \; \; & x & = & 5 \\
        &   &   &                               &   &   &   \\
    x+5 & = & 0 & \hspace{0.5cm}\; \; \Longrightarrow \; \; & x & = & -5 \\
  \end{array}\right.\\
\end{array}$



Por lo que $D_f= \mathbb{R} -\{5,-5\}$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Sea $f(x) = \displaystyle{\sqrt{\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}}},$ aqu\'i tiene que cumplirse que $\displaystyle{\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}} \geq 0$\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Ra\'ices:}}\, $x-1=0\;\; \; \Longrightarrow \; \; x=1$\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Restricciones:}}\, $x=-1,\;x=2$\\


\hspace{4.4cm}$-\infty$\hspace{0.6cm}$-1$\hspace{1cm}$1$\hspace{0.9cm}$2$\hspace{0.65cm}$+\infty$\\
\vspace{-0.6cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c||c|c||c|}
   \hline
    &   &   &   &   \\
  $x-1$ & \hspace{0.2cm}$-$\hspace{0.2cm}  &\hspace{0.2cm}$-$\hspace{0.2cm} & \hspace{-0.4cm}{\Large{o}}\hspace{0.22cm}$+$\hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm}$+$\hspace{0.2cm} \\    \hline
    &   &   &   &   \\
  $x+1$ & \hspace{0.2cm}$-$\hspace{0.2cm}  & \hspace{-0.4cm}{\Large{o}}\hspace{0.25cm}$+$\hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm}$+$\hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm}$+$\hspace{0.2cm} \\    \hline
    &   &   &   &   \\
  $x-2$ & \hspace{0.2cm}$-$\hspace{0.2cm}  & \hspace{0.2cm}$-$\hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm}$-$\hspace{0.2cm} &\hspace{-0.4cm}{\Large{o}}\hspace{0.22cm}$+$\hspace{0.2cm} \\   \hline
    &   &   &   &   \\
  $\displaystyle{\frac{x-1}{(x+1)(x-2)}}$ & \hspace{0.2cm}$-$\hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm}$+$\hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm}$-$\hspace{0.2cm} & \hspace{0.2cm}$+$\hspace{0.2cm} \\
    &   &   &   &   \\
   \hline
\end{tabular}
\end{center}

 Por lo que $D_f = ]-1,1]\; \cup \; ]2,+\infty[$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Sea $\displaystyle{g(x) = \frac{\sqrt{x+2}}{x-1}},\;$ aqu\'i tiene que
cumplirse que $\;x+2 \geq 0\;$ y $\;x-1 \neq 0$\\


\begin{enumerate}
\item[a)] $x+2 \geq 0 \Longleftrightarrow x \geq -2
\Longleftrightarrow
x\; \, \in \,\; [-2, +\infty[$\\

\item[b)] $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 $\\

Por lo que $D_f = [-2, +\infty[\; - \;\{1\}$
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Determine el dominio m\'aximo para las funciones definidas por:\\
\begin{enumerate}



\item $\displaystyle{f(x) = \sqrt{\frac{-x+2}{x}}}$

\item $\displaystyle{g(x) = \sqrt{x+3} + \frac{1}{x-5}}$

\item $\displaystyle{h(x) = \sqrt{\frac{3}{x+6} - 1}}$

\item $\displaystyle{j(x) = \sqrt{x^{3}-25x}}$

\item $\displaystyle{k(x) = \sqrt[3]{\frac{2}{-x+1}}}$

\item $\displaystyle{l(x) = \sqrt{\frac{x^{2}+2x}{x^{2}-1}}}$

\end{enumerate}



Sean $A$ y $B$ conjuntos no vac\'ios y $f: A \longrightarrow B,$
funci\'on


\inxx{Funciones, inyectiva}
\inxx{Funciones, sobreyectiva}
\inxx{Funciones, biyectiva}
\begin{enumerate}
\item {\bf $f$ se dice que es inyectiva:} si todo elemento
en B (codominio) tiene {\bf a lo m\'as una} preimagen en A
(dominio).\\

Es decir: Si $f(a) = f(b)$ entonces $a=b$\\


\item {\bf $f$ se dice que es sobreyectiva:} si {\bf todo} elemento en B (codominio) tiene
{\bf alguna} preimagen en A (dominio).\\

 \item {\bf $f$ se dice que es biyectiva:} si es inyectiva y sobreyectiva.\\

\item[a)] Ejemplos de funciones inyectivas

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig20}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig16}
\end{center}
%\end{figure}


\item[b)] Ejemplos de funciones no inyectivas\\

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig21}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig17}
%\end{figure}
}{
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig22}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig18}
%\end{figure}
}


\item[c)] Ejemplos de funciones sobreyectivas\\

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig23}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig19}
%\end{figure}
}{
$\,f: \, [-4,4] \; \longrightarrow\; [-5,5]\,$\\
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.47]{images-Cap6-Funciones/fig24}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig20}
%\end{figure}
}



\item[d)] Ejemplos de funciones no sobreyectivas\\

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig25}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig21}
%\end{figure}
}{
$\,f: \, [-2,1[\;\cup\;]2,4] \; \longrightarrow\; [-3,3]\,$\\
%%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.47]{images-Cap6-Funciones/fig26}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig22}
%\end{figure}
}


\end{enumerate}


\section{Representaciones de funciones}
Representaciones tabular, verbal, gráfica y algebraica de funciones.

\section{Imágenes, preimágenes y extremos relativos}
Cálculo de imágenes y preimágenes (incluyendo funciones a trozos) y extremos relativos (gráficamente).

\section{Razón de cambio promedio}
Razón de cambio promedio de una función:
\[
  \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
\]

\section{Funciones elementales y sus gráficas}
Funciones elementales y sus gráficas:
\[
  f(x)=x^2,\quad f(x)=x,\quad f(x)=x^3,\quad f(x)=c,\quad
  f(x)=\tfrac{1}{x},\quad f(x)=\tfrac{1}{x^2},\quad
  f(x)=\sqrt{x},\quad f(x)=\sqrt[3]{x}\quad\text{y}\quad f(x)=|x|.
\]

\section{Transformaciones de funciones}
Transformaciones de funciones: traslaciones verticales y horizontales, y reflexiones respecto a los ejes de coordenadas.

\section{Función valor absoluto}
% === Sección de origen: Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto ===

Nuestro objetivo en este cap\'{i}tulo es lograr que el estudiante
resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto
de expresiones algebraicas de la forma \,$ax+b$, donde $a$ y $b$
son constantes reales con $a\neq0$, y $x$ es una variable real.\\

Para esto conviene recordar la definici\'{o}n de valor absoluto siguiente:\\

\inxx{Inecuaciones, valor absoluto}

Para cada n\'{u}mero real $x$, se define su valor absoluto
(y se denota $\,|x|\,$) de la siguiente manera:\\


\begin{center}
 \begin{tabular}{rcrcrcr}$|x|$ & $=$ & $x$ & $\mbox {si}$ & $ x$ & $\geq$ &
$0$\\
                & & & & & &\\
                & & & $\mbox{ o }$ & & &\\
                & & & & & &\\
$|x|$ & $=$ & $-x$ & $\mbox {si}$ & $x$ & $<$ & $0$\\
 \end{tabular} \end{center}



Esta definici\'{o}n frecuentemente se denota de la siguiente
 manera:\\

        \[|x| = \left\{\begin{array}{rcl}
                                     x & \mbox{  si  } & x \geq 0\\
                                    -x & \mbox{  si  } & x < 0
        \end{array} \right.\]


 Aplicando esta definici\'{o}n a expresiones de la forma $ax+b$
 se tiene:\\

        \[|ax+b| = \left\{\begin{array}{rcl}
        ax+b & \mbox{  si  } & ax+b \geq 0\\
        -(ax+b) & \mbox{  si  } & ax+b < 0 \end{array} \right.\]


 Usando la definici\'{o}n de valor absoluto se tiene:


\begin{ejemplo}

$|x+5| = \left\{\begin{array}{rcl} x+5 & \mbox{  si  } & x+5 \geq 0\\ \\

  -(x+5) & \mbox{  si  } & x+5 < 0 \end{array} \right.$\\

 \begin{tabular}{llll}
   & & & \\
   $\mbox{pero:}$&$x+5\geq 0$&$\Longleftrightarrow$&$x\geq -5$\\
   & & & \\
   $\mbox{y}$&$x+5<0$&$\Longleftrightarrow$&$x<-5$\\
 \end{tabular}

$\therefore\,\,\,|x+5| = \left\{\begin{array}{rcl} \,\,x+5 & \mbox{  si  } & x \geq -5\\ \\
 -(x+5) & \mbox{  si  } & x < -5 \end{array} \right.$\\ \\

Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta
informaci\'{o}n en la tabla siguiente:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{4.4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
$-\infty$\hspace{1cm}$-5$\hspace{0.5cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
  &   & \\
  $|x+5|$ & $\,\,-(x+5)$ & $\,\,x+5$\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

 $|x-7| = \left\{\begin{array}{rcl} x-7 & \mbox{  si  } & x-7 \geq 0\\ \\
-(x-7) & \mbox{   si   } & x-7 < 0 \end{array} \right.$\\ \\

 \begin{tabular}{llll}
   & & & \\
   $\mbox{pero:}$&$x-7\geq 0$&$\Longleftrightarrow$&$x\geq 7$\\
   & & & \\
   $\mbox{y}$&$x-7<0$&$\Longleftrightarrow$&$x<7$\\
 \end{tabular}\\\\

$\therefore\,\,\,|x-7| = \left\{\begin{array}{rcl} \,\,x-7 & \mbox{  si  } & x \geq 7\\ \\
 -(x-7) & \mbox{  si  } & x < 7 \end{array} \right.$\\ \\

y en forma resumida podemos escribir:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4.5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
 \hspace{0.8cm} $-\infty$\hspace{1.5cm} $7$\hspace{0.5cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
 \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
  &   & \\
  $|x-7|$ & $\,\,-(x-7)$ & $\,\,x-7$\\  \hline
 \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

$|-2x+3| = \left\{\begin{array}{rcl} \,\,-2x+3 & \mbox{  si  } & -2x+3 \geq 0\\ \\
-(-2x+3) & \mbox{  si  } & -2x+3 < 0 \end{array} \right.$\\

 \begin{tabular}{llllll}
   & & & & & \\
   $\mbox{pero:}$&$-2x+3\geq 0$&$\Longleftrightarrow$&$-2x\geq -3$,&$\mbox{o sea}$&$x\leq \displaystyle {3\over{2}}$\\
   & & & & & \\
   $\mbox{y}$&$-2x+3<0$&$\Longleftrightarrow$&$-2x<-3$,&$\mbox{o sea}$&$x> \displaystyle {3\over{2}}$\\
 \end{tabular}\\

$\therefore\,\,\,|-2x+3| = \left\{\begin{array}{rcl} -2x+3 & \mbox{  si  } & {x \geq \displaystyle {3\over{2}}}\\ \\
-(-2x+3) & \mbox{  si  } & {x < \displaystyle {3 \over{2}}} \end{array}
\right.$\\

y en forma resumida podemos escribir:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{6cm}{c}
\begin{tabular}{c}
  $-\infty$\hspace{1.1cm}$3/2$ $+\infty$
\end{tabular}\\
  \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
    &   & \\
     $|-2x+3|$ & $\,\,-2x+3$ & $\,\,-(-2x+3)$\\  \hline
 \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

 $|-3-5x| = \left\{\begin{array}{rcl} -3-5x & \mbox{  si  } & -3-5x \geq 0\\ \\

   -(-3-5x) & \mbox{  si  } & -3-5x < 0 \end{array} \right.$\\

 \begin{tabular}{llllll}
     & & & & & \\
       $\mbox{pero:}$&$-3-5x\geq 0$&$\Longleftrightarrow$&$-5x\geq 3$,&$\mbox{o sea}$&$x\leq \displaystyle {-3\over{5}}$\\
         & & & & & \\
          $\mbox{y}$&$-3-5x<0$&$\Longleftrightarrow$&$-5x<3$,&$\mbox{o sea}$&$x> \displaystyle {-3\over{5}}$\\
 \end{tabular}\\

$\therefore\,\,\,|-3-5x| = \left\{\begin{array}{rcl} -3-5x & \mbox{  si  } & {x \leq \displaystyle {-3\over{5}}}\\ \\
-(-3-5x) & \mbox{  si  } & {x > \displaystyle{-3 \over{5}}} \end{array}\right.$\\ \\

y en forma resumida podemos escribir:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{6cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.5cm}$-\infty$\hspace{0.9cm} $-3/5$\hspace{1.1cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
 \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
   &   & \\
   $|-3-5x|$ & $\,\,-3-5x$ & $\,\,-(-3-5x)$\\  \hline
 \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\end{ejemplo}


\subsection{Propiedades del valor absoluto}

Enunciaremos a continuaci\'{o}n algunas propiedades del valor
absoluto, las cuales podr\'{a}n ser utilizadas para facilitar
 el trabajo en la resoluci\'{o}n de ecuaciones o inecuaciones
 que incluyen valor absoluto.\\

\begin{proposicion}\label{Cap5prop3}

$\forall x,\, x \in \mathbb{R} :\,\,|x| \geq 0$\\ \\

\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n}}\\

 $x\, \in \, \mathbb{R} :\,\, |x| =  \left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{  si  } & {x \geq 0}\\ \\
-x & \mbox{  si  } & {x < 0} \end{array} \right.$\\

Hay dos posibles casos:\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Caso 1:}}\,\, $x\geq0$\\
 \vspace{0.05cm}

$x\geq0\,\,\Longrightarrow\,\,|x| = x$\\

$\,\,\,\therefore\,\,\,|x|\geq0$\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Caso 2:}}\,\, $x<0$\\

 \vspace{0.05cm}
$x<0\,\,\Longrightarrow\,\,|x| = -x$\\

$\,\,\,\therefore\,\,\,|x|\geq0; \mbox{   pues   }x<0 \Longrightarrow -x>0$\\

\begin{proposicion}\label{Cap5prop4}
 Si\,\,$x \in \mathbb{R}  \mbox{  y  }|x| = 0 \mbox{  entonces  } x = 0$\\ \\
\end{proposicion}

 \vspace{0.05cm}
{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}\,\,(ejercicio para el estudiante)\\

\begin{proposicion}
Si\,\,$x\, \in \, \mathbb{R},\,y\, \in \, \mathbb{R} \mbox {   entonces   }|x \cdot y| = |x|\,|y|$\\ \\
\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n}}\\ \\
 Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:\\

$\forall a, a\, \in \, \mathbb{R} :\, |a| = \sqrt[n]{a^{n}}, \mbox{  si
}n \mbox{  es par (ver p\'{a}gina 94)
}$\\

en particular:\\

$|a| = \sqrt{a^{2}}\,;\, \forall a,\, a\, \in \, \mathbb{R}$\\

Usando esta definici\'{o}n se tiene que:\\

$|xy| = \sqrt{(xy)^{2}} = \sqrt{x^{2}y^{2}} = \sqrt{x^{2}} \cdot
\sqrt{y^{2}} =
|x| \cdot |y|$\\

$\therefore\,\, = |x| \cdot |y|$\\

\begin{proposicion}
$\forall x,\, x\, \in \, \mathbb{R} :\,\,|-x| = |x|$\\
\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}(ejercicio para el estudiante)\\

\begin{proposicion}\label{Cap5prop5}
Si\,\,$\displaystyle x\, \in \, \mathbb{R},\,y\, \in \, \mathbb{R},\,y\neq0 \mbox { entonces
}{\;\left|x\over {y}\right|} = {|x| \over
{|y|}}$\\ \\
\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n}}\\

Aqu\'{i} tambi\'{e}n usaremos el hecho que:\\

$\forall a, a\, \in \, \mathbb{R} :\, |a| = \sqrt{a^{2}}$\\

Si $\displaystyle x\, \in \, \mathbb{R},\,y\, \in \, \mathbb{R},\,y\neq0 \mbox{ entonces}
\;\;{x\over{y}}\, \in \, \mathbb{R}$\\\\

$\displaystyle \therefore\; {\left|x\over {y}\right|} = \sqrt{\left(x
\over{y}\right)^{2}} = \sqrt{x^{2} \over{y}^{2}} =
 {\sqrt{x^{2}}\over{\sqrt{y^{2}}}} = {|x| \over {|y|}}$\\\\

$\displaystyle {\left|x\over {y}\right|} = {|x| \over {|y|}}$\\

\begin{proposicion}\label{Cap5prop6}
$\displaystyle \forall x,\, x\, \in \, \mathbb{R} :\,\,|x|^{2} = x^{2}$\\\\
\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n}}\\

 $\displaystyle \forall x,\, x\, \in \, \mathbb{R}: \,$, se tiene que:\\

 $\displaystyle |x| = \sqrt{x^{2}}$\\

 $\Rightarrow |x|^{2} = (\sqrt{x^{2}})^{2}$\\

 $\Rightarrow |x|^{2} =x^{2}\mbox{  pues  } \forall a,\, a\, \in \, \mathbb{R}\,\,(\sqrt{a}\, \in
\, \mathbb{R}\,\Longrightarrow\,(\sqrt{a})^{2} = a)$\\

$ \therefore\,\,\forall x,\, x\, \in \, \mathbb{R} :\,\,|x|^{2} = x^{2}$

\begin{proposicion}
Sea $x$ una variable real y $k$ un n\'{u}mero real positivo entonces:\\

$\displaystyle |x| = k\,\,\Longleftrightarrow\,\,x = k\,\,\mbox{  \'{o}
}\,\,x
=-k$\\
\end{proposicion}

\mpage{
{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}\\\\
Como $\displaystyle |x| = \sqrt{x^{2}},\mbox{  se tiene:  }$\\
  \begin{tabular}{llll}
            & & & \\
            & $|x|$ &$=$&$k$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$ & $\displaystyle{ \sqrt{x^2}}$  &  $=$ & $k$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$&$\displaystyle{ (\sqrt{x^2})^2}$&$=$&$k^2$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$&$x^2$&$=$&$k^2$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$&$x^2-k^2$&$=$&$0$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$&$(x-k)(x+k)$&$=$&$0$\\
         \end{tabular}\\ \\
  $\; \; \;\Longleftrightarrow$  $x=k\;\;$ o $\;\;x=-k$\\
 $\therefore\;\;\;|x|=k\;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\;x=k \; \; \; \mbox{   o   } \; \; \;x=-k$
}
\hfill


\begin{proposicion}\label{Cap5prop2}
Sea $x$ una variable real y $k$ un n\'{u}mero real
positivo entonces:\\

$\displaystyle |x| < k\,\,\Longleftrightarrow\,\,-k < x < k$ \\
\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}\\

Como $\displaystyle |x| = \sqrt{x^{2}}$, se tiene:\\

         \begin{tabular}{llll}
           & & & \\
              & $|x|$&$<$&$k$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$&$\displaystyle{ \sqrt{x^2}}$&$<$&$k$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$&$\displaystyle{ (\sqrt{x^2})^2}$&$<$&$k^2$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$&$x^2$&$<$&$k^2$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$&$x^2-k^2$&$<$&$0$\\
           & & & \\
            $\Longleftrightarrow$&$(x-k)(x+k)$&$<$&$0$\\
         \end{tabular}


Resolviendo esta inecuaci\'{o}n:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4.7cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.9cm} $-\infty$ \hspace{0.1cm} $-k$ \hspace{0.6cm}$k$ \hspace{0.1cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
           & & & \\
            $x-k$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,+$\\  \hline
           & & & \\
            $x+k$ & $\,\,-$ & $\,\,+$ & $\,\,+$ \\  \hline
           & & & \\
            $(x-k)(x+k)$ & $\,\,+$ & $\,\,-$ & $\,\,+$ \\  \hline
 \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

De aqu\'{i} se tiene:


$\displaystyle (x-k)(x+k) < 0 \; \;\Longleftrightarrow  \; \; x\, \in \,]-k,k[$\\

o sea:   $-k < x < k$\\

$ \; \; \; \; \therefore\,\,\,|x| < k\,\, \Longleftrightarrow\,\, -k < x < k$\\

\begin{proposicion}
Sea $x$ una variable real y $k$ un n\'{u}mero real
positivo entonces:\\

$\displaystyle |x| > k\,\,\Longleftrightarrow\,\,x > k\; \; \; \mbox{  o  }\; \; \; x < -k$\\
\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}\\

Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad \ref{Cap5prop2},
ya demostrada, dejaremos esta
demostraci\'{o}n como ejercicio para el estudiante.\\

\begin{proposicion}\label{Cap5prop1}
Sea $x$ una variable real y $k$ un n\'{u}mero real
positivo entonces:\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)$]\,\,\,$\displaystyle {|x| \leq k \Longleftrightarrow -k \leq x
\leq k}$
\item[$ii.)$]\,\,\,$\displaystyle{ |x| \geq k \Longleftrightarrow x
\geq k \; \; \;\mbox{ o } \; \; \;x \leq k}$

\end{enumerate}
\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}\\

El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la
propiedad \ref{Cap5prop2}. Dejaremos esta demostraci\'{o}n como ejercicio para el estudiante.\\

\begin{proposicion}
$\forall x,\, x\, \in \, \mathbb{R} :\,\,-|x| \leq x \leq |x|$\\
\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}\\

Sabemos que $\displaystyle{ \forall x,\, x\, \in \, \mathbb{R} :\,\,|x|} = \left\{\begin{array}{rcl} x & \mbox{  si  } & {x \geq 0}\\ \\

 -x & \mbox{  si  } & {x < 0} \end{array} \right.\\$

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Caso 1:}}\,\, $x\geq0$\\

\begin{equation}\label{Cap5-eq1}
 \displaystyle{ x\geq0\,\,\Longrightarrow\,\,x }= |x|\\ \\
 \,\,\,\therefore\,\,\,x \leq |x|\,\,\\
 \end{equation}

\begin{equation}\label{Cap5-eq2}
\mbox{Adem\'{a}s como }\displaystyle{ |x| \geq 0}\mbox{ entonces }\displaystyle{ -|x| \leq 0}\mbox{ y
como }\displaystyle x \geq 0\mbox{ entonces: }\displaystyle{-|x| \leq x}\;\\
\end{equation}

As\'{i} por \ref{Cap5-eq1} y \ref{Cap5-eq2} se tiene que:\\

$ -|x| \leq x\mbox{  y  }x \leq |x|$

\begin{equation}\label{Cap5-eq4}
\therefore-|x| \leq x \leq |x|\\
\end{equation}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Caso 2:}}\,\, $x < 0$

 \begin{tabular}{llllll}
            & & & & & \\
            $x<0$&$\Longrightarrow$&$\;\;\;|x|$&$=$&$-x$  & \\
            & & & & & \\
            &$\Longrightarrow$&$-|x|$&$=$&$\;\;\;x$  & \\
            & & & & & \\
            &$\therefore$&$-|x|$&$\leq$&$\;\;\;x$&$(***)$\\ \\
 \end{tabular}

Adem\'{a}s como $  x < 0\mbox{  y  }|x| \geq 0$ entonces\\

\begin{equation}\label{Cap5-eq3}
\;\;\;\; x \leq |x|\; \; \;\\
\end{equation}

As\'{i} por $(***)$ y \ref{Cap5-eq3} se tiene que:\\

$  -|x| \leq x\;\mbox{  y  }\;x \leq |x|$

\begin{equation}\label{Cap5-eq5}
\therefore\,\,\,-|x| \leq x \leq |x|\\
\end{equation}

Por lo tanto de \ref{Cap5-eq4} y \ref{Cap5-eq5} se concluye que:\\

$\forall x,\, x\, \in \, \mathbb{R} :\,\,-|x| \leq x \leq |x|$\\

\begin{proposicion}{(desigualdad triangular)}
Si\,\,$x\, \in \, \mathbb{R},\,\, y \in \, \mathbb{R} \mbox {   entonces   }|x + y| \leq |x| + |y|$\\ \\
\end{proposicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}\\

Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:



\begin{lema}
Sean $  a \in \mathbb{R},\,b \in \mathbb{R},\,c \in \mathbb{R},\,d \in \mathbb{R}$\\

Si $  a \leq b\; \mbox{   y   }\;c \leq d\;\mbox{   entonces }\;{a+c}\; \leq \;{b+d}$

\end{lema}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}(del lema)



Supongamos que $  a \leq b \;\mbox{   y   }\;c \leq
d$, hay que demostrar que ${a+c} \leq {b+d}$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)$]$  {a \leq b}\,\,\Longrightarrow\,\,{a+c} \leq {b+c}$\\

\item[$ii.)$]$  {c \leq d}\,\,\Longrightarrow\,\,{b+c} \leq {b+d}$\\
\end{enumerate}


por $\;i.)\;$ y $\;ii.)\;$ se tiene que ${a+c} \leq {b+d}$\\

\vspace{0.05cm} {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} El lema anterior expresa que si se
tienen desigualdades $  a \leq b\; \mbox{   y   }\;c \leq d$
podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera
siguiente:



\begin{center}  \begin{tabular}{rcl}
   $a$ & $\leq$  & $b$\\
   &   & \\
   $c$ & $\leq$  & $d$\\ \cline{1-3}
    &   & \\
    $a+c$& $\leq$  & $b+d$
 \end{tabular} \end{center}


Estamos ahora en condiciones de demostrar la
desigualdad triangular.



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n de la Propiedad}} (desigualdad
triangular).



$  \forall x,\, x\, \in \, \mathbb{R},\,\forall y,\, y\, \in \, \mathbb{R}$, se
tiene que:\\

$-|x| \leq\; x \;\leq |x|\;\mbox{     y      }\;$\\

$ -|y| \leq \; y \;\leq |y|$\\

Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:\\

\vspace{0.05cm}
$  {-|x| + -|y|}\; \leq \;{x+y}\; \leq \;{|x| + |y|}$\\

$\therefore\,\,\,{-(|x| + |y|)}\; \leq \;{x+y}\; \leq \;{|x| + |y|}$\\

$\therefore\,\,\,{|x+y|}\; \leq \;{|x| + |y|}\;\;$ por la
propiedad $(10. i)$


\subsection{Ecuaciones que involucran valor absoluto}


A continuaci\'{o}n resolveremos algunas ecuaciones que involucran
valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre que sea posible,
algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los que no sea
posible aplicar alguna de dichas propiedades, resolveremos las
ecuaciones correspondientes usando la definici\'{o}n de valor
absoluto. Adem\'{a}s es importante tener en cuenta que toda
ecuaci\'{o}n que involucre valor absoluto se puede resolver usando
la definici\'{o}n.



\begin{ejemplo}

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones\\

\begin{enumerate}
\item $|2x-3| = 7$\\

\item $|x| = 5$\\

\item $|x-3| = -3$\\

\item $|x+8| = 0$\\

\item $|2x+3| = -9$\\

\item $|x+3| = 5+x$\\

\item $|1-3x| + x = -3$\\

\item $3|x+4| - 2 = x$\\

\item $  \sqrt[4]{(2x-15)^4} = 10$\\

\item $  \sqrt{(3-2x)^2} + x = 3$\\

\item $  2\sqrt[4]{(5-4x)^4} = x+2$\\

\end{enumerate}
\end{ejemplo}

\wsolu

\begin{enumerate}
\item[1.)] $|2x-3| = 7$ \\ \\

 Por la propiedad \ref{Cap5prop1}\\

 \begin{tabular}{rrclcrcl}
        & $|2x-3| = 7$ & & & & & & \\
        & & & & & & &\\
        $\Longleftrightarrow$ & $2x-3$ &=& $7$ & $\; \; \; \; \; \; \;$ o $\; \; \; \; \; \; \;$  & $2x-3$ &=& $-7$\\

        $\Longleftrightarrow$ & $2x$ &=& $10$  & o & $2x $&=& $-4$\\

        $\Longleftrightarrow$ & $x$ &=& $5$    & o & $x $&=& $-2$\\
         & & & & & & &\\
 \end{tabular}

        $\therefore\,\,\,S = \{-2,5\}$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observaci\'{o}n:}} Como dijimos anteriormente, todas las
ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden resolver usando
la definici\'{o}n. Para ilustrar esto resolveremos la ecuaci\'{o}n
anterior usando la definici\'{o}n de valor absoluto.


$|2x-3| = 7$ \\

por definici\'{o}n \\

$  |2x-3| = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;2x-3 & \mbox{  si  } & 2x-3 \geq 0\\ \\

-(2x-3) & \mbox{  si  } & 2x-3 < 0 \end{array} \right.$



 \begin{tabular}{llllll}
            & & & & & \\
            $\mbox{pero:}$&$2x-3\geq 0$&$\Longleftrightarrow$&$2x\geq 3$;&$\mbox{o sea}$&$x\geq \displaystyle{3\over{2}}$\\
            & & & & & \\
            $\mbox{y}$&$2x-3<0$&$\Longleftrightarrow$&$2x<3$;&$\mbox{o sea}$&$x< \displaystyle{3\over{2}}$\\
 \end{tabular}\\

$ \therefore\,\,\ |2x-3| = \left\{\begin{array}{lcl}
                            \;\;\;\;2x-3 & \mbox{  si  } & x \geq   \displaystyle{3 \over 2} \\
                            \hspace{0.1cm} & \hspace{0.1cm} &
                            \hspace{0.1cm}\\
                            -(2x-3) & \mbox{  si  } & x <   \displaystyle{3 \over 2}\\
\end{array} \right.$


Con esta informaci\'{o}n construimos la tabla siguiente:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{9cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.8cm}$-\infty$\hspace{3.5cm} $  3/2$\hspace{2.7cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{c}
 \begin{tabular}[H]{|c|c|c|} \hline
         & &\\
        $|2x-3|$ & $\,-(2x-3)$ & $\,\,2x-3$ \\  \hline
         & &\\
        $|2x-3| = 7$ & $\,-(2x-3) = 7$ & $\,2x-3 = 7$ \\
         & &\\
         & $\,-2x+3 = 7$ & $\,2x = 10$ \\
         & &\\
         & $\,-2x = 4$ & $\,x = 5$ \\
         & &\\
         & $\,x = -2$ & $$ \\
         & &\\
         & $\mbox{ como }-2 \in \left]-\infty, \displaystyle{\frac{3}{2}}\right[$ & $\mbox{ como }5 \in \left]\displaystyle{\frac{3}{2}}, +\infty\right[$\\
         & &\\
         & $\,\therefore\,\,S_{1} = \{$-2$\}$ & $\,\therefore\,\,S_{2} = \{$5$\}$\\  \hline
         \end{tabular}
\end{tabular}\\
\end{tabular*}
\end{center}

        As\'{i} el conjunto soluci\'{o}n es $S\,=\,S_{1} \cup S_{2} \mbox {   o sea   }S = \{$-2,5$\}$ \\



\item[2.)] $|x| = 5$\\

Por la propiedad \ref{Cap5prop1}:\\

    $|x| = 5 \Longleftrightarrow x = 5 \;\mbox{   o   }\;x = -5$\\

    $\therefore\,\,\,S = \{-5,5\}$


\item [3.)]$|x-3| = -3$\\

Por la propiedad \ref{Cap5prop3}, $|x-3|\geq 0, \forall x, x \in \mathbb{R}$, por lo tanto:\\

$|x-3| = -3$\,\,\,!Nunca!\\

$\therefore\,\,\,S = \emptyset$



\item[4.)] $|x+8| = 0$ \\

Por la propiedad \ref{Cap5prop4},

 \begin{tabular}{lllll}
         & & & & \\
        $|x+8| = 0$&$\Longleftrightarrow$&$x+8$&$=$&$\;\;0$\\
         & & & & \\
        &$\Longleftrightarrow$&$x$&$=$&$-8$\\
 \end{tabular}

$\therefore\,\,\,S = \{-8\}$



\item[5.)] $  |2x + 3| = -9$ \\

Por la propiedad \ref{Cap5prop4}, $  |2x + 3| \geq 0, \forall x, x \in \mathbb{R} $\\

    $\therefore\;\;\; |2x + 3| = -9 \;\;\; \mbox {    !`Nunca!}$\\

    $\therefore\;\;\; S = \emptyset$



\item[6.)] $|x + 3| = 5 + x$ \\ \\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} En este caso no es posible aplicar alguna de las
propiedades anteriores, por lo que procedemos de la siguiente
manera:\\ \\

    \[  |x + 3| = \left\{\begin{array}{lcr}
                    \;\;\;\;x + 3 & \mbox{    si    } & x + 3 \geq 0 \\ \\
                    -(x + 3) & \mbox{    si    } & x + 3 < 0 \\
                    \end{array}\right.\]       o sea:\\
                    \[  |x + 3| = \left\{\begin{array}{lcr}
                    \;\;\;\;x + 3 & \mbox{    si    } & x \geq -3 \\ \\
                    -(x + 3) & \mbox{    si    } & x < -3 \\
                    \end{array}\right.\]

Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{9cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.7cm} $-\infty$ \hspace{3.9cm}$-3$\hspace{3.7cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
 \begin{tabular}[H]{|c|c|c|} \hline
         & &\\
        $|x+3|$ & $\,-(x+3)$ & $\,\,x+3$ \\  \hline
         & &\\
        $|x+3| = 5+x$ & $\,-(x+3) = 5+x$ & $\,x+3 = 5+x$ \\
         & &\\
         & $\,\mbox{Resolviendo esta ecuaci\'{o}n:}$ & $\,\mbox{Resolviendo esta ecuaci\'{o}n:}$ \\
         & &\\
         & $\,-x-3 = 5+x$ & $\,x+3 = 5+x$ \\
         & &\\
         & $\,-x-x = 5+3$ & $x-x = 5-3$ \\
         & &\\
         & $\,-2x = 8$ & $0 = 2$ \\
         & &\\
         & $\,x = -4$ & \\
         & &\\
         & $\mbox{ como }-4 \in \left]-\infty, -3\right[$ &\\
         & &\\
         & $\,\therefore\,\,S_{1} = \{-4\}$ & $\,\therefore\,\,S_{2} = \emptyset$\\  \hline
         \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


As\'{i} el conjunto soluci\'{o}n
    $  S \mbox{   de   }|x + 3|=5+x \mbox{   es   }S_{1} \cup S_{2}
    ,\mbox{   o sea   }S = \{-4\}$


\item[7.)] $|1 - 3x| + x = -3$\\

En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:\\

    \[  |1 - 3x| = \left\{\begin{array}{rcr}
                    1 - 3x & \mbox{    si    } & 1 - 3x \geq 0 \\ \\
                    -(1 - 3x) & \mbox{    si    } & 1 - 3x < 0 \\
                    \end{array}\right.\]

     \begin{tabular}{llllll}
         & &\\
        $\mbox{pero:     }$&$1 - 3x \geq 0$&$\,\Longleftrightarrow$&$\,\,-3x \geq -1$,&$\mbox{o sea}$&$  x\leq \displaystyle{1\over{3}}$\\
         & &\\
        $\mbox{y     }$&$1 - 3x < 0$ & $\,\Longleftrightarrow$ & $\,\,-3x < -1$,&$\mbox{o sea}$&$  x> \displaystyle{1\over{3}}$\\
         & &\\
         \end{tabular}


    \[  |1 - 3x| = \left\{\begin{array}{rcr}
                    1 - 3x & \mbox{    si    } &  x \leq \displaystyle{1\over{3}} \\ \\
                    -(1 - 3x) & \mbox{    si    } &  x > \displaystyle{1\over{3}}\\
                    \end{array}\right.\]


Con esta informaci\'{o}n construiremos la siguiente tabla:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{10.2cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.1cm}$-\infty$\hspace{3.1cm}$ \displaystyle{1/3}$\hspace{2.7cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
 \begin{tabular}[H]{|c|c|c|} \hline
         & &\\
        $|1-3x|$ & $\,1-3x$ & $\,\,-(1-3x)$ \\  \hline
         & &\\
        $|1-3x|+x= -3$ & $\,1-3x+x= -3$ & $\,-(1-3x)+x= -3$ \\
         & &\\
        $$ & $\,-2x = -4$ & $\,-1+3x+x= -3$ \\
         & &\\
        $$ & $\,x = 2$ & $\,4x = -2$ \\
         & &\\
         $$ & $  \,\mbox{Como   }2 \not\in\; \left]-\infty,\displaystyle{1\over{3}} \right]$ & $x = \displaystyle{-1\over{2}}$ \\
         & &\\
         & & $\mbox{ como }\displaystyle{\frac{-1}{2}} \notin \left]\displaystyle{\frac{1}{3}}, +\infty\right[$\\
         & &\\
        $$ & $\,\therefore\,\,S_{1} = \emptyset$ & $\,\mbox{entonces:}$ \\
         & &\\
        $$ & $$ & $\,\therefore\,\,S_{2} = \emptyset$\\  \hline
         \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


As\'{i} el conjunto soluci\'{o}n $  S \mbox{   de   }|1 - 3x| + x
= -3 \mbox{   es   }S_{1} \cup S_{2}
    \mbox{   o sea   }S = \emptyset$


\item[8.)] $3|x+4|-2 = x$\\ \\

 En este caso:\\

    \[  |x + 4| = \left\{\begin{array}{lcr}
                    \;\;\;\;x + 4 & \mbox{    si    } & x + 4 \geq 0 \\ \\
                    -(x + 4) & \mbox{    si    } & x + 4 < 0 \\
                    \end{array}\right.\]       o sea:\\
                    \[  |x + 4| = \left\{\begin{array}{lcr}
                    \;\;\;\;x + 4 & \mbox{    si    } & x \geq -4 \\ \\
                    -(x + 4) & \mbox{    si    } & x < -4 \\
                    \end{array}\right.\]


Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:\\



\begin{center}
\begin{tabular*}{11cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.9cm} $-\infty$\hspace{3.6cm} $-4$\hspace{3.5cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
  \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
         & &\\
        $|x+4|$ & $\,-(x+4)$ & $\,\,x+4$ \\  \hline
         & &\\
        $3|x+4|-2= x$ & $\,3[-(x+4)]-2= x$ & $\,3(x+4)-2= x$ \\
         & &\\
         & $\,3[-x-4]-2= x$ & $\,3x+12-2= x$ \\
         & &\\
         & $\,-3x-12-2= x$ & $\,3x-x+10= 0$ \\
         & &\\
         & $  \,-3x-14-x= 0$ & $2x = -10$ \\
         & &\\
         & $\,-4x = 14$ & $\,x = -5$ \\
         & &\\
         & $\,x = \displaystyle{-14\over{4}}$ & $\,\mbox{Como   }-5\;\;\;\not\in\;\;\;[-4,+\infty[$ \\
         & &\\
         & $x = \displaystyle{-7\over{2}}$ & $\mbox{entonces:   }S_{2} = \emptyset$\\
         & &\\
         & $  \,\mbox{Como   }{-7/2}\;\not\in\; ]-\infty,-4]$ & $$\\
         & &\\
         & $  \,\mbox{entonces:   }S_{1} = \emptyset$ & $$\\
          \hline
         \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}



De aqu\'{i} se tiene que el conjunto soluci\'{o}n $  S \mbox{   de
}3|x - 4| - 2 = x \mbox{   es  vac\'io }
    \mbox{   o sea   }S = \emptyset$



\item[9.)] $  \sqrt[4]{(2x-15)^4} = 10$\\ \\

 \begin{tabular}{lllll}
        $  \sqrt[4]{(2x-15)^4} = 10$ & $\Longleftrightarrow$ & & & \\
        & \\
        $|2x-15| = 10$ & $\Longleftrightarrow$ & $\,2x-15 = 10$ & $\,\,\mbox{o}$ & $2x-15 = -10$ \\
        & \\
        & $\Longleftrightarrow$ & $\,2x = 25$ & $\,\,\mbox{o}$ & $2x = 5$ \\
         & &\\
         & $\Longleftrightarrow$ & $  \,x = \displaystyle{25\over{2}}$ & $\,\,\mbox{o}$ & $  x = \displaystyle{5\over{2}}$ \\
 \end{tabular}\\

    $  \therefore\;\;\;S =\displaystyle{ \left\{{25\over{2}},{5\over{2}}\right\}}$




\item[10.)] $\sqrt{(3-x)^2} = 5$\\ \\
         \begin{tabular}{lllll}
        $\sqrt{(3-x)^2} = 5$ & $\Longleftrightarrow$ & & &\\
        & \\
        $|3-x| = 5$ & $\Longleftrightarrow$ & $\,3-x = 5$ & $\,\,\mbox{o}$ & $3-x = -5$ \\
        & \\
         & $\Longleftrightarrow$ & $\,-x = 2$ & $\,\,\mbox{o}$ & $-x = -8$ \\
         & &\\
        & $\Longleftrightarrow$ & $\,x = -2$ & $\,\,\mbox{o}$ & $x = 8$ \\
         \end{tabular}\\

    $\therefore\;\;\;S = \{-2, 8\}$



\item[11.)] $\sqrt{(3-2x)^2}+x = 3$\\ \\

         \begin{tabular}{llll}
        $\sqrt{(3-2x)^2}+x$ & $=$ & $3$ & $\Longleftrightarrow$\\
        & \\
        $|3-2x|+x$ & $=$ & $3$ & \\ \\
         \end{tabular}\\

Pero:\\ \\

        $ |3 - 2x| = \left\{\begin{array}{rcr}
                    3 - 2x & \mbox{    si    } & 3 - 2x \geq 0 \\ \\
                    -(3 - 2x) & \mbox{    si    } & 3 - 2x < 0 \\
                    \end{array}\right.$\\


 \begin{tabular}{llllll}
        &\\

        $\mbox{Como:}$&$3-2x\geq 0$&$\Longleftrightarrow$&$-2x\geq -3$,&$\mbox{o sea}$&$  x\leq \displaystyle{3\over{2}}$ \\
        & \\

        $\mbox{y}$&$3-2x<0$&$\Longleftrightarrow$&$-2x<-3$,&$\mbox{o sea}$&$  x> \displaystyle{3\over{2}}$
        \\\\
 \end{tabular}

    $\therefore\;\;\; |3 - 2x| = \left\{\begin{array}{lcr}
                    \;\;\;\;3 - 2x & \mbox{    si    } &  x \leq \displaystyle{3\over{2}} \\ \\
                    -(3 - 2x) & \mbox{    si    } &  x > \displaystyle{3\over{2}} \\
                    \end{array}\right.$\\

Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:\\

  \begin{center}
\begin{tabular*}{9.2cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.5cm} $-\infty$\hspace{2.5cm} $3/2$\hspace{2.5cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
 \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
         & &\\
        $|3-2x|$ & $\,3-2x$ & $\,\,-(3-2x)$ \\  \hline
         & &\\
        $|3-2x|+x = 3$ & $\,3-2x+x = 3$ & $\,-(3-2x)+x = 3$ \\
         & &\\
        $$ & $\,-x = 3-3$ & $\,-3+2x+x = 3$ \\
         & &\\
        $$ & $\,-x = 0$ & $\,3x = 6$ \\
         & &\\
        $$ & $\,x = 0$ & $x = 2$ \\
         & &\\
         & $\mbox{ como } 0 \in \left]-\infty, \displaystyle{\frac{3}{2}}\right[$ & $\mbox{ como } 2 \in \left]\displaystyle{\frac{3}{2}}, +\infty\right[$\\
        & &\\
        $$ & $\,\therefore\;\;\;S_{1} = \{0\}$ & $\,\therefore\;\;\;S_{2} = \{2\}$\\  \hline
         \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

De aqu\'{i} se tiene que el conjunto soluci\'{o}n $  S \mbox{   de
}  \sqrt{(3-2x)^2}+x = 3\mbox{   es   }
    \{0, 2\}\mbox{    o sea;    }S = \{0, 2\}$



\item[12.)] $  2\sqrt[4]{(5-4x)^4} = x+2$\\ \\

        $2|5-4x| = x+2$\\ \\

Pero:$\;\;\;|5-4x| = \left\{\begin{array}{lcr}
                    \;\;\;\;5-4x & \mbox{    si    } & 5-4x \geq 0 \\ \\
                    -(5-4x) & \mbox{    si    } & 5-4x < 0 \\
                    \end{array}\right.$\\

 \begin{tabular}{llllll}
        & \\
        $\mbox{Como:}$&$5-4x\geq 0$&$\Longleftrightarrow$&$-4x\geq -5$,&$\mbox{o sea}$&$  x\leq \displaystyle{5\over{4}}$ \\
          &  \\
        $\mbox{y}$&$5-4x<0$&$\Longleftrightarrow$&$-4x<-5$,&$\mbox{o sea}$&$  x> \displaystyle{5\over{4}}$ \\
 \end{tabular}\\\\

        $\therefore\;\;\; |5-4x| = \left\{\begin{array}{lcr}
                \;\;\;\;5-4x & \mbox{    si    } &  x\leq \displaystyle{5\over{4}} \\ \\
                -(5-4x) & \mbox{    si    } &  x> \displaystyle{5\over{4}} \\
                \end{array}\right.$\\

Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{9.7cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.5cm} $-\infty$\hspace{2.5cm} $5/4$\hspace{2.5cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
 \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
         & &\\
        $|5-4x|$ & $\,5-4x$ & $\,\,-(5-4x)$ \\  \hline
         & &\\
        $2|5-4x| = x+2$ & $\,2(5-4x) = x+2$ & $\,2[-(5-4x)] = x+2$ \\
         & &\\
        $$ & $\,10-8x = x+2$ & $\,2[-5+4x] = x+2$ \\
         & &\\
        $$ & $\,-8x-x = 2-10$ & $\,-10+8x = x+2$ \\
         & &\\
        $$ & $\,-9x = -8$ & $8x-x = 2+10$ \\
         & &\\
        $$ & $  \,x = \displaystyle{8\over{9}}$ & $\,7x = 12$\\
         & &\\
        $ $ & $ $ & $  \,x = \displaystyle{12\over{7}}$\\
         & &\\
         & $\mbox{ como }\displaystyle{\frac{8}{9}} \in \left]-\infty,
         \displaystyle{\frac{5}{4}}\right[$& $\mbox{ como } \displaystyle{\frac{12}{7}} \in \left]\displaystyle{\frac{5}{4}}, +
         \infty \right[$\\
         & &\\
        $ $ & $\therefore\;\;\;S_{1} = \left\{  \displaystyle{8\over{9}}\right\}$ &
        $\therefore\;\;\;S_{2} = \left\{  \displaystyle{12\over{7}}\right\}$\\  \hline
         \end{tabular}\\
\end{tabular*}
\end{center}

De aqu\'{i} se tiene que el conjunto soluci\'{o}n $  S \mbox{   de
}2\sqrt[4]{(5-4x)^4} = x+3
    \mbox{   es   } \left\{\displaystyle{8\over{9}}, \displaystyle{12\over{7}}\right\},\mbox{    o sea    }
    S = \left\{\displaystyle{8\over{9}}, \displaystyle{12\over{7}}\right\}$
    \end{enumerate}


\begin{ejemplo}

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:\\

\begin{enumerate}
    \item[1.)] $|x| = 7$\\

    \item[2.)] $|2x+5| = -8$\\

    \item[3.)] $|-2x+9| = 11$\\

    \item[4.)] $-3|3-2x| = -12$\\

    \item[5.)] $|3x+2| = x+1$\\

    \item[6.)] $2|2x-5| = x-3$\\

    \item[7.)] $3|-5x-1| = -2x+3$\\

    \item[8.)] $-1-2|5-3x| = x$\\

    \item[9.)] $  \sqrt[6]{(2x+1)^6} = 3$\\

    \item[10.)] $  -2\sqrt{(1-7x)^2} = -6$\\

    \item[11.)] $  \sqrt{(x-2)^2}+3x = 6$\\

    \item[12.)] $  x+2\sqrt[4]{(x-6)^4} = 5$\\

    \item[13.)] $2|x|+|x-1| = 4$\\

    \item[14.)] $|2x-3|-2|x| = 3$\\

    \item[15.)] $  \left|\displaystyle{{x-1}\over{x+1}} \right|= 2$\\

    \item[16.)] $2|3x-1| =   \sqrt{(x-7)^2}$\\

    \item[17.)] $2|2-x|+|2x-1| = x$\\

    \item[18.)] $|3-2x|-3|x+2|-x = 0$\\

    \end{enumerate}
\end{ejemplo}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} En las ecuaciones, que resolveremos a
continuaci\'{o}n, omitiremos algunos pasos al escribir la
definici\'{o}n de cada uno
de los valores absolutos involucrados.\\ \\


\wsolu

\begin{enumerate}

\item[1.)] $2|x|+|x-1| = 4$



En este caso se tiene que:\\

\begin{enumerate}
        \item[a.)] $|x| = \left\{\begin{array}{lcr}
        \;\;\;x & \mbox{   si   } & x\geq 0 \\ \\
        -x & \mbox{   si   } & x<0 \end{array}\right.$\\\\

        \item[b.)] $|x-1| = \left\{\begin{array}{lcr}
        \;\;\;\;x-1 & \mbox{   si   } & x\geq 1 \\ \\
        -(x-1) & \mbox{   si   } & x<1 \end{array}\right.$
\end{enumerate}

Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{0.9\textwidth}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$\hspace{3.3cm}$0$\hspace{2.8cm} $1$\hspace{2.4cm} $+\infty$\\
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
         & & & \\
        $|x|$&$\,-x$&$\,\,x$&$x$ \\  \hline
         & & & \\
        $|x-1|$&$\,-(x-1)$&$\,-(x-1)$&$x-1$ \\  \hline
         & & & \\
        $2|x|+|x-1| = 4$&$\,2x+-(x-1) = 4$&$\,2x+-(x-1) = 4$&$2(-x)+(x-1) = 4$ \\
         & & & \\
          & $\,-2x-x+1 = 4$&$\,2x-x+1 = 4$&$2x+x-1 = 4$ \\
         & & & \\
          & $\,-3x = 3$&$x = 3$&$3x = 5$\\
         & & & \\
          & $\,x = -1$& $x = \displaystyle{5\over{3}}$&\\
          & & &\\
          & $\mbox{ como } -1 \in ]-\infty, 0[$ & $\,\mbox{Como   }3 \not\in\; ]0, 1[$ &
          $\mbox{ como } \displaystyle{\frac{5}{3}} \in \left]\displaystyle{\frac{5}{3}}, +\infty \right[$\\
         & & & \\
          & $\therefore\;\;\;S_{1} = \{-1\}$&$\therefore\;\;\;S_{2} = \emptyset$&$\therefore\;\;\;S_{2} =
        \left\{  \displaystyle{5\over{3}}\right\}$\\  \hline
        \end{tabular}\\
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'{i} se tiene que el conjunto soluci\'{o}n de $2|x|+|x-1| =
4\;$ es $S$  donde $S = S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}$

$ \therefore\;\;\;S = \left\{-1,  \displaystyle{5\over{3}}\right\}$



\item[2.)] $|2x-3|-2|x| = 3$



En este caso se tiene que:\\

\begin{enumerate}
        \item[a.)] $|2x-3| = \left\{\begin{array}{lcr}
        \;\;\;\;2x-3 & \mbox{   si   } & x\geq   \displaystyle{3\over{2}} \\ \\
        -(2x-3) & \mbox{   si   } & x<  \displaystyle{3\over{2}}
        \end{array}\right.$\\ \\
        \item[b.)] $|x| = \left\{\begin{array}{lcr}
        \;\;\;x & \mbox{   si   } & x\geq 0 \\ \\
        -x & \mbox{   si   } & x<0 \end{array}\right.$\\
\end{enumerate}

Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{13cm}{c}
\begin{tabular}{c}
    \hspace{2.3cm} $-\infty$\hspace{3.5cm}$0$\hspace{3.2cm}$3/2$\hspace{1.9cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
     \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
         & & & \\
        $|2x-3|$&$\,-(2x-3)$&$\,\,-(2x-3)$&$2x-3$ \\  \hline
         & & & \\
        $|x|$&$\,-x$&$\,x$&$x$ \\  \hline
         & & & \\
        $|2x-3|-2|x| = 3$&$\,-(2x-3)-2(-x) = 3$&$\,-(2x-3)-2(x) = 3$&$2x-3-2x = 3$ \\
         & & & \\
          & $\,-2x+3+2x = 3$&$\,-2x+3-2x = 3$&$-3 = 3$ \\
         & & & \\
          & $\,3 = 3$&$-4x = 0$&$\therefore\;\;\;S_{3} = \emptyset$\\
         & & & \\
          & $\,\therefore\;\;\;S_{1} = ]-\infty, 0[$&$\,x = 0$  & \\
          & & &\\
           &  & $\mbox{ como } 0 \in \left]0, \displaystyle{\frac{3}{2}}\right[$ &\\
         & & & \\
          & &$\therefore\;\;\;S_{2} = \{0\}$  & \\  \hline
         \end{tabular}\\
\end{tabular*}
\end{center}

De aqu\'{i} que el conjunto soluci\'{o}n de $|2x-3|-2|x| = 3\mbox{
es   }S = S_{1}\cup S_{2}\cup
    S_{3}\\ \\\therefore\;\;\; S = ]-\infty, 0]$



\item[3.)] $ \displaystyle{ \left|{{x-1}\over{x+1}} \right|= 2}$



     \begin{tabular}{rrclcl}
         & & &&  &  \\
        $ \displaystyle{ \left|{{x-1}\over{x+1}} \right|= 2}$&$\,\Longleftrightarrow$&$\displaystyle{  \,\,{{|x-1|}\over{|x+1|}}}$&$=$&$2$,
        &$\mbox{por la propiedad \ref{Cap5prop5}}$ \\
         & & &&  &  \\
          & $\,\Longleftrightarrow$&$\,|x-1|$&$=$&$2|x+1|$&$\mbox{$(*)$, con   }x \neq -1$ \\
         & & &&  &  \\
          & $\,\Longleftrightarrow$&$\,|x-1|^2$&$=$&$(2|x+1|)^2$  &  \\
         & & &&  &  \\
          & $\,\Longleftrightarrow$&$\,|x-1|^2$&$=$&$4|x+1|^2$  &  \\
         & & &&  &  \\
          & $\,\Longleftrightarrow$&$(x-1)^2$&$=$&$4(x+1)^2$,&$\mbox{   por la propiedad \ref{Cap5prop6}}$\\
         & & &&  &  \\
          & $\,\Longleftrightarrow$&$\,x^2-2x+1$&$=$&$4(x^2+2x+1)$  & \\
         & & &&  &  \\
          & $\Longleftrightarrow$&$x^2-2x+1$&$=$&$4x^2+8x+4$  & \\
         & & &&  &  \\
          & $\Longleftrightarrow$ & $-3x^2-10x-3$&$=$&$0$  & \\
         & & &&  &  \\
          & $\Longleftrightarrow$&$3x^2+10x+3$&$=$&$0$  & \\
         \end{tabular}\\

Resolviendo esta ecuaci\'{o}n por f\'{o}rmula general:\\ \\

     \begin{tabular}{lllll}
         & &\\
        $\triangle$&$=$&$100-4(3)(3)$ \\
         & &\\
        $\triangle$&$=$&$100-36$ \\
         & &\\
        $\triangle$&$=$&$64$ \\
         & &\\
        $x_{1}$&$=$&$  \displaystyle{{-10+8}\over{6}}$&$\Longrightarrow$&$x_{1} =  \displaystyle{-1\over{3}}$ \\
         & &\\
        $x_{2}$&$=$&$  \displaystyle{{-10-8}\over{6}}$&$\Longrightarrow$&$x_{2} = -3$\\
     \end{tabular}\\

De aqu\'{i} se tiene que el conjunto soluci\'{o}n de $
\left|\displaystyle{{x-1}\over{x+1}} \right|= 2
    \mbox{     es     }S, \mbox{     donde     }$ \\

    $S = \left\{-3,  \displaystyle{-1\over{3}}\right\}$\\

{\bf Nota}: A partir de $(*)$ esta ecuaci\'{o}n se puede resolver
    utilizando un procedimiento similar al usado en los ejemplos
    $(1)$ y $(2)$ anteriores.



\item[4.)] $2|3x-1| =   \sqrt{(x-7)^2}$



     \begin{tabular}{lllll}
         & &\\
        $\Longleftrightarrow$&$\,2|3x-1|$&$=$&$|x-7|$&$\mbox{$(*)$(Ver nota anterior)}$ \\
         & &\\
        $\Longleftrightarrow$&$\,(2|3x-1|)^2$&$=$&$\,|x-7|^2$ \\
         & &\\
        $\Longleftrightarrow$&$\,4|3x-1|^2$&$=$&$\,|x-7|^2$ \\
         & &\\
        $\Longleftrightarrow$&$\,4(3x-1)^2$&$=$&$\,(x-7)^2$ \\
         & &\\
        $\Longleftrightarrow$&$\,4(9x^2-6x+1)$&$=$&$x^2-14x+49$\\
         & &\\
        $\Longleftrightarrow$&$\,36x^2-24x+4$&$=$&$x^2-14x+49$\\
         & &\\
        $\Longleftrightarrow$&$35x^2-10x-45$&$=$&$0$\\
         & &\\
        $\Longleftrightarrow$&$7x^2-2x-9$ & $=$&$0$\\
         \end{tabular}\\

Resolviendo esta ecuaci\'{o}n por f\'{o}rmula general:



     \begin{tabular}{lllll}
         & &\\
        $\triangle$ & $=$ & $4-4(7)(-9)$ & $$ & $$ \\
         & &\\
        $\triangle$ & $=$ & $4+252$ & $$ & $$\\
         & &\\
        $\triangle$ & $=$ & $256$ & $$ & $$ \\
         & &\\
        $x_{1}$ & $=$ & $  \displaystyle{{2+16}\over{14}}$ & $\Longrightarrow$&$x_{1}=  \displaystyle{9\over{7}}$ \\
         & &\\
        $x_{2}$ & $=$ & $  \displaystyle{{2-16}\over{14}}$ & $\Longrightarrow$ & $x_{2} = -1$\\
     \end{tabular}\\

De aqui se tiene que el conjunto soluci\'{o}n de   $2|3x-1| =
\sqrt{(x-7)^2}\mbox{ es     } S   \mbox{  donde:}\;$ $S = \left\{  \displaystyle{9\over{7}}, -1\right\}$\\



\item[5.)] $2|2-x|+|2x-1| = x$\\

En este caso se tiene que:



\begin{enumerate}

        \item[a.)] $|2-x| = \left\{\begin{array}{lcr}
        \;\;\;\;2-x & \mbox{   si   } & x\leq 2 \\ \\
        -(2-x) & \mbox{   si   } & x>2
        \end{array}\right.$\\ \\
        \item[b.)] $|2x-1| = \left\{\begin{array}{lcr}
        \;\;\;\;2x-1 & \mbox{   si   } & x\geq   \displaystyle{1\over{2}} \\ \\
        -(2x-1) & \mbox{   si   } & x<  \displaystyle{1\over{2}}
        \end{array}\right.$\\

\end{enumerate}

Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:\\
\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabular*}{12.7cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.7cm}$-\infty$\hspace{3.2cm}$1/2$\hspace{2.8cm}$2$\hspace{3cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline
         & & & \\
        $|2-x|$&$\,2-x$&$\,\,2-x$&$-(2-x)$ \\  \hline
         & & & \\
        $|2x-1|$&$\,-(2x-1)$&$\,2x-1$&$2x-1$ \\  \hline
         & & & \\
        $2|2-x|+|2x-1| = x$&$\,2(2-x)+-(2x-1) = x$&$\,2(2-x)+(2x-1) = x$&$2[-(2-x)]+(2x-1) = x$ \\
         & & & \\
          & $\,4-2x-2x+1 = x$&$\,4-2x+2x-1 = x$&$2[-2+x]+2x-1 = x$ \\
         & & & \\
          & $\,-2x-2x-x = -4-1$&$3 = x$&$-4+2x+2x-1 = x$\\
         & & & \\
          & $\,-5x = -5$&$\,\mbox{Como   }3 \not\in \left[  \displaystyle{-1\over{2}}, 2 \right]$
        &$2x+2x-x = 4+1$\\
         & & & \\
          & $x = 1$&$\mbox{entonces:}$&$3x = 5$\\
         & & & \\
          & $\mbox{Como   }1 \not\in\; \left]-\infty,  \displaystyle{1\over{2}}\right[$&$S_{2} = \emptyset$
        &$x =   \displaystyle{5\over{3}}$\\
         & & & \\
          & $\mbox{entonces:}$  & &$\mbox{Como   }\displaystyle{\frac{5}{3}} \not\in\; ]2, +\infty [$\\
         & & & \\
          & $S_{1} = \emptyset$  & &$\mbox{entonces:}$\\
         & & & \\
          &   & &$S_{3} = \emptyset$\\  \hline
         \end{tabular}
\end{tabular*}
}
\end{center}

 De aqu\'{i} que el conjunto soluci\'{o}n de $2|2-x|+|2x-1| = x\mbox{   es   }S, \mbox{    donde
 }\;$
    $S = \emptyset$



\item[6.)] $|3-2x|- 3|x+2|-x = 0$



En este caso se tiene que:\\

\begin{enumerate}
        \item[a.)] $|3-2x| = \left\{\begin{array}{lcr}
        \;\;\;\;3-2x & \mbox{   si   } & x\leq   \displaystyle{3\over{2}} \\ \\
        -(3-2x) & \mbox{   si   } & x>  \displaystyle{3\over{2}}
        \end{array}\right.$\\ \\
        \item[b.)] $|x+2| = \left\{\begin{array}{lcr}
        \;\;\;\;x+2 & \mbox{   si   } & x\geq -2 \\ \\
        -(x+2) & \mbox{   si   } & x<-2
        \end{array}\right.$\\
\end{enumerate}

Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:\\
\end{enumerate}




\newpage
%\multicolumn{number cols}{align}{text} % align: l,c,r
\begin{center}
{\footnotesize
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\multicolumn{4}{r}{\phantom{XXXXXXXXXXXXXXXXX}$-\infty$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXXXXXX}$-2$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXXXX}$ 3/2$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX}$+\infty$} \\\hline
& & & \\
        $|3-2x|$&$\,3-2x$&$\,\,3-2x$&$-(3-2x)$ \\  \hline
         & & & \\
        $|x+2|$&$\,-(x+2)$&$\,x+2$&$x+2$ \\  \hline
         & & & \\
        $|3-2x|-3|x+2|-x=0$&$3-2x-3[-(x+2)]-x=0$&
        $3-2x-3(x+2)-x=0$&$-(3-2x)-3(x+2)-x=0$ \\
         & & & \\
        &$3-2x-3[-x-2]-x = 0$&$3-2x-3x-6-x=0$&$-3+2x-3x-6-x=0$ \\
         & & & \\
       &$\,3-2x+3x+6-x = 0$&$-6x-3 = 0$&$-2x-9 = 0$\\
         & & & \\
       &$\,9 = 0$&$\,-6x = 3$&$-2x = 9$\\
         & & & \\
        &$\therefore\;\;\;S_{1} = \emptyset$&$x =   \displaystyle{-1\over{2}}$&$x =   \displaystyle{-9\over{2}}$\\
         & & & \\
        & & $\mbox{ como } \displaystyle{\frac{-1}{2}} \in \left]-2, \displaystyle{\frac{3}{2}}\right[$ & $\mbox{Como:}  \displaystyle{-9\over{2}}
        \not\in \left]  \displaystyle{3\over{2}}, +\infty \right[$\\
        & & &\\
        & &$\therefore\;\;\;S_{2}=\left\{  \displaystyle{-1\over{2}}\right\}$& $\therefore\;\;\;S_{3} = \emptyset$\\  \hline
\end{tabular}
}
\end{center}





 De aqu\'{i} que el conjunto soluci\'{o}n de $|3-2x|-3|x+2|-x
= 0\mbox{   es   }S,\mbox{    donde    }\;$
   $ S = \left\{  \displaystyle{-1\over{2}}\right\}$\\




\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:\\
\begin{enumerate}



\item $  \sqrt{(4x-1)^2} = |3-8x|$\\

\item $  \left|\displaystyle{{2x+1}\over{1-x}}\right| = 3$\\

\item $|x+3|-|x-2| = x$\\

\item $  \sqrt[4]{(x+1)^4}-3|x-2| = 6$\\

\item $|x-4|-  \left|\displaystyle{{x-1}\over{5}}\right| = 4-x$\\

\item $ \displaystyle{|x|\over{2}}+3x+4 = |x-1|$\\

\end{enumerate}

\subsection{Inecuaciones que involucran valor absoluto}


Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de
expresiones de la forma $ax+b$, donde $a$ y $b$ son constantes con
$a\neq 0$ y $x$ es una variable real. Para esto utilizaremos la
definici\'{o}n de valor absoluto, y en los casos en donde sea
posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las
aplicaremos, con el fin de facilitar el procedimiento de
resolución.



\begin{ejemplo}

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}
    \item[1.)] $|x-2| < 1$\\

    \item[2.)] $|5x-7| \leq 3$\\

    \item[3.)] $|3-x| < 4$\\

    \item[4.)] $|5-2x| \leq 7$\\

    \item[5.)] $|2x-3| \leq -5$\\

    \item[6.)] $|7-2x| \geq -6$\\

    \item[7.)] $|5x+2| > 0$\\

    \item[8.)] $2|3-x|-10 \geq 0$\\

    \item[9.)] $|x-3| \leq 2x-5$\\

    \item[10.)] $|x|+3 \geq 2x$\\

    \item[11.)] $  {\sqrt[6]{(2x+1)^6}} > 3$\\

    \item[12.)] $\sqrt{\left( \displaystyle{2\over{5}}\,x+1\right)^2}-x < 2$\\

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\wsolu

\begin{enumerate}

\item[1.)] $|x-2| < 1$



Sabemos que:

 $|x-2| = \left\{\begin{array}{rcr}
x-2 & \mbox{   si   } & x\geq 2 \\ \\
-(x-2) & \mbox{   si   } & x<2
\end{array}\right.$



Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
\multicolumn{3}{l}{\phantom{XXXXXX} $-\infty$ \phantom{XXXXxXXXXXXXXXXXX} $2$ \phantom{XXXXXXXXXXXX}$+\infty$ } \\\hline
& &\\
$|x-2|$&$\,-(x-2)$&$\,\,x-2$ \\  \hline
& &\\
$|x-2| < 1$&$\,-(x-2) < 1$&$\,x-2 < 1$ \\
& &\\
&$\,-x+2 < 1$&$\,x < 3$ \\
& &\\
&$\,-x < -1$&$\,\mbox{As\'{i} debe cumplirse que}$ \\
& &\\
&$\,x > 1$&$x \geq 2\mbox{   y   }x < 3$\\
& &\\
&$\,\mbox{As\'{i} debe cumplirse que}$&$\,\therefore\;\;\;S_{2} = \;[2, 3[$\\
& &\\
&$x < 2\mbox{   y   }x > 1$  & \\
& &\\
&$\therefore\;\;\;S_{1} =\; ]1, 2[$  & \\  \hline
 \end{tabular}
\end{center}


En consecuencia el conjunto soluci\'{o}n $S,\mbox{     de
}|x-2| < 1\mbox{     es     }
    S_{1}\cup S_{2} \mbox{     o sea     }S =\; ]1, 3[$\\ \\

{\bf Nota:} La inecuaci\'{o}n $|x-2| < 1$ y otras similares, se
pueden resolver aplicando propiedades del valor absoluto y
adem\'{a}s algunos resultados que se enuncian a continuaci\'{o}n y
que aceptaremos sin demostrar.



\begin{caja}[Resultado:]

$\forall a, a\in \mathbb{R}, \forall b, b \in \mathbb{R}, \forall c, c \in \mathbb{R},
\forall k, k \in \mathbb{R}$\\
\end{caja}

\begin{enumerate}

\item[$i.)$] $a\; < \;b\; < \;c\;\;\Longleftrightarrow\;\;a+k \;<
\; b+k \;< \;c+k$ \item[$ii.)$] $a \; \leq \; b \;\leq \;
c\;\;\Longleftrightarrow\;\;a+k \; \leq \; b+k \; \leq \; c+k$

\end{enumerate}

\begin{caja}[Resultado:]

$\forall a, a\in \mathbb{R}, \forall b, b \in \mathbb{R}, \forall c, c \in \mathbb{R},
\forall k, k \in \mathbb{R}
    \mbox{     con     }k > 0$
\end{caja}

\begin{enumerate}

\item[$i.)$] $a\; < \; b \; < \; c\;\;\Longleftrightarrow\;\;ak\;
< \; bk \;< \;ck$ \item[$ii.)$] $a\; \leq \; b \;\leq \;
c\;\;\Longleftrightarrow\;\;ak\; \leq \; bk \; \leq \; ck$

\end{enumerate}

\begin{caja}[Resultado:]

    $\forall a, a\in \mathbb{R}, \forall b, b \in \mathbb{R}, \forall c, c \in \mathbb{R}, \forall k, k \in \mathbb{R}
    \mbox{     con     }k < 0$
        \begin{enumerate}
        \item[$i.)$] $a\; < \; b \; < \;c\;\;\Longleftrightarrow\;\;ak\; > \; bk \; > \; ck$
        \item[$ii.)$] $a\leq b\leq c\;\;\Longleftrightarrow\;\;ak \; \geq \; bk \; \geq \; ck$
        \end{enumerate}
\end{caja}

Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del
valor absoluto, $|x-2| < 1$ se resuelve as\'{i}.\\ \\

 \begin{tabular}{lll}
          &   & \\
        $|x-2| < 1$&$\Longleftrightarrow$&$-1\; < \; x-2 \; <\; 1$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$-1+2 \;<\; x-2+2 \;<\; 1+2$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$1 \;< \;x \;< \;3$\\
 \end{tabular}\\

$\therefore\;\;\;S = ]1, 3[$



\item[2.)] $|5x-7| \leq 3$



     \begin{tabular}{lll}
          &   & \\
        $|5x-7| \leq 3$&$\Longleftrightarrow$&$-3 \;\leq \; 5x-7 \; \leq \; 3$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$-3+7\; \leq \; 5x-7+7 \; \leq \; 3+7$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$4\; \leq \; 5x \; \leq \; 10$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$  \displaystyle{1\over{5}}\cdot 4 \; \leq \;  \displaystyle{1\over{5}}\cdot 5x \; \leq  \; \displaystyle{1\over{5}}\cdot 10$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$  \displaystyle{4\over{5}}\; \leq \; x \; \leq \; 2$\\
     \end{tabular}\\
$\therefore\;\;\;S = \left[  \displaystyle{4\over{5}}, 2\right]$



\item[3.)] $|3-x| < 4$



     \begin{tabular}{lll}
          & &\\
        $|3-x| < 4$&$\Longleftrightarrow$&$-4\; <\; 3-x \; <\; 4$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$-3-4 \; < \; -3+3-x \; < \; -3+4$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$-7\; < \; -x \; < \; 1$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$7 \; > \; x \; > \; -1$\\
          &   & \\
          & $\Longleftrightarrow$&$-1\; < \; x \;< \; 7$\\
     \end{tabular}\\

 $\therefore\;\;\;S = ]-1, 7[$\\ \\

\item[4.)] $|5 -2x| \leq 7$



 \begin{tabular}{lll}
    $|5 -2x|\leq 7$ & $\Longleftrightarrow$ & $-7 \; \leq \; 5 -2x \; \leq  \; 7$\\
                      &   & \\
                    & $\Longleftrightarrow$ & $-7-5 \; \leq \; -5 +5-2x \;
                    \leq\; -5+7$\\
                      &   & \\
                    & $\Longleftrightarrow$ & $-12 \; \leq \; -2x \; \leq \; 2$\\
                      &   & \\
                    & $\Longleftrightarrow$ & $\displaystyle{{-1 \over 2}\cdot (-12)\; \geq {-1 \over 2} \cdot (-2x) \; \geq \; {-1 \over 2} \cdot
                    2}$\\
                      &   & \\
                    & $\Longleftrightarrow$ & $6 \; \geq \; x \; \geq \; -1$\\
                      &   & \\
                    & $\Longleftrightarrow$ & $-1\; \leq \; x \; \leq \;6$\\
 \end{tabular}

$\therefore\;\;\;S=[-1,6]$



\item[5.)] $|2x-3| < -5$



por propiedad \ref{Cap5prop3}:



    $|2x-3| \geq 0,\;\; \forall x, x \in \mathbb{R}$\\

 $\therefore\;\;\;|2x-3|\geq -5; \;\;\mbox{  !`Nunca!  }$\\

$\therefore\;\;\; S = \varnothing $



\item[6.)] $|7-2x| \geq -6$



por propiedad \ref{Cap5prop3};



$|7 -2x|\geq 0,\;\; \forall x, x \in \mathbb{R}$\\

en particular\\

$|7 -2x| \geq -6,\;\; \forall x, x \in \mathbb{R}$\\

 $\therefore\;\;\;S= \mathbb{R}$



\item[7.)] $|5x+2| > 0$



por propiedad \ref{Cap5prop3};



$|5x+2| \geq 0,\;\; \forall x, x \in \mathbb{R}$\\

por propiedad \ref{Cap5prop4};




 \begin{tabular}{rclcl}
    $|5x+2| = 0$ & $\Longleftrightarrow$ & $5x+2$ & $=$ & $0$\\\\
                 & $\Longleftrightarrow$ & $5x$   & $=$ & $-2$\\\\
                 & $\Longleftrightarrow$ & $x$    & $=$ & $\displaystyle{-2 \over 5}$\\\\
 \end{tabular}

$\therefore\;\;\;|5x+2| > 0;\;\; \forall x, x \in \mathbb{R}, \mbox{ tal
que
}\;\; x \neq \displaystyle{-2 \over 5}$\\\\

$\therefore\;\;\;S = \mathbb{R} - \left\{  \displaystyle{-2\over{5}}\right\}$\\



\item[8.)] $2|3-x|-10 \geq 0$



 \begin{tabular}{rclcl}
    $2|3-x|-10 \geq 0$& $\Longleftrightarrow$ & $2|3-x|  \;\geq \; 10$ & &\\\\
                      & $\Longleftrightarrow$ & $|3-x|\; \geq \; 5$ & &\\\\
                      & $\Longleftrightarrow$ & $3-x  \; \geq \; 5$ & o & $3-x \; \leq
                      \; -5$\\\\
                      & $\Longleftrightarrow$ & $-x \; \geq  \; 2$ & o & $-x \; \leq
                      \; -8$\\\\
                      & $\Longleftrightarrow$ & $x\; \leq \; -2$ & o & $x \; \geq
                      \;8$\\\\
 \end{tabular}

$\therefore\;\;\;S = \;]-\infty , -2] \,\cup \, [8, +\infty[$



\item[9.)] $|x-3| \leq 2x-5$

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} en este caso no es posible aplicar alguna de las
propiedades de valor absoluto enunciadas en p\'{a}ginas
anteriores, por lo que
procedemos de la manera siguiente:\\



$|x-3| = \left\{\begin{array}{rcr}
x-3 & \mbox{   si   } & x \geq 3 \\ \\
-(x-3) & \mbox{   si   } & x < 3
\end{array}\right.$



Con esta informaci\'{o}n construimos la tabla siguiente

 \begin{center}
     \begin{tabular}{|c|c|c|}
\multicolumn{3}{l}{\phantom{XXXXXXXXXX}$-\infty$\phantom{XXXXXXXXXXXXXX}$3$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXXX}$+\infty$}\\\hline
         & &\\
        $|x-3|$&$\,-(x-3)$&$\,\,x-3$ \\  \hline
         & &\\
        $|x-3| \leq 2x-5$&$\,-(x-3) \leq 2x-5$&$\,x-3 \leq 2x-5$ \\
         & &\\
        &$\,-x+3 \leq 2x-5$&$\,x-2x \leq -5+3$ \\
         & &\\
        &$\,-x -2x \leq -5-3$&$\,-x \leq-2$ \\
         & &\\
        &$\,-3x \leq -8$&$-x \geq -2$\\
         & &\\
        &$\,x \geq \displaystyle{8 \over 3}$&\\
         & &\\
        &$ \mbox{As\'{i} debe cumplirse }$ & $\mbox{As\'{i} debe cumplirse }$  \\
         & &\\
         & $x \geq \displaystyle{8 \over 3} \mbox{ y } x < 3$& $x \geq 2 \mbox{ y } x \geq 3$\\
         & &\\
        &$\therefore\;\;\;S_{1} = \; \left[\displaystyle{8 \over 3}, 3\right[$ & $\therefore\;\;\;S_{2} = \;[3, + \infty[$ \\  \hline
     \end{tabular}\\
    \end{center}

En consecuencia el conjunto soluci\'{o}n $S,\mbox{     de }|x-3|
\leq 2x-5 \mbox{     es     }
     S_{1}\,\cup\, S_{2};\mbox{     o sea   }S \,= \,\left[\displaystyle{8 \over 3}, +\infty\right[$



\item[10.)] $|x|+3 \geq 2x$



Como

$|x| = \left\{\begin{array}{rcr}
x & \mbox{   si   } & x \geq 0 \\ \\
-x & \mbox{   si   } & x < 0
\end{array}\right.$



Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
\multicolumn{3}{l}{\phantom{XXXXXXX} $-\infty$ \phantom{XXXXXXXXXXXXXX} $0$ \phantom{XXXXXXXXXXXXXX}$+\infty$ } \\\hline
& &\\
$|x|$&$\,-x$&$\,\,x$ \\  \hline
& &\\
$|x| +3 \geq 2x$&$\,-x+3 \geq 2x$&$\,x+3 \geq 2x$ \\
& &\\
&$\,-x-2x \geq -3$&$\,x-2x \geq -3$ \\
& &\\
&$\,-3x \geq -3$&$\,-x \geq -3$ \\
& &\\
&$\,x \leq 1$&$x \leq 3$\\
& &\\
&$ \mbox{As\'{i} debe cumplirse }$ & $\mbox{As\'{i} debe cumplirse }$  \\
& &\\
& $x \leq 1 \mbox{  y  } x < 0$& $x \leq 3 \mbox{  y  } x \geq 0$\\
& &\\
&$\therefore\;\;\;S_{1} = \;]- \infty, 0[$ & $\therefore\;\;\;S_{2} \,= \,[0, 3]$ \\  \hline
 \end{tabular}
\end{center}

En consecuencia el conjunto soluci\'{o}n $S,\mbox{     de }\;|x|+3
\geq 2x \; \mbox{     es     } \; S_{1}\,\cup \,S_{2}\mbox{     o
sea }S = \;]-\infty, 3]$



 \item[11.)] $  {\sqrt[6]{(2x+1)^6}} > 3$



 \begin{tabular}{rcrcl}
  ${\sqrt[6]{(2x+1)^6}} > 3$ & $\Longleftrightarrow$ &$|2x+1|>3$\\\\
                             & $\Longleftrightarrow$ & $2x+1 > 3$ & o & $2x+1 <
                               -3$\\\\
                              & $\Longleftrightarrow$ & $2x > 2$   & o & $2x <
                               -4$\\\\
                              & $\Longleftrightarrow$ & $x > 1$    & o &
                               $x < -2$\\
 \end{tabular}


$S_1=\;]1, + \infty[\;$ y $\;S_2=\;]-\infty, -2[$\\\\

El conjunto soluci\'{o}n $S,\;\mbox{     de
}\;{\sqrt[6]{(2x+1)^6}}> 3 \; \mbox{ es } S_{1}\cup \;
S_{2},\;\mbox{ o sea }S \,=\; ]1, + \infty[\; \cup \;]-\infty, -2[
$



 \item[12.)] $\sqrt{\left( \displaystyle{2\over{5}}\,x+1\right)^2}-x < 2$



 \begin{tabular}{rcl}
 $\sqrt{\left( \displaystyle{2\over{5}}\,x+1\right)^2}-x < 2$
 & $\Longleftrightarrow$ & $ \left|\displaystyle{2\over{5}}\,x+1 \right| -x < 2$\\\\
 \end{tabular}

Para este caso se tiene que:\\

$\left|\displaystyle{2\over{5}}x+1\right| = \left\{\begin{array}{rcr}
\displaystyle{2\over{5}}\,x+1& \mbox{   si   } & x \geq \displaystyle{-5 \over 2} \\ \\
-\left(\displaystyle{2\over{5}}\,x+1\right) & \mbox{   si   } & x < \displaystyle{-5
\over 2}
\end{array}\right.$



Con esta informai\'{o}n construimos la tabla siguiente:


\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
\multicolumn{3}{l}{\phantom{XXXXXXXXXX} $-\infty$ \phantom{XXXXXXXXXXXXX} $-5/2$ \phantom{XXXXXXXXXXXXX}$+\infty$ } \\\hline
& &\\
$\left|\displaystyle{2 \over 5}x +1 \right|$&$\,-\left(\displaystyle{2 \over 5}x+1 \right)$&$\,\,\displaystyle{2 \over 5}x+1$ \\  \hline
& &\\
$\left|\displaystyle{2 \over 5}x +1 \right|-x \;<\; 2$&$-(\displaystyle{2 \over 5}x+1)-x \;<\; 2$&$\,\displaystyle{2 \over 5}x+1-x \;<\; 2$ \\
& &\\
&$\,\displaystyle{-2 \over 5}x-1-x \;<\; 2$&$\,\displaystyle{2 \over 5}x-x \;<\; 2-1$ \\
& &\\
&$\,\displaystyle{-2 \over 5}x-x \;<\; 2+1$&$\,\displaystyle{-3 \over 5}x \;<\; 1$ \\
& &\\
&$\,\displaystyle{-7 \over 5}x \;<\; 3$&$x \;>\; \displaystyle{-5 \over 3}$\\
& &\\
&$x \;>\; \displaystyle{-15 \over 7}$&\\
&$ \mbox{As\'{i} debe cumplirse }$ & $\mbox{As\'{i} debe cumplirse }$  \\
& &\\
& $x \;>\; \displaystyle{-15 \over 7}\; \mbox{  y  } \;x \;<\; \displaystyle{-5 \over 2}$& $x \;>\; \displaystyle{-5 \over 3}\; \mbox{  y  } \;x \;\geq\; \displaystyle{-5 \over 2}$\\
& &\\
&$\therefore\;\;\;S_{1} = \emptyset$ & $\therefore\;\;\;S_{2} = \;\left]\displaystyle{-5 \over 3},+ \infty\right[$ \\  \hline
 \end{tabular}

\end{center}
$\therefore\;\;\;S= \; S_1 \,\cup \,S_2 \,=\; \left]\displaystyle{-5 \over
3}, + \infty\right[$

\end{enumerate}

\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\
\begin{enumerate}



\item $|2x-3| < 7$\\

\item $|3x+5| \leq 12$\\

\item $  \sqrt{(9x+8)^2}\leq -3$\\

\item $|13x-15| > 0$\\

\item $|3+2x| > 5$\\

\item $|-2x+6| \geq-4$\\

\item $|2x-7|+x \geq 6$\\

\item $  \sqrt[8]{(5-2x)^8} < x-7$\\

\item $2|3-x|+3x > 3$\\

\item $-2|7+x|-3x \leq 0$\\

\item $  \sqrt{\left( \displaystyle{{x\over{2}}+ {2\over{3}}}\right)^2}\geq 1$\\

\item $  2\sqrt{(2x+7)^2}\leq x$\\

\end{enumerate}


\begin{ejemplo}

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}
        \item[1.)] $|x-1|+|x+1| < 4$\\

        \item[2.)] $|x-2|+3|x| \leq 6$\\

        \item[3.)] $|4-x|+|2x-5| > 7-x$\\

        \item[4.)] $|x|-2 \sqrt{(6-x)^2} \geq x$\\

\end{enumerate}
\end{ejemplo}

\wsolu

\begin{enumerate}

\item[1.)] $|x-1|+|x+1| < 4$



En este caso se tiene que:\\

$  |x-1| = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;x-1 & \mbox{  si  } & x \geq 1\\ \\

 -(x-1) & \mbox{  si  } & x < 1 \end{array} \right.$\\ \\

$  |x+1| = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;x+1 & \mbox{  si  } & x \geq -1\\ \\

 -(x+1) & \mbox{  si  } & x < -1 \end{array} \right.$\\ \\

 As\'{i}:\\ \\


\begin{center}
  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
 \multicolumn{4}{l}{\phantom{XXXXXXXXXXX}$-\infty$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXXXX}$-1$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXX}$1$\phantom{XXXXXXXXXXX}$+\infty$}\\\hline
               & & & \\
                $|x-1|$&$\,-(x-1)$&$\,-(x-1)$&$x-1$\\  \hline
               & & & \\
                $|x+1|$&$\,-(x+1)$&$\,x+1$&$x+1$\\  \hline
               & & & \\
                $|x-1|+|x+1| < 4$&$-(x-1)+-(x+1) < 4$&$-(x-1)+x+1 < 4$&$x-1+x+1 < 4$\\
               & & & \\
                &$-x+1-x-1 < 4$&$-x+1+x+1 < 4$&$2x < 4$\\
               & & & \\
                &$-2x < 4$&$2 < 4$&$x < 2$\\
               & & & \\
                &$x > -2$&  &\\
               & & & \\
                  & $S_{1} =\; ]-2,-1[$&$S_{2} = \;[-1,1[$&$S_{3} = \;[1,2[$\\ \hline
     \end{tabular}
\end{center}



        $\therefore\;\;\;\mbox{Como   }S = S_{1}\,\cup\, S_{2}\,\cup\, S_{3},\mbox{   entonces:   }
        S = \;]-2,2[$


\item[2.)] $|x-2|+3|x| \leq 6$



En este caso se tiene que:


$  |x-2| = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;x-2 & \mbox{  si  } & x \geq 2\\ \\
-(x-2) & \mbox{  si  } & x < 2 \end{array} \right.$\\

$\mbox{     y}$\\

$  |x| = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;x & \mbox{  si  } & x \geq 0\\ \\
-x & \mbox{  si  } & x < 0 \end{array} \right.$



Con esta informaci\'{o}n construimos la siguiente tabla:\\



\begin{center}

 \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
 \multicolumn{4}{l}{\phantom{XXXXXXXXXXX}$-\infty$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXX}$0$\phantom{XXXXXXXXXXXXX}$2$\phantom{XXXXXXXXXXXXX}$+\infty$}\\\hline
               & & & \\
                $|x-2|$&$\,-(x-2)$&$\,-(x-2)$&$x-2$\\  \hline
               & & & \\
                $|x|$&$\,-x$&$\,x$&$x$\\  \hline
               & & & \\
                $|x-2|+3|x|\leq 6$&$-(x-2)+3(-x)\leq 6$&$-(x-2)+3x\leq 6$&$x-2+3x\leq 6$\\
               & & & \\
                &$-x+2-3x\leq 6$&$-x+2+3x\leq 6$&$4x\leq 6+2$\\
               & & & \\
               &$-4x\leq 6-2$&$2x\leq 6-2$&$4x\leq 8$\\
               & & & \\
               &$-4x\leq 4$&$2x\leq 4$&$x\leq 2$\\
               & & & \\
               &$x\geq -1$&$x\leq 2$&\\
               & & & \\
             &$S_{1} \,=\, [-1,0[$&$S_{2}\, =\, [0,2[$&$S_{3} \,=\, \{2\}$\\  \hline
      \end{tabular}

\end{center}


$\mbox{Como   }S = S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\mbox{   entonces   }S
= [-1,2]$



\item[3.)] $|4-x|+|2x-5| > 7-x$


Como:\\ \\

$  |4-x| = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;4-x & \mbox{  si  } & x \leq 4\\ \\

-(4-x) & \mbox{  si  } & x > 4 \end{array} \right.$\\

$\mbox{     y}$\\

$  |2x-5| = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;2x-5 & \mbox{  si  } & x \geq  \displaystyle{5\over{2}}\\ \\

 -(2x-5) & \mbox{  si  } & x <  \displaystyle{5\over{2}} \end{array} \right.$\\ \\
  As\'{i}:\\



\begin{center}
{\small

 \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
 \multicolumn{4}{l}{\phantom{XXXXXXXXXXXXXXX}$-\infty$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXXXXXX}$5/2$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXXX}$4$\phantom{XXXXXXXXXXXXXXXXXX}$+\infty$}\\\hline
               & & & \\
                $|4-x|$&$\,4-x$&$\,4-x$&$-(4-x)$\\  \hline
               & & & \\
                $|2x-5|$&$\,-(2x-5)$&$\,2x-5$&$2x-5$\\  \hline
               & & & \\
                $|4-x|+|2x-5| > 7-x$&$4-x+-(2x-5) > 7-x$&$4-x+2x-5 > 7-x$&$-(4-x)+2x-5 > 7-x$\\
               & & & \\
                &$4-x-2x+5 > 7-x$&$-x+2x+x > 7+5-4$&$-4+x+2x-5 > 7-x$\\
               & & & \\
                &$-x-2x+x > 7-5-4$&$2x > 8$&$x+2x+x > 7+5+4$\\
               & & & \\
                &$-2x > -2$&$x >  \displaystyle{8\over{2}}$&$4x > 16$\\
               & & & \\
               &$x < 1$&$x > 4$&$x > 4$\\
               & & & \\
                &$S_{1} \,= \;]-\infty,1[$&$S_{2} \,=\; \emptyset$&$S_{3}\, = \; ]4,+\infty[$\\  \hline
       \end{tabular}
}
\end{center}

            $\mbox{Como   }S = S_{1}\,\cup\, S_{2}\,\cup\, S_{3}\mbox{   entonces   }S
            \,=\;  ]-\infty,1[\; \cup \;]4,+\infty[$



\item[4.)] $|x|-2 \sqrt{(6-x)^2} \geq x$\\

     \begin{tabular}{rcrr}
    $|x|-2 \sqrt{(6-x)^2}$ & $\geq$ & $x$ & $\Longleftrightarrow$\\
        & &\\
    $|x|-2|6-x|$ & $\geq$ & $x$\\
     \end{tabular}


Adem\'{a}s:


$  |x| = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;x & \mbox{  si  } & x \geq 0\\ \\

-x & \mbox{  si  } & x < 0 \end{array} \right.$\\

$\mbox{     y}$\\

$  |6-x| = \left\{\begin{array}{lcl} \;\;\;\;6-x & \mbox{  si  } & x \leq 6\\ \\

-(6-x) & \mbox{  si  } & x > 6 \end{array} \right.$\\

 As\'{i}:\\

\begin{center}

  \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
 \multicolumn{4}{l}{\phantom{XXXXXXXXXX}$-\infty$\phantom{XXXXXXXXXXXXXX}$0$\phantom{XXXXXXXXXXX}$6$\phantom{XXXXXXXXXXXXXX}$+\infty$}\\\hline
               & & & \\
                $|x|$&$\,-x$&$\,x$&$x$\\  \hline
               & & & \\
                $|6-x|$&$\,6-x$&$\,6-x$&$-(6-x)$\\  \hline
               & & & \\
                $|x|-2|6-x| \geq x$&$-x-2(6-x) \geq x$&$x-2(6-x) \geq x$&$x-2(-(6-x)) \geq x$\\
               & & & \\
                &$-x-12+2x\geq x$&$x-12+2x\geq x$&$x+2(6-x) \geq x$\\
               & & & \\
                &$-x+2x-x\geq 12$&$x+2x-x\geq 12$&$x+12-2x\geq x$\\
               & & & \\
                 &$0\geq 12$&$2x\geq 12$&$x-2x-x\geq -12$\\
               & & & \\
                &  &$x \geq 6$&$-2x \geq -12$\\
               & & & \\
                &  &  &$x\leq 6$\\
               & & & \\
                &$\therefore\;\;\;S_{1} = \emptyset$&$\therefore\;\;\;S_{2} = \{6\}$&$\therefore\;\;\;S_{3} = \emptyset$\\  \hline
  \end{tabular}

\end{center}
De aqu\'{i} se tiene que:$\;\;\;S = \{6\}$



\end{enumerate}

\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\
\begin{enumerate}



\item $|x-6|+|x| < 4$\\

\item $4|x-2|+3|x| \geq 6$\\

\item $3|x-4|-|2x| \leq x-6$\\

\item $\sqrt{(x-3)^2}+|4-5x| > 7$\\

\end{enumerate}
\section{Signo de una función}
% === Sección de origen: Intervalos ===

En el Cap\'itulo 1, estudiamos algunos subconjuntos del Conjunto de los N\'umeros Reales, entre
estos vimos: el Conjunto de los N\'umeros Naturales, el Conjunto de los N\'umeros Enteros, el
Conjunto de los N\'umeros Racionales y el Conjunto de los N\'umeros Irracionales. Estudiaremos a
continuaci\'on otros subconjuntos del Conjunto de los N\'umeros Reales, a los cuales llamaremos
intervalos.\\

Para esto es conveniente recordar que es posible establecer una correspondencia biun\'ivoca,
entre los puntos de una recta (recta num\'erica), y el Conjunto de los N\'umeros Reales.
\verb@  @As\'i, para cada n\'umero real corresponde un, y s\'olo un, punto de la recta num\'erica,
e inversamente cada punto de la recta num\'erica representa un, y s\'olo un, n\'umero real.\\

\begin{definicion}
Sean $a$ y $b$ n\'umeros reales tales que $a$ es menor que $b \;
\; \; (a < b)$. Se llama {\rm intervalo abierto} de extremos $a$ y
$b$, al conjunto cuyos elementos son los n\'umeros reales $x$ que
cumplen la condici\'on de que:
\vspace{0.2cm}\\
$$ a < x  \; \; \; \mbox{ y } \; \; \; x < b$$
\end{definicion}

\rule{2cm}{0.01cm}\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Notaci\'on:}}\\

\begin{enumerate} \item[ $i.)\;$] El intervalo abierto de extremos $a$ y $b$ lo
denotaremos por
$]a,b[$\\
\vspace{0.1cm}\\
\item[$ii.)\;$] Si $a < x \;\;$ y $\;\; x < b\;$ escribimos $\;a <
x < b$, por ejemplo, la expresi\'on $\;-3 < x < 5\;$, significa
que $\;-3 < x \; \;$ y $ \; \;x < 5\;$.
\vspace{0.18cm}\\
De esta manera se tiene que:

\[  ]a,b[ \, = \, \{ x \in \mathbb{R} \; / \; a < x < b \} \]
\end{enumerate}

\inxx{Intervalos}

 El intervalo abierto de extremos $a$ y $b$ lo representamos
geom\'etricamente de la manera siguiente:\\


%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/image1}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig1}
\end{center}
%\end{figure}


\begin{definicion}
Sean $a$ y $b$ n\'umeros reales tales que $a < b$.  Se llama {\bf
intervalo cerrado} de extremos $a$ y $b$, al conjunto cuyos
elementos son los n\'umeros reales $x$ que cumplen la condici\'on:\\

$$\displaystyle a \leq x \; \; \mbox{ y } \; \; x \leq b $$
\end{definicion}
 \rule{2cm}{0.01cm}\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Notaci\'on:}}\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] El intervalo cerrado de extremos $a$ y $b$ lo denotaremos
por
$[a,b]$\\
\vspace{0.1cm}\\
\item[$ii.)\;$] Si $\;a \leq x \;\;$ y $\;\; x \leq b\;$ escribimos $\;a
\leq x \leq b\;$, por ejemplo, la expresi\'on $\;-7 \leq x \leq
2\;$, significa que $\;-7 \leq x \; \;$ y $ \; \;x \leq 2\;$.
\vspace{0.18cm}\\
De esta manera se tiene que:

\[  [a,b] \, = \, \{ x \in \mathbb{R} \; / \; a \leq x \leq b \} \]

\end{enumerate}


El intervalo cerrado de extremos $a$ y $b$ lo representamos
geom\'etricamente de la manera siguiente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/image2}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig2}
\end{center}
%\end{figure}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observaci\'on:}}  Note que en el intervalo abierto de
extremos $a$ y $b$ {\bf no} se incluyen extremos, mientras
que en el intervalo cerrado se incluyen los extremos.\\

\begin{definicion}
Sean $a$ y $b$ n\'umeros reales tales que $a < b.\;$ Se
llama intervalo semi-abierto de extremos $a$ y $b$, ``abierto'' en
$a$ y ``cerrado'' en $b$, al conjunto cuyos elementos son los
n\'umeros reales $x$ que cumplen la condici\'on:\\

$$\displaystyle a < x \; \; \mbox{ y } \; \; x \leq b $$


Este intervalo lo denotaremos por: $]a,b]$\\
\end{definicion}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Notaci\'on:}}\\

Si $a < x \;\;$ y $\;\; x \leq b\;$ escribimos $\;a < x \leq b$\\
\vspace{0.18cm}\\
De esta manera se tiene que:

\[  ]a,b] \, = \, \{ x \in \mathbb{R} \; / \; a < x \leq b \} \]

Geom\'etricamente el intervalo semi-abierto, de extremos $a$ y
$b$, ``abierto'' en $a$ y ``cerrado'' en $b$, lo representamos de la
manera siguiente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/image3}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig3}
\end{center}
%\end{figure}


En forma similar se define el intervalo ``semi-abierto'' de
extremos $a$ y $b$, ``cerrado'' en $a$ y ``abierto'' en $b$, y se
denota $[a,b[$ de la manera siguiente:

\[  [a,b[ \, = \, \{ x \in \mathbb{R} \; / \; a \leq x < b \} \]

Geom\'etricamente este intervalo se representa de la manera siguiente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image4}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig4}
\end{center}
%\end{figure}


\begin{definicion}
Sea $a$ un n\'umero real. El conjunto cuyos elementos son los
n\'umeros reales $x$ tales que $x > a,$ lo denotaremos por
$]a,+\infty[\;$ ( el s\'imbolo  $+\infty$ se lee``m\'as infinito''
) y lo representamos geom\'etricamente de la manera
siguiente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image6}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig5}
\end{center}
%\end{figure}

as\'i: $  ]a,+\infty[ \, = \, \{ x \in \mathbb{R} \; / \; x > a \} $ \\
\end{definicion}

En forma similar:\\

\begin{enumerate} \item[$i.)\;$]  El conjunto cuyos elementos son los n\'umeros
reales $x$ tales que $x \geq a$, lo denotaremos por $[a,+\infty[$
y lo
representaremos geom\'etricamente de la manera siguiente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image5}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig6}
\end{center}
%\end{figure}

As\'i: $\;[a,+\infty[ \;= \{x \in \mathbb{R} / x \geq a \}$\\

\item[$ii.)\;$] El conjunto cuyos elementos son los n\'umeros reales $x$
tales que $x < a$, lo denotaremos por $]-\infty, a [\;$ (
el s\'imbolo  $-\infty$ se lee ``menos infinito'' ) y lo
representaremos geom\'etricamente de la manera siguiente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image7}
\end{center}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig7}
%\end{figure}

As\'i: $\;]-\infty, a[ \;= \{ x \in \mathbb{R} / x < a \}$\\


\item[$iii.)\;$] El conjunto cuyos elementos son los n\'umeros reales
$x$ tales que $x \leq a$, lo denotaremos por  $]-\infty,a]$ y lo
representaremos geom\'etricamente de la manera siguiente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image8}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig8}
\end{center}
%\end{figure}

As\'i: $\;]-\infty, a] = \{ x \in \mathbb{R} / x \leq a \}$\\
\end{enumerate}


\subsection{Operaciones con intervalos}

\inxx{Intervalos, operaciones}

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de
conjuntos, definiremos a continuaci\'on algunas operaciones, con
conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante
ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucrar\'an
intervalos.\\

Debido a su gran utilidad en este cap\'itulo, las operaciones que
nos interesa definir aqu\'i son: la intersecci\'on, la uni\'on y
la diferencia de conjuntos.

\begin{definicion}
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se define la intersecci\'on de $A$ y $B$
y se denota $A \cap B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen a
$A$ y tambi\'en a $B$.


Simb\'olicamente se tiene que: $A \cap B = \{ x \; / \; x \in A \;
\; \mbox{ y } \; \; x \in B \}$
\end{definicion}


\begin{ejemplo}
Si $A = \{1,2,3,4,5 \} \; \;$ y $B = \{4,5,6 \}$. Determine $A
\cap B$


\wsolu

Los elementos que est\'an en $A$ y tambi\'en en $B$ son: $4$ y $5$.\\

Por lo tanto: $ \;{A \cap B} = \{4,5 \} $
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $A = [0,5] \; \;$ y $B = [2,7]$, determine $A \cap B$



\wsolu

Geom\'etricamente podemos representar los conjuntos $A$ y $B$ de la manera siguiente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image9}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig9}
\end{center}
%\end{figure}

De aqu\'i podemos observar que los elementos que est\'an en $A$ y
tambi\'en en $B$ son los n\'umeros reales que est\'an entre $2$ y
$5$, incluyendo a \'estos; por lo que:\\

$$A \cap B = [0,5] \cap [2,7] = [2,5] \; \; \mbox{ o sea: } \; \; A \cap B = [2,5] $$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $A = [-2,3]\; \; $ y $ \; \; B = \{-2,3 \}$, determine
$A \cap B$\\


\wsolu

Geom\'etricamente podemos representar a los conjuntos $A$ y $B$ de
la siguiente manera:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image10}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig10}
\end{center}
%\end{figure}


 De aqu\'i observamos que los \'unicos elementos que est\'an
en $A$ y tambi\'en en $B$ son $-2$ y $3$; por lo que:
$$A \cap B = [-2,3] \cap \{-2,3 \} = \{-2,3 \} \; \; \mbox{ o sea } \; \; A \cap B = \{-2,3 \}
$$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $A = ]-3,4[ \; \; $ y $B = \{-3,4 \}$, determine $A \cap B$\\

\wsolu

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image11}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig11}
\end{center}
%\end{figure}

Como podemos observar $A$ y $B$ no tienen elementos comunes por lo
que:\\

$$A \cap B = \; \; ]-3,4[ \; \; \cap \; \; \{-3,4 \} \; \; = \; \emptyset ,\;\;\; \mbox{o  sea}
\;\;\; A \cap B = \emptyset$$

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A \cap B$.\\
\begin{enumerate}


\item   $A = \; [2,5]\;$; $ \; \; \; B = [-1,3[$

\item   $A = \; [2,+\infty[\;$; $ \; \; \; B = \; \;]-\infty,5[$

\item   $A = [-3,11[\; \; $; $ \; \; \; B = \{6,11\}$

\item   $A = \mathbb{R}; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; $ $ \; \; \;B = [-3,4[$

\end{enumerate}


\begin{definicion}
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se define la uni\'on de $A$ y $B$ y se
denota $A \cup B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos
a uno de los dos conjuntos $A$ y $B$.


Simb\'olicamente se tiene que  $\; \;\;  A \cup B = \{x/x \in A \; \;
\mbox{ o }\; \; x \in B \}$

\end{definicion}


\begin{ejemplo}
Si $A = \{1,2,3,4,5 \} \; \;$ y $ \; \;B = \{4,5,6 \}$, determine
$A \cup B$\\

\wsolu

$A \cup B \; = \; \{1,2,3,4,5 \} \; \;\; \cup \; \; \{4,5,6 \} \; = \;\{1,2,3,4,5,6\} \;\;
\mbox{ o sea } \; A \cup B = \; \{1,2,3,4,5,6\} $

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $A = [-3,4]\; \; $ y $\; \; B = [-1,7]$,  determine $A \cup B$\\

\wsolu


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image12}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig12}
\end{center}
%\end{figure}

De aqu\'i podemos observar que los elementos que est\'an en $A$ o
en $B$, son los n\'umeros reales que est\'an entre -3 y 7,
incluyendo a \'estos, as\'i:\\

$$ A \cup B = \; [-3,4] \; \; \cup \; \; [-1,7] \; = \; [-3,7]\; \; \mbox{ o sea } \; \; A \cup B = \; [-3,7]$$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $A = \; ]-\infty,2[ \; \;$ y $ \; \; B = \{-2,2 \}$, determine
$A \cup B$\\

\wsolu

Representaremos a $A$ y a $B$ geom\'etricamente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image13}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig13}
\end{center}
%\end{figure}

De aqu\'i observamos que: $\; A \cup B = \; ]-\infty,2[ \; \; \; \cup \; \; \{-2,2\} \; = \;\;
]-\infty,2]$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $A = \;\; ]-3,5[ \; \; $ y $\; \; B = \{3,4,5,6,7,8\}$,
determine $A \cup B$


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image14a}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig14a}
\end{center}
%\end{figure}

\wsolu

Representemos a $A$ y a $B$ geom\'etricamente:\\

De aqu\'i observamos que: $\; \; A \cup B = \; \; ]-3,5] \; \cup
\; \{6,7,8\}$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $A = \; ]-4,2[ \; \;$ y $\; \; B = \; [5,+\infty[ $, determine $A \cup B$\\


\wsolu

Representaremos a $A$ y a $B$ geom\'etricamente:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image14}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig14b}
\end{center}
%\end{figure}

De aqu\'i observamos que: $\; A \cup B = \; ]-4,2[ \; \; \; \cup
\; \;  [5,+\infty[$\\

Geom\'etricamente podemos representar $\; A \cup B$ as\'i:

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image15}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig15}
\end{center}
%\end{figure}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A
\cup B$ y represente geom\'etricamente los conjuntos A, B y $A \cup B$:  \begin{enumerate}

\item   $A = \; [-2,5],\;$ $ \; \; \; B = ]0,7[$

\item   $A = \;]-5,3],\;$ $ \; \; \; B = \{-5,0,5,10\}$

\item   $A = \;]-\infty,-1[,\; \; $ $ \; \; B = ]2,+\infty[$

\item   $A = \;]-\infty,3[,\; \; $ $ \; \; B = ]3,+\infty[$

\item   $A = \;[3,5[,\;$ $ \; \; \; B = \{8,10\}$

\item   $A = \;]-\infty,2[,\; \; $ $ \; \; B = ]0,+\infty[$

\end{enumerate}


\begin{definicion}
Sean $A$ y $B$ conjuntos. Se define la {\rm diferencia} de $A$ y
$B$ y se denota $A - B$, al conjunto cuyos elementos pertenecen a
$A$ y no a  $B$.
\end{definicion}


\begin{ejemplo}
Si $A = \; \{2,4,6,8,10 \} \; \;$ y $\; \; B = \{1,2,3,4,5 \} $, determine $A - B$ y $B - A$


\wsolu


$i.)\;$ Los elementos que pertenecen a $A$ y no pertenecen a $B$
son
$6,8,10$; por lo que $A - B = \{6,8,10\}$\\

$ii.)\;$ Los elementos que pertenecen a $B$ y no pertenecen a $A$
son
$1,3,5$; por lo que $B - A = \{1,3,5\}$
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $A = \; [-3,5] \; \;$ y $\; \; B = \{5 \} $, determine $A - B$


\wsolu

$A - B = [-3,5] - \{5\} = [-3,5[$ o sea: $A - B = [-3,5[$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $A = \;\mathbb{R}  \; \;$ y $\; \; B = ]-2,3[ $, determine $A - B$ y $B - A$


\wsolu

Representemos a $A$ y a $B$ geom\'etricamente.\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image16}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig16}
\end{center}
%\end{figure}

De aqu\'i podemos observar que:\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $\; A - B =\;\; \mathbb{R} - ]-2,3[\;\; =\;\; ]-\infty,-2[\;\; \cup \;\;[3,+\infty[$\\

\item[$ii.)\;$] $B - A = ]-2,3[ - \mathbb{R} = \emptyset\;$; o sea: $\;B -
A =
\emptyset$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada uno de los casos siguientes determine el conjunto $A -B$ y $B - A$:  \begin{enumerate}

\item   $A = \; [-10,7]\;$; $ \; \; \; B = \{-10,7\}$

\item   $A = \; ]-\infty,3]\;$; $ \; \; \; B = \; \;  \{0,3,5\}$

\item   $A = \mathbb{R}\; \; $; $ \; \; \; B = ]-5,9[$

\item   $A = \; ]-2,6[\;$; $ \; \; \; B = [3,+\infty[$

\item   $A = \; ]-\infty,2[\;$; $ \; \; \; B = \; \; ]-3,+\infty[$

\end{enumerate}



% === Sección de origen: Inecuaciones ===


\begin{definicion}
Si $a$ y $b$ representan expresiones en el conjunto de los
n\'umeros reales entonces expresiones como: $a<b$, $a \leq b$,
$a>b$ y $a \geq b$ reciben el nombre de {\rm desigualdades} y
se dice que $a$ y $b$ son los miembros de la desigualdad.\\
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] $50 > 22  $\\

\item[b.)] $\displaystyle{\frac{5}{2} \geq -2 }$\\

\item[c.)] $\displaystyle{3 < \sqrt{24}}$\\

\item[d.)] $x + 2 \geq 5$\\

\item[e.)] $x \leq y$\\

\item[f.)] $x + 3 < y - 5$\\

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{definicion}
Una desigualdad entre dos expresiones algebraicas donde al menos
una de ellas involucra variables, recibe el nombre de {\rm inecuaci\'on}.
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] $x + 2 \geq 5  $\\

\item[b.)] $x \cdot y+ z \leq x + 3 $\\

\item[c.)] $\displaystyle{\frac{x+y}{x-y} > 1}$\\

\item[d.)] $\displaystyle{ \sqrt{5x-2} < 3}$\\

\item[e.)] $x + y < -3x-y$\\

\item[d.)] $\displaystyle{ a^{3}-1 \geq 0}$\\

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{definicion}
En una inecuaci\'on las variables involucradas reciben el nombre de {\rm inc\'ognitas}.
\end{definicion}


\begin{definicion}
Si la inecuaci\'on involucra $n$ variables, se dice que es una inecuaci\'on con n inc\'ognitas.\\
\end{definicion}

A continuaci\'on nuestro objetivo es estudiar, analizar y resolver inecuaciones con una
inc\'ognita.



\begin{definicion}
En una inecuaci\'on con una inc\'ognita, cualquier n\'umero real
que est\'e contenido en el dominio de las inc\'ognitas, y que al
sustituirse por la inc\'ognita en la inecuaci\'on hace que la
desigualdad correspondiente sea verdadera, es {\rm una soluci\'on de la inecuaci\'on}.\\
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}

\item[a.)] En $x+2 > 3$; si $x$ se sustituye por $5$, se obtiene
una desigualdad verdadera: $5+2 > 3$; adem\'as $5$ pertenece al
dominio de la inc\'ognita, por lo que $5$ es una soluci\'on de la
inecuaci\'on $x+2 > 3$.\\

\item[b.)] En $x^2 \geq 5$, si $x$ se sustituye por $-3$, se
obtiene una desigualdad verdadera: $(-3)^2 \geq 5 $; adem\'as $-3$
pertenece al dominio de la inc\'ognita, por lo que $-3$ es una
soluci\'on de
la inecuaci\'on $x^2 \geq 5$.\\

\item[c.)] En $\displaystyle{\sqrt{x+2} < 2}$; si $x$ se sustituye por $3$,
se obtiene una desigualdad {\em falsa}: $\displaystyle{\sqrt{3+2} < 2}$ por
lo que $3$ { \em no} es una soluci\'on de la inecuaci\'on
$\displaystyle{\sqrt{x+2} < 2}$. \end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada una de las siguientes inecuaciones, escriba 3 soluciones:  \begin{enumerate}

\item   $x+3 \leq -6 $

\item   $\displaystyle{\frac{1}{x} > 7}$

\item   $\displaystyle{\sqrt{x+3} \geq x}$

\item   $\displaystyle{7 - x^{2} > 0}$

\end{enumerate}


\begin{definicion}
Dada una inecuaci\'on de una inc\'ognita, el subconjunto S del
dominio de la inc\'ognita, cuyos elementos son las soluciones de
la inecuaci\'on dada, recibe el nombre de {\rm conjunto soluci\'on}.
\end{definicion}

\inxx{Inecuaciones}



\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}

\item[a.)] En $x > -3$, el dominio de la inc\'ognita es $\mathbb{R}$, y
esta desigualdad es verdadera \'unicamente para los valores de $x$
mayores que $-3$; por lo que su conjunto soluci\'on es
$]-3,+\infty[$ o sea:\\

 $$S= ]-3 , +\infty[$$\\

\item [b.)] En $x^{2}-4 \leq 0$ el dominio de la inc\'ognita es
$\mathbb{R}$ y se  puede demostrar que esta desigualdad es verdadera
\'unicamente  para los valores de x mayores o iguales que $-2$ y
menores o  iguales que $2$, por lo que su conjunto soluci\'on es
$[-2,2]$ o  sea:\\

$$S= [-2,2]$$\\

\item[c.)] En $x^{2}-2x-3 > 0$; el dominio de la inc\'ognita es
$\mathbb{R}$, y se puede demostrar que esta desigualdad es verdadera
\'unicamente para los valores de x menores que $-1$ o mayores que
$3$, por lo que su conjunto soluci\'on es $]-\infty, -1[\;\; \cup
\;\;]3,+\infty[$ o sea:\\

$$S= ]-\infty, -1[\;\; \cup \;\;]3, +\infty[$$\\

\end{enumerate}

\end{ejemplo}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Convenio:}} Resolver una inecuaci\'on consiste en determinar su conjunto soluci\'on.\\

\begin{definicion}
Diremos que dos inecuaciones con una inc\'ognita son equivalentes
s\'i y solo s\'i, tienen el mismo dominio de la inc\'ognita y el
mismo conjunto soluci\'on.
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}

\item[a.)] El conjunto soluci\'on de $\;x \geq 3\;$ es $\;[3, +\infty[$\\

 El conjunto soluci\'on de $\;3x \geq 6\;$ es $\;[3, +\infty[\;$\\

 como las inecuaciones $\;x \geq 3\;$ y $\;3x \geq 6\;$ tienen el mismo
 conjunto soluci\'on , entonces son equivalentes entre s\'i.\\

\item[b.)] El conjunto soluci\'on de $\;x + 2 < 7\;$ es $\;]-\infty,5[\;$\\

 El conjunto soluci\'on de $\;x < 5\;$ es $\;]-\infty,5[\;$\\

 como las inecuaciones $\;x + 2 < 7\;$ y $\;x < 5\;$ tienen el mismo
 conjunto soluci\'on , entonces son equivalentes entre s\'i.\\

\end{enumerate}

\end{ejemplo}



\subsection{Inecuaciones lineales con una inc\'ognita}

\inxx{Inecuaciones, lineales}

\begin{definicion}
Sean $a$, $b$ y $c$ constantes reales con $a \neq 0$. Se llama
inecuaci\'on lineal o inecuaci\'on de primer grado con una
inc\'ognita a toda inecuaci\'on que se pueda llevar a alguna de
las formas siguientes: $\;ax+b < c\;$, $\;ax+b \leq c\;$; $\;ax+b>c\;$ o $\;ax+b \geq c\;$\\
\end{definicion}


Para resolver algunas inecuaciones lineales usaremos el
concepto de inecuaciones equivalentes.  Para esto transformaremos
la inecuaci\'on dada en otras equivalentes a la original, hasta
obtener una inecuaci\'on de alguna de las formas: $\;x < c;\; x
\leq c;\; x> c\;$ o $\;x \geq c\;$; donde $x$ es la inc\'ognita y
$c$ es una constante.\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Algunas transformaciones que se pueden usar para obtener
inecuaciones equivalentes entre s\'i.}}

\begin{enumerate}
\item[1.)] Permutaci\'on de miembros\\

Se pueden intercambiar los miembros de una inecuaci\'on de acuerdo
con las propiedades siguientes:\\

Sean $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R}$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $a < b \Rightarrow b > a $\\

\item[$ii.)\;$] $a \leq b \Longrightarrow b \geq a $\\

\item[$iii.)\;$]  $a > b \Longrightarrow b < a $\\

\item[$iv.)\;$]  $a \geq b \Longrightarrow b \leq a $\\
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
\end{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] $4 < x-2 \Longrightarrow x-2 > 4$\\

\item[b.)] $8 \leq x+3 \Longrightarrow x+3 \geq 8$\\

\item[c.)] $-3 > 2x+3 \Longrightarrow 2x+3 < -3$\\

\item[d.)] $2x-1 \geq 3 \Longrightarrow 3 \leq 2x-1$\\
\end{enumerate}

\item[2.)] Sumar una constante $k$ a ambos miembros de la inecuaci\'on\\

Se puede sumar una constante $k$ a ambos miembros de una
inecuaci\'on de acuerdo con las propiedades siguientes:\\

Sean $a \in \mathbb{R},\;$  $b \in \mathbb{R}$, y $k \in \mathbb{R},$ $k$ constante\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $a < b \Longrightarrow a+k < b+k $\\

\item[$ii.)\;$] $a \leq b \Longrightarrow a+k \leq b+k $\\

\item[$iii.)\;$.]$a > b \Longrightarrow a+k > b+k $\\

\item[$iv.)\;$]  $a \geq b \Longrightarrow a+k \geq b+k $\\
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
\end{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] $x+2 > -3 \Longrightarrow x+2+(-2) > -3+(-2)$\\

\item[b.)] $2x-3 \leq 5 \Longrightarrow 2x-3+3 \leq 5+3$\\

\item[c.)] $-2x+5 \geq 2 \Longrightarrow -2x+5+(-5) \geq 2+(-5)$\\

\item[d.)] $x-3 < -7 \Longrightarrow x-3+3 < -7+3$\\
\end{enumerate}

\item[3.)] Multiplicar por una constante $k,$ positiva, ambos miembros de la inecuaci\'on\\

Se puede multiplicar cada miembro de la inecuaci\'on por una
constante $k$ positiva de acuerdo con las propiedades siguientes:\\

Sean $a \in \mathbb{R},\;$ $b \in \mathbb{R}$ y $k \in \mathbb{R}$, $k$ una constante positiva\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $a < b \Longrightarrow ka < kb $\\

\item[$ii.)\;$] $a \leq b \Longrightarrow ka \leq kb $\\

\item[$iii.)\;$] $a > b \Longrightarrow ka > kb $\\

\item[$iv.)\;$]  $a \geq b \Longrightarrow ka \geq kb $\\
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
\end{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\displaystyle{2x-4 \leq 6 \Longrightarrow \frac{1}{2}\;(2x-4) \leq \frac{1}{2}\cdot6}$\\

\item[b.)] $\displaystyle{\frac{1}{4}\;x - \frac{1}{2} > 3 \Longrightarrow 4\left(\frac{1}{4}\;x - \frac{1}{2}\right) > 4\cdot3}$\\

\item[c.)] $\displaystyle{3x+2 < 5 \Longrightarrow 7(3x+2) < 7\cdot5}$\\

\item[d.)] $\displaystyle{\frac{1}{3}\;x + 7 \geq -3 \Longrightarrow 6\left(\frac{1}{3}\;x + 7\right) \geq 6(-3)}$\\
\end{enumerate}

\item[4.)] Multiplicar por una constante $k,$ negativa, a ambos miembros de la inecuaci\'on.\\

Se puede multiplicar cada miembro de la inecuaci\'on por una
constante $k$ negativa de acuerdo con las propiedades siguientes.\\

Sean $a \in \mathbb{R},\;$ $b \in \mathbb{R}$, y $k \in \mathbb{R},$ $k$ una constante negativa\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $a < b\; \Longrightarrow \;ka > kb $\\

\item[$ii.)\;$] $a \leq b\; \Longrightarrow \;ka \geq kb $\\

\item[$iii.)\;$]$a > b\; \Longrightarrow \;ka < kb $\\

\item[$iv.)\;$]  $a \geq b\; \Longrightarrow \;ka \leq kb $\\
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
\end{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\displaystyle{\frac{-1}{3}\;x < 7\; \Longrightarrow \;-3\cdot\left(\frac{-1}{3}\;x\right) > -3\cdot7}$\\

\item[b.)] $\displaystyle{-2x \leq 5\; \Longrightarrow \;-11(-2x) \geq -11\cdot5}$\\

\item[c.)] $\displaystyle{-x+3 > 2\; \Longrightarrow \;-1(-x+3) < -1\cdot2}$\\

\item[d.)] $\displaystyle{\frac{-x}{\sqrt{2}} + \sqrt{2} \geq 5\;  \Longrightarrow  \;-\sqrt{2}\left(\frac{-x}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\right) \leq -\sqrt{2}\cdot5}$\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observaci\'on:}} Para resolver inecuaciones, adem\'as de las transformaciones
enunciadas e ilustradas anteriormente, se pueden aplicar
propiedades y algoritmos de la adici\'on y de la multiplicaci\'on
definidas en $\mathbb{R}$ (conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc.)\\

Veamos algunos ejemplos que se resuelven usando algunas de las transformaciones anteriores.


\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones\\

\begin{enumerate}

\item[a.)] $x+3 < -2$\\

\item[b.)] $x-7 \leq 23$\\

\item[c.)] $2x+5 > 9$\\

\item[d.)] $3x-2 \geq -11$\\

\item[e.)] $-3x-5 \leq 13$\\

\item[f.)] $3-2x > -2$\\

\end{enumerate}

\wsolu

\begin{enumerate}
\item[a.)]  $x+3 < -2$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$x+3+-3$& $<$ &$-2+-3$\\\\

  $x+0$& $<$ &$-5$\\\\

    $x$& $<$ &$-5$\\\\
 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;x+3 < -2\;$ es $]-\infty,-5[$\\

$\therefore \;  S \;= \;]-\infty,-5[$\\

\item[b.)] $x-7 \leq 23$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$x-7+7$ & $\leq$ & $23+7$\\\\

$x+0$ & $\leq$ & $30$\\\\

$x$ & $\leq$ & $30$\\\\
 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;x-7 \leq 23\;$ es
$]-\infty,30]$\\

$\therefore\;  S = ]-\infty,30]$\\

\item[c.)] $2x+5 > 9$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$2x+5+-5$ & $>$ & $9+-5$\\\\

$2x+0$& $ >$ & $4$\\\\

$2x$ & $>$ & $4$\\\\

$\displaystyle{\frac{1}{2} \cdot 2x}$ & $>$ & $\displaystyle{\frac{1}{2} \cdot 4}$\\\\

$x$ & $>$ &  $2$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;2x+5 > 9\;$ es
$]2,+\infty[$\\

$\therefore\;  S\; = \;]2,+\infty[$\\

\item[d.)] $3x-2 \geq -11$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$3x-2+2$& $\geq$ & $-11+2$\\\\

$3x+0$ & $\geq$ & $-9$\\\\

$3x$ & $\geq$ & $-9$\\\\

$\displaystyle{\frac{1}{3} \cdot 3x}$ & $>$ & $\displaystyle{\frac{1}{3} \cdot-9}$\\\\

$x$ & $\geq$ & $-3$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;3x-2 \geq -11\;$ es
$[-3,+\infty[$\\

$\therefore\;  S\; = \;[-3,+\infty[$\\

\item[e.)]  $-3x-5 \leq 13$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$-3x-5+5$ & $\leq$ & $13+5$\\\\

$-3x+0$ & $\leq$ &  $18$\\\\

$-3x$ & $\leq$ & $18$\\\\

$\displaystyle{\frac{-1}{3} \cdot -3x}$ & $\geq$ & $\displaystyle{\frac{-1}{3} \cdot18}$\\\\

$x$ & $\geq$ & $-6$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;-3x-5 \leq 13\;$ es
$[-6,+\infty[$\\

$\therefore\;  S\; = \;[-6,+\infty[$\\

\item[f.)] $3-2x > -2$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$-3+3-2x$ & $>$ & $-3-2$\\\\

$0-2x$ &  $>$ & $-5$\\\\

$-2x$ & $>$ & $-5$\\\\

$\displaystyle{\frac{-1}{2} \cdot -2x}$ & $<$ &  $\displaystyle{\frac{-1}{2} \cdot-5}$\\\\

$\displaystyle{x}$ &  $< $ & $\displaystyle{\frac{5}{2}}$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;3-2x > -2\;$ es
$\displaystyle{\left]-\infty, \frac{5}{2}\right[}$\\

$\displaystyle{\therefore\;  S\; = \;\left]-\infty, \frac{5}{2}\right[}$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}\\

En el proceso de resoluci\'on de inecuaciones no es necesario indicar todas las transformaciones
que se realicen, en las inecuaciones que resolveremos en adelante, omitiremos escribir algunas
transformaciones.


\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $2x+3 > -5$\\

\item[b.)] $\displaystyle{\frac{-x}{3}-3 > 2}$\\

\item[c.)] $5x-3 < 8x-2$\\

\item[d.)] $-2+4x \leq 5x-9$\\

\item[e.)] $\displaystyle{\frac{-x}{4}+2 > \frac{2x}{3} +7}$\\

\item[f.)] $(x-1)(x+2) < x^{2}+3$\\

\item[g.)] $2x-3(x+1) \geq 3x$\\

\item[h.)] $2(x-3)+5 \geq -x$\\

\item[$i.)\;$] $\displaystyle{\frac{x-3}{4} -1 > \frac{x}{2}}$\\

\end{enumerate}

\wsolu


\begin{enumerate}
\item[a.)] $2x+3 > -5$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$2x$ & $>$ & $-5+-3$\\\\

$2x$ & $>$ & $-8$\\\\

$\displaystyle{x}$ & $>$ & $\displaystyle{\frac{1}{2} \cdot-8}$\\\\

$x$ & $ >$ & $-4$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;2x+3 > -5\;$ es
$\;\displaystyle{]-4,+\infty[}$\\

$\displaystyle{\therefore\;  S \;= \;]-4,+\infty[}$\\

\item[b.)] $\displaystyle{\frac{-x}{3}-3 > 2}$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$\displaystyle{\frac{-x}{3}}$ & $>$ & $2+3$\\\\

$\displaystyle{\frac{-x}{3}}$ &  $>$ & $5$\\\\

$x$ & $<$ & $-3\cdot5$\\\\

$x$ & $<$ & $-15$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;\displaystyle{\frac{-x}{3}-3 > 2}\;$
es
$\;\displaystyle{\left]-\infty,-15\right[}$\\

$\displaystyle{\therefore\;  S\; = \; \left]-\infty,-15\right[}$\\

\item[c.)]\, $5x-3 < 8x-2$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$5x+-8x$ & $<$ & $-2+3$\\\\

$-3x$ & $<$ & $1$\\\\

$x$ & $>$ & $\displaystyle{\frac{-1}{3}\cdot1}$\\\\

$x$ & $>$ & $\displaystyle{\frac{-1}{3}}$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;5x-3 < 8x-2\;$ es
$\;\displaystyle{\left]\frac{-1}{3},+\infty\right[}$\\

$\displaystyle{\therefore\;  S\; = \;\left]\frac{-1}{3},+\infty\right[}$\\


\item[d.)] $-2+4x \leq 5x-9$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$4x+-5x$ & $\leq$ & $-9+2$\\\\

$-x$ & $\leq$ & $-7$\\\\

$x$ & $\geq$ & $(-1)(-7)$\\\\

$x$ & $\geq$ & $7$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;-2+4x \leq 5x-9\;$ es
$\;[7,+\infty[$\\

$\therefore\;  S \;= \;[7,+\infty[$\\


\item[e.)] \,\,\,\,$\displaystyle{\frac{-x}{4}+2 > \frac{2x}{3} +7}$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$\displaystyle{\frac{-x}{4}- \frac{2x}{3}}$ & $>$ & $7+ -2$\\\\

$\displaystyle{\frac{-3x-8x}{12}}$ & $>$ & $5$\\\\

$-3x-8x$ & $>$ & $12\cdot5$\\\\

$-11x$ & $>$ & $60$\\\\

$x$ & $<$ & $\displaystyle{\frac{-1}{11} \cdot60}$\\\\

$x$ & $<$ & $\displaystyle{\frac{-60}{11}}$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;\displaystyle{\frac{-x}{4}+2 >
\frac{2x}{3} +7}\;$ es $\;\displaystyle{\left]-\infty,\frac{-60}{11}\right[}$\\

$\therefore\;  S\; =\; \displaystyle{\left]-\infty,\frac{-60}{11}\right[}$\\

\item[f.)] $(x-1)(x+2) < x^{2}+3$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$x^{2}+2x-x-2$ & $<$ & $x^{2}+3$\\\\

$x^{2}+-x^{2}+2x-x$ & $<$ & $3+2$\\\\

$x $ & $<$ & $5$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;(x-1)(x+2) < x^{2}+3\;$ es
$\;]-\infty,5[$\\

$\therefore\;  S\; =\; ]-\infty,5[$\\


\item[g.)] $2x-3(x+1) \geq 3x$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$2x-3x-3$ & $\geq$ & $3x$\\\\

$2x-3x-3x$ & $\geq$ & $3$\\\\

$-4x$ & $\geq$ & $3$\\\\

$x$ & $\leq$ & $\displaystyle{\frac{-1}{4} \cdot3}$\\\\

$x$ & $\leq$ & $\displaystyle{\frac{-3}{4}}$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;2x-3(x+1) \geq 3x\;$ es
$\;\displaystyle{\left]-\infty,\frac{-3}{4}\right]}$\\

$\therefore\;  S\; =\; \displaystyle{\left]-\infty,\frac{-3}{4}\right]}$\\



\item[h.)] $2(x-3)+5 \geq -x$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$2x-6+5$ & $\geq$ & $-x$\\\\

$2x+x$ & $\geq$ & $6-5$\\\\

$3x$ & $\geq$ & $1$\\\\

$x$ & $\geq$ & $\displaystyle{\frac{1}{3}}$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;2(x-3)+5 \geq -x\;$ es
$\;\displaystyle{\left[\frac{1}{3},+\infty\right[}$\\

$\therefore\;  S\; = \;\displaystyle{\left[\frac{1}{3},+\infty\right[}$\\



\item[i.)] $\displaystyle{\frac{x-3}{4} -1 > \frac{x}{2}}$\\

 \begin{tabular}{rcl}

$\displaystyle{\frac{x}{4} - \frac{3}{4} -1}$ & $>$ & $\displaystyle{\frac{x}{2}}$\\\\

$\displaystyle{\frac{x}{4} - \frac{x}{2}}$ & $>$ & $\displaystyle{\frac{3}{4} +
1}$\\\\

$\displaystyle{\frac{2x-4x}{8}}$ & $ >$ & $\displaystyle{\frac{7}{4}}$\\\\

$\displaystyle{2x-4x}$ & $>$ & $\displaystyle{8\cdot \frac{7}{4}}$\\\\

$-2x$ & $>$ & $14$\\\\

$x$ & $<$ & $\displaystyle{\frac{-14}{2}}$\\\\

$x$ & $ <$ & $-7$\\\\

 \end{tabular}

Por lo que el conjunto soluci\'on de $\;\displaystyle{\frac{x-3}{4} -1 >
\frac{x}{2}}\;$ es $\;]-\infty,-7[$\\

$\therefore\;  S \;= \; ]-\infty,-7[$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:  \begin{enumerate}

\item   $\displaystyle{-2x-\frac{5}{3} > \frac{x}{3}+10}$

\item   $\displaystyle{-3x-4 \leq \frac{x}{2}+ \frac{3}{2}}$

\item   $\displaystyle{x-(5x-1) -\frac{7-5x}{10} < 1}$

\item   $\displaystyle{-2x+5 > x+2}$

\item   $\displaystyle{\frac{x-3}{4}-1 > \frac{x}{2}}$

\item   $\displaystyle{-\frac{7x}{2} + 3 \leq \frac{3}{2}\,x}$

\end{enumerate}


En los ejemplos anteriores hemos resuelto inecuaciones en la
cuales, despu\'es de haber realizado algunas transformaciones
obtenemos una desigualdad de alguno de los tipos $\;x<c\;, x\leq
c\;, x> c\;, x\geq c\;$, donde $``x''$ es la inc\'ognita y $``c''$
es una constante real.  Sin embargo al resolver inecuaciones,
despu\'es de realizar ciertas transformaciones podemos obtener una
desigualdad num\'erica de alguno de los tipos $\;a<c\;, a\leq
c\;,a \geq c\;, a > c $, en estos casos el conjunto soluci\'on de
estas inecuaciones se determina de acuerdo con las siguientes
reglas.



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Regla 1:}}\\

Si en el proceso de resoluci\'on de una inecuaci\'on se obtiene
una desigualdad num\'erica verdadera, entonces el conjunto
soluci\'on de de la inecuaci\'on original es el dominio de la inc\'ognita.


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Regla 2:}}\\

Si en el proceso de resoluci\'on de una inecuaci\'on se obtiene
una desigualdad num\'erica falsa, entonces el conjunto soluci\'on
de de la inecuaci\'on original es el conjunto vac\'io $(\emptyset)$.


\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones\\

\begin{enumerate}

\item[a.)] $x-3(x-1) < -2x+5$\\

\item[b.)] $(x-2)^{2} - x^{2} +4x \geq 0$\\

\item[c.)] $-2x+13 \leq 2(5-x)$\\

\item[d.)] $(x-3)(x+2) -(x^{2}-x+8) > 0$\\

\end{enumerate}

\wsolu

\begin{enumerate}
\item[a.)] $x-3(x-1) < -2x+5$\\

\hspace{0.8cm}$x-3x+3 < -2x+5$\\

$x-3x+2x+3 < 5$\\

\hspace{1.4cm}$0x+3 < 5$\\

\hspace{02.2cm}$3 < 5$\\

Como esta desigualdad es verdadera, entonces el conjunto soluci\'on de $x-3(x-1) < -2x+5$ es el
dominio de la inc\'ognita, en este caso  $\mathbb{R}$\\

$\therefore S = \mathbb{R}$\\

\item[b.)] $(x-2)^{2} - x^{2} + 4x \geq 0$\\

$x^{2}-4x+4 - x^{2} + 4x \geq 0$\\

\hspace{3.2cm}$4 \geq 0$\\

Como esta desigualdad es verdadera, entonces el conjunto
soluci\'on de $(x-2)^{2} - x^{2} + 4x \geq 0$ es el dominio de la
inc\'ognita, en este
caso  $\mathbb{R}$\\

$\therefore S = \mathbb{R}$\\

\item[c.)] $-2x+13 \leq 2(5-x)$\\

\hspace{0.4cm}$-2x+13 \leq 10-2x$\\

\hspace{0.1cm}$-2x+2x+13 \leq 10$\\

\hspace{2cm}$13 \leq 10$\\

Como esta desigualdad es falsa, entonces el conjunto soluci\'on de
$-2x+13 \leq 2(5-x)$ es vac\'io\\

$\therefore S = \emptyset$\\

\item[d.)] $(x-3)(x+2) -(x^{2}-x+8) > 0$\\

\hspace{0.4cm}$x^{2}+2x-3x-6-x^{2}+x-8 > 0$\\

\hspace{4.3cm}$-14 > 0$\\

Como esta desigualdad es falsa, entonces el conjunto soluci\'on de
$(x-3)(x+2) -(x^{2}-x+8) > 0$ es vac\'io\\

$\therefore S = \emptyset$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:  \begin{enumerate}

\item   $3x+5 < 20$

\item   $x-5 \leq 2x-6$

\item   $5x-2 > 3x-4$

\item   $3-7x < 7(2-x)$

\item   $\displaystyle{\frac{-3}{4}\;x+12 \geq  24}$

\item   $(x-1)^{2} -7 > (x-2)^{2}$

\item   $(x-4)(x+5) < (x-3)(x-2)$

\item   $(x-2)(x+2) \leq x^{2}-7$

\item   $2x-1 < 4x-3$

\item   $3-2x > 2x-5$

\item   $x-2(x+3) \geq 5-x$

\item   $x-5(x+2) \geq -2(2x+6)$

\end{enumerate}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Inecuaciones en las que cada uno de sus
miembros es o puede expresarse como un
producto y el otro miembro es cero}}\\


Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la ley de
signos de la multiplicaci\'on definida en el conjunto de los
n\'umeros reales, de acuerdo con las siguientes propiedades:\\

Sean $a \in \mathbb{R}$; $b \in \mathbb{R}$\\

$1.)\; \;$ $a \cdot b > 0 \Longrightarrow [(a >0 \; y \; b >0)\; o \;(a<0 \; y \; b <0)]$\\

$2.)\; \;$ $a \cdot b < 0 \Longrightarrow  [(a >0 \; y \; b <0)\; o \; (a<0 \; y \; b >0)]$\\

\begin{ejemplo}
Resuelva la siguiente inecuaci\'on: $(x+3)(x-2) < 0$\\

\wsolu

Aplicando la propiedad $2$ anterior se tiene que:\\

$(x+3)(x-2) < 0 \;\;\; \Longrightarrow \;\;\;((x+3) > 0\; \;$ y
$\; \;(x-2) <0) \; \; \; \;$ o
$\; \; \; \; ((x+3)<0\;\;$ y $\;\;(x-2) >0)$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] Analicemos el caso  $x+3 > 0\;$ y $\;x-2 < 0$\\

En este caso se tiene que:\\

$x+3>0 \; \; \Longrightarrow \; \; x>-3 \; \; \Longrightarrow \; \; S_{1}=\;]-3,+\infty[$\\

$x-2<0 \; \; \Longrightarrow \; \; x<2 \; \; \Longrightarrow \; \; S_{2}= \;]-\infty,2[$\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image18}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig18}
\end{center}
%\end{figure}

\item[$ii.)\;$] Analicemos el caso  $x+3 < 0$ y $x-2 > 0$\\

En este caso se tiene que:\\

$x+3<0 \; \; \Longrightarrow \; \; x<-3 \; \; \Longrightarrow \; \; S_{4}=\;]-\infty,-3[$\\

$x-2>0 \; \; \Longrightarrow \; \; x>2 \; \; \Longrightarrow \; \; S_{5}= \;]2,\infty[$\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{images-Cap4-Inecuaciones/Image19}
\captionof{figure}{}\label{Cap4Fig19}
\end{center}
%\end{figure}

$S_6 \;= \;S_4 \; \cap \; S_5 \;=\; \emptyset$\\

La soluci\'on final ser\'a igual a la uni\'on de las soluciones
obtenidas en los casos $(i)$ y $(ii)$, o sea:\\

$$\therefore \; S_F \; = \; ]-3,2[$$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} El procedimiento usado anteriormente para resolver inecuaciones de
este tipo es un poco largo y tedioso, por esta raz\'on es que
preferimos resolver este tipo de inecuaciones por medio de una
``tabla de signos'', en la cual usaremos dos resultados generales
que se enunciaran posteriormente, pero antes resolveremos algunos
ejemplos que son casos particulares de dichos resultados.\\


\begin{ejemplo}
Para cada uno de los casos siguientes determine el intervalo en donde la expresi\'on dada es
positiva, y el intervalo en donde dicha expresi\'on es negativa.\\

\begin{enumerate}
\item [a.)] $2x+3$\\

\item [b.)] $-x+3$\\

\item [c.)] $-3x-2$\\

\item [d.)] $x+5$\\
\end{enumerate}

\wsolu

\begin{enumerate}
\item[a.)] $2x+3$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $2x+3$ es positiva si y s\'olo s\'i:\\

 \begin{tabular}{rrcl} & $2x+3$ & $>$ & $0$\\
          &  & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $2x$ & $>$ & $-3$\\
            & & &\\
$\Longleftrightarrow$ &  $x$ & $>$ & $\displaystyle{\frac{-3}{2}}$\\
 \end{tabular}

o sea: $2x+3$ es positiva si y s\'olo s\'i: $x \in\; \displaystyle{\left]\frac{-3}{2}, +\infty\right[}$\\

\item[$ii.)\;$] $2x+3$ es negativa si y s\'olo s\'i:\\

 \begin{tabular}{rrcl}& $2x+3$ & $<$ & $0$\\
            & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $2x$ & $<$ & $-3$\\
            & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $x$ & $<$ & $\displaystyle{\frac{-3}{2}}$\\
 \end{tabular}

o sea: $2x+3$ es negativa si y s\'olo s\'i: $x \in\; \displaystyle{\left]-\infty, \frac{-3}{2}\right[}$\\

En forma resumida se tiene:\\

\inxx{Inecuaciones, tabla de signos}

\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
$-\infty$  \hspace{0.5cm}$\displaystyle{-3/2}$ \hspace{0.7 cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $2x+3$ & $\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}
\end{enumerate}

\item[b.)] $-x+3$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $-x+3$ es positiva si y s\'olo s\'i:\\

 \begin{tabular}{rrcl}& $-x+3$ & $>$ & $0$\\
            & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $-x$ & $>$ & $-3$\\
            & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $x$ & $<$ & $3$\\
 \end{tabular}



o sea: $-x+3$ es positiva si y s\'olo s\'i: $x \in\; ]-\infty, 3[$\\

\item[$ii.)\;$] $2x+3$ es negativa si y s\'olo s\'i:\\

 \begin{tabular}{rrcl} & $-x+3$ & $<$ & $0$\\
        & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $-x$ & $<$ & $-3$\\
        & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $x$ & $>$ & $3$\\
 \end{tabular}



o sea: $-x+3$ es negativa si y s\'olo s\'i: $x \in\; ]3,+\infty[$\\

En forma resumida se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4.2cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.2 cm}$-\infty$  \hspace{0.9 cm}$3$ \hspace{0.8cm}$+\infty$
\vspace{-0.2cm}
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $-x+3$ & $\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\end{enumerate}

\item[c.)] $-3x-2$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $-3x-2$ es positiva si y s\'olo s\'i:\\

 \begin{tabular}{rrcl}& $-3x-2$ & $>$ & $0$\\
        & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $-3x$ & $>$ & $2$\\
        & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $x$ & $<$ & $\displaystyle{\frac{-2}{3}}$\\
 \end{tabular}



o sea: $-3x-2$ es positiva si y s\'olo s\'i: $x \in\; \displaystyle{\left]-\infty, \frac{-2}{3}\right[}$\\

\item[$ii.)\;$] $-3x-2$ es negativa si y s\'olo s\'i:\\

 \begin{tabular}{rrcl}& $-3x-2$ & $<$ & $0$\\
        & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $-3x$ & $<$ & $2$\\
        & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $x$ & $>$ & $\displaystyle{\frac{-2}{3}}$\\
 \end{tabular}



o sea: $-3x-2$ es negativa si y s\'olo s\'i: $x \in\; \displaystyle{\left]\frac{-2}{3},+\infty \right[}$\\

En forma resumida se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4.3cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.2 cm}$-\infty$  \hspace{0.5 cm}$\displaystyle{-2/3}$\hspace{0.5cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $-3x-2$ & $\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\end{enumerate}

\item[d.)] $x+5$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $x+5$ es positiva si y s\'olo s\'i:\\

 \begin{tabular}{rrcl}& $x+5$ & $>$ & $0$\\
        & & & \\
$\Longleftrightarrow$ & $x$ & $>$ & $-5$\\
 \end{tabular}



o sea: $x+5$ es positiva si y s\'olo s\'i: $x \in\; ]-5,+\infty[$\\

\item[$ii.)\;$] $x+5$ es negativa si y s\'olo s\'i:\\

 \begin{tabular}{rrcl}& $x+5$ & $<$ & $0$\\
        & & &\\
$\Longleftrightarrow$ & $x$ & $<$ & $-5$\\
 \end{tabular}



o sea:\\

$x+5$ es negativa si y s\'olo s\'i:\\

$x \in\; ]-\infty,-5[$\\

En forma resumida se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{3.8cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1 cm}$-\infty$  \hspace{0.7cm}$-5$
\hspace{0.8 cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $x+5$ & $\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{caja}[Resultado:]\label{Cap4res1}

Si a y b son constantes reales tales que $a>0$, y $x$ es una
variable real, entonces se cumple que:\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $\displaystyle{ax+b > 0 \Longleftrightarrow x > \frac{-b}{a}}$\\

$\displaystyle{\left(ax+b\;\; \mbox{es positivo si y s\'olo s\'i}\; x\;\;
\mbox{es mayor que}\; \frac{-b}{a}\right)}$\\

\item[$ii.)\;$] $\displaystyle{ax+b < 0 \Longleftrightarrow x < \frac{-b}{a}}$\\

$\displaystyle{\left(ax+b\;\; \mbox{es negativo si y s\'olo s\'i}\; x\;\;
\mbox{es menor que}\; \frac{-b}{a}\right)}$\\
\end{enumerate}
\end{caja}

En forma resumida podemos expresar este resultado en la ``tabla''
siguiente:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1cm}$-\infty$  \hspace{0.8cm}$\displaystyle{-b/a}$
\hspace{0.7 cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $ax+b$ & $\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


Siempre que se cumpla que $a>0$\\



\begin{caja}[Resultado:][\label{Cap4res2}]
Si $a$ y $b$ son constantes reales tales que $a<0$, y $x$ es
variable real, entonces se cumple que:\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $\displaystyle{ax+b > 0 \Longleftrightarrow x <
\frac{-b}{a}}$ $ \; \; \; \; \displaystyle{\left(ax+b\;\; \mbox{es positivo
si y s\'olo s\'i}\; x\;\;
\mbox{es menor que}\; \frac{-b}{a}\right)}$\\

\item[$ii.)\;$] $\displaystyle{ax+b < 0 \Longleftrightarrow x >
\frac{-b}{a}}$ $\;\; \; \; \displaystyle{\left(ax+b\;\; \mbox{es negativo si
y s\'olo s\'i}\; x\;\;
\mbox{es mayor que}\; \frac{-b}{a}\right)}$\\
\end{enumerate}
\end{caja}

En forma resumida podemos expresar este resultado en la``tabla''
siguiente:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1 cm}$-\infty$  \hspace{0.8 cm}$\displaystyle{-b/a}$
\hspace{0.7 cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $ax+b$ & $\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}



Siempre que se cumpla que $a<0$\\



\begin{ejemplo}
Para cada uno de los casos siguientes, use los resultados
anteriores para determinar el intervalo en donde la expresi\'on
dada es positiva, y el intervalo en donde es negativa.\\

\begin{enumerate}
\item [a.)] $3x-2$\\

\item [b.)]$-2x+5$\\

\item [c.)] $-x-2$\\

\item [d.)] $x-3$\\
\end{enumerate}

\wsolu

De acuerdo con los resultados anteriores se tiene:\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $3x-2$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $\displaystyle{3x-2 > 0 \Longleftrightarrow x > \frac{2}{3}}\;$ o sea: $3x-2\;$ es positivo si y s\'olo s\'i $\;\displaystyle{x \in \;\left]\frac{2}{3}, +\infty \right[}$\\

\item[$ii.)\;$] $\displaystyle{3x-2 < 0 \Longleftrightarrow x < \frac{2}{3}}\;$ o sea: $3x-2\;$ es negativo si y s\'olo s\'i $\;\displaystyle{x \in \;\left]-\infty,\frac{2}{3} \right[}$\\

En forma resumida se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1 cm}$-\infty$  \hspace{0.8 cm}$2/3$ \hspace{0.5 cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $3x-2$ & $\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\end{enumerate}

\item[b.)] $-2x+5$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $\displaystyle{-2x+5 > 0 \Longleftrightarrow x < \frac{5}{2}}\;$ o sea: $-2x+5\;$ es positivo si y s\'olo s\'i $\;\displaystyle{x \in \;\left]-\infty, \frac{5}{2}\right[}$\\

\item[$ii.)\;$] $\displaystyle{-2x+5 < 0 \Longleftrightarrow x > \frac{5}{2}}\;$ o sea: $-2x+5\;$ es negativo si y s\'olo s\'i $\;\displaystyle{x \in \;\left]\frac{5}{2}, +\infty \right[}$\\

En forma resumida se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4.3cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1 cm}$-\infty$  \hspace{1 cm}$5/2$ \hspace{0.7cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $-2x+5$ & $\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\end{enumerate}

\item[c.)] $-x-2$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $-x-2 > 0 \Longleftrightarrow x < -2\;$ o sea $-x-2\;$ es positivo si y s\'olo s\'i $\;x \in\; ]-\infty,-2 [$\\

\item[$ii.)\;$] $-x-2 < 0 \Longleftrightarrow x >-2\;$ o sea $-x-2\;$ es negativo si y s\'olo s\'i $\;x \in \;]-2,+\infty[$\\

En forma resumida se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4.1cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1 cm}$-\infty$  \hspace{1cm}$-2$ \hspace{0.7 cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $-x-2$ & $\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}
\end{enumerate}

\item[d.)] $x-3$\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] $x-3 > 0 \Longleftrightarrow x > 3\;$ o sea: $x-3\;$ es positivo si y s\'olo s\'i $\;x \in \;]3,+\infty[$\\

\item[$ii.)\;$] $x-3 < 0 \Longleftrightarrow x < 3\;$ o sea: $x-3\;$ es negativo si y s\'olo s\'i $\;x \in\; ]-\infty,3[$\\


En forma resumida se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1 cm}$-\infty$  \hspace{1.1cm}$3$ \hspace{1cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
& &\\ $x-3$ & $\,\,\,\,\,\,\,-\,\,\,\,\,\,\,\,$  &
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\,\,$ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada uno de los casos siguientes use los resultados
anteriores para determinar el intervalo en donde la expresi\'on
dada es positiva, y el intervalo donde es negativa.  \begin{enumerate}

\item   $2x+9$

\item   $-3x+1$

\item   $-x+7$

\item   $\sqrt{3}\;x -11$

\item   $\pi x -8$

\item   $\displaystyle{\frac{-3}{2}x+13}$

\end{enumerate}


\subsection{Resolviendo inecuaciones con tablas de signos}


\begin{ejemplo}\label{Cap4ejem1}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}

\item[a.)]  $(x+2)(x-3)  < 0 $

\item[b.)]  $(x+4)(3x+2)   > 0$

\item[c.)]  $(3x+3)(2x+1)  < 0 $

\item[d.)]  $(2x+5)(-x+1)  > 0$

\item[e.)] $x(-x-7)(-5x+2)  < 0 $

\item[f.)]  $-x(x-7)(x+5)  > 0$



\wsolu



\item[a.)] $(x+2)(x-3)  < 0 $\\

Por los resultados \ref{Cap4res1} y \ref{Cap4res2}\, anteriores podemos determinar los intervalos en los cuales cada
uno de los factores $(x+2)\; \mbox{ y }\;(x-3)$, son positivos o negativos, lo cual se puede
expresar en forma resumida en una tabla como la siguiente:




\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1cm}$-\infty$  \hspace{0.3cm}$-2$    \hspace{0.5cm}$3$
\hspace{0.3cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
& & & \\
$x+2$ & $\,\,-\,\,$ & $\,\,+\,\,$ & $\,\,+\,\,$ \\  \hline
& & & \\
$x-3$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


Los signos correspondientes al producto  $(x+2)(x-3)$, se obtienen
usando los signos de los factores  $(x+2)\;\mbox{y}\;(x-3)$ y la ley
de signos para la multiplicaci\'on definida en $\mathbb{R}$, as\'{i} obtenemos:\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\multicolumn{4}{r}{\phantom{XXXXXXX} $-\infty$ \phantom{XX} $-2$
\phantom{XX} $3$
\phantom{XX}$+\infty$ } \\\hline
& & & \\
$x+2$ & $\,\,-\,\,$ & $\,\,+\,\,$ & $\,\,+\,\,$ \\  \hline
& & & \\
$x-3$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& & & \\
$(x+2)(x-3)$&$+$&$-$&$+$\\  \hline
\end{tabular}
\end{center}

De esta \'ultima tabla puede observarse que el
producto $(x+2)(x-3)$ es negativo, si y s\'olo s\'i $ x \in \,
 ]-2,3 [ $ \mbox{y por lo tanto el conjunto
soluci\'on de la inecuaci\'on} $(x+2)(x-3)<0$ \mbox{es:} $]-2,3 [$
o sea:

\begin{center} $S =\; ]-2\,,\,3 [$ \end{center}



\item[b.)] $(x+4)(3x+2)> 0$\\

\rm    En forma similar al caso anterior obtenemos la siguiente
tabla:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1 cm}$-\infty$  \hspace{0.3cm}$-4$
\hspace{0.3cm}$\displaystyle{-2/3}$ \hspace{0.1cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
& & & \\
$x+4$ & $\,\,-\,\,$ & $\,\,+\,\,$ & $\,\,+\,\,$ \\  \hline
& & & \\
$3x+2$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}



%\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot pag1 \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot
   \rm Los signos correspondientes al producto  $(x+4)(3x+2)$, se obtienen
    usando los signos de los factores  $(x+4)\;\mbox{y}\;(3x+2)$ y la ley
    de signos para la multiplicaci\'on definida en $\mathbb{R}$, as\'{i}
    obtenemos:\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\multicolumn{4}{l}{\phantom{XXXXXXX} $-\infty$ \phantom{XX} $-4$
\phantom{X} $-2/3$
\phantom{XX}$+\infty$ } \\\hline
& & & \\
$x+4$ & $\,\,-\,\,$ & $\,\,+\,\,$ & $\,\,+\,\,$ \\  \hline
& & & \\
$3x+2$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& & & \\
$(x+4)(3x+2)$&$+$&$-$&$+$\\  \hline
\end{tabular}
\end{center}



 \rm De esta tabla puede observarse que el producto
$(x+4)(3x+2)$ es positivo si y s\'olo si $   x \in \left ]-\infty
,-4 \right [ \, \mbox{ o } \, x \in \left]\displaystyle{-2 \over \;\;  3},
-\infty \right [ $ y por lo tanto el conjunto soluci\'{o}n de la
inecuaci\'{o}n $ (x+4)(3x+2)> 0$ es:\\
 $   \left ]-\infty,-4 \right[ \,\,\cup \,\, \left ]\displaystyle{-2 \over \; 3}, +\infty \right [ $ o sea: \\
\begin{center}
 S = $   \left ]-\infty ,-4 \,\right [ \,\,\cup \,\,  \left ]\displaystyle{-2 \over\; \; 3}, +\infty\right [
$ \end{center}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} En los ejemplos \ref{Cap4ejem1}a.) y \ref{Cap4ejem1}b.) anteriores se ha explicado la forma en que se han construido cada
una de las tablas correspondientes y tambi\'{e}n la forma de determinar el conjunto soluci\'{o}n
de cada inecuaci\'{o}n. En los ejemplos siguientes omitiremos la explicaci\'on.\\


\item[c.)] $(3x+3)(2x+1)  < 0 $ \\


\begin{center}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\multicolumn{4}{r}{\phantom{XXXXXXXXX} $-\infty$ \phantom{XX} $-1$
\phantom{1} $-1/2$
\phantom{XX}$+\infty$ } \\\hline
& & & \\
$3x+3$ & $\,\,-\,\,$ & $\,\,+\,\,$ & $+$ \\  \hline
& & & \\
$2x+1$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& & & \\
$(3x+3)(2x+1)$&$ + $&$ - $&$ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{center}

\hspace{8.3cm}$\therefore \;$  S = $   \left] -1, \displaystyle{-1\over \; \;2}
\right[$

\item[d.)] $(2x+5)(-x+1)  > 0$

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \multicolumn{4}{r}{\phantom{XXXXXXX} $-\infty$ \phantom{XXX} $-5/2$
\phantom{XX} $1$
\phantom{XX}$+\infty$ } \\\hline
& & & \\
& & & \\
$2x+5$ & $\,\,-\,\,$ & $\,\,+\,\,$ & $\,\,+\,\,$ \\  \hline
& & & \\
$-x+1$&$+$&$+$&$-$\\  \hline
& & & \\
$(2x+5)(-x+1)$&$ - $&$ + $&$ - $\\  \hline
\end{tabular}
\end{center}


$\therefore \;$  S = $   \left] \displaystyle{-5 \over \; \;2}, 1\right[$

%\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot pag2 \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot
\item[e.)] $x(-x-7)(-5x+2)  < 0 $

\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.9cm}$-\infty$  \hspace{0.6cm}$-7$
\hspace{0.5cm}$0$\hspace{0.6cm}$\displaystyle{2/5}$ \hspace{0.2cm}
$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}  \hline
&& & & \\
$x$ & $\,\,-\,\,$ & $\,\,-\,\,$ & $\,\,+\,\,$ & $\,\,+\,\,$\\
 \hline
& & & &\\
$-x-7$&$+$&$-$&$-$&$-$\\  \hline
& & & &\\
$-5x+2$&$+$&$+$&$+$&$-$ \\  \hline
& & & &\\
 $x(-x-7)(-5x+2)$&$ - $&$ + $&$ - $ & $ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\hspace{7.3cm}$\therefore \;$  S = $\displaystyle{  \left] -\infty, -7 \right[
\,\,\cup\,\, \left ]0 , {2 \over 5} \right[ }$


\item[f.)]  $-x(x-7)(x+5)  > 0$\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{6.4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.2cm}$-\infty$  \hspace{0.6cm}$-5$
\hspace{0.7cm}$0$\hspace{0.7cm}${7}$ \hspace{0.3cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}  \hline
& & & &\\
$-x$ & $\,\,+\,\,$ & $\,\,+\,\,$ & $\,\,-\,\,$ & $\,\,-\,\,$\\
 \hline
& & & &\\
$x-7$&$-$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$x+5$&$-$&$+$&$+$&$+$ \\  \hline
& & & &\\
 $-x(x-7)(x+5)$&$ + $&$ - $&$ + $ & $ - $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

$\therefore \;$  S = $   \left] -\infty, -5 \right[
\,\,\cup\,\, \left ]0 , 7 \right[ $
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


En el ejemplo anterior hemos resuelto inecuaciones en las
cuales se involucra alguno de los signos ``$ \,< \,$'' o
``$\,>\,$'', en el ejemplo siguiente el objetivo es resolver
inecuaciones en las que se involucra alguno de los signos ``$\,\leq \,$'' o ``$\,\geq\,$'' \\


\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $(x+1)(x-2) \leq 0$
\item[c.)] $3(2-x)(x-3) \leq 0$
\item[e.)] $-2x(x+2)(x-2)\leq 0$
}
{
\item[b.)] $(x-3)(x+2)\geq 0 $
\item[d.)] $-5(-x+1)(-x-2)\geq 0 $
\item[f.)] $3x(5-x)(x+2) \geq 0$
}
\end{enumerate}

\wsolu\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $(x+1)(x-2) \leq 0$\\

En forma similar a los ejercicios resueltos en el ejemplo
anterior formamos la siguiente ``tabla''\\



\begin{center}
\begin{tabular*}{4.8cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$  \hspace{0.2cm}$-1$ \hspace{0.6cm}$2$
\hspace{0.1cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$x+1$ & $\,-$ & $\,\,+$ & $\,\,+$ \\  \hline
&&&$$\\
$x-2$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$(x+1)(x-2)$&$+$&$-$&$+$\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

De aqu\'{i} sabemos que: \\

     $(x+1)(x-2) < 0 \Longleftrightarrow x \in
        \,]-1,2[$\\

Luego\\

        $(x+1)(x+2) = 0  \Longleftrightarrow x  = -1 \,\,\mbox{ o }\,\, x = 2$\\

     Por lo tanto:\\

     El conjunto soluci\'{o}n de $(x+1)(x+2)\leq 0$ es $[\,-1,2 \,]$ o sea  $S = \; [
     \,-1,2\,]$\\

\item[b.)] $(x-3)(x+2)\geq 0 $\\

Procediendo en forma an\'aloga al ejemplo anterior:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4.8cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$  \hspace{0.2cm}$-2$ \hspace{0.6cm}$3$
\hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$x-3$ & $\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,+$ \\  \hline
&&&$$\\
$x+2$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$(x-3)(x+2)$&$+$&$-$&$+$\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'{i} sabemos que:\\

$  (x-3)(x+2)> 0 \Longleftrightarrow x \,\,\in\,\, ]-\infty, -2 \;\;[ \,\,\cup\,\, ]\;\;3,+\infty[$\\

 Luego\\

 $(x-3)(x+2) =0 \Longleftrightarrow x = 3 \mbox{  o  } x
=
-2$ \\

\rm
Por lo tanto:\\

El conjunto soluci\'{o}n de $(x-3)(x+2) \geq 0 $ es
$]-\infty,-2\,\, ] \,\,\cup\,\,[\,\, 3, +\infty[ \mbox{ o sea: } S
= ]-\infty, -2 \,\,]
\,\,\cup\,\,[\,\,3, +\infty[ $\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} En las inecuaciones que resolveremos a continuaci\'{o}n, no especificaremos la forma en que se
obtiene el conjunto soluci\'{o}n para cada una de ellas, el estudiante deber\'{a} justificar estos
resultados.\\

\item[c.)] $3(2-x)(x-3) \leq 0$

\begin{center}
\begin{tabular*}{5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$  \hspace{0.7cm}${2}$ \hspace{0.4cm}$3$
\hspace{0.1cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$3$ & $\,+$ & $\,\,+$ & $\,\,+$ \\  \hline
&&&$$\\
$2-x$&$+$&$-$&$-$\\  \hline
&&&$$\\
$x-3$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
 $3(2-x)(x-3)$&$-$&$+$&$-$\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\hspace{25cm}$$\therefore \;\;  S \;= \; ]-\infty, 2 [ \,\,\cup \,\, [3, + \infty[$$\\
\rm

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observaci\'{o}n:}}\\

En esta inecuaci\'{o}n, $3$ es un factor siempre positivo de la expresi\'{o}n
$3(2-x)(x-3)$, pues no depende del valor de la variable $x$.\\


\item[d.)]$-5(-x+1)(-x-2)\geq 0 $\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{5.8cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{3 cm}$-\infty$  \hspace{0.2cm}${-2}$ \hspace{0.6cm}$1$
\hspace{0.1cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$-5$ & $\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ \\  \hline
&&&$$\\
$-x+1$&$+$&$+$&$-$\\  \hline
&&&$$\\
$-x-2$&$+$&$-$&$-$\\  \hline
&&&$$\\
 $-5(-x+1)(-x-2)$&$-$&$+$&$-$\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

 $$ S = [-2,1]$$


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observaci\'{o}n:}} En esta inecuaci\'{o}n, $-5$ es un factor siempre positivo de la expresi\'{o}n
$-5(-x+1)(-x-2)$, pues no depende del valor de la variable $x$.\\

\item[e.)] $-2x(x+2)(x-2)\leq 0$\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{6.4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.7cm}$-\infty$ \hspace{0.4cm}${-3}$\hspace{0.5cm}$0$
\hspace{0.6cm}$1$ \hspace{0.3cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}  \hline
& & & &\\
$-2x$ & $\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,-$\,\,\\  \hline
& & & &\\
$x+3$&$-$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$x-1$&$-$&$-$&$-$&$+$ \\  \hline
& & & &\\
 $-2x(x+3)(x-1)$&$ + $&$ - $&$ + $ & $ - $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


$$\therefore \; \,S =[-3,0]\,\,\cup \,\,[1, +\infty[$$


\item[f.)] $3x(5-x)(x+2) \geq 0$\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{6cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.2cm}$-\infty$ \hspace{0.2cm}${-2}$\hspace{0.8cm}$0$
\hspace{0.7cm}$5$ \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}  \hline
& & & &\\
$3x$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+$\,\,\\  \hline
& & & &\\
$5-x$&$+$&$+$&$+$&$-$\\  \hline
& & & &\\
$x+2$&$-$&$+$&$+$&$+$ \\  \hline
& & & &\\
 $3x(5-x)(x+2)$&$ + $&$ - $&$ + $ & $ - $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


$$\therefore \; \,S = [-\infty,-2]\,\,\cup \,\,[ 0 , 5]$$
 \end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:  \begin{enumerate}

\item   $(x-1)(2x+1) < 0$

\item   $6x(1-x) > 0$

\item   $(2x+3)(4x-1) \geq 0$

\item   $(5-7x)(x+2)(6x+1) \leq 0$

\item   $(2x-1)(2x-1) \geq 0$

\item   $(2x-1)^2 > 0$

\item   $(1-3x)^2 \leq 0$

\item   $-2(x+2)(3-x)(5x+1) \geq 0$

\item   $3(2-x)(4-3x)(x+2) > 0$

\item   $\displaystyle{-1\over2}(x-2)(x-2)(x+2) \leq 0$

\item   $x^3(2x+7) < 0$

\item   $\sqrt{5}(2-3x)^3(x+5)^4 \leq 0$

\end{enumerate}




% === Sección de origen: Inecuaciones cuadr\'{a}ticas ===

\inxx{Inecuaciones, cuadráticas}


\begin{definicion}
Sean $a$, $b$, $c$ constantes reales tales que
$a\neq 0$. Sea $x$ una variable real. Llamaremos inecuaci\'{o}n
cuadr\'atica a toda inecuaci\'{o}n en la que uno de sus miembros
se puede llevar a una expresi\'{o}n de la forma  $ ax^2 + bx +
c\,\,$ y el otro miembro es cero.\\
\end{definicion}


\begin{ejemplo}
Son inecuaciones cuadr\'{a}ticas:\\


\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $2x^2 + 2x +1 < 0$
\item[c.)] $2x^2 + 8 > 0$
}{
\item[b.)] $x^2 -5x + 6 \geq 0$
\item[d.)] $3x^2 -27 \leq 0$\\
}
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Caso 1:}} \\

Consideremos como {\bf caso $1$}, aquel en el cual la expresi\'{o}n
$ax^2 + bx +c $ es factorizable ($\triangle \geq 0$). Para
resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresi\'{o}n
$ax^2 + bx +c $, para posteriormente aplicar el procedimiento
usado para resolver las inecuaciones de los ejemplos anteriores
(por medio de una ``tabla de signos'')\\

Recuerde que si la expresi\'{o}n $\,ax^2 + bx +c \,$ es
factorizable entonces se cumple que:\\

\begin{center} $ax^2 + bx +c = a(x-x_1)(x-x_2)$ \end{center}

Con $x_1$ y $x_2$ los ceros del polinomio $ax^2+bx+c$\\



\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $x^2-2x -35 < 0 $ \item[c.)] $-3x^2+ x +2 > 0 $
\item[e.)] $x^2-4x \leq 0 $ \item[g.)] $x^2 - 9 \geq 0 $
}{
\item[b.)] $2x^2 -x -6 \geq 0 $
\item[d.)] $-2x^2 +3x +2 \leq 0 $ \item[f.)] $18x -2x^2 > 0 $
\item[h.)] $7 - x^2 < 0 $
}
\end{enumerate}


\wsolu

\begin{enumerate}
\item[a.)] $x^2-2x -35 < 0 $\\

\begin{tabular}{rcl}
    Para la expresi\'{o}n  $x^2-2x -35\;$ se tiene:\\\\

 $ \triangle $&$ = $&$4 - 4(1)(-35)$\\
 $ \triangle $&$ = $&$ 4 + 140$\\
 $ \triangle $&$ = $&$ 144 $\\\\

 $\therefore \; \; x^2-2x -35 \;$ es factorizable y adem\'{a}s:
\end{tabular}



 $\displaystyle{  x_1 = {2+\sqrt{144}\over 2} \Longrightarrow x_1 = {14 \over 2 }\Longrightarrow x_1 = 7 }$\\

 $ \displaystyle{ x_2 = {2 - \sqrt{144}\over 2} \Longrightarrow x_2 = {-10 \over\; \; 2} \Longrightarrow x_2 = -5 }$\\


as\'{i}:\\

$x^2-2x -35 = (x-7)(x+5) $\\

$\therefore \; \,\, x^2-2x -35 < 0 \; \Longleftrightarrow \;  (x-7)(x+5) <0  $\\


Resolviendo esta \'{u}ltima inecuaci\'{o}n se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$ \hspace{0.3cm}${-5}$\hspace{0.7cm}$7$
\hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$x-7$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$ \\  \hline
&&&$ $\\
$x + 5$&$-$&$+$&$+$ \\  \hline
&&&$$\\
$(x-7)(x+5)$&$ + $&$ - $&$ + $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}



 Por lo tanto el conjunto soluci\'on de $x^2-2x -35 < 0 $ es $\;]-5,7\;\;[$ , o sea : $\;\;S=\; ]-5, 7[$\\


\item[b.)] $2x^2 -x -6 \geq 0 $\\

Para la expresi\'{o}n $2x^2 -x -6 $ se tiene:\\

\begin{tabular}{rcl}
 $ \triangle $&$ = $&$ 1 - 4(2)(-6)$\\
 $ \triangle $&$ = $&$ 1 + 48$\\
 $ \triangle $&$ = $&$ 49 $\\\\

$\therefore \; \;\,2x^2 -x -6$ es factorizable y adem\'{a}s:\\
\end{tabular}


 $ \displaystyle{x_1 = {1+\sqrt{49}\over 4} \Longrightarrow x_1 = {8 \over 4} \Longrightarrow x_1 = 2 }$\\

 $\displaystyle{ x_2 = {1 - \sqrt{49}\over 4} \Longrightarrow x_2 = {-6 \over \; \;4}\Longrightarrow x_2 = {-3\over \;\;  2}}$\\

As\'{i}:\\

$ \displaystyle{  2x^2 -x -6 = 2(x-2)\left(x+{3\over 2}\right) }$\\

$ \displaystyle{ \therefore \; \; 2x^2 -x -6 \geq 0 \; \Longleftrightarrow \;  2(x-2)\left(x+{3 \over 2}\right) \geq 0  }$\\

Resolviendo esta \'{u}ltima inecuaci\'{o}n se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{5.5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.5cm}$-\infty$\hspace{0.4cm}$\displaystyle{{-3/2}}$\hspace{0.5cm}$2$ \hspace{0.3cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$2$ & $\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$ \\  \hline
&&&$$\\
$x+2$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$x+\displaystyle{{3\over 2}}$&$-$&$+$&$+$ \\  \hline
&&&$$\\
 $ \displaystyle{ 2(x-2)\left(x+{3\over2}\right)}$&$ + $&$ - $&$ + $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}



 Por lo tanto el conjunto soluci\'on de $2x^2-x -6 < 0 $ es
$\; \displaystyle{ \left]-\infty, {-3 \over \; \;2}\right]\,\, \cup \,\,
\left[\,2 , +\infty\, \right[\; }$ o sea:
 $\; \displaystyle{S =   \left]-\infty, {-3 \over\; \; 2}\right]\,\, \cup \,\,
\left[\,2 , +\infty \,\right[}$ \\\\


\item[c.)] $-3x^2+ x +2 > 0 $\\

Para la expresi\'{o}n $-3x^2+ x +2 $ se tiene:\\
\begin{tabular}{rcl}

 $  \triangle $&$ = $&$ 1 - 4(-3)(2)$\\
 $ \triangle $&$ = $&$ 1 + 24$\\
 $ \triangle $&$ = $&$ 25 $\\\\

$\therefore \; \;\,-3x^2+ x +2 $ es factorizable y adem\'{a}s:\\
\end{tabular}


 $ \displaystyle{ x_1 = {-1+\sqrt{25}\over -6} \Longrightarrow x_1 = {4 \over -6}\Longrightarrow x_1 = {-2 \over \; \;3} }$\\


 $ \displaystyle{ x_2 = {-1 - \sqrt{25}\over -6}\Longrightarrow x_2 = {-6 \over -6}\Longrightarrow x_2 = 1 }$\\

 as\'{i}: $ \displaystyle{-3x^2+ x +2  = -3\left(x+{2\over 3}\right)(x-1)}$\\

$ \displaystyle{ \therefore \;\; \, -3x^2+ x +2 > 0 \; \Longleftrightarrow \;  -3\left(x+{2 \over 3}\right)(x-1) > 0  }$
\\




Resolviendo esta \'{u}ltima inecuaci\'{o}n se tiene:\\



\begin{center}
\begin{tabular*}{5.7cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.5cm}$-\infty$ \hspace{0.5cm}$-2/3$\hspace{0.5cm}$1$
\hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$-3$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,-\,$ \\  \hline
&&&$$\\
$  x+\displaystyle{{2\over3}}$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$x-1$&$-$&$-$&$+$ \\  \hline
&&&$$\\
 $\displaystyle{  -3\left(x+{2\over3}\right)(x-1)}$&$ - $&$ + $&$ - $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


Por lo que el conjunto soluci\'on de $-3x^2+ x +2 > 0 $ es $\;\displaystyle{
\left]{-2\over\; \;3}, 1 \right[}$ o sea:
 $\displaystyle {S =   \left]{-2 \over\; \; 3}, 1 \right[}$\\\\

\item[d.)] $-2x^2 +3x +2 \leq 0 $\\

Para la expresi\'{o}n $-2x^2 +3x +2 $ se tiene:\\

\begin{tabular}{rcl}
 $  \triangle $&$=$&$ 9 - 4(-2)(2)$\\
 $ \triangle $&$=$&$ 9 + 16$\\
 $ \triangle $&$=$&$ 25 $\\\\


$\therefore \; \,-2x^2 +3x +2 $ es factorizable, adem\'{a}s:\\
\end{tabular}


 $\displaystyle{  x_1 = {-3+\sqrt{25}\over -4} \Longrightarrow x_1 = {2 \over\; \; -4}\Longrightarrow x_1 = {-1 \over\; \; 2}} $\\
\\

 $ \displaystyle{ x_2 = {-3 - \sqrt{25}\over -4}\Longrightarrow x_2 = {-8 \over -4} \Longrightarrow x_2 = 2 }$\\

As\'{i}:\\

$\displaystyle{   -2x^2 +3x +2  = -2\left(x+{1\over 2}\right)(x-2) }$\\

$ \displaystyle{ \therefore \; \, -2x^2 +3x +2 \leq 0 \; \Longleftrightarrow \;  -2\left(x+{1 \over 2}\right)(x-2) \leq 0  }$\\



Resolviendo esta \'{u}ltima inecuaci\'{o}n se tiene:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{5.8cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.5cm}$-\infty$ \hspace{0.4cm}$-1/2$\hspace{0.6cm}$2$
\hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$-2$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,-\,$ \\  \hline
&&&$$\\
$\displaystyle{  x+{1\over2}}$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$x-2$&$-$&$-$&$+$ \\  \hline
&&&$$\\
 $\displaystyle{  -2\left(x+{1\over2}\right)(x-2)}$&$ - $&$ + $&$ - $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


Por lo que el conjunto soluci\'on de $-2x^2 +3x +2 \leq 0 $ es $\;
\displaystyle{ \left]-\infty, {-1 \over\; \;2} \right]\,\, \cup\,\,
\left[\,2, +\infty\, \right[}$ o sea:
 $\displaystyle{ S =   \left]-\infty, {-1 \over\; \;2} \right]\,\, \cup\,\, \left[\,2, +\infty
 \,\right[}$\\\\


\item[e.)] $x^2-4x \leq 0 $\\

Factorizando  $x^2-4x $ por factor com\'{u}n se tiene:
$x^2-4x \leq 0 \; \Longleftrightarrow \; x(x-4)\leq 0$\\


Resolviendo esta inecuaci\'{o}n:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1cm}$-\infty$ \hspace{0.9cm}${0}$\hspace{0.5cm}$4$
\hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$x$ & $\,-\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$ \\  \hline
&&&$$\\
$(x-4)$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$ x(x-4)$&$ + $&$ - $&$ + $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de $x^2-4x \leq 0 $ es: $[\,0,4\, ];$ o sea :     $S = \; [\,0 , 4\,]$\\\\

\item[f.)] $18x -2x^2 > 0 $\\

Factorizando $18x -2x^2 $ por factor com\'{u}n se tiene:
$18x -2x^2 > 0  \; \Longleftrightarrow \; 2x(9-x) > 0$\\

Resolviendo esta inecuaci\'{o}n:

\begin{center}
\begin{tabular*}{4.3cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.2cm}$-\infty$ \hspace{0.7cm}${0}$\hspace{0.7cm}$9$
\hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$2x$ & $\,-\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$ \\  \hline
&&&$$\\
$(9-x)$&$+$&$+$&$-$\\  \hline
&&&$$\\
$ 2x(9-x)$&$ - $&$ + $&$ - $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de $18x -2x^2 > 0$ es $\;]\,0,9\,\;[$; o sea : $S = \; \;\;]\,0,9\,[$ \\\\


\item[g.)] $x^2 - 9 \geq 0 $\\

Factorizando $ x^2 - 9 \geq 0$ por f\'ormula notable se tiene:
$x^2 - 9 \geq 0  \; \Longleftrightarrow \; (x-3)(x+3)\geq 0$\\

Resolviendo esta inecuaci\'{o}n:

\begin{center}
\begin{tabular*}{5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$ \hspace{0.4cm}${-3}$\hspace{0.6cm}$3$
 \hspace{0.27cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$x-3$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$ \\  \hline
&&&$$\\
$(x+3)$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$ (x-3)(x+3)$&$ + $&$ - $&$ + $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}




Por lo que :       $ S = ]-\infty ,-3] \,\, \cup \,\, [3, +\infty [$\\

\item[h.)] $7 - x^2 < 0 $\\

Factorizando $ 7 - x^2 $ por f\'ormula notable se tiene:
$\;7 - x^2 < 0  \; \Longleftrightarrow \; (\sqrt{7}-x)(\sqrt{7}-x) < 0$\\


Resolviendo esta inecuaci\'{o}n:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{5.5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.5cm}$-\infty$
\hspace{0.1cm}${-\sqrt{7}}$\hspace{0.4cm}$\sqrt{7}$
\hspace{0.1cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$\sqrt{7}-x $ & $\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,-\,$ \\  \hline
&&&$$\\
$\sqrt{7}+ x$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$ (\sqrt{7}-x )(\sqrt{7}+ x)$&$ - $&$ + $&$ - $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


 \end{enumerate}

Por lo que $\;   S = \left]-\infty ,-\sqrt{7} \right[ \,\, \cup \,\, \left]\sqrt{7}, +\infty \right [$\\
\end{ejemplo}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Caso 2:}}\\

Consideremos como {\bf caso 2}, aquel en el cual la expresi\'{o}n $\;ax^2 +bc +c \;$ no es
factorizable ($\triangle < 0 $). Para resolver estas inecuaciones usaremos el
siguiente teorema:\\


\begin{teorema}\label{Cap4teo1}
Sean a, b, c, constantes reales y x una variable real tales que $a
\neq 0 \;\;$ y $\;\;b^2 -4ac < 0 \;\;(\;\; \triangle < 0\;\;)$,
entonces se cumple
que:\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$]  Si $a > 0$  entonces $ax^2 +bx +c > 0;\, \forall\;\; x
\in \mathbb{R} $

\item[$ii.)\;$] Si $a < 0$  entonces $ax^2 +bx +c <0; \,\forall \;\;x \in
\mathbb{R}
$\\
\end{enumerate}
\end{teorema}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostraci\'{o}n:}}\\

En el teorema(\ref{Cap3teo1}) se demostr\'{o} que:\\

$ \displaystyle{  ax^2 +bc +c = a \left [ \left(x + {b\over 2a}\right)^2 -
{\triangle \over 4a^2}\right]}$; con $\triangle = b^2 -4ac\; $ y
adem\'{a}s si $  \triangle < 0$ entonces
 $\displaystyle{ \left [ \left(x + {b\over 2a}\right)^2 -
{\triangle \over 4a^2}\right] > 0; \forall\;\; x \in I\!\!R }\;$ y por lo tanto:\\

\begin{enumerate}
\item[$i.)\;$] Si $a > 0 $ entonces $\; \displaystyle{a \left [ \left(x +
{b\over
2a}\right)^2 - {\triangle \over 4a^2}\right] > 0 ; \forall \;\;x \in I\!\!R  }$ es equivalente a:\\

si $a > 0 $ entonces $ax^2 +bc +c > 0; \forall\;\; x \in I\!\!R $

\item[$ii.)\;$] Si $a < 0 $ entonces $\; \displaystyle{a \left [ \left(x +
{b\over
2a}\right)^2 - {\triangle \over 4a^2}\right] < 0 ; \forall \;\;x \in I\!\!R  }$ es equivalente a:\\

si $a < 0 $ entonces $\;ax^2 +bc +c < 0; \forall \;\;x \in I\!\!R $\\

\end{enumerate}



\begin{ejemplo}
Usando el teorema anterior resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $2x^2+x +3 > 0 $
\item[c.)] $3x^2-5x+3 \leq 0 $
\item[e.)] $2x^2+ 6 \leq 0 $
}{
\item[b.)] $-x^2 -x -1 \geq 0 $
\item[d.)] $-4x^2 +3x -5 < 0 $
\item[f.)] $-3x^2 - 5 > 0 $
}
\end{enumerate}



\wsolu



\begin{enumerate}
\item[a)] $2x^2+x +3 > 0 $\\

    En este caso, para la expresi\'{o}n $2x^2+x +3$; se tiene:\\

 $a = 2\;$ y\\

\begin{tabular}{rcl}
 $  \triangle $&$= $&$1^2 - 4(2)(3)$\\
 $ \triangle $&$=$&$ 1 -24$\\
 $ \triangle $&$ =$&$ -23 $\\
\end{tabular}

como $\triangle < 0  \mbox{  y   } a > 0 , \mbox{ entonces }
2x^2+x +3 > 0; \,\, \forall \;\,x \in \mathbb{R} $ \\

 $\therefore \; \; $ el conjunto soluci\'{o}n de $\,2x^2+x +3 > 0 \mbox{  es  } \;\;\mathbb{R}$ o sea:       $S = \; \mathbb{R}$\\

\item[b)] $-x^2 -x -1 \geq 0$\\

    En este caso, para la expresi\'{o}n $-x^2 -x -1$; se tiene:\\

 $a = -1\;\;$ y\\

\begin{tabular}{rcl}
 $  \triangle $&$=$&$ (-1)^2 - 4(-1)(-1)$\\
 $ \triangle $&$=$&$ 1 - 4$\\
 $ \triangle $&$ =$&$ -3 $\\
\end{tabular}

como $\triangle < 0  \mbox{  y   } a < 0 , \mbox{ entonces }
 -x^2 -x -1 < 0; \,\, \forall \,x \in \mathbb{R} $ \\

 $\therefore \; \;$ el conjunto soluci\'{o}n de $ -x^2 -x -1 \geq 0 $ es vac\'io o sea:   S =
 $\emptyset$\\

\item[c)] $3x^2-5x+3 \leq 0 $\\

    En este caso, para la expresi\'{o}n $3x^2-5x+3  $; se tiene:\\

 $a = 3\;\;$ y\\

\begin{tabular}{rcl}
 $  \triangle $&$=$&$ (-5)^2 - 4(3)(3)$\\
 $ \triangle $&$=$&$ 25 - 36$\\
 $ \triangle $&$=$&$ -11 $\\
\end{tabular}

como $\triangle < 0  \mbox{  y   } a > 0 , \mbox{ entonces }
 3x^2-5x+3 > 0; \,\, \forall \,x \in \mathbb{R} $ \\

 $\therefore \; \;$ el conjunto soluci\'{o}n de $3x^2-5x+3 \leq 0 $ es vac\'io o sea:        S =
 $\emptyset$\\

\item[d)] $-4x^2 +3x -5 < 0 $\\

    En este caso, para la expresi\'{o}n $-4x^2 +3x -5  $; se tiene:\\

$a = -4\;\;$  y\\

\begin{tabular}{rcl}
  $  \triangle $&$=$&$ (3)^2 - 4(-4)(-5)$\\
 $ \triangle $&$=$&$ 9 - 80$\\
 $ \triangle $&$=$&$ -71 $\\
\end{tabular}

como $\triangle < 0  \mbox{  y   } a < 0 , \mbox{ entonces }
 -4x^2 +3x -5 < 0 ; \,\, \forall \,x \in \mathbb{R} $ \\


 $\therefore \; \;$ el conjunto soluci\'{o}n de $-4x^2 +3x -5 < 0  $ es $\mathbb{R}  $ o sea:        S =
 $\mathbb{R} $\\

\item[e)] $2x^2+ 6 \leq 0 $\\

    En este caso, para la expresi\'{o}n $2x^2+ 6 $; se tiene:\\

 $a = 2\,\,$  y \\

\begin{tabular}{rcl}
 $  \triangle $&$=$&$ 0 - 4(2)(6)$\\
 $ \triangle $&$= $&$ - 48$\\
\end{tabular}

como $\triangle < 0  \mbox{  y   } a > 0 , \mbox{ entonces }
 2x^2+ 6 > 0 ; \,\, \forall \,x \in \mathbb{R} $ \\

 $\therefore \; \;$ el conjunto soluci\'{o}n de $2x^2+ 6 \leq 0  $ es vac\'io o sea:        $S = \emptyset$\\

\item[f)] $-3x^2 - 5 > 0 $\\

    En este caso, para la expresi\'{o}n $ -3x^2 - 5 $; se tiene:\\

 $a = -3\;\;$  y \\

\begin{tabular}{rcl}
 $  \triangle $&$=$&$ 0 - 4(-3)(-5)$\\
 $ \triangle $&$=$&$ - 60$\\
\end{tabular}

como $\triangle < 0  \mbox{  y   } a < 0 , \mbox{ entonces }
 -3x^2 - 5 < 0  ; \,\, \forall \,x \in \mathbb{R} $ \\

 $\therefore \; \;$ el conjunto soluci\'{o}n de $-3x^2 - 5 > 0  $ es vac\'io o sea:        $S =
 \emptyset$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:  \begin{enumerate}

\item   $2x^2-3x -2 < 0 $

\item   $x^2 +2x -8 \geq 0 $

\item   $-x^2+2x+3 \leq 0 $

\item   $x^2 +x +1 > 0 $

\item   $-2x^2 - 8 > 0 $

\item   $7x - 21x^2 \leq 0 $

\item   $3-x^2 \geq 0 $

\item   $-2x^2 +7x -3 \geq 0 $

\item   $-2x^2+3x-1 > 0 $

\item   $-4x^2 +x \geq 0 $

\item   $4x^2 + 4x +1 \leq 0 $

\item   $x^2 -2x +1 > 0 $

\item   $x^2 + 5x +4 \leq 0 $

\item   $-3x^2 +6x - 4 > 0 $

\end{enumerate}




% === Sección de origen: Inecuaciones polimoniales de grado mayor que $2$ ===

\inxx{Inecuaciones, polinomiales}


\begin{definicion}
Llamaremos inecuaci\'{o}n polimonial de grado mayor que $2$, a toda inecuaci\'{o}n en la cual uno
de sus miembros es un polinomio de grado mayor que $2$, y el otro miembro es cero.\
\end{definicion}


\begin{ejemplo}
Son inecuaciones polimoniales de grado mayor que $2$:\\

\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $x^3-4x^2 + x +6 \leq 0 $\\
\item[c.)] $x^5 + 32 \geq 0 $\\
}{
\item[b.)] $2x^4- 4x^2 -6x -4 > 0 $\\
\item[d.)] $x^3+ 2x^2 +x +2 < 0 $\\
}
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


Para resolver inecuaciones polimoniales de grado
mayor que $2$, frecuentemente es necesario factorizar el polinomio
que es miembro de la ecuaci\'{o}n. Una vez factorizado dicho
polinomio, se aplicar\'{a} alguno de los m\'{e}todos estudiados
anteriormente para resolver inecuaciones.\\


\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $x^3-4x^2 + x +6 \leq 0 $\\
\item[c.)] $-x^4 + 2x^2 +3x + 2 \geq 0 $\\
}{
\item[b.)] $ 2x^3 -2x^2-2x -4 > 0 $\\
\item[d.)] $x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x > 0 $\\
}
\end{enumerate}

 \wsolu

 \begin{enumerate}
\item[a.)] $x^3-4x^2 + x +6 \leq 0 $\\

    Debemos tratar de factorizar el polinomio $x^3-4x^2 + x +6
   $.\\

    Por divisi\'{o}n sint\'{e}tica se tiene que:\\

  $ x^3-4x^2 + x +6 = (x+1)(x^2-5x+6) $\\

   Ahora, factorizando  $x^2-5x+6$ por f\'{o}rmula general se tiene:\\

 $  x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$\\

 Por lo que:\\

$ x^3-4x^2 + x +6 = (x+1)(x-2)(x-3)$\\

As\'{i} tenemos que:\\

$x^3-4x^2 + x +6 \leq 0  \; \Longleftrightarrow \; (x+1)(x-2)(x-3) \leq
0$ \\

Ahora vamos a la tabla de signos:\\

%
% \begin{center}
% \begin{tabular*}{7cm}{c}
% \begin{tabular}{c}
% \hspace{2.5cm}$-\infty$
% \hspace{0.7cm}${-1}$\hspace{0.6cm}$2$\hspace{0.6cm}$3$
%  \hspace{0.2cm} $+\infty$
% \end{tabular}\\
% \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}  \hline
% & & & &\\
% $x+1$ & $\,-\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+$\,\,\\  \hline
% & & & &\\
% $x+2$&$-$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
% & & & &\\
% $x-3$&$-$&$-$&$-$&$+$ \\  \hline
% & & & &\\
%  $(x+1)(x+2)(x-3)$&$ - $&$ + $&$ - $ & $ + $\\  \hline
% \end{tabular}
% \end{tabular*}
% \end{center}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3, espcl=1.5, deltacl=0.8]
{$x$ / 1,
$x+1$ / 1,
$x+2$ / 1,
$x-3$ / 1,
$(x+1)(x+2)(x-3)$ / 1.5}
{$-\infty$, $-1$, $2$, $3$, $+\infty$}
\tkzTabLine{ , - , z , + , t , + , t , + }
\tkzTabLine{ , - , t , - , z , + , t , + }
\tkzTabLine{ , - , t , - , t , - , z , + }
\tkzTabLine{ , - , z , + , z , - , z , + }
\end{tikzpicture}


Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de $x^3-4x^2 + x +6 \leq 0 $ es:\\

$]-\infty , -1] \,\,\cup \,\, [\,2 , 3\,]$; o sea:
$S =\;]-\infty , -1] \,\,\cup \,\, [\,2 , 3\,]$ \\

\item[b.)] $2x^3 -2x^2-2x -4 > 0 $\\

Factoricemos el polinimio  $ 2x^3-2x^2 -2x -4 $ \\

Por divisi\'{o}n sint\'{e}tica se tiene que:\\

  $ 2x^3 -2x^2-2x -4 =(x-2)(2x^2+2x+2)$\\

Ahora para  $ 2x^2+2x+2 $ tenemos que:\\

\begin{tabular}{rcl}
$ \triangle $&$=$&$ (2)^2 -4(2)(2)$ \\
$\triangle $&$=$&$ 4 - 16 $\\
$\triangle $&$=$&$ -12$\\\\
\end{tabular}

Como $\triangle < 0$ entonces $2x^2+2x+2$ {\bf no} es
factorizable, pero como $\triangle < 0 $ y $a = 2$ (coeficiente
de $x^2$) por el teorema anterior tenemos que:\\

$2x^2+2x+2 > 0; \forall x \in \mathbb{R}. \;\;$ o sea, $2x^2+2x+2$ es
positivo, $\forall \;\;x \in \mathbb{R}$.\\

 As\'{i} tenemos que:\\

$2x^3-2x^2 -2x -4 > 0 \; \Longleftrightarrow \; (x-2)(2x^2+2x+2)> 0$\\

y podemos resolver esta inecuaci\'{o}n de acuerdo con la
informaci\'{o}n anterior as\'{i}:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.5cm}$-\infty$ \hspace{1cm}$2$
 \hspace{0.5cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
&&$$\\
$x-2$ & $\,-\,$ & $\,\,+\,$\\  \hline
&&$$\\
$2x^2 +2x + 2$&$+$&$+$\\  \hline
&&$$\\
$(x-2)(2x^2 +2x + 2)$&$ - $&$ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}



 Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de $2x^3-2x -4 > 0 $ es: $]2,+\infty [ $ o sea: $S =\;]2,+\infty [ $\\

\item[c.)] $-x^4 + 2x^2 +3x + 2 \geq 0 $\\

 Debemos factorizar el polinimio  $-x^4 + 2x^2 +3x + 2, $
aplicando divisi\'{o}n sint\'{e}tica se tiene que:

\begin{equation}\label{Cap4eq1}
-x^4 + 2x^2+3x + 2 = (x+1)(-x^3+x^2+x+2)
\end{equation}

y a su vez:

\begin{equation}\label{Cap4eq2}
-x^3+x^2+x+2= (x-2)(-x^2-x-1)
\end{equation}

y para $-x^2-x-1$, tenemos:\\

\begin{tabular}{rcl}
$\triangle $&$=$&$ (-1)^2 -4(-1)(-1)$\\
$\triangle $&$=$&$ 1-4$\\
$\triangle $&$=$&$ -3 $\\\\
\end{tabular}

Como $\triangle < 0$, entonces $-x^2-x-1$ no es factorizable,
y por el teorema anterior.\\

$    -x^2-x-1 < 0 ; \forall\;\; x \in \mathbb{R}, \mbox{  o sea  }
-x^2-x-1$ es negativo, $\forall \;\;x \in \mathbb{R}$.\\

As\'{i} por \ref{Cap4eq1} y \ref{Cap4eq2} \\

$-x^4 + 2x^2 +3x + 2 = (x+1)(x-2)(-x^2-x-1)$ \\

y por lo tanto:\\

$-x^4 + 2x^2 +3x + 2 \geq 0 \; \Longleftrightarrow \; (x+1)(x-2)(-x^2-x-1) \geq 0$ \\

y por la informaci\'{o}n anterior podemos resolver esta inecuaci\'{o}n as\'{i}:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{6.8cm}{c}
\begin{tabular}{c}
 \hspace{4cm}$-\infty$ \hspace{0.19cm}${-1}$\hspace{0.6cm}$2$
 \hspace{0.1cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$x+1 $ & $\,-\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$ \\  \hline
&&&$$\\
$x-2$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$-x^2-x-1$&$-$&$-$&$-$\\  \hline
&&&$$\\
$(x+1 )(x-2)(-x^2-x-1)$&$ - $&$ + $&$ - $ \\
 \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


 De aqu\'{i}
$S =\;[-1,2]$\\


\item[d.)] $x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x > 0 $\\

Factorizamos el polinomio $x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x  \;$; por factor
com\'{u}n:

\begin{equation}\label{Cap4eq3}
x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x = x(x^3-2x^2-4x+8)
\end{equation}

Factorizando $x^3-2x^2-4x+8\;$; por divisi\'{o}n sint\'{e}tica:

\begin{equation}\label{Cap4eq4}
x^3-2x^2-4x+8 = (x-2)(x^2-4)
\end{equation}

y factorizando $x^2-4$, por f\'{o}rmula notable: \\

$ x^2-4 = (x-2)(x+2)$.\\

As\'{i}, de \ref{Cap4eq4} se tiene que:\\

$x^3-2x^2-4x+8 = (x-2)(x-2)(x+2)$\\

y por \ref{Cap4eq3} se tiene que:\\

$x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x = x(x-2)(x-2)(x+2)$ y por lo tanto:\\

$x^4 - 2x^3 -4x^2 +8x > 0 \; \Longleftrightarrow \;  x(x-2)(x-2)(x+2) >0\;\;$


\begin{center}
\begin{tabular*}{7cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{3cm}$-\infty$
\hspace{0.5cm}${-2}$\hspace{0.6cm}$0$\hspace{0.7cm}$2$
 \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}  \hline
& & & &\\
$x$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+$\,\,\\  \hline
& & & &\\
$x-2$&$-$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$x-2$&$-$&$-$&$-$&$+$ \\  \hline
& & & &\\
$x+2$&$-$&$+$&$+$&$+$ \\  \hline
& & & &\\
$x(x-2)(x-2)(x+2)$&$ + $&$ - $&$ + $ & $ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

 De aqu\'{i}:
  S= $]-\infty,
-2\;\;[\,\,\cup\,\,]\;\;0,2\;\;[\,\,\cup\,\,]\;\;2,+\infty[$ \end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:  \begin{enumerate}

\item   $x^3-12x +16 \geq 0 $\\

\item   $x^3+2x^2+x+2 < 0 $\\

\item   $x^4 - 16 \leq 0 $\\

\item   $2x^4-5x^3+4x^2-x > 0 $\\

\item   $2x^3 -x^2 18x + 9 \leq 0 $\\

\item   $2x^3 -7x^2 +4x -3 > 0 $\\

\item   $x^4 + 3x^2-4 \geq 0 $\\

\item   $x^4-2x^3 -3x^2 +8x -4 < 0 $\\

\end{enumerate}

Adem\'{a}s de inecuaciones cuadr\'{a}ticas y de inecuaciones
polinomiales de grado mayor que $2$, podemos resolver algunas
otras inecuaciones que son reducibles a inecuaciones
cuadr\'{a}ticas, o bien a inecuaciones polinomiales de grado mayor
que $2$, aplicando las transformaciones estudiadas en este
capitulo, y tambi\'en las propiedades y algoritmos de las
operaciones definidas en
$\mathbb{R}$.\\


%\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\xpag17 \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot
\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $x^2+5x +4 \leq 2x+4 $\\
\item[c.)] $x^4-1 \geq -x^4 + 1 $\\
}{
\item[b.)] $4x^2+ 8x -5 > 5x-6 $\\
\item[d.)] $x^3 -2x^2 +2 < x^2+x-1 $\\
}
\end{enumerate}


 \wsolu

\begin{enumerate}

\item[ a.)] \hfill


\begin{tabular}{rrcl}
 &$ x^2+5x +4 $&$\leq$&$ 2x+4 $\\
 &&&\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$ x^2+5x +4-2x-4 $&$\leq$&$ 0 $\\
 &&&\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$ x^2+3x $&$\leq $&$0 $\\
 &&&\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$ x(x+3)$&$\leq$&$ 0$\\
 &&&\\
\end{tabular}


% \begin{center}
% \begin{tabular*}{4cm}{c}
% \begin{tabular}{c}
% \hspace{1cm}$-\infty$ \hspace{0.4cm}${-3}$\hspace{0.7cm}$0$
%  \hspace{0.2cm} $+\infty$
% \end{tabular}\\
% \begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
  % &&&$$\\
% $x$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$ \\  \hline
% &&&$$\\
% $x+3$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
% &&&$$\\
% $x(x+3)$&$ + $&$ - $&$ + $ \\  \hline
% \end{tabular}
% \end{tabular*}
% \end{center}

\begin{tikzpicture}
  \tkzTabInit[lgt=4, espcl=1.5]
    {$x$         / 1,
     $x+3$       / 1,
     $x(x+3)$   / 1.5}
    {$-\infty$, $-3$, $0$, $+\infty$}

  %          -inf  (-inf,-3)  -3   (-3,0)   0   (0,+inf)  +inf
  \tkzTabLine{ ,  -  ,  t  ,  -  ,  z  ,  +  , }
  \tkzTabLine{ ,  -  ,  z  ,  +  ,  t  ,  +  , }
  \tkzTabLine{ ,  +  ,  z  ,  -  ,  z  ,  +  , }
\end{tikzpicture}


De aqu\'{i}: $S \;= \;[-3,0]$\\

\item[b.)]\hfill

\begin{tabular}{rrcl}

 &$ 4x^2+ 8x -5 $&$>$&$ 5x-6  $\\
            &&&\\
 $\; \Longleftrightarrow \; $&$4x^2+ 8x -5 - 5x+6 $&$>$&$ 0 $\\
            &&&\\
$ \; \Longleftrightarrow \; $&$4x^2+ 3x +1 $&$>$&$ 0$\\\\
            &&&\\
\end{tabular}

Para  $4x^2+ 3x +1$ se tiene:\\

$a = 4 \;\;$  y\\

\begin{tabular}{rcl}
 $\triangle$ & = & $(3)^2-4(4)(1)$\\
             &&\\
$\triangle$ &  = & $ 9-16$ \\
             &&\\
$\triangle$ & =  & $ -7$\\\\
            &&\\
\end{tabular}


Como $\triangle < 0 \mbox{  y  } a > 0$, entonces: $ 4x^2+ 3x +1 > 0;\; \forall x \in \mathbb{R}$\\

$\therefore \; \; \,\,S = \mathbb{R} $\\

\item[c.)]\hfill
\begin{center}
\begin{tabular}{rrcl}
                         &$x^4-1 $              & $\geq $    & $ -x^4 + 1 $  \\
                         &&&\\
 $\; \Longleftrightarrow \;$   & $ x^4-1 +x^4 - 1$   &   $ \geq $ &  $ 0  $\\
                         &&&\\
$ \; \Longleftrightarrow \;$   & $ 2x^4-2         $   &   $\geq $  &  $0 $\\
                         &&&\\
$\; \Longleftrightarrow \;$    & $  2(x^4-1)       $   &   $\geq $  &  $0  $\\
                         &&&\\
$\; \Longleftrightarrow \;$    & $ 2(x^2-1)(x^2+1)$   &   $ \geq $ &  $0 $\\
\end{tabular}
\end{center}
\begin{equation}\label{Cap4eq6}
\Longleftrightarrow \;2(x-1)(x+1)(x^2+1)\; \geq \; 0
\end{equation}

 Observe que $x^2+1$  no es factorizable y adem\'{a}s es
positivo $\forall x \in \mathbb{R} $\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{6.2cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{3.5cm}$-\infty$ \hspace{0.2cm}${-1}$\hspace{0.6cm}$1$
 \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline
&&&$$\\
$2$ & $\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$ \\  \hline
&&&$$\\
$x-1$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$x+1$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$x^2 + 1$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$2(x-1)(x+1)(x^2+1)$&$ + $&$ - $&$ + $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


 Por lo tanto el conjunto de soluci\'{o}n de la
inecuaci\'{o}n \ref{Cap4eq6}, y por lo tanto de la inecuaci\'{o}n original,
es: S= $]-\infty, -1]\,\,\cup\,\,[1,+\infty[$


\item[d.)] \hfill

\begin{center}
\begin{tabular}{rrll}
&$ x^3 -2x^2 +2 $&$<$&$ x^2+x-1  $\\
&&&\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$ x^3 -2x^2 +2 - x^2-x+1 $&$< $&$ 0 $
\end{tabular}
\end{center}
\begin{equation}\label{Cap4eq5}
\Longleftrightarrow x^3 -3x^2-x+3\; < \;0
\end{equation}

Factorizando $x^3 -3x^2-x+3 \;$ por agrupaci\'{o}n se tiene:\\


\begin{tabular}{rcl}

 $x^3-3x^2-x+3 $&$=$&$(x^3 -3x^2)+(-x+3) $\\
                &   & \\
               &$=$&$x^2(x-3)-(x-3)$\\
               &    & \\
               &$=$&$(x-3)(x^2-1)$\\
               &    & \\
               &$ =$&$(x-3)(x-1)(x+1)$\\
               &    &\\
\end {tabular}

o sea: $x^3 -3x^2-x+3 = (x-3)(x-1)(x+1)$\\

volviendo a \ref{Cap4eq5} obtenemos:\\


$x^3 -3x^2-x+3 < 0 \; \Longleftrightarrow \; (x-3)(x-1)(x+1)< 0$\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{6.8cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{3cm}$-\infty$
\hspace{0.2cm}${-1}$\hspace{0.7cm}$1$\hspace{0.6cm}$3$
 \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}  \hline
& & & &\\
$x-3$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$\\  \hline
& & & &\\
$x-1$&$-$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$x+1$&$-$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$(x-3)(x-1)(x+1)$&$ - $&$ + $&$ - $& $ + $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


 Por lo que S= $]-\infty, -1[\,\,\cup\,\,]1,3[$
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:  \begin{enumerate}

\item   $x^2-4 \leq x-2$

\item   $3x^2-4x+5 \geq x^2+5$

\item   $2x^3+x^2+1> -2x-2$

\item   $x^3-6 > 2x^2-3x$

\end{enumerate}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Inecuaciones en las que uno de sus miembros
es un cociente y el otro miembro es cero}}\\


En general estudiaremos los tipos $\displaystyle{  {P(x)\over Q(x)} < 0; {P(x)\over Q(x)} \leq 0;
{P(x)\over Q(x)} > 0;  {P(x)\over Q(x)} \geq 0}$ en
donde $P(x)\; \mbox{y} \;Q(x)$ son polinomios con, $Q(x) \neq 0$.\\

Para resolver este tipo de inecuaciones nos basaremos en las siguientes propiedades:\\



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Propiedades:}}\\

Sean $ a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R} $, con $b \neq 0$\\
\begin{enumerate}
\item[1.)] $ \displaystyle{{a \over b} < 0 \; \Longleftrightarrow \; a \cdot b < 0}$\\
\item[2.)] $ \displaystyle{{a \over b } \leq 0 \; \Longleftrightarrow \; a \cdot b \leq 0}$\\
\item[3.)] $ \displaystyle{{a \over b} > 0 \; \Longleftrightarrow \; a \cdot b > 0}$\\
\item[4.)]$ \displaystyle{{a \over b } \geq 0 \; \Longleftrightarrow \; a \cdot b \geq 0}$\\
\end{enumerate}



Estas propiedades se pueden generalizar para polinomios de modo $
P(x) \; \mbox{y} \;Q(x)$ con, $Q(x)\neq 0$, entonces:\\

\begin{enumerate}
\item[1.)] Resolver $  \displaystyle{{P(x) \over Q(x)} < 0 \;\mbox{  es equivalente a resolver }\; P(x) \cdot Q(x) < 0}$\\
\item[2.)] Resolver $  \displaystyle{{P(x) \over Q(x)} \leq 0\; \mbox{  es equivalente a resolver } \;P(x) \cdot Q(x) \leq 0}$\\
\item[3.)] Resolver $  \displaystyle{{P(x) \over Q(x)} > 0 \;\mbox{  es equivalente a resolver } \;P(x) \cdot Q(x) > 0}$\\
\item[4.)] Resolver $  \displaystyle{{P(x) \over Q(x)} \geq 0 \;\mbox{  es equivalente a resolver }\; P(x) \cdot Q(x) \geq 0}$\\
\end{enumerate}

Por lo anterior es que al resolver inecuaciones en las cuales uno
de sus miembros es un cociente y el otro miembro es cero, usaremos
tablas de signos tal y como se hizo para resolver inecuaciones, en
las cuales uno de sus miembros es un producto y el otro es cero.\\



\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $\displaystyle{  {x-2 \over x+3} \geq 0}$\\
\item[c.)] $\displaystyle{ {(x-2)(x+1)\over (x-4)}\leq 0}$\\
\item[e.)]$ \displaystyle{{6\over (x-3)(2-x)}\geq 0}$\\
}{
\item[b.)] $\displaystyle{ {3-x \over x+1} < 0}$\\
\item[d.)] $\displaystyle{ {x-2\over(2x+1)(x-5)}> 0}$\\
\item[f.)] $\displaystyle{ {-3\over (2x-1)(3x+2)}\leq 0}$\\
}
\end{enumerate}


\wsolu



\begin{enumerate}
\item[a.)] $\displaystyle{  {x-2 \over x+3} \geq 0}$\\

En este caso debe cumplirse que $x+3$ sea diferente de cero; pero
$x+3 = 0 \; \Longleftrightarrow \; x = -3 $.\\

La ``tabla de signos ``correspondiente a esta inecuaci\'{o}n se
obtiene as\'{i}:\\



\begin{center}
\begin{tabular*}{4.2cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1cm}$-\infty$ \hspace{0.5cm}${-3}$\hspace{0.8cm}$2$
 \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c|c|}  \hline
&&&$$\\
$x-2$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$\\  \hline
&&&$$\\
$x+3$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$\displaystyle{ {(x-2)\over(x+3)}}$&$ + $&$ - $& $ + $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

De aqu\'{i} se tiene que el cociente $\displaystyle{
{(x-2)\over(x+3)}}$ es mayor o igual que cero, si y s\'{o}lo
s\'{i} $x\; \in\;\; ]-\infty,-3[ \,\,\cup\,\,[\,2,+\infty\,[$.\\

Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de $\displaystyle{{(x-2)\over(x+3)} \geq
0}$ es S, donde\\

\begin{center} S= $]-\infty,-3\,[\,\,\cup\,\,[\,2,+\infty[$\end{center}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}\\

$1.)$ La doble l\'inea vertical en $-3$, se utiliz\'{o} para
indicar que
$-3$ no pertenece al dominio de la inc\'{o}gnita.\\

$2.)$ $ -3 $ no se incluye en el conjunto soluci\'{o}n, por no
pertenecer
al dominio de la inc\'{o}gnota.\\


\item[b.)] $\displaystyle{ {3-x \over x+1} < 0}$\\

En este caso debe cumplirse que $x+1$ sea diferente de cero; pero
$x+1 = 0 \; \Longleftrightarrow \; x = -1 $.\\

La ``tabla de signos'' correspondiente a esta inecuaci\'{o}n se
obtiene as\'{i}:\\




\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1cm}$-\infty$ \hspace{0.5cm}${-1}$\hspace{0.7cm}$3$
 \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c|c|}  \hline
&&&$$\\
$3-x$ & $\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,-\,$\\  \hline
&&&$$\\
$x+1$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$\displaystyle{ {(3-x)\over(x+1)}}$&$ - $&$ + $& $ - $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'{i} se tiene que el cociente $\displaystyle{  {(3-x)\over(x+1)}}$ es menor que cero, si y
s\'{o}lo s\'{i} $x \in ]-\infty,-1[ \,\,\cup\,\,]\,3,+\infty\,[$.\\

Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de $\displaystyle{  {(3-x)\over(x+1)} <
0}$
es S, donde\\

\begin{center} S= $]-\infty,-1\,[\,\,\cup\,\,]\,3,+\infty[$\end{center}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} La doble l\'inea vertical en $-1$, se utiliz\'{o} para indicar
que $-1$ no pertenece al dominio de la inc\'{o}gnita.\\

Las inecuaciones siguientes ser\'{a}n resueltas en una forma
m\'{a}s resumida, omitiremos la explicaci\'{o}n correspondiente a
cada uno de los pasos involucrados, el estudiante debe saber
justificar cada uno de dichos pasos.\\

\item[c.)] $\displaystyle{ {(x-2)(x+1)\over (x-4)} \leq 0 }$\\


Debe cumplirse que $x-4\neq 0,$ o sea $x \neq 4.$\\



\begin{center}
\begin{tabular*}{6cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$ \hspace{0.3cm}${-1}$\hspace{0.8cm}$2$
 \hspace{0.5cm}$4$ \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}  \hline
& & & &\\
$x-2$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$\\  \hline
& & & &\\
$x+1$&$-$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$x-4$&$-$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$\displaystyle{ {(x-2)(x+1)\over(x-4)}}$&$ - $&$ + $& $ - $ & $ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'{i} se tiene que:\\
\begin{center} S= $]-\infty,-1\,]\,\,\cup\,\,[\,2,\,4\,[$ \end{center}


\item[d.)] $\displaystyle{ {x-2\over(2x+1)(x-5)}> 0}$\\

Debe cumplirse que $2x+1 \neq 0 \mbox{ y } x-5 \neq 0 $, o sea
$\displaystyle{ x \neq {-1 \over 2} \mbox{ y } x \neq 5 }.$\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{6cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$ \hspace{0.4cm}$-1/2$\hspace{0.4cm}$2$
 \hspace{0.6cm}$5$ \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c|c||c|}  \hline
& & & &\\
$x-2$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$\\  \hline
& & & &\\
$2x+1$&$-$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$x-5$&$-$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$\displaystyle{ {(x-2)\over(2x+1)(x-5)}}$&$ - $&$ + $& $ - $ & $ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'i se tiene que:\\
 \begin{center} $S=\;\displaystyle{ \left]{-1 \over 2},2\,\right[\,\,\cup\,\,]\,5,+\infty\,[}$ \end{center}


\item[e.)]$\displaystyle{ {6\over (x-3)(2-x)}\geq 0}$\\


Debe cumplirse que $x-3 \neq 0 \mbox{ y } 2-x \neq 0 $, o sea $x
\neq {3} \mbox{ y } x \neq 2.$\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{5.2cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2 cm}$-\infty$ \hspace{0.6cm}${2}$\hspace{0.8cm}$3$
\hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c||c|}  \hline
&&&$$\\
$6$ & $\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$\\  \hline
&&&$$\\
$x-3$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$2-x$&$+$&$-$&$-$\\  \hline
&&&$$\\
$\displaystyle{ {6\over(x-3)(2-x)}}$&$ - $&$ + $& $ - $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'i se tiene que:\\
 \begin{center} $S \; = \;   ]\,2,3\,[$ \end{center}


\item[f.)] $\displaystyle{ {-3\over (2x-1)(3x+2)}\leq 0}$\\

Debe cumplirse que $  2x-1 \neq 0 \mbox{ y } 3x+ 2 \neq 0 $, o sea
$\displaystyle{ x \neq {1\over2} \mbox{ y } x \neq {-2 \over 3} }$.\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{5.5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2.5 cm}$-\infty$ \hspace{0.3cm}$\displaystyle{{-2/3}}$\hspace{0.5cm}$\displaystyle{{1/2}}$ \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c||c|}  \hline
&&&$$\\
$-3$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,-\,$\\  \hline
&&&$$\\
$2x-1$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$3x+2$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
&&&$$\\
$\displaystyle{ {-3\over(2x-1)(3x+2)}}$&$ - $&$ + $& $ - $ \\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'i se tiene que:\\
 \begin{center} S=$\displaystyle{  \left]-\infty,{-2\over\; \;3}\,\right[\,\,\cup\,\,\left]\,{1 \over2},+\infty\,\right[}$ \end{center}
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:  \begin{enumerate}

\item   $\displaystyle{ {x-7 \over x+2} \leq 0}$\\

\item   $\displaystyle{ {(x-1)(4-x) \over 2x+1} \geq 0}$\\

\item   $\displaystyle{ {3x+1\over (1-2x)(3-x)}> 0}$\\

\item   $\displaystyle{ {-2 \over 2x-3} > 0}$\\

\item   $\displaystyle{ { -5\over(2x+5)(x+4)} < 0}$\\

\item   $\displaystyle{ {(x-2) (x+3)\over 2(x-3)} \geq 0}$\\

\item   $\displaystyle{ {2-x \over 3x+1} < 0}$\\

\item   $\displaystyle{ { x+7\over(x+3)(2-x)} \leq 0}$\\

\item   $\displaystyle{ {(1-x)(2+x)\over (3x+1)(5-x)} > 0}$\\

\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:\\

\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $\displaystyle{  {x^2-4x-5 \over x-4} > 0}$\\
\item[c.)] $\displaystyle{ {(x+2)\over x^2-4x} \leq 0}$\\
\item[e.)] $\displaystyle{ {x^3+x^2-2x \over x+4}< 0}$\\
}{
\item[b.)] $\displaystyle{ {9-x^2\over (x-2)(1-x)} < 0}$\\
\item[d.)] $\displaystyle{ {-2x \over x^2+x+3} \geq 0}$\\
\item[f.)] $\displaystyle{ { x^3+4x \over x+1} \leq 0}$\\
}
\end{enumerate}


 \wsolu

\begin{enumerate}

\item[a.)] $ \displaystyle{ {x^2-4x-5 \over x-4} > 0}$\\

En este caso $4$ no pertenece al dominio de la inc\'{o}gita $(
x\neq 4 )$; adem\'{a}s debemos factorizar (si es posible) el numerador.\\

Aplicando f\'{o}rmula general se tiene que:\\

$  x^2-4x-5 = (x-5)(x+1)$\\


Por lo que:\\

$ \displaystyle{ {x^2-4x-5 \over x-4} > 0 \; \Longleftrightarrow \; {(x-5)(x+1)
\over x-4} > 0}$\\

Resolviendo esta \'{u}ltima inecuaci\'{o}n se tiene:\\


\begin{center}
\begin{tabular*}{6cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$ \hspace{0.3cm}${-1}$\hspace{0.8cm}$4$
 \hspace{0.5cm}$5$ \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c||c|c|}  \hline
& & & &\\
$x-5$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$\\  \hline
& & & &\\
$x+1$&$-$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$x-4$&$-$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$ \displaystyle{{(x-5)(x+1)\over(x-4)}}$&$ - $&$ + $& $ - $ & $ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de: $\displaystyle{  {x^2-4x-5 \over
x-4} > 0}$ es S, donde:\\

\begin{center} $S=\; ]\,-1,\,4\,\,[\,\,\cup\,\,]\,5,+\infty\,[$  \end{center}

\item[b.)] $ \displaystyle{{9-x^2\over (x-2)(1-x)} < 0}$\\

En este caso $1$ y $2$ no pertenecen al dominio de la
inc\'{o}gnita $( x\neq 1 \mbox{ y } x \neq 2 )$; adem\'{a}s
debemos factorizar el
numerador (si es posible).\\

Por f\'{o}rmula notable se tiene que;\\

$  9-x^2 = (3-x)(3+x)$\\

Por lo que:\\

$\displaystyle{ {9-x^2\over (x-2)(1-x)} < 0 \; \Longleftrightarrow \; {(3-x)(3+x)
\over(x-2)(1-x)} < 0}$\\

Resolviendo esta \'{u}ltima inecuaci\'{o}n se tiene:\\

\begin{center}
\begin{tabular*}{6.7cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$ \hspace{0.3cm}${-3}$\hspace{0.5 cm}$1$
 \hspace{0.7cm}$2$ \hspace{0.6cm}$3$ \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c||c||c|c|}  \hline
& & & & &\\
$3-x$ & $\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$ &
$\,\,-\,$\\ \hline
& & & & &\\
$3+x$&$-$&$+$&$+$&$+$ &$+$\\  \hline
& & & & &\\
$x-2$&$-$&$-$&$-$&$+$ &$+$\\  \hline
& & & & &\\
$1-x$&$+$&$+$&$-$&$-$ &$-$\\  \hline
& & & & &\\
$\displaystyle{ {(3-x)(3+x) \over(x-2)(1-x)}}$&$ + $&$ - $& $ + $ & $ - $& $ + $\\
 \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de: $\displaystyle{ {9-x^2\over (x-2)(1-x)} < 0}$ es S, donde:\\

\begin{center} $S=\; ]\,-3,\,1\,\,[\,\,\cup\,\,]\,2,\,\,3\,[$  \end{center}


\item[c.)] $\displaystyle{ {(x+2)\over x^2-4x} \leq 0}$\\

En este caso debemos factorizar el denominador si es posible.
Por factor com\'{u}n se tiene que: $x^2-4x = x(x-4)$ y de aqu\'{i}, como el
denominador debe ser diferente de cero, entonces debe cumplirse que:\\

$$  x \neq 0\; \; \;  \mbox{ y } \; \;\; x\neq 4$$\\

As\'{i} se tiene: $\displaystyle{{x+2\over x^2-4x} \leq 0 \; \Longleftrightarrow \; {{x+2\over x(x-4)} \leq 0}}$\\

Resolviendo esta \'{u}ltima inecuaci\'{o}n se tiene:\\



\begin{center}
\begin{tabular*}{5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.5cm}$-\infty$ \hspace{0.2cm}${-2}$\hspace{0.6cm}$0$
 \hspace{0.5cm}$4$ \hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c||c||c|}  \hline
& & & &\\
$x+2$ & $\,-\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$ & $\,\,+\,$\\  \hline
& & & &\\
$x$&$-$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$x-4$&$-$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& & & &\\
$\displaystyle{ {(x+2)\over x(x-4)}}$&$ - $&$ + $& $ - $ & $ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}




Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de: $\displaystyle{{x+2 \over x^2-4}
\leq 0}$ es S, donde:\\

\begin{center} $S= \; ]\,-\infty,\,-2\,\,]\,\,\cup\,\,]\,0,\,4\,[$  \end{center}


\item[d.)] $\displaystyle{ {2x \over x^2+x+3} \geq 0}$\\

En este caso debemos factorizar el denominador, si es posible,
pero
para $x^2 + x +3$, se tiene:\\

$a = 1$  y\\

\begin{tabular}{rcl}
$\triangle $&$=$&$ (1)^2 -4(1)(3)$\\
$\triangle $&$=$&$ 1 - 12$\\
$\triangle $&$=$&$ -11$\\\\
\end{tabular}

Como $\triangle < 0$, entonces $x^2 + x +3$ no es factorizable en
$\mathbb{R}$, adem\'{a}s como $a > 0 \mbox{ y } \triangle < 0$ entonces
$x^2 + x +3$, es positivo $\forall x \in \mathbb{R} $, por
lo tanto, la tabla de signos correspondiente a:\\

$\displaystyle{ {2x \over x^2+x+3} \geq 0}$ es:



\begin{center}
\begin{tabular*}{3.6cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.7cm}$-\infty$ \hspace{0.6cm}${0}$ \hspace{0.2cm}
$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
 & &\\
$-2x$ & $\,+\,$ & $\,\,-\,$\\  \hline
 & &\\
$x^2+x+3$&$+$&$+$\\  \hline
 & &\\
$\displaystyle{ {-2x\over x^2+x+3}}$&$ + $&$ - $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de: $\displaystyle {2x \over x^2+x+3} \geq 0$ es S, donde:\\

\begin{center} $S=\;]-\infty,0\,]$  \end{center}

\item[e.)] $\displaystyle{ {x^3+x^2-2x \over x+4}< 0}$\\

En este caso $-4$ no pertenece al dominio de la inc\'{o}gnita,
adem\'{a}s debemos factorizar el numerador, si es
posible.\\

Por factor com\'{u}n se tiene:

\begin{equation}\label{Cap4eq7}
x^3+x^2-2x = x(x^2+x-2)
\end{equation}

Aplicando f\'{o}rmula general a $   x^2+ x - 2$ se tiene: $  x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$\\

Volviendo a \ref{Cap4eq7} tenemos: $  x^3+x^2-2x = x(x+2)(x-1)$\\

As\'{i}: $ \displaystyle{{x^3+x^2-2x \over x+4}< 0 \; \Longleftrightarrow \; {x(x+2)(x-1)\over x+4} < 0 }$\\

Resolviendo esta inecuaci\'{o}n se tiene:\\



\begin{center}
\begin{tabular*}{7cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$ \hspace{0.6cm}${-4}$\hspace{0.3cm}$-2$
 \hspace{0.7cm}$0$ \hspace{0.5cm}$1$\hspace{0.3cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}  \hline
 & & & & &\\
$x$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,-\,$ & $\,\,+\,$& $\,\,+\,$\\  \hline
 & & & & &\\
$x+2$&$-$&$-$&$+$&$+$ &$+$\\  \hline
 & & & & &\\
$x-1$&$-$&$-$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
 & & & & &\\
$x+4$&$-$&$+$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
 & & & & &\\
$\displaystyle{ {x(x+2)(x-1)\over(x+4)}}$&$ + $&$ - $& $ + $ & $ - $& $ + $\\
 \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}




Por lo que el conjunto soluci\'{o}n de:  $\displaystyle{ {x^3+x^2-2x \over x+4}< 0}$ es S, donde:\\

\begin{center}$ S=\;]\,-4,\,-2\,\,[\,\,\cup\,\,]\,0,\,1\,[$  \end{center}


\item[f.)] $\displaystyle{ { x^3+4x \over x+1} \leq 0}$\\

En este caso $-1$ no pertenece al dominio de la inc\'{o}gnita,
adem\'{a}s debemos factorizar el numerador, si es
posible.\\

Por factor com\'{u}n se tiene:

\begin{equation}\label{Cap4eq8}
x^3+4x= x(x^2+4)
\end{equation}

Aplicando formula general a $x^2+4$, se tiene: $a = 1$  y\\

\begin{tabular}{rcl}
$\triangle $&$=$&$ 0^2 -4(1)(4)$\\
$\triangle $&$=$&$ -16$\\\\

\end{tabular}

Como $\triangle < 0$, y $a>0$ entonces $x^2+4$ es positivo
$\forall x \in \mathbb{R} $ y adem\'{a}s no es factorizable por lo que la
factorizaci\'{o}n completa de $x^3+4x$ es la indicada en \ref{Cap4eq8}\\

As\'{i}: $\displaystyle{ { x^3+4x \over x+1} \leq 0 \; \Longleftrightarrow \;
{x(x^2+4)\over x+1} \leq 0 }$\\


Resolviendo este inecuaci\'{o}n se tiene:\\




\begin{center}
\begin{tabular*}{4.5cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.4cm}$-\infty$ \hspace{0.3cm}${-1}$ \hspace{0.7cm}${0}$
\hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c|c|}  \hline
 & & &\\
$x$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$& $\,\,+\,$\\  \hline
 & & &\\
$x^2+4$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
 & & &\\
$x+1$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
 & & &\\
$ \displaystyle{{x(x^2+4)\over x+1}}$&$ + $&$ - $&$ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


Por lo que  \begin{center} $ S= \;]\,-1\,,\,0\,]$ \end{center}

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:  \begin{enumerate}

\item   $ \displaystyle{{x^2+2x \over (1-x)(x-2)} \geq 0}$

\item   $\displaystyle{ {x^2+3\over (x+5)(x+3)} \leq 0}$

\item   $ \displaystyle{{3-x \over 3x^2-6x} < 0}$

\item   $\displaystyle{ {-x^2+4x-5 \over x^3+5x^2} > 0}$

\item   $\displaystyle{ {-2x^2+3x-2\over x^3+5x^2 }\geq 0}$

\item   $\displaystyle{ {-4 \over -3x^4 +11x^2 + 4} \leq 0}$

\item   $ \displaystyle{{ -6x \over -x^2+3x-2} < 0}$

\item   $\displaystyle{ {-3x^2+5x-3\over x^3+2x^2+x+2)} > 0}$

\end{enumerate}

%\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot pag28 \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot

 Aplicando las transformaciones estudiadas en este cap\'{\i}tulo, y
 adem\'{a}s los algoritmos estudiados para realizar operaciones con
     fracciones racionales (Cap\'{\i}tulo III), podemos resolver
inecuaciones que se pueden reducir a una inecuaci\'{o}n, en la
 cual uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es
 cero, como se ilustra en los ejemplos anteriores.\\


\begin{ejemplo}
Resuelva cada una de las siguientes inecuacciones:\\
\begin{enumerate}
\mpage{
\item[a.)] $ \displaystyle{ 1 - {x+2 \over x-5}\, \geq\, 0}$\\
\item[c.)] $ \displaystyle{ {3 \over2}+ {x \over x-1} \,>\, {-2\over x-1}}$\\
\item[e.)] $ \displaystyle{ {3 \over 1-x} \,\geq\, {x+6\over 2-x}}$\\
\item[g.)] $ \displaystyle{ {3x\over x^2-1}- {1 \over x^2-x} \,\leq\, {2x^2+1\over x^3-x}}$\\
}{
\item[b.)] $\displaystyle{  {1 \over x-2} \,<\, 2}$\\
\item[d.)] $\displaystyle{  {x-5 \over x+3} \,\leq\, {2x+1 \over x+3}}$\\
\item[f.)] $\displaystyle{  {3-x \over x-2} \,<\, {x-5 \over 1-x}}$\\
\item[h.)] $ \displaystyle{ {6x \over x^2-4x+3} \,>\, {2 \over 12-4x}}$\\
}
\end{enumerate}


\wsolu



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} En la soluci\'{o}n de estas inecuaciones omitiremos la justificaci\'{o}n de cada paso, dicha
justificaci\'{o}n debe ser brindada por el estudiante.\\

$a.)$

\begin{tabular}{rrcl}

 &$  1 - \displaystyle{{x+2 \over x-5}}\, $&$ \geq $&$\, 0 $\\\\

 $ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{1 \cdot (x-5)-1(x+2) \over x-5}} \,\,$&$ \geq $&$
 0$\\\\

$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{x-5x-2 \over x-5}}\,\,$&$ \geq $&$ 0
$\\\\

$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{-7 \over x-5}} $&$\geq 0\; ;\;\;$&$  x \neq 5$\\

\end{tabular}

\begin{center}
\begin{tabular*}{3cm}{c}
\begin{tabular}{c}
 \hspace{1cm}$-\infty$ \hspace{0.3cm}${5}$ \hspace{0.2cm}
$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c|}  \hline
& & \\
$-7$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$\\  \hline
& & \\
$x-5$&$-$&$+$\\  \hline
& & \\
$\displaystyle{ {-7\over x-5}}$&$ + $&$ - $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'{i} se tiene que:\\

   \begin{center} $S =\; ]-\infty, 5 [$ \end{center}


$b.)$

\begin{tabular}{rrcl}
&$   \displaystyle{{1 \over x-1}} \,$&$ < $&$\, 2 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$   \displaystyle{{1 \over x-1}}-2 \,$&$<$&$\, 0$\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{1-2(x-1) \over x-1}}\,\,$&$ < $&$ 0 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{1-2x+2 \over x-1}}\,\,$&$ < $&$ 0 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{-2x+3 \over x-1}}\,\,$&$ < $&$ 0\; ; \;\; x \neq 1$\\
\end{tabular}



\begin{center}
\begin{tabular*}{4.2cm}{c}
\begin{tabular}{c}
 \hspace{1.5cm}$-\infty$ \hspace{0.65cm}${1}$\hspace{0.5cm}$3/2$ \hspace{0.2cm}
$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c|c|}  \hline
& &  &\\
$-2x+3$ & $\,+\,$ & $\,\,+\,$& $\,\,-\,$\\  \hline
& &  &\\
$x-1$&$-$&$+$&$+$\\  \hline
& &  &\\
$ \displaystyle{{-2x+3\over x-1}}$&$ - $&$ + $&$ - $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'{i} se tiene que:\\

   \begin{center} $S =\;\displaystyle{  ]-\infty, 1 [\,\,\cup\,\,\left]\,{3\over2}, +\infty \right[}$ \end{center}



$c.)$

 \begin{tabular}{rrcl}
&$  \displaystyle{{3 \over2}+ {x \over x-1}} \, $&$ >$&$ \, \displaystyle{{-2\over \,\,x-1}}$ \\
& & &\\
 $\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{3 \over2}+ {x \over x-1}-{-2\over \;\; x-1}} $&$ > $&$ 0 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{3 \over2}+ {x \over x-1}+{2\over x-1}} \,$&$ > $&$\,0  $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$ \displaystyle{{3(x-1)+2x+2\cdot 2 \over 2(x-1)}}\,\,$&$ > $&$ 0 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$ \displaystyle{{3x-3+2x+4 \over 2(x-1)}}\,\,$&$ > $&$0 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$ \displaystyle{{5x+1\over 2(x-1)}}\,\,$&$ > $&$0\;;  \; \; \;x \neq 1$\\
\end{tabular}



\begin{center}
\begin{tabular*}{4.2cm}{c}
\begin{tabular}{c}
 \hspace{1cm}$-\infty$ \hspace{0.4cm}$\displaystyle{-1/5}$\hspace{0.6cm}${1}$ \hspace{0.1cm}
$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c||c|}  \hline
& &  &\\
$5x+1$ & $\,-\,$ & $\,\,+\,$& $\,\,+\,$\\  \hline
& &  &\\
$2$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
& &  &\\
$x-1$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& &  &\\
$\displaystyle{ {5x+1\over 2(x-1)}}$&$ + $&$ - $&$ + $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}



De aqu\'{i} se tiene que:\\

   \begin{center} $S =\;\displaystyle{  \left]-\infty, {-1 \over\;\; 5} \right[\,\,\cup\,\,\left]\,1, +\infty \right[}$ \end{center}



$d.)$

\begin{tabular}{rrcl}
& & &\\
&$\,\,  \displaystyle{{x-5 \over x+3}} \,$&$ \leq $&$  \, \displaystyle{{2x+1 \over x+3}} $\\
& & &\\
 $\; \Longleftrightarrow \; $&$   \displaystyle{{x-5 \over x+3}-{2x+1 \over x+3}} \,$&$\leq $&$0 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{x-5-(2x+1)\over x+3 }}$&$\leq$&$0$\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{x-5-2x-1\over x+3}}  \,$&$\leq $& $0$\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$ \displaystyle{{-x-6\over x+3}}$&$\leq $&$0\;;\;\;  x \neq -3$\\

\end{tabular}

\begin{center}
\begin{tabular*}{4cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.2cm}$-\infty$ \hspace{0.2cm}${-6}$\hspace{0.4cm}${-3}$ \hspace{0.2cm}
$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c||c|}  \hline
& & & \\
$-x-6$ & $\,+\,$ & $\,\,-\,$& $\,\,-\,$\\  \hline
& & & \\
$x+3$&$-$&$-$&$+$\\  \hline
& & & \\
$\displaystyle{ {-x-6\over x+3}}$&$ - $&$ + $&$ - $\\  \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'{i} se tiene que:\\

   \begin{center} $S =\;  \left]-\infty, -6\,\, \right]\,\,\cup\,\,\left]\,-3, +\infty \right[$ \end{center}


$e.)$

\begin{tabular}{rrcl}

  &$\,\,  \displaystyle{{3 \over 1-x}} \,$&$\geq$&$  \, \displaystyle{{x+6\over 2-x}} $\\
& & &\\
 $\; \Longleftrightarrow \; $&$   \displaystyle{{3 \over 1-x}-{x+6\over 2-x}} \,$&$\geq $&$0$\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{3(2-x)-(1-x)(x+6) \over(1-x)(2-x)}} \,$&$\geq$&$0 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \;$&$   \displaystyle{{6-3x-(x+6-x^2-6x) \over(1-x)(2-x)}} \,$&$\geq$&$0 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{6-3x-x-6+x^2+6x \over(1-x)(2-x)}} \,$&$\geq$&$0 $\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{x^2+2x \over(1-x)(2-x)}} \,$&$\geq $&$0$\\
& & &\\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$ \displaystyle{{x(x+2)\over (1-x)(2-x)}} \,$&$\geq$&$0\;;\;\;  x \neq 1 \,\mbox{ y } x \neq 2$\\
\end{tabular}


\begin{center}
\begin{tabular*}{6.8cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{1.9cm}$-\infty$ \hspace{0.4cm}${-2}$\hspace{0.6cm}${0}$\hspace{0.7cm}${1}$\hspace{0.6cm}${2}$ \hspace{0.3cm}$+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c|c|c||c||c|}  \hline
& & & & &\\
$x$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$& $\,\,+\,$& $\,\,+\,$& $\,\,+\,$\\
 \hline
& & & & &\\
$x+2$&$-$&$+$&$+$&$+$&$+$\\  \hline
& & & & &\\
$1-x$&$+$&$+$&$+$&$-$&$-$\\  \hline
& & & & &\\
$2-x$&$+$&$+$&$+$&$+$&$-$\\  \hline
& & & & &\\
$\displaystyle{ {x(x+2)\over(1-x)(2-x)}}$&$ + $&$ - $&$ + $&$ - $&$ + $\\
 \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'{i} se tiene que:\\

   \begin{center} $S =\;  \left]-\infty, -2 \right]\,\,\cup\,\,\left[\,0,\,1 \right[\,\,\cup\,\,\left]\,2,\,+\infty \right[$ \end{center}


$f.)$

\begin{tabular}{rrcl}
 &$\,\,  \displaystyle{{3-x \over x-2}} \,$&$<$&$   \, \displaystyle{{x-5 \over 1-x}} $\\
& & & \\
 $\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{3-x \over x-2}-{x-5 \over 1-x}} \,$&$< $&$0\, $\\
& & & \\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{(3-x)(1-x)-(x-5)(x-2) \over(x-2)(1-x)}} \,$&$<$&$ 0\, $\\
& & & \\
$\; \Longleftrightarrow \;$&$   \displaystyle{{3-3x-x + x^2-(x^2-2x-5x+10) \over(x-2)(1-x)}} \,$&$< $&$0$\\
& & & \\
$\; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{3-3x-x + x^2-x^2+2x+5x-10 \over(x-2)(1-x)}} \,$&$< $&$0$\\
& & & \\
$\; \Longleftrightarrow \;$&$  \displaystyle{{3x-7\over (x-2)(1-x)}} \,$&$<$&$ 0\;;\;\;  x \neq 2 \,\mbox{ y } x \neq 1$\\
\end{tabular}


\begin{center}
\begin{tabular*}{6cm}{c}
\begin{tabular}{c}
 \hspace{2.3cm}$-\infty$ \hspace{0.45cm}${1}$\hspace{0.7cm}${2}$
\hspace{0.4cm}$7/3$\hspace{0.2cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{|c|c||c||c|c|}  \hline
& & & &\\
$3x-7$ & $\,-\,$ & $\,\,-\,$& $\,\,-\,$& $\,\,+\,$\\
 \hline
& & & &\\
$x-2$&$-$&$-$&$+$&$+$ \\  \hline
& & & &\\
$1-x$&$+$&$-$&$-$&$-$\\  \hline
& & & &\\
$ \displaystyle{{3x-7\over(x-2)(1-x)}}$&$ + $&$ - $&$ + $&$ - $\\
 \hline
\end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}


De aqu\'{i} se tiene que:\\

   \begin{center} $S =\; \displaystyle{ \left]\,1,\, 2 \,\right[\,\,\cup\,\,\left]\,{7\over3},\,+\infty \right[}$ \end{center}


$g.)$

 \begin{tabular}{rrcl}

&$ \,\,  \displaystyle{{3x\over x^2-1}- {1 \over x^2-x}} \,$&$\leq$&$  \, \displaystyle{{2x^2+1\over x^3-x}}$\\
& & & \\
$ \; \Longleftrightarrow \; $&$   \displaystyle{{3x\over x^2-1}- {1\over x^2-x}-{2x^2+1 \over x^3-x}}  \, $&$ \leq $&$ \, 0$\\
& & & \\
 $ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{3x\over (x-1)(x+1)}- {1 \over x(x-1)}-{2x^2+1 \over
x(x^2-1)}}  \,$&$\leq$&$\, 0 $\\
& & & \\
 $ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{3x\over (x-1)(x+1)}- {1 \over x(x-1)}-{2x^2+1 \over
x(x-1)(x+1)}}  \,$&$\leq$&$\, 0 $\\
& & & \\
$ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{(3x)(x) - 1(x+1) -(2x^2+1)\over x(x-1)(x+1)}} \,$&$\leq $&$0 $\\
& & & \\
$ \; \Longleftrightarrow \;$&$   \displaystyle{{3x^2-x-1 -2x^2-1\over x(x-1)(x+1)}} \,$&$\leq $&$0 $\\
& & & \\
$ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{x^2-x-2\over x(x-1)(x+1)}} \,$&$\leq $&$0 $\\
& & & \\
$ \; \Longleftrightarrow \;$&$   \displaystyle{{(x-2)(x+1)\over x(x-1)(x+1)}} \,$&$\leq $&$0 \;\mbox{ considerando }\; x \neq -1 $\\
& & & \\
$ \; \Longleftrightarrow \; $&$ \displaystyle{{x-2\over x(x-1)}} \,$&$< $&$0\;;\;\;  x \neq 0 \,\mbox{ y } x \neq 1$\\
\end{tabular}


 \begin{center}
\begin{tabular*}{6cm}{c}
\begin{tabular}{c}
$-\infty$ \hspace{0.2cm}$-1$ \hspace{0.8cm}$0$ \hspace{0.7cm}$1$
\hspace{0.6cm}$2$ \hspace{0.15cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
    \begin{tabular}{|c|c||c||c||c|c|} \hline
        & & & & &\\
        $x-2$ & $\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,+$ \\  \hline
        & & & & &\\
        $x$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,+$ & $\,\,+$ & $\,\,+$\\  \hline
        & & & & &\\
        $x-1$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,+$ & $\,\,+$\\  \hline
        & & & & &\\
        $ \displaystyle{{(x-2)\over x(x-1)}}$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,+$ & $\,\,-$ & $\,\,+$\\  \hline
    \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

    \vspace{0.2cm}
    De aqu\'{i} se tiene que:\\

    \begin{center} $S = \;]-\infty,-1[ \,\,\cup \,\, ]-1,0[\,\, \cup
    \,\,]1,2[$\\ \end{center}

    \vspace{0.2cm}
    Observe que es importante la restricci\'{o}n $x\neq -1,$ a
    pesar que el factor correspondiente fue simplificado.\\

$h.)$

\begin{tabular}{rrcl}
        & & & \\
        $ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{6x\over x^{2}-4x+3}}$&$>$&$  \displaystyle{{2\over 12-4x}}$ \\
        & & & \\
        $ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{6x\over x^{2}-4x+3}-{2\over 12-4x}}$&$>$&$0$ \\
        & & & \\
        $ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{6x\over (x-3)(x-1)}-{2\over 4(3-x)}}$&$>$&$0$ \\
        & & & \\
        $ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{6x\over (x-3)(x-1)}-{2\over -4(x-3)}}$&$>$&$0$ \\
        & & & \\
        $ \; \Longleftrightarrow \; $&$  \displaystyle{{6x(-4)-2(x-1)\over -4(x-3)(x-1)}}$&$>$&$0$ \\
        & & & \\
       $ \; \Longleftrightarrow \; $& $  \displaystyle{{-24x-2x+2\over-4(x-3)(x-1)}}$&$>$&$0$  \\
        & & & \\
        $ \; \Longleftrightarrow \; $& $\displaystyle{{-26x+2\over-4(x-3)(x-1)}}$ & $>$& $0;\;$  $x\neq 3, \,\, x\neq 1$\\
    \end{tabular}

\begin{center}
\begin{tabular*}{6.3cm}{c}
\begin{tabular}{c}
\hspace{2cm}$-\infty$ \hspace{0.7cm}$1/13$ \hspace{0.3cm}$1$ \hspace{0.7cm}$3$
    \hspace{0.15cm} $+\infty$
\end{tabular}\\
    \begin{tabular}{|c|c|c||c||c|} \hline
        & & & &\\
        $-26x+2$ & $\,+$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ \\  \hline
        & & & &\\
        $-4$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,-$\\  \hline
        & & & &\\
        $x-3$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,+$\\  \hline
        & & & &\\
        $x-1$ & $\,\,-$ & $\,\,-$ & $\,\,+$ & $\,\,+$\\  \hline
        & & & &\\
        $ \displaystyle{{-26x+2\over -4(x-3)(x-1)}}$ & $\,\,-$ & $\,\,+$ & $\,\,-$ & $\,\,+$\\  \hline
    \end{tabular}
\end{tabular*}
\end{center}

\vspace{0.2cm}
De aqu\'{i} se tiene que:\\

\begin{center} $\displaystyle{S =\,\, \left]{1 \over 13},1\right[\,\,\cup\,\,]3,+\infty[}$\\\end{center}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:  \begin{enumerate}

\item   $ \displaystyle{ {{x+1 \over x^{2}+3x} \geq {1 \over {x}}}}$

\item   $ \displaystyle{ {{x+3 \over {2}}-{2x-4 \over {3}} < {3x+2 \over {6}}}}$

\item   $\displaystyle{  {{5 \over {x-2}}+{x \over {1-x}} \leq {-7x+6 \over {(x-2)(1-x)}}}}$

\item   $ \displaystyle{ {{(x+7)x+10 \over {x+10}} > 0}}$

\item   $ \displaystyle{ {{9 \over {x+2}}<{21 \over {x+4}}-2}}$

\item   $ \displaystyle{ {{x-5 \over {1-x}}\leq{3-x \over {x-2}}}}$

\item   $ \displaystyle{{{2x^{2}-x \over {x^{2}-2x+1}}\geq{x \over {x-1}}}}$

\item   $ \displaystyle{ {{2x+1 \over {x(x-3)}}>{3 \over {x-3}}}}$

\item   $ \displaystyle{ {{x-5 \over {4-x}}\leq{3-x \over {x-2}}}}$

\item   $ \displaystyle{ {2-{x \over {x+3}}\geq{-x \over {2-x}}}}$

\item   $ \displaystyle{ {{1 \over {2-x}}>{x^{2} \over {-x^{2}+3x-2}}}}$

\item   $ \displaystyle{ {{(x-3)x-4 \over {x-4}}\leq{(x+2)x-2 \over {x-2}}}}$

\item   $ \displaystyle{ {{-x \over {x-2}}+{3 \over {x+2}} \leq {2-x \over {x^{2}-4}}}}$

\item   $ \displaystyle{ {{-x^{2} \over {4-x}} \geq {x^{3}-x+1 \over {(4-x)^{2}}}}}$

\end{enumerate}
\section{Asíntotas horizontales y verticales}
Asíntotas horizontales y verticales a partir de la gráfica.

\section{Intersecciones con los ejes de coordenadas}
% === Sección de origen: Intersecci\'on con el eje $Y$ ===

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$,\, tal que $f(x)=ax^{2}+bx+c$,\, con
$a,\;b\;\mbox{y}\;c$\, constantes reales y $a\neq 0$.\, Sabemos
que $f$\, interseca al eje $Y$\, cuando $x=0$.\, Pero:\\

$f(0)=x\cdot (0)^{2}+b\cdot 0+c$, \, de donde\,\, $f(0)=c$. Por lo que $f$\, interseca el eje $Y$\, en $(0,c)$\\



\section{Intervalos de monotonía}
% === Sección de origen: Funciones Crecientes y Funciones Decrecientes ===

\inxx{Funciones, creciente}
\inxx{Funciones, decreciente}


\begin{definicion}{\bf(Funci\'on creciente)}\\

Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ y $f: A \longrightarrow \mathbb{R},$ funci\'on.\\

Sea $I \subseteq A,$ se dice que $f$ es una {\rm funci\'on creciente en I,} si para
cualquier par de n\'umeros $a$ y $b$ en $I$, tales que $a<b$ se cumple que $f(a) \leq f(b)$, como
se muestra en la siguiente figura.\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig35}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig27}
\end{center}
%\end{figure}
\end{definicion}


\begin{definicion}{\bf (Funci\'on decreciente)}\\

Sea $A \subseteq \mathbb{R}$ y $f: A \longrightarrow \mathbb{R},$ funci\'on.\\

Sea $J \subseteq A,$ se dice que $f$ es una {\rm funci\'on decreciente en J,} si para cualquier
par de n\'umeros $a$ y $b$ en $J$, tales que $a<b$ se cumple que $f(a) \geq f(b)$.

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig36}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig28}
\end{center}
%\end{figure}
\end{definicion}


Con respecto al trazo de la gr\'afica de una funci\'on las
definiciones anteriores se pueden expresar de la manera
siguiente.\\

Una funci\'on $f$ es creciente si cuando ``$x$'' crece ($x$ var\'ia
de izquierda a derecha), el valor correspondiente a ``$y$'' crece
(``asciende'').\\

Una funci\'on $f$ es decreciente si cuando ``$x$'' crece ($x$
var\'ia de izquierda a derecha), el valor correspondiente a ``$y$''
decrece (``desciende''). \vspace{0.5cm}

\textbf{Ejercicio}\\
Para cada uno de los siguientes trazos de funciones determine:  \begin{enumerate}

\item Intervalos donde la funci\'on es creciente.

\item Intervalos donde la funci\'on es decreciente.

\item $A = \{x \in \mathbb{R} \; \mbox{ {\rm tal que} } \; f(x)>0\}$

\item $B = \{x \in \mathbb{R} \; \mbox{ {\rm tal que} } \; f(x)<0\}$

\item $C = \{x \in \mathbb{R} \; \mbox{ {\rm tal que} } \; f(x)=0\}$

\item Intersecci\'on con los ejes coordenados

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig37}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig29}
\end{center}
%\end{figure}

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig38}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig30}
\end{center}
%\end{figure}

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig39}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig31}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}


\begin{definicion}
Sea $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ una funci\'on tal que $f(x) = a_n
x^{n} + a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x + a_0$ donde $a_n, a_{n-1},...,
a_0$ son constantes reales, $a_n \neq 0$ y $n \in \mathbb{N}$, $f$ se
llama {\rm funci\'on polinomial de grado $n$}
\end{definicion}


\textbf{Ejercicio}\\
La funci\'on definida por:  \begin{enumerate}

\item $f(x) = 2x^{3} + 5x^{2} - 9x + 3,$ es una funci\'on polinomial de grado \rule{2cm}{0.01cm}

\item $g(x) = 2x^{5} - 4x^{2} + 3,$ es una funci\'on polinomial de grado \rule{2cm}{0.01cm}

\item $\displaystyle{h(x) = \frac{3}{2}\;x + 1,}$ es una funci\'on polinomial de grado \rule{2cm}{0.01cm}

\item $m(x) = -2,$ es una funci\'on polinomial de grado \rule{2cm}{0.01cm}

\item $s(x) = 5,$ es una funci\'on polinomial de grado \rule{2cm}{0.01cm}

\end{enumerate}


\begin{definicion}
Sea $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ una funci\'on tal que $f(x) = 0, f$ recibe el nombre de
{\rm funci\'on polinomial cero y no se le asigna grado.}
\end{definicion}


\subsection{Ceros de una funci\'on polinomial}


\begin{definicion}
Sea $f$ una funci\'on polinomial definida por $f(x) = a_n x^{n} +
a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x + a_0$ y sea $\alpha \in \mathbb{R}$. $\alpha$
recibe el nombre de cero de $f$ si $f(\alpha)=0,$ \,\,\,o
sea\,\,\, $a_n \alpha^{n} + a_{n-1} \alpha^{n-1}+...+ a_1 \alpha + a_0 = 0$
\end{definicion}


\textbf{Ejercicio}\\

$-2$ es un cero de la funci\'on $f$ definida por $f(x) =
4-x^{2}$ pues $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$

$3$ es un cero de la funci\'on $f$ definida por $f(x) =
x^{2}-x-6$ pues $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$




{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} \,Aceptaremos y usaremos sin demostrar la
siguiente proposici\'on:\\

\begin{proposicion}
Una funci\'on polinomial de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ ceros reales.
\end{proposicion}


\textbf{Ejercicio}\\

La funci\'on $f$ definida por $f(x) = x^{2}-x-6$ tiene a lo
sumo $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$ ceros reales.

La funci\'on $f$ definida por $f(x) = x^{4}-4x^{2}-4$ tiene
a lo sumo $\underline{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}$ ceros reales.



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} \,\,Observemos que si $f$ es una funci\'on
polinomial definida por $f(x)= a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x + a_0,$
la expresi\'on $a_n x^{n} + a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x + a_0$ es un
polinomio, de aqu\'i en adelante hablaremos de polinomio al
referirnos a la expresi\'on que define una funci\'on polinomial.


\subsection{Operaciones con polinomios}

 Como los polinomios definen un tipo particular de funciones,
a saber, las funciones polinomiales; dados dos polinomios, podemos
efectuar las operaciones definidas para las funciones\\

\begin{ejemplo}

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ tales que: $P(x)=x^{2}-5x+1,\;\; Q(x)=x-3$.
Determine:

\begin{enumerate}
\item $(P+Q)(x)$\\

\item $(P-Q)(x)$\\

\item $(P \cdot Q)(x)$\\

\item $(PoQ)(x)$\\
\end{enumerate}

  \wsolu

 \begin{tabular}{rcl}
    $\mbox{1)}\hspace{0.5cm}(P+Q)(x)$ & $=$ & $P(x) + Q(x)$\\\\

               & $=$ & $(x^{2}-5x+1) + (x-3)$\\\\

               & $=$ & $x^{2}-5x+1+x-3$\\\\

               & $=$ & $x^{2}-4x-2$\\\\
 \end{tabular}

o sea $(P+Q)(x)= x^{2}-4x-2$\\\\

 \begin{tabular}{rcl}
    $\mbox{2)}\hspace{0.5cm}(P-Q)(x)$ & $=$ & $P(x) - Q(x)$\\\\

               & $=$ & $(x^{2}-5x+1) - (x-3)$\\\\

               & $=$ & $x^{2}-5x+1-x+3$\\\\

               & $=$ & $x^{2}-6x+4$\\\\
 \end{tabular}

o sea $(P+Q)(x)= x^{2}-6x+4$\\\\

 \begin{tabular}{rcl}
 $\mbox{3)}\hspace{0.5cm}(P \cdot Q)(x)$ & $=$ & $P(x) \cdot Q(x)$\\\\

               & $=$ & $(x^{2}-5x+1) \cdot (x-3)$\\\\

               & $=$ & $x^{3}-3x^{2}-5x^{2}+15x+x-3$\\\\

               & $=$ & $x^{3}-8x^{2}+16x-3$\\\\
 \end{tabular}

o sea $(P+Q)(x)= x^{3}-8x^{2}+16x-3$\\\\

 \begin{tabular}{rcl}
    $\mbox{4)}\hspace{0.5cm}(PoQ)(x)$ & $=$ & $P(Q(x))$\\\\

               & $=$ & $P(x-3)$\\\\

               & $=$ & $(x-3)^{2}-5(x-3)+1$\\\\

               & $=$ & $x^{2}-6x+9-5x+15+1$\\\\

               & $=$ & $x^{2}-11x+25$\\\\
 \end{tabular}

o sea $(PoQ)(x)= x^{2}-11x+25$

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada uno de los siguientes pares de polinomios $A(x)$ y
$B(x),$ Determine: \,\,$(A+B)(x); (A-B)(x); (A \cdot B)(x)\; y \;(AoB)(x)$  \begin{enumerate}

\item $A(x) = 2x-1$,  \hspace{0.6cm} $B(x) = 2x^{3}-x+1$\\

\item $A(x) = x+1$,   \hspace{0.7cm} $B(x) = 64x^{3}-1$\\

\item $A(x) = -5x+1$, \hspace{0.3cm} $B(x) = x^{2}+3$\\

\item $A(x) = 7$ ,     $B(x) = 35x^{3}+47x^{2}+13x+1$\\

\end{enumerate}


\section{Operaciones con funciones}
% === Sección de origen: Algebra de Funciones ===

Nos abocaremos ahora a obtener ``nuevas'' funciones a partir
de funciones dadas, esto lo haremos haciendo uso de operaciones
algebraicas.\\

Las funciones que obtendremos ser\'an la suma, la diferencia, el
producto, el cociente o la composici\'on de funciones dadas.\\

\begin{definicion}
Sean f y g funciones cuyos dominios son $D_f$ y $D_g$
respectivamente; entonces definimos las funciones $\displaystyle{f+g, \;
f-g,\; f \cdot g,\; \frac{f}{g}}$ llamadas suma, diferencia, producto
y cociente, respectivamente, de la manera siguiente:\\

\begin{enumerate}
\item $(f+g)(x) = f(x) + g(x);$\, para cada $x\; \, \in \,\; D_f
\cap D_g$\\

\item $(f-g)(x) = f(x) - g(x);$\, para cada $x\; \, \in \,\; D_f
\cap D_g$\\

\item $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x);$\, para cada $x\; \, \in \,\;
D_f
\cap D_g$\\

\item $\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}};$\,
con
$g(x) \neq 0$ y $x\; \, \in \,\; D_f \cap D_g$\\
\end{enumerate}

\end{definicion}


Notemos que el dominio de las funciones $\displaystyle{f+g, \; f-g,\; f \cdot
g,\; \frac{f}{g}}$ es el mismo, a saber $D_f \cap D_g$


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} Cuando no se especifique el dominio de una
funci\'on se entender\'a que \'este es el m\'aximo dominio real de la funci\'on.\\


\begin{ejemplo}

Si $f$ y $g$ son funciones definidas respectivamente por: $f(x) =
\sqrt{x+1},\;\;\; g(x)= x+2,$ entonces\\

\begin{enumerate}
\item $(f+g)(3) = f(3) + g(3) = 2+5 = 7$\\

\item $(f-g)(3) = f(3) - g(3) = 2-5 = -3$\\

\item $(f \cdot g)(3) = f(3) \cdot g(3) = 2 \cdot 5 = 10$\\

\item $\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)\;(3) = \frac{f(3)}{f(3)} = \frac{2}{5}}$\\
\end{enumerate}

Observemos que $\displaystyle{(f+g)(-3),\; (f-g)(-3),\; (f \cdot g)(-3),\;
\left(\frac{f}{g}\right)\;(-3)}$ no est\'an definidas pues $-3 \notin  D_f \cap D_g$\\

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Sean $f$ y $g$ funciones definidas respectivamente por: $f(x) = 5x^{2} - 2x + 5,\;\;\;
g(x)= 3x+2$\\

Determinar $\displaystyle{(f+g)(x), \; (f-g)(x),\; (f \cdot g)(x),\;
\left(\frac{f}{g}\right)(x)}$. Adem\'as indicar sus dominios respectivos.\\

 \wsolu

Como $D_f = \mathbb{R}; \;\; D_g = \mathbb{R}$ entonces el dominio m\'aximo para
las funciones $f+g, \; f-g,\; f \cdot g,\;$\, es \,$D_f
\bigcap D_g = \mathbb{R}$\\

$\begin{array}{rcl}
 \mbox{a)}\hspace{0.5cm}(f+g)(x) & = & f(x) + g(x) \\
    &   &   \\
    & =  & 5x^{2} - 2x + 5 + 3x+2  \\
    &   &   \\
    & = & 5x^{2} + x+7,\hspace{0.5cm} \mbox{o sea}\;\;(f+g)(x)=5x^{2} + x+7 \\
\end{array}$





$\begin{array}{rcl}
 \mbox{b)}\hspace{0.5cm} (f-g)(x) & = &f(x) - g(x)  \\
    &   &   \\
        & =  &  5x^{2} - 2x + 5 - (3x+2) \\
     &   &   \\
    & = & 5x^{2}-2x+5-3x-2 \\
    &   &   \\
    & = & 5x^{2}-5x+3,\hspace{0.5cm} \mbox{o sea}\;\;(f-g)(x)=5x^{2} -5x+3 \\
\end{array}$





$\begin{array}{rcl}
 \mbox{c)}\hspace{0.5cm} (f \cdot g)(x)& = & f(x)\cdot g(x) \\
    &   &   \\
    & = & (5x^{2} - 2x + 5)(3x+2) \\
    &   &   \\
    & = & 15x^{3}-6x^{2}+15x+10x^{2}-4x+10 \\
    &   &   \\
    & = & 15x^{3}+4x^{2}+11x+10 \hspace{0.5cm} \mbox{ o sea }\;\;(f \cdot g)(x)=15x^{3}+4x^{2}+11x+10 \\
\end{array}$





d)\hspace{0.5cm} Como $\displaystyle{g(x) = 0 \Longleftrightarrow 3x+2 = 0
\Longleftrightarrow x= \frac{-2}{3}},$ entonces el dominio de la
funci\'on $\displaystyle{\frac{f}{g}}$ es  $\displaystyle{\mathbb{R} - \left\{\frac{-2}{3}
\right\}}$ y adem\'as:\\\\

$\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} =
\frac{5x^{2} - 2x + 5}{3x+2}}$\\\\

O sea:\hspace{0.5cm}$\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)(x) =
\frac{5x^{2} - 2x + 5}{3x+2}}$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Considere las funciones $f$ y $g$ definidas  por:\\

$f(x) = x - \sqrt{3};$\,\, para $x\; \, \in \,\; ]-2,5[$\\

$g(x) = x + \sqrt{3};$\,\, para $x \;\, \in \,\; [-5,2]$\\

Determine $(f \cdot g)(x)$ y su dominio respectivo.\\

\wsolu

$(f \cdot g)(x) = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = x^{2}-3$,\, o
sea\,\, $(f \cdot g)(x) = x^{2}-3$\\

El dominio de esta funci\'on es:\\

\[]-2,5[\; \cap \;[-5,2] = ]-2,2]\]

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Considere las funciones $f$ y  $g$ definidas por:\\

$f(x) = 6x-9;$ para $x\; \, \in \,\; [0,5[$\\

$g(x) = 2x-3;$ para $x\; \, \in \,\; ]1,7]$\\

Determine $\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)(x)}$ y su dominio
respectivo.


\wsolu

$\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} =
\frac{6x-9}{2x-3} = \frac{3(2x-3)}{2x-3} = 3}$\\

O sea $\displaystyle{\left(\frac{f}{g}\right)(x) = 3}$. Adem\'as como $g(x) = 0$ si $\displaystyle{x = \frac{3}{2}},$
entonces $x$ no puede tomar el valor de $\displaystyle{\frac{3}{2}},$ adem\'as como: \\

$[0,5[\; \cap\; ]1,7] =\; ]1,5[$ entonces el dominio de
$\displaystyle{\frac{f}{g}}$ es $\displaystyle{]1,5[ - \left\{\frac{3}{2} \right\}}$

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Sean $f(x) = x+3$ para $x\; \, \in \,\;[-5,1]$ y $g(x) = 6+2x$ para
$x\; \, \in \,\;]-6,0[$. Determine: $\displaystyle{(f+g)(x), \; (f-g)(x),\; (f \cdot g)(x),\;
\left(\frac{f}{g}\right)(x)},$ e indicar el dominio de la funci\'on respectiva.

Sean $\displaystyle{h(x) = \sqrt{2-x},\;\; m(x) = \sqrt{2x+6}}$. Determine $(h \cdot m)(x)$ y su dominio
respectivo.

Sean $r(x) = x^{2} -4,\;\; s(x) = x+2$. Determine
$\displaystyle{\left(\frac{r}{s}\right)(x)}$ y su dominio respectivo.



\begin{definicion}
Sea $f: A \longrightarrow B$ una funci\'on, sea $\alpha\; \, \in
\, \; \mathbb{R},$\, $\alpha$ constante, llamaremos producto de $\alpha$ y
$f$ y lo designamos \,$\alpha\cdot\;f$\, a la funci\'on definida por:
$(\alpha f)(x) = \alpha \cdot f(x)$ para cada $x \, \in \, A$
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

Si $f(x) = 2x-1$ y $\alpha =3$ entonces\\

$(\alpha f)(x) = (3f)(x) = 3f(x) = 3(2x-1) = 6x-3$,\,\, o sea\,\, $(3f)(x) = 6x-3 $

\end{ejemplo}

\inxx{Funciones, composición}



\textbf{Ejercicio}\\

Sea $f(x) = 3-x$. Calcule: \,$(2f)(x);\;\; (-5f)(x) ;\;\; (3f)(1)$




% === Sección de origen: Composici\'on de funciones ===

\begin{ejemplo}

Consideremos la funci\'on $f$ definida por: $f(x) = 2x+3$ y calculamos:

\begin{enumerate}
\item[a)] $f(1);\;\; f(-1);\;\; f(2); \;\; f(-2); \;\;f(0)$

\item[b)] $\displaystyle{f(2+h),\;\; f(a+h);\;\;
f(a-h);\;\;f\left(\frac{1}{x+1}\right)}$
\end{enumerate}

 \wsolu

\begin{enumerate}
\item[a)] $f(1) = 2 \cdot (1)+3 = 2+3 = 5;$\,\,\,\, o sea \,\,$f(1) = 5$\\

$\begin{array}{rclclcrcl}
  f(-1) & = & 2 \cdot (-1)+3   & =  & -2+3, &\mbox{o sea}\hspace{0.3cm}  &f(-1) & = & 1 \\
        &   &               &    &                                   &      &   & \\
  f(2)  & = & 2 \cdot (2)+3    & =  & 7,    & \mbox{o sea}\hspace{0.3cm} &f(2)  & = & 7 \\
        &   &               &    &                                   &      &   & \\
  f(-2) & = &  2 \cdot (-2)+3  & =  & -1,   & \mbox{o sea}\hspace{0.3cm} &f(-2) & = & -1\\
        &   &               &    &                                   &      &   & \\
  f(0)  & = &  2 \cdot (0)+3   &  = & 3,    & \mbox{o sea}\hspace{0.3cm} &f(0)  & = & 3 \\
\end{array}$



 \item[b)] Notemos que para calcular $f(1);\; f(-1); \;f(2); \; f(-2)\;
 y\; f(0),\;$lo que hemos hecho es sustituir $x$  en la expresi\'on: $f(x) =
 2x+3,$ por $1,-1, 2, -2$\, y  $0$ respectivamente.\\

 De la misma forma, para calcular $\displaystyle{f(2+h);\;  f(a+h); \; f(a-h),
f\left(\frac{1}{x+1}\right)}$ lo que haremos es sustituir $x$ en
la expresi\'on $f(x) =  2x+3,$ por $\displaystyle{2+h,\; a+h, \; a-h,
\frac{1}{x+1}}$
respectivamente de la siguiente manera:\\

$\begin{array}{rclclcrcl}
f(2+h)  & = & 2 \cdot (2+h)+3  & =  & 2h+7       &\mbox{o sea,}\hspace{0.3cm}  &f(2+h)  & = & 2h+7 \\
        &   &               &    &                                   &      &   & \\
f(a+h)  & = & 2 \cdot (a+h)+3  & =  & 2a+2h+3    & \mbox{o sea,}\hspace{0.3cm} &f(a+h)  & = & 2a+2h+3\\
        &   &               &    &                                   &      &   & \\
f(a-h)  & = & 2 \cdot (a-h)+3  & =  & 2a-2h+3    & \mbox{o sea,}\hspace{0.3cm} &f(a-h)  & = & 2a-2h+3\\
        &   &               &    &                                   &      &   & \\
\displaystyle{f\left(\frac{1}{x+1}\right)}& = &  \displaystyle{2 \cdot \left(\frac{1}{x+1}\right)+3 }  &  = &\displaystyle{ \frac{3x+5}{x+1}}  & \mbox{o sea,}\hspace{0.3cm} &\displaystyle{f\left(\frac{1}{x+1}\right)}  & = & \displaystyle{\frac{3x+5}{x+1}} \\
\end{array}$


\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Considere la funci\'on $f$ definida por: $f(x) = 3x^{2}-5$  \begin{enumerate}

\item Calcule: $\displaystyle{f(0),\;\; f(1),\;\; f(-2),\;\; f(2),\;\; f(3+h),\;\;
f(2-h),\;\; f(a+b),\;\; f(a-b), \;\;f(\sqrt{a}),
\;\;f\left(\frac{x}{x-1}\right)}$

\end{enumerate}


\begin{definicion}
Sean $f:A \longrightarrow C$ y $g:B \rightarrow D$ funciones,
tales que $f(A) \cap B \neq \emptyset,$ entonces se llama
funci\'on compuesta de $g$ y $f$ y la denotamos ``$g\,o\,f$'' a la
funci\'on definida por $(g \; o \; f)(x) = g[f(x)],$ para cada $x
\, \in \, A,$ tal que $f(x) \, \in \, B.$ \\
\end{definicion}


Gr\'aficamente podemos representar la funci\'on compuesta de
$g$ y $f$ de la manera siguiente\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig27}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig23}
\end{center}
%\end{figure}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observaci\'on:}}

\begin{enumerate}
\item De la definici\'on anterior se deduce que el dominio de la
funci\'on $g\;o\;f$ es dado por:\\

$D_{gof} = \{x \, \in \, D_f \; \mbox{ {\rm tal que} } \; f(x) \, \in \, D_g \}$\\

\item Nosotros no nos preocupamos por determinar el dominio de la
funci\'on compuesta, sino \'unicamente nos interesa establecer el
criterio que define la funci\'on.\\

\item En la mayor\'ia de los casos (salvo en ocasiones especiales)
$gof$ es diferente de $fog$
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}

Considere las funciones $f$ y $g$ definidas por:\\

$f(x) = 2x^2$\,\,\,\,$g(x) = 4x+1$. Determine:\\

\begin{enumerate}
\item[a)] El criterio para la funci\'on $fog$\\

\item[b)] El criterio para la funci\'on $gof$\\
\end{enumerate}

\wsolu

 \begin{tabular}{rcl}

$a.)\;(gof)(x)$ & $=$ &  $g[f(x)]$\\\\

           & $=$ & $g[2x^2]$\\\\

           & $=$ & $ 4[2x^2] + 1$\\\\

           & $=$ & $ 8x^2+1$\\\\

  \end{tabular}

Es decir: $(gof)(x) =8x^2+1$\\\\

 \begin{tabular}{rcl}
$b.\; (fog)(x)$ & $=$ & $f[g(x)]$\\\\

& $=$ & $ f[4x+1]$\\\\

& $=$ & $ 2[4x+1]^2$\\\\

& $=$ & $ 2[16x^2+8x+1]$\\\\

& $=$ & $ 32x^2+16x+2$\\\\
 \end{tabular}

Es decir: $(fog)(x) =32x^2+16x+2$\\

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Considere las funciones $f$ y $g$ definidas por: $f(x)=\sqrt{x}$,
$g(x) = 5x-4$.  Determine:\\

\begin{enumerate}
\item[a)] El criterio para la funci\'on $fog$

\item[b)]El criterio para la funci\'on $gof$
\end{enumerate}


 \wsolu

\mpage{
 \begin{tabular}{rcl}
a)$\hspace{0.3cm} (fog)(x)$ & $ =$ & $ f[g(x)]$\\\\
                 & $=$ & $f[5x-4]$\\\\
                 & $=$ & $\sqrt{5x-4}$\\\\
 \end{tabular}
Es decir: $(fog)(x) = \sqrt{5x-4}$\\
}{
 \begin{tabular}{rcl}
b)$\hspace{0.3cm}(gof)(x)$ & $=$ & $g[f(x)]$\\\\
                 & $=$ & $g[\sqrt{x}]$\\\\
                 & $=$ & $5\sqrt{x} -4$\\\\
 \end{tabular}
Es decir: $(gof)(x) = 5\sqrt{x} -4$\\
}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Considere la funci\'on $f$ definida por $f(x)=3x+2$. Determine el criterio para la funci\'on $fof$.\\

\wsolu

 \begin{tabular}{rcl}
$(fof)(x)$ & $=$ & $f[f(x)]$\\\\

           & $=$ & $f[3x+2]$\\\\

           & $=$ & $3[3x+2] + 2$\\\\

           & $=$ & $9x+6+2$\\\\

           & $=$ & $9x+8$\\\\
 \end{tabular}

Es decir: $(fof)(x) = 9x+8$\\

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Para cada uno de los pares de funciones $f$ y $g$ determine
el criterio correspondiente a las funciones $fog$ y $gof$:  \begin{enumerate}

\item $f(x)=2x^2 + 6,\;g(x)=7x+2$

\item $f(x)=x^2-x-1,\;g(x)=x-1$

\item $f(x)=\displaystyle{\frac{2}{x-1}},\; g(x)=\displaystyle{\sqrt{2x-3}}$

\item $f(x)=\displaystyle{\frac{x-1}{x+1}},\; g(x)=\displaystyle{\frac{x+1}{x-1}}$

\item $f(x)=x^2+2x,\; g(x)=3x+4$

\item $f(x) = x^2,\; g(x)=\displaystyle{\frac{1}{x}}$

Sean $f(x)=3x-7$ y $g(x)=2x+k$.  Determine $k$ de modo que $(fog)(x) = (gof)(x)$

\end{enumerate}



\section{Intersección entre funciones}
% === Sección de origen: Intersecci\'{o}n entre gr\'{a}ficas de funciones ===

\inxx{Funciones, intersección}


\begin{definicion}
Sean $f: A \longrightarrow \mathbb{R}; A \subset \mathbb{R}$\\

\hspace{0.9cm}$h: B \longrightarrow \mathbb{R}; B \subset \mathbb{R}$\\

Sean $G_f$ y $G_h$ los gr\'{a}ficos respectivos de f y g, entonces
la intersecci\'{o}n de $G_f$ y $G_h$ son los puntos $(x_{0},
y_{0})$, donde:\\

\begin{enumerate}
\item $\;x_0$ es una soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $f(x)= h(x)$
y
$f(x_0)=y_0 =h(x_0)$\\

\item $\;x_0 \in A \cap B$
\end{enumerate}

\end{definicion}


\begin{ejemplo}

Sean $f$ y $g$ funciones definidas respectivamente por $f(x)= x^2+5x+4$ ;  $g(x)= 2x+4$\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Determine los puntos de intersecci\'{o}n entre las
gr\'{a}ficas de $f$ y $g$ \\

\item[b)] Represente en un sistema de coordenadas la situaci\'{o}n\\
\end{enumerate}
 \wsolu

\begin{enumerate}
\item[a)] para encontrar los puntos de intersecci\'{o}n entre las
gr\'{a}ficas de $f$ y $g$ debemos resolver la ecuaci\'{o}n $f(x) =
g(x)$ es decir:\\

 \begin{tabular}{rcl}
    $ x^2+5x+4$ & $=$ & $2x+4$\\\\

    $ x^2+3x$   & $=$ & $0$\\\\

    $ x(x+3)$   & $=$ & $0$\\\\

        $x=0$   & o   & $x = -3$\\\\
 \end{tabular}

Si $x=0$ entonces $g(0) = 4$ y $f(0) = 4$\\

Si $x=-3$ entonces $g(-3) = -2$ y $f(-3) = -2$\\

entonces los puntos de intersecci\'{o}n entre las gr\'{a}ficas de f y g son $(0,4)$ y $(-3,-2)$\\
 \item[b)] Para hacer el trazo de f haremos el estudio de la par\'{a}bola.\\

Como $f(x)= x^2+5x+4$; en este caso se tiene que $a=1$, $b=5$ y $c=4$\\

\begin{enumerate}
\item[i)] {\bf{Concavidad}}\\

La par\'{a}bola es c\'{o}ncava hacia arriba.\, ?`Por qu\'{e}?\\

\item[ii)] {\bf{Intersecciones de la par\'{a}bola en los
  ejes coordenados}}\\

\begin{enumerate}
\item[a.] La intersecci\'{o}n con el eje $Y$\, es el punto
$(0,4)$\, ?`Por   qu\'{e}?\\

\item[b.] Para obtener la intersecci\'{o}n de la par\'{a}bola con
el eje $X$, debemos resolver la ecuaci\'{o}n $x^2+5x+4=0$\\

$\bigtriangleup = b^2-4ac$; en este caso $\bigtriangleup = 25 -4(1)(4)=
9,$ es decir $\bigtriangleup = 9$, entonces existen dos ceros reales diferentes a saber:\\

 \begin{tabular}{lclclcl}
  $x_1 $=$ \displaystyle{-5 +\sqrt{9} \over 2}$ & & $x_2 $=$ \displaystyle{-5 -\sqrt{9} \over
  2}$\\\\

  $x_1 $=$ \displaystyle{-5 + 3 \over 2}$ & & $x_2 $=$ \displaystyle{-5 -3 \over 2}$\\\\

  $x_1 $=$-1$ & & $x_2$ = $-4$\\\\
 \end{tabular}
\end{enumerate}



Por lo tanto los puntos de intersecci\'{o}n de la
par\'{a}bola con el eje $X$ son $(-1,0)$ y $(-4,0)$



\item[iii)] {\bf V\'{e}rtice}\\

  \hspace{1.4cm}El v\'{e}rtice de la par\'{a}bola es $\;\displaystyle{-b \over 2a}\;$ y $\;f\displaystyle{\left(-b \over
 2a\right)}\,\,$ pero $\displaystyle{-\frac{b}{2a}} = \displaystyle{-\frac{5}{2}}\,\,$ y \\

 \hspace{1.4cm} como $f\displaystyle{\left(-5 \over 2\right)}$ =
$\displaystyle{\left(-5 \over
2\right)^2}$ + $5\displaystyle{\left(-5\over 2\right)} + 4$\\

 \hspace{2.6cm}$f\displaystyle{\left(-5 \over 2\right)}$ = $\displaystyle{25 \over
4} - {25
\over 2}+ 4$\\

 \hspace{2.6cm}$f\displaystyle{\left(-5 \over 2\right)} = \displaystyle{-9 \over 4}$\\

 \hspace{1.4cm}Entonces el v\'{e}rtice de la par\'{a}bola es
$\displaystyle{\left(\frac{-5}{2},\,\frac{-9}{4}\right)}$\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

 Con la informaci\'{o}n obtenida en (i), (ii) y (iii)
trazamos la par\'{a}bola.\\

Con la informaci\'{o}n obtenida en a) (puntos de intersecci\'{o}n entre las gr\'{a}ficas de $f$
y $g)$, trazamos la gr\'{a}fica de $g$.\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/img18}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig46}
\end{center}
%\end{figure}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Determine (si existen) los puntos de intersecci\'{o}n entre las gr\'{a}ficas de los
siguientes pares de funciones, en cada caso haga un dibujo de la situaci\'{o}n.  \begin{enumerate}

\item {$f(x)= x^2+4x+1;\;\;\;g(x)=x^2+1$}\\

\item {$f(x)=4x^2-8x-5;\;\;\;\;g(x)=5x-6$}\\

\item {$f(x)= -2x^2-1;\;\;\;\;g(x)= -x-7$}\\

\item {$f(x)= x^2-1;\;\;\;\;\;g(x)=-x^2+1$}\\

\end{enumerate}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{ Problemas que se resuelven usando
la ecuaci\'{o}n de segundo grado}}\\


Muchos problemas, especialmente los que se refieren a conceptos f\'{i}sicos como \'{a}reas,
vol\'{u}menes, aceleraci\'{o}n, etc. Requieren que se use, para resolverlos, las ecuaciones de
segundo grado.\\

\begin{definicion}
Una ecuaci\'{o}n de segundo grado o ecuaci\'{o}n cuadr\'{a}tica,
es una ecuaci\'{o}n equivalente a una de la forma $ax^2+bx+c=0$,
con a,b y c constantes reales y $a \neq 0$\\
\end{definicion}

Ejemplos de ecuaciones cuadr\'{a}ticas\\

\begin{enumerate}
    \item[a)]{$x^2-5x= -6$}\\

    \item[b)]{$x^2 = 25 $}\\
    \item[c)]{$3x^2+4x= 0$}\\

    \item[d)]{$4x^2-4x+1=0$}\\

    \item[e)]{$2x^2-3x+6=0$}\\

    \item[f)]{$x^2+x+1=0$}\\
\end{enumerate}

Consideremos la ecuaci\'{o}n de segundo grado $ax^2+bx+c=0$ y sea
$f$ una funci\'{o}n polinomial de segundo grado tal que
$f(x)=ax^2+bx+c$, entonces determinar las soluciones de la
ecuaci\'{o}n $ax^2+bx+c = 0$, es equivalente a encontrar los ceros
de $f$, por lo tanto para resolver las ecuaciones de segundo grado
podemos aplicar las f\'{o}rnulas del discriminante.\\

\begin{ejemplo}

Resuelva $x^2-5x=-6$

 \wsolu

 \hspace{1.5cm}$ x^2 -5x = -6\;\;\mbox{entonces}\;\; $

 \hspace{1.5cm}$ x^2 -5x +6 =0 $

 \hspace{1.5cm}$ \bigtriangleup = 25 -4(1)(6) = 25 -24 $

 \hspace{1.5cm}$ \bigtriangleup = 1 \;\;\mbox{por lo tanto
existen dos soluciones}$\\

 \begin{tabular}{lcl}
    $ x_1 = \displaystyle{5 + \sqrt{1} \over 2}$ & & $x_2 = \displaystyle{5 -
\sqrt{1} \over 2}$\\\\

    $ x_1 = \displaystyle{5 + 1 \over 2}$       &  & $x_2 = \displaystyle{5 - 1 \over
    2}$\\\\

    $ x_1 = 3$                        & & $x_2 = 2 $\\\\
 \end{tabular}

Por lo tanto el conjunto soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n
$x^2-5x=-6$ es \,\,$\{2,3\}$

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Resuelva $x^2+x+1=0$

 \wsolu

En este caso $\bigtriangleup = 1 - 4(1)(1) = 1 -4 = -3,$ es decir
$\bigtriangleup = -3$\\

Por lo tanto el conjunto soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n
$x^2+x+1=0$ es vac\'io.

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Resuelva $-4x^2+4x-1=0$

 \wsolu

En este caso $\bigtriangleup = 16 - 4(-4)(-1)= 16 -16 = 0$, o sea
$\bigtriangleup = 0,$ por lo tanto existen dos soluciones reales
ambas iguales a:
$\displaystyle{{-4 \over -8} = {1 \over 2}}$\\

As\'{i} el conjunto soluci\'{o}n de $-4x^2+4x-1=0$ es
$\left\{\displaystyle{1 \over 2}\right\}$\\

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones  \begin{enumerate}

\item {$6x^2+5x-4=0$}

\item {$24x^2+26x+5=0$}

\item {$5-9x-2x^2=0$}

\item {$x^2-4x+4=0$}

\item {$2x^2-6x+7=0$}

\item {$x^2+3x+9=0$}

\end{enumerate}




\subsection{Resoluci\'{o}n de problemas}

\inxx{Funciones, problemas}

Cuando el planteo de un problemas da origen a una ecuaci\'{o}n de
segundo grado, al resolver esta ecuaci\'{o}n se obtienen dos
valores para la inc\'{o}gnita.\\

En estos casos se aceptan como solución del problema los valores
de la inc\'ognita que satisfacen las
condiciones del problema y se rechazan las que no las cumplen.\\

\begin{ejemplo}

Resuelva el siguiente problema\\

El largo de un terreno rectangular es el doble que su ancho. Si el
largo se aumenta en $40m$ y el ancho en $6m$, el \'{a}rea se
aumenta
al doble. Hallar las dimensiones del terreno.\\

\wsolu

Sea $x$ al ancho del terreno, entonces $2x$ es el largo.\\

El \'{a}rea del terreno es $2x \cdot x = 2x^2$\\

Ahora aumentando el largo en $40m,$ obtenemos $2x+40$ y aumentando
el ancho en $6m$, obtenemos $x+6$, y el \'{a}rea ser\'{a} $(2x+40)(x+6)=
2x^2+52x+240$\\

Pero, seg\'{u}n las condiciones del problema, el \'{a}rea
es el doble del \'{a}rea anterior, es decir:\\

 \begin{tabular}{rcl}

$ 2x^2+52x+240$    & $=$ & $4x^2, \;\mbox{por lo tanto}$\\\\

$ -2x^2+52x+240$   & $=$ & $0$\\\\

$ -2(x^2-26x-120)$ & $=$ & $0\;\;\mbox{entonces}$\\\\

$ x^2 -26x - 120$  & $=$ & $0 $\\
 \end{tabular}

en este caso\\

 \begin{tabular}{lcl}

$\bigtriangleup$ & $=$ & $(-26)^2 -4(1)(-120) $\\\\

$\bigtriangleup$ & $=$ & $676 +480$\\\\

$\bigtriangleup$ & $=$ & $ 1156 $\\\\

 \end{tabular}

 Por lo que:\\

 \begin{tabular}{lcl}

$ x_1= \displaystyle{26 + \sqrt{1156} \over 2}$ & & $x_2= \displaystyle{26 -
\sqrt{1156}
\over 2}$\\\\

$ x_1= \displaystyle{26 + 34 \over 2}$ & & $x_2= \displaystyle{26 - 34 \over 2}$\\\\

$ x_1 = 30$ & & $x_2= -4 $\\\\
 \end{tabular}

$x_2= -4 $\,\, no puede ser soluci\'{o}n del problema\\

Por lo tanto el ancho del terreno es $30m$, y como el largo es el
doble del ancho, entonces el largo es de $60m$.\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Respuesta:}} El ancho del terreno es de $30m$ y el largo
es de $60m$\\

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Resuelva cada uno de los siguientes problemas:  \begin{enumerate}

\item Dos alfareros llevan en conjunto 200 vasijas de arcilla para la venta.
El primero vende $\subset\hspace{-3mm}|\;\;0.50$ menos por unidad que el segundo y se
recauda $\subset\hspace{-3mm}|\;\;240$. El segundo recauda $\subset\hspace{-3mm}|\;\;60$
menos que el primero. ?`Cu\'{a}ntas vasijas vendi\'{o} cada uno y a qu\'{e}
precio?\\

\item Los asistentes a una fiesta tienen que pagar en total $\subset\hspace{-3mm}|\;\;390$.
Pero se decide que dos de ellos no paguen la cuota, por lo cual los dem\'{a}s aceptan pagar cada
uno $\subset\hspace{-3mm}|\;\;4$ m\'{a}s de lo que les correspond\'{i}a pagar. ?`Cu\'{a}ntas
personas asistieron a la fiesta?\\

\item Una oficina cuadrada contiene $25$ escritorios y adem\'{a}s un pasillo de $3m$ de ancho
a lo largo de uno de sus lados. Si el espacio destinado a cada escritorio es $5,2m^2$,
calcule la medida del lado de la oficina.

\end{enumerate}


Existe otro tipo de problemas en los cuales se aplica el concepto
de v\'{e}rtice para resolverlos, consideremos el ejemplo siguiente


\begin{ejemplo}

Se quiere cercar un terreno de forma rectangular, para sembrar
hortalizas. Si con el material que se dispone se puede cercar una
longitud de $32m$. ?`Cu\'{a}les deben ser las dimensiones del
terreno para que su \'{a}rea sea m\'{a}xima?.\\

\wsolu

Sean $x$ e $y$ las dimensiones del terreno. Entonces debe
cumplirse que:

\begin{equation}\label{Cap6eq16}
2x + 2y = 32
\end{equation}

%\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap6-Funciones/img19}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig47}
\end{center}
%\end{figure}

Adem\'{a}s el \'{a}rea del terreno, se puede expresar en
t\'{e}rminos de x e y (A(x,y)) de la manera siguiente:

\begin{equation}\label{Cap6eq17}
A(x,y) = x\cdot y
\end{equation}

Ahora si despejamos de \ref{Cap6eq16} una de las inc\'{o}gnitas, digamos y,
obtenemos que:\\

 \begin{tabular}{rcl}

$ 2x + 2y$ & $=$ & $32$\\\\

$ 2(x+y)$ & $=$ & $32$\\\\

$ x+y$ & $=$ & $16$\\\\

$ y$ & $=$ & $16 - x $\\\\
 \end{tabular}

Sustituyendo $y$ por $16 - x$ en \ref{Cap6eq17} tenemos el \'{a}rea \'{u}nicamente en
t\'{e}rminos de $x$, as\'{i}\\

 \begin{tabular}{rcl}

$ A(x)$ & $=$ & $x(16-x) $\\\\

$ A(x)$ & $=$ & $16x - x^2 $\\\\

$ A(x)$ & $=$ & $-x^2 + 16x $\\\\
 \end{tabular}

Como esta es una funci\'{o}n de segundo grado, c\'{o}ncava hacia
abajo, alcanza su m\'{a}ximo en el v\'{e}rtice de la par\'{a}bola.\\

El v\'{e}rtice de esta par\'{a}bola es:\\


\hspace{1.5cm}$\displaystyle{\left(\frac{-16}{-2},f\left(\frac{-16}{-2}\right)\right)}=$
$(8,f(8))=(8,64) $\\

El valor correspondiente a $x$ en este caso es $8$.\\

Sustituyendo $x$ por $8$ en \ref{Cap6eq16} tenemos que\\

 \begin{tabular}{rcrcl}

$ 2\cdot 8 +2y = 32$ & $\; \; \Longrightarrow \; \;$ & $16 + 2y$ &
$=$ &
$32$\\\\

                     &                   & $ 2y$ & $=$ & $16$\\\\

                     &                   & $ y$ & $=$ & $8 $\\\\
 \end{tabular}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Respuesta:}} El largo del rect\'{a}ngulo debe medir $8m$ y su
ancho $8m$, es decir se trata de un cuadrado.

\end{ejemplo}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}\,\,Observe que el \'{a}rea m\'{a}xima del
terreno es $64m^2$.\\


\textbf{Ejercicio}\\

Resuelva cada uno de los siguientes problemas:  \begin{enumerate}

\item El momento de flexi\'{o}n de una viga de longitud $L$ en
metros y soportando una carga de $W$ kilogramos por metro $(kg/m)$
uniformemente distribuida cuando se fija en su extremo, est\'{a}
dado para un punto localizado a $x$ metros del extremo fijado por:
$M = \displaystyle{W \over 8}(4x^2-5Lx + L^2)$\\

\verb#      #{\bf a.1)} Encuentre la distancia $x$ para el m\'{a}ximo momento de flexi\'{o}n.\\

\verb#      #{\bf a.2)} Si la viga tiene una longitud $L$ de $18m$ y soporta
$150 kg/m$, encuentre \\
\verb#      #el valor de $x$ para el cual el momento de flexi\'{o}n es cero.\\

\item En un cine con capacidad para $800$ personas se sabe
que si se cobra a $\subset\hspace{-3mm}|\;\;12$ la entrada asisten
$800$ personas y que por cada $\subset\hspace{-3mm}|\;\;2$ de
aumento en el costo la entrada disminuye en $80$ el n\'{u}mero de espectadores.\\

\verb#      #{\bf b.1)} Escriba el criterio para la funci\'{o}n $R$, donde $R(x)$ denota la recau\\
\verb#      # daci\'{o}n total de las entradas y $x$ denota el n\'{u}mero de incrementos de
$\subset\hspace{-3mm}|\;\;2$
\verb#      #en el costo de cada entrada.\\

\verb#      #{\bf b.2)} Calcule $g(0),\; g(1),\; g(3),\; g(4)\;y \;g(10)$\\

\verb#      #{\bf b.3)} ?`Cu\'{a}l es el precio de la entrada que dar\'{a} la m\'{a}xima ganancia y cu\'{a}l
\verb#      #es la recaudaci\'{o}n.\\

\item  Un granjero tiene un terreno limitado en uno de sus lados
por un muro de piedra. Si cuenta con $120m$ de material, para
cercar una parcela rectangular utilizando el muro como uno de sus
lados ?`Qu\'{e} dimensiones debe tener la parcela para cercar la mayor
\'{a}rea?.\\

\item  En una f\'{a}brica $y$ es el costo de producci\'{o}n de $x$
miles de art\'{i}culos. Si este costo satisface la relaci\'{o}n
$\displaystyle{{y \over x}={x-y \over 2}}$, determine cu\'antos miles de
art\'{i}culos deben producirse para que el costo sea m\'{i}nimo.\\

\end{enumerate}
\section{Funciones uno a uno}
% === Sección de origen: Funciones Inversas ===

\inxx{Funciones, inversa}


Sea $f: A \longrightarrow B$ una funci\'on biyectiva.  Seg\'un la
definici\'on de funci\'on biyectiva tenemos que $f(A) = B$ y que
cada elemento ``$y$'' de $B$ es imagen de uno y s\'olo un elemento
``$x$'' de $A,$ entonces es posible definir una funci\'on $f^{-1}:B
\longrightarrow A,$ que llamaremos inversa de f, de la manera
siguiente.\\

\begin{definicion}\label{Cap6def1}
Sea $f: A \longrightarrow B$ una funci\'on biyectiva entonces la
funci\'on inversa $f^{-1}$ de $f$ es una funci\'on biyectiva tal
que:\\

$f^{-1}: B\longrightarrow A$\,\,\,\,\, y\,\,\,\,\, $f^{-1}(y)=x
\Longleftrightarrow f(x)=y$\\
\end{definicion}

Gr\'aficamente podemos representar estas funciones de la manera
siguiente:

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig28}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig24}
\end{center}
%\end{figure}

De la representaci\'on anterior se puede notar que: $(f^{-1}
\;o\;f)(x) = x$ y que $(f\;o\;f^{-1})(x) = x$

\begin{ejemplo}

Sea $f :\mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\; \mathbb{R},\mbox{biyectiva}\hspace{0.4cm} f(x)=2x-1$\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Determine el criterio para la funci\'on $f^{-1}$\\

\item[b)] Verifique que $(f\;o\;f^{-1})(x) = x$ y
$(f^{-1}\;o\;f)(x) = x$\\

\item[c)] Represente en un mismo sistema de coordenadas
rectangulares los gr\'aficos de $f, f^{-1}, g$ donde $g(x) = x$
\end{enumerate}

 \wsolu

\begin{enumerate}
\item [a)] Como $f(x) = 2x-1$ y $f(x)=y$ entonces podemos escribir
$y = 2x-1.$ Como en la definici\'on \ref{Cap6def1}
$x=f^{-1}(y),$ el criterio para la funci\'on $f^{-1}$ se obtiene
despejando $x$ en t\'erminos de $y$, de la siguiente manera:

$\displaystyle{y=2x-1 \; \; \Longrightarrow \; \; y+1=2x \; \; \Longrightarrow \; \; \frac{y+1}{2}=x}$ $\displaystyle{\; \; \Longrightarrow \; \; f_y^{-1} = \frac{y+1}{2}}$\\

Como las letras particulares que se usan para expresar el criterio
de una funci\'on, no son importantes, se acostumbra a expresar el
criterio en t\'erminos de la variable x, as\'i en vez de
escribir:\\

$\displaystyle{f^{-1}(y) = \frac{y+1}{2}},$ escribimos $\displaystyle{f^{-1}(x) =
\frac{x+1}{2}}$\\


b)

\mpage{
 \begin{tabular}{rcl}
 $ \hspace{0.5cm}(f o f^{-1})(x)$ & $=$ & $f(f^{-1}(x))$\\\\
                   & $=$ & $\displaystyle{f\left(\frac{x+1}{2}\right)}$\\\\
                   & $=$ & $\displaystyle{2\left(\frac{x+1}{2}\right)-1}$\\\\
                   & $=$ & $\displaystyle{x+1-1}$\\\\
                   & $=$ & $x$\\\\
 \end{tabular}
As\'i $(f o f^{-1})(x) = x$\\
}{
 \begin{tabular}{rcl}
$(f^{-1} o f)(x)$ & $=$ & $f^{-1}(f(x))$\\\\
                  & $=$ & $\displaystyle{f^{-1}(2x-1)}$\\\\
                  & $=$ & $\displaystyle{\frac{2x-1+1}{2}}$\\\\
                  & $=$ & $\displaystyle{\frac{2x}{2}}$\\
                  & $=$ & $x$\\\\
 \end{tabular}
As\'i $(f^{-1} o f)(x) = x$\\
}

\item [c)] Para representar los gr\'aficos correspondientes a $f$
y $f^{-1}$ construimos las siguientes tablas de valores:\\

\mpage{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
  & & & & & \\
  $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\
    & & & & & \\
   \hline
    & & & & & \\
  $f(x)$ & $-5$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$ \\
    & & & & & \\
   \hline
\end{tabular}
}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
      & & & & & \\
    $x$ & $-5$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$ \\
      & & & & & \\
   \hline
    & & & & & \\
  $f^{-1}(x)$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\
    & & & & & \\
   \hline
\end{tabular}
}



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig31a}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig25}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Sea $f: [-3, +\infty[\,\, \longrightarrow \,\,[0,+\infty[\;\;$
biyectiva, $\;\;f(x)=\sqrt{x+3}$\\

\begin{enumerate}
\item [a)] Determine el dominio y \'ambito de $f^{-1}$\\

\item [b)] Determine el criterio para la funci\'on $f^{-1}$ (en adelante $f^{-1}(x)$)\\

\item [c)] Verifique que $(f o f^{-1})(x) = x$ y  $(f^{-1} o f)(x) = x$\\

\item [d)] Represente en un mismo sistema de coordenadas
rect\'angulares los gr\'aficos de $f, f^{-1}$ y $g$ donde $g(x) = x$
\end{enumerate}


 \wsolu

\begin{enumerate}

\item[a)] El dominio de $f^{-1}$ es $[0, +\infty[$\\

El \'ambito de $f^{-1}$ es $[-3, +\infty[$\\

\item[b)] Como $y=\sqrt{x+3} \; \; \Longrightarrow \; \; y^{2} =
x+3\;$, $y^{2}-3 = x$, como $x=f^{-1}(y)$ tenemos $f^{-1}(y) =
y^{2}-3$ y por lo tanto
podemos decir que $f^{-1}(x)= x^{2}-3$\\

Observe que al despejar $x$ obtenemos que $f^{-1}(y) = y^{2}-3$
sin embargo, por convenio en la notaci\'on, escribimos
$f^{-1}(x) = x^{2}-3$\\


\item[c)]


\mpage{
 \begin{tabular}{rcl}
$(f o f^{-1})(x)$ & $=$ & $f(f^{-1}(x))$\\\\
                  & $=$ & $f(x^{2}-3)$\\\\
                  & $=$ & $\sqrt {x^{2}-3+3}$\\\\
                  & $=$ & $\sqrt {x^{2}}$\\\\
                  & $=$ & $|x| \mbox{ y como } x \geq 0$\\\\
                  & $=$ & $x$\\
 \end{tabular}
}{
 \begin{tabular}{rcl}
 $(f^{-1} o f)(x)$ & $=$ & $f^{-1}(f(x))$\\
                   & $=$ & $f^{-1}(\sqrt{x+3})$\\\\
                   & $=$ & $(\sqrt{x+3})^{2} - 3$\\\\
                   & $=$ & $x+3-3$\\\\
                   & $=$ & $x$\\
 \end{tabular}
}

Por lo tanto: $(f o f^{-1})(x) = x $ \,\, y \,\,$(f^{-1} o f)(x) =x$\\



\item[d)] Para representar los gr\'aficos correspondientes a $f$ y $f^{-1}$ construiremos las
siguientes tablas de valores:


\mpage{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
    &   &   &   &   &   \\
   $x$    &  $-3$ &  $-2$ &  $-1$ &  $0$ & $1$  \\
    &   &   &   &   &   \\
   \hline
    &   &   &   &   &   \\
   $f(x)$& $0$  & $1$  &  $\sqrt{2}$ & $\sqrt{3}$  & $2$  \\
   &   &   &   &   &   \\
   \hline
  \end{tabular}
}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
    &   &   &   &   &   \\
   $x$& $0$  & $1$  &  $\sqrt{2}$ & $\sqrt{3}$  & $2$  \\
    &   &   &   &   &   \\
   \hline
   &   &   &   &   &   \\
   $f^{-1}(x)$    &  $-3$ &  $-2$ &  $-1$ &  $0$ & $1$  \\
   &   &   &   &   &   \\
   \hline
\end{tabular}
}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig34}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig26}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\





\ejersol{  Para cada una de las funciones biyectivas $f$ que se presentan a continuación:\\

\begin{enumerate}
\item $f :[0,+\infty[\;\;\longrightarrow \;\;[1,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=1+3x^3$\\
\item $f :]-\infty,2[\;\;\longrightarrow \;\;[0,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=\displaystyle{\sqrt{2-x}}$\\
\item $f :[1,+\infty[\;\;\longrightarrow \;\;[-1,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=x^{3}-2$\\

\item $f :[0,+\infty[\;\;\longrightarrow \;\;[0,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=\displaystyle{\sqrt{x}}$\\
\item  $f : \mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;\mathbb{R}, \hspace{0.4cm} f(x)=x^3$\\
\item  $f : \mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;\mathbb{R}, \hspace{0.4cm} f(x)=2x-3$\\
\end{enumerate}

Realizar:\\

\begin{enumerate}
\item Determinar el dominio y \'ambito de la funci\'on inversa
$f^{-1}.$

\item Determinar el criterio para la funci\'on $f^{-1}.$

\item Verificar que $(f o f^{-1})(x) = x $ \,\, y \,\,$(f^{-1}
o f)(x) = x.$

\item Representar en un mismo sistema de coordenadas
rectangulares los gr\'aficos de $f$ y $f^{-1}$ y $g$ donde $g(x) = x$\\

\end{enumerate}

}{}%%%




\section{Concepto de función inversa}
% === Sección de origen: Funciones Inversas ===

\inxx{Funciones, inversa}


Sea $f: A \longrightarrow B$ una funci\'on biyectiva.  Seg\'un la
definici\'on de funci\'on biyectiva tenemos que $f(A) = B$ y que
cada elemento ``$y$'' de $B$ es imagen de uno y s\'olo un elemento
``$x$'' de $A,$ entonces es posible definir una funci\'on $f^{-1}:B
\longrightarrow A,$ que llamaremos inversa de f, de la manera
siguiente.\\

\begin{definicion}\label{Cap6def1}
Sea $f: A \longrightarrow B$ una funci\'on biyectiva entonces la
funci\'on inversa $f^{-1}$ de $f$ es una funci\'on biyectiva tal
que:\\

$f^{-1}: B\longrightarrow A$\,\,\,\,\, y\,\,\,\,\, $f^{-1}(y)=x
\Longleftrightarrow f(x)=y$\\
\end{definicion}

Gr\'aficamente podemos representar estas funciones de la manera
siguiente:

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig28}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig24}
\end{center}
%\end{figure}

De la representaci\'on anterior se puede notar que: $(f^{-1}
\;o\;f)(x) = x$ y que $(f\;o\;f^{-1})(x) = x$

\begin{ejemplo}

Sea $f :\mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\; \mathbb{R},\mbox{biyectiva}\hspace{0.4cm} f(x)=2x-1$\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Determine el criterio para la funci\'on $f^{-1}$\\

\item[b)] Verifique que $(f\;o\;f^{-1})(x) = x$ y
$(f^{-1}\;o\;f)(x) = x$\\

\item[c)] Represente en un mismo sistema de coordenadas
rectangulares los gr\'aficos de $f, f^{-1}, g$ donde $g(x) = x$
\end{enumerate}

 \wsolu

\begin{enumerate}
\item [a)] Como $f(x) = 2x-1$ y $f(x)=y$ entonces podemos escribir
$y = 2x-1.$ Como en la definici\'on \ref{Cap6def1}
$x=f^{-1}(y),$ el criterio para la funci\'on $f^{-1}$ se obtiene
despejando $x$ en t\'erminos de $y$, de la siguiente manera:

$\displaystyle{y=2x-1 \; \; \Longrightarrow \; \; y+1=2x \; \; \Longrightarrow \; \; \frac{y+1}{2}=x}$ $\displaystyle{\; \; \Longrightarrow \; \; f_y^{-1} = \frac{y+1}{2}}$\\

Como las letras particulares que se usan para expresar el criterio
de una funci\'on, no son importantes, se acostumbra a expresar el
criterio en t\'erminos de la variable x, as\'i en vez de
escribir:\\

$\displaystyle{f^{-1}(y) = \frac{y+1}{2}},$ escribimos $\displaystyle{f^{-1}(x) =
\frac{x+1}{2}}$\\


b)

\mpage{
 \begin{tabular}{rcl}
 $ \hspace{0.5cm}(f o f^{-1})(x)$ & $=$ & $f(f^{-1}(x))$\\\\
                   & $=$ & $\displaystyle{f\left(\frac{x+1}{2}\right)}$\\\\
                   & $=$ & $\displaystyle{2\left(\frac{x+1}{2}\right)-1}$\\\\
                   & $=$ & $\displaystyle{x+1-1}$\\\\
                   & $=$ & $x$\\\\
 \end{tabular}
As\'i $(f o f^{-1})(x) = x$\\
}{
 \begin{tabular}{rcl}
$(f^{-1} o f)(x)$ & $=$ & $f^{-1}(f(x))$\\\\
                  & $=$ & $\displaystyle{f^{-1}(2x-1)}$\\\\
                  & $=$ & $\displaystyle{\frac{2x-1+1}{2}}$\\\\
                  & $=$ & $\displaystyle{\frac{2x}{2}}$\\
                  & $=$ & $x$\\\\
 \end{tabular}
As\'i $(f^{-1} o f)(x) = x$\\
}

\item [c)] Para representar los gr\'aficos correspondientes a $f$
y $f^{-1}$ construimos las siguientes tablas de valores:\\

\mpage{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
  & & & & & \\
  $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\
    & & & & & \\
   \hline
    & & & & & \\
  $f(x)$ & $-5$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$ \\
    & & & & & \\
   \hline
\end{tabular}
}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
      & & & & & \\
    $x$ & $-5$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$ \\
      & & & & & \\
   \hline
    & & & & & \\
  $f^{-1}(x)$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\
    & & & & & \\
   \hline
\end{tabular}
}



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig31a}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig25}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Sea $f: [-3, +\infty[\,\, \longrightarrow \,\,[0,+\infty[\;\;$
biyectiva, $\;\;f(x)=\sqrt{x+3}$\\

\begin{enumerate}
\item [a)] Determine el dominio y \'ambito de $f^{-1}$\\

\item [b)] Determine el criterio para la funci\'on $f^{-1}$ (en adelante $f^{-1}(x)$)\\

\item [c)] Verifique que $(f o f^{-1})(x) = x$ y  $(f^{-1} o f)(x) = x$\\

\item [d)] Represente en un mismo sistema de coordenadas
rect\'angulares los gr\'aficos de $f, f^{-1}$ y $g$ donde $g(x) = x$
\end{enumerate}


 \wsolu

\begin{enumerate}

\item[a)] El dominio de $f^{-1}$ es $[0, +\infty[$\\

El \'ambito de $f^{-1}$ es $[-3, +\infty[$\\

\item[b)] Como $y=\sqrt{x+3} \; \; \Longrightarrow \; \; y^{2} =
x+3\;$, $y^{2}-3 = x$, como $x=f^{-1}(y)$ tenemos $f^{-1}(y) =
y^{2}-3$ y por lo tanto
podemos decir que $f^{-1}(x)= x^{2}-3$\\

Observe que al despejar $x$ obtenemos que $f^{-1}(y) = y^{2}-3$
sin embargo, por convenio en la notaci\'on, escribimos
$f^{-1}(x) = x^{2}-3$\\


\item[c)]


\mpage{
 \begin{tabular}{rcl}
$(f o f^{-1})(x)$ & $=$ & $f(f^{-1}(x))$\\\\
                  & $=$ & $f(x^{2}-3)$\\\\
                  & $=$ & $\sqrt {x^{2}-3+3}$\\\\
                  & $=$ & $\sqrt {x^{2}}$\\\\
                  & $=$ & $|x| \mbox{ y como } x \geq 0$\\\\
                  & $=$ & $x$\\
 \end{tabular}
}{
 \begin{tabular}{rcl}
 $(f^{-1} o f)(x)$ & $=$ & $f^{-1}(f(x))$\\
                   & $=$ & $f^{-1}(\sqrt{x+3})$\\\\
                   & $=$ & $(\sqrt{x+3})^{2} - 3$\\\\
                   & $=$ & $x+3-3$\\\\
                   & $=$ & $x$\\
 \end{tabular}
}

Por lo tanto: $(f o f^{-1})(x) = x $ \,\, y \,\,$(f^{-1} o f)(x) =x$\\



\item[d)] Para representar los gr\'aficos correspondientes a $f$ y $f^{-1}$ construiremos las
siguientes tablas de valores:


\mpage{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
    &   &   &   &   &   \\
   $x$    &  $-3$ &  $-2$ &  $-1$ &  $0$ & $1$  \\
    &   &   &   &   &   \\
   \hline
    &   &   &   &   &   \\
   $f(x)$& $0$  & $1$  &  $\sqrt{2}$ & $\sqrt{3}$  & $2$  \\
   &   &   &   &   &   \\
   \hline
  \end{tabular}
}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
    &   &   &   &   &   \\
   $x$& $0$  & $1$  &  $\sqrt{2}$ & $\sqrt{3}$  & $2$  \\
    &   &   &   &   &   \\
   \hline
   &   &   &   &   &   \\
   $f^{-1}(x)$    &  $-3$ &  $-2$ &  $-1$ &  $0$ & $1$  \\
   &   &   &   &   &   \\
   \hline
\end{tabular}
}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig34}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig26}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Para cada una de las funciones biyectivas$f$ que se presentan a continuación:\\


\ejersol{  \begin{enumerate}

\item $f :[0,+\infty[\;\;\longrightarrow \;\;[1,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=1+3x^3$\\
\item $f :]-\infty,2[\;\;\longrightarrow \;\;[0,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=\displaystyle{\sqrt{2-x}}$\\
\item $f :[1,+\infty[\;\;\longrightarrow \;\;[-1,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=x^{3}-2$\\

\item $f :[0,+\infty[\;\;\longrightarrow \;\;[0,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=\displaystyle{\sqrt{x}}$\\
\item  $f : \mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;\mathbb{R}, \hspace{0.4cm} f(x)=x^3$\\
\item  $f : \mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;\mathbb{R}, \hspace{0.4cm} f(x)=2x-3$\\

\end{enumerate}

Realizar:\\
\begin{enumerate}


\item Determinar el dominio y \'ambito de la funci\'on inversa
$f^{-1}.$

\item Determinar el criterio para la funci\'on $f^{-1}.$

\item Verificar que $(f o f^{-1})(x) = x $ \,\, y \,\,$(f^{-1}
o f)(x) = x.$

\item Representar en un mismo sistema de coordenadas
rectangulares los gr\'aficos de $f$ y $f^{-1}$ y $g$ donde $g(x) = x$\\

\end{enumerate}
}{}%%



\section{Función inversa}
% === Sección de origen: Funciones Inversas ===

\inxx{Funciones, inversa}


Sea $f: A \longrightarrow B$ una funci\'on biyectiva.  Seg\'un la
definici\'on de funci\'on biyectiva tenemos que $f(A) = B$ y que
cada elemento ``$y$'' de $B$ es imagen de uno y s\'olo un elemento
``$x$'' de $A,$ entonces es posible definir una funci\'on $f^{-1}:B
\longrightarrow A,$ que llamaremos inversa de f, de la manera
siguiente.\\

\begin{definicion}\label{Cap6def1}
Sea $f: A \longrightarrow B$ una funci\'on biyectiva entonces la
funci\'on inversa $f^{-1}$ de $f$ es una funci\'on biyectiva tal
que:\\

$f^{-1}: B\longrightarrow A$\,\,\,\,\, y\,\,\,\,\, $f^{-1}(y)=x
\Longleftrightarrow f(x)=y$\\
\end{definicion}

Gr\'aficamente podemos representar estas funciones de la manera
siguiente:

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig28}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig24}
\end{center}
%\end{figure}

De la representaci\'on anterior se puede notar que: $(f^{-1}
\;o\;f)(x) = x$ y que $(f\;o\;f^{-1})(x) = x$

\begin{ejemplo}

Sea $f :\mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\; \mathbb{R},\mbox{biyectiva}\hspace{0.4cm} f(x)=2x-1$\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Determine el criterio para la funci\'on $f^{-1}$\\

\item[b)] Verifique que $(f\;o\;f^{-1})(x) = x$ y
$(f^{-1}\;o\;f)(x) = x$\\

\item[c)] Represente en un mismo sistema de coordenadas
rectangulares los gr\'aficos de $f, f^{-1}, g$ donde $g(x) = x$
\end{enumerate}

 \wsolu

\begin{enumerate}
\item [a)] Como $f(x) = 2x-1$ y $f(x)=y$ entonces podemos escribir
$y = 2x-1.$ Como en la definici\'on \ref{Cap6def1}
$x=f^{-1}(y),$ el criterio para la funci\'on $f^{-1}$ se obtiene
despejando $x$ en t\'erminos de $y$, de la siguiente manera:

$\displaystyle{y=2x-1 \; \; \Longrightarrow \; \; y+1=2x \; \; \Longrightarrow \; \; \frac{y+1}{2}=x}$ $\displaystyle{\; \; \Longrightarrow \; \; f_y^{-1} = \frac{y+1}{2}}$\\

Como las letras particulares que se usan para expresar el criterio
de una funci\'on, no son importantes, se acostumbra a expresar el
criterio en t\'erminos de la variable x, as\'i en vez de
escribir:\\

$\displaystyle{f^{-1}(y) = \frac{y+1}{2}},$ escribimos $\displaystyle{f^{-1}(x) =
\frac{x+1}{2}}$\\


b)

\mpage{
 \begin{tabular}{rcl}
 $ \hspace{0.5cm}(f o f^{-1})(x)$ & $=$ & $f(f^{-1}(x))$\\\\
                   & $=$ & $\displaystyle{f\left(\frac{x+1}{2}\right)}$\\\\
                   & $=$ & $\displaystyle{2\left(\frac{x+1}{2}\right)-1}$\\\\
                   & $=$ & $\displaystyle{x+1-1}$\\\\
                   & $=$ & $x$\\\\
 \end{tabular}
As\'i $(f o f^{-1})(x) = x$\\
}{
 \begin{tabular}{rcl}
$(f^{-1} o f)(x)$ & $=$ & $f^{-1}(f(x))$\\\\
                  & $=$ & $\displaystyle{f^{-1}(2x-1)}$\\\\
                  & $=$ & $\displaystyle{\frac{2x-1+1}{2}}$\\\\
                  & $=$ & $\displaystyle{\frac{2x}{2}}$\\
                  & $=$ & $x$\\\\
 \end{tabular}
As\'i $(f^{-1} o f)(x) = x$\\
}

\item [c)] Para representar los gr\'aficos correspondientes a $f$
y $f^{-1}$ construimos las siguientes tablas de valores:\\

\mpage{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
  & & & & & \\
  $x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\
    & & & & & \\
   \hline
    & & & & & \\
  $f(x)$ & $-5$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$ \\
    & & & & & \\
   \hline
\end{tabular}
}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
      & & & & & \\
    $x$ & $-5$ & $-3$ & $-1$ & $1$ & $3$ \\
      & & & & & \\
   \hline
    & & & & & \\
  $f^{-1}(x)$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\
    & & & & & \\
   \hline
\end{tabular}
}



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig31a}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig25}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Sea $f: [-3, +\infty[\,\, \longrightarrow \,\,[0,+\infty[\;\;$
biyectiva, $\;\;f(x)=\sqrt{x+3}$\\

\begin{enumerate}
\item [a)] Determine el dominio y \'ambito de $f^{-1}$\\

\item [b)] Determine el criterio para la funci\'on $f^{-1}$ (en adelante $f^{-1}(x)$)\\

\item [c)] Verifique que $(f o f^{-1})(x) = x$ y  $(f^{-1} o f)(x) = x$\\

\item [d)] Represente en un mismo sistema de coordenadas
rect\'angulares los gr\'aficos de $f, f^{-1}$ y $g$ donde $g(x) = x$
\end{enumerate}


 \wsolu

\begin{enumerate}

\item[a)] El dominio de $f^{-1}$ es $[0, +\infty[$\\

El \'ambito de $f^{-1}$ es $[-3, +\infty[$\\

\item[b)] Como $y=\sqrt{x+3} \; \; \Longrightarrow \; \; y^{2} =
x+3\;$, $y^{2}-3 = x$, como $x=f^{-1}(y)$ tenemos $f^{-1}(y) =
y^{2}-3$ y por lo tanto
podemos decir que $f^{-1}(x)= x^{2}-3$\\

Observe que al despejar $x$ obtenemos que $f^{-1}(y) = y^{2}-3$
sin embargo, por convenio en la notaci\'on, escribimos
$f^{-1}(x) = x^{2}-3$\\


\item[c)]


\mpage{
 \begin{tabular}{rcl}
$(f o f^{-1})(x)$ & $=$ & $f(f^{-1}(x))$\\\\
                  & $=$ & $f(x^{2}-3)$\\\\
                  & $=$ & $\sqrt {x^{2}-3+3}$\\\\
                  & $=$ & $\sqrt {x^{2}}$\\\\
                  & $=$ & $|x| \mbox{ y como } x \geq 0$\\\\
                  & $=$ & $x$\\
 \end{tabular}
}{
 \begin{tabular}{rcl}
 $(f^{-1} o f)(x)$ & $=$ & $f^{-1}(f(x))$\\
                   & $=$ & $f^{-1}(\sqrt{x+3})$\\\\
                   & $=$ & $(\sqrt{x+3})^{2} - 3$\\\\
                   & $=$ & $x+3-3$\\\\
                   & $=$ & $x$\\
 \end{tabular}
}

Por lo tanto: $(f o f^{-1})(x) = x $ \,\, y \,\,$(f^{-1} o f)(x) =x$\\



\item[d)] Para representar los gr\'aficos correspondientes a $f$ y $f^{-1}$ construiremos las
siguientes tablas de valores:


\mpage{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
    &   &   &   &   &   \\
   $x$    &  $-3$ &  $-2$ &  $-1$ &  $0$ & $1$  \\
    &   &   &   &   &   \\
   \hline
    &   &   &   &   &   \\
   $f(x)$& $0$  & $1$  &  $\sqrt{2}$ & $\sqrt{3}$  & $2$  \\
   &   &   &   &   &   \\
   \hline
  \end{tabular}
}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
   \hline
    &   &   &   &   &   \\
   $x$& $0$  & $1$  &  $\sqrt{2}$ & $\sqrt{3}$  & $2$  \\
    &   &   &   &   &   \\
   \hline
   &   &   &   &   &   \\
   $f^{-1}(x)$    &  $-3$ &  $-2$ &  $-1$ &  $0$ & $1$  \\
   &   &   &   &   &   \\
   \hline
\end{tabular}
}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap6-Funciones/fig34}
\captionof{figure}{}\label{Cap6fig26}
\end{center}
%\end{figure}

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Para cada una de las funciones biyectivas$f$ que se presentan a continuación:\\



\ejersol{
\begin{enumerate}
\item $f :[0,+\infty[\;\;\longrightarrow \;\;[1,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=1+3x^3$\\
\item $f :]-\infty,2[\;\;\longrightarrow \;\;[0,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=\displaystyle{\sqrt{2-x}}$\\
\item $f :[1,+\infty[\;\;\longrightarrow \;\;[-1,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=x^{3}-2$\\

\item $f :[0,+\infty[\;\;\longrightarrow \;\;[0,+\infty[, \hspace{0.4cm} f(x)=\displaystyle{\sqrt{x}}$\\
\item  $f : \mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;\mathbb{R}, \hspace{0.4cm} f(x)=x^3$\\
\item  $f : \mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;\mathbb{R}, \hspace{0.4cm} f(x)=2x-3$\\
\end{enumerate}

Realizar:\\

\begin{enumerate}
\item Determinar el dominio y \'ambito de la funci\'on inversa
$f^{-1}.$

\item Determinar el criterio para la funci\'on $f^{-1}.$

\item Verificar que $(f o f^{-1})(x) = x $ \,\, y \,\,$(f^{-1}
o f)(x) = x.$

\item Representar en un mismo sistema de coordenadas
rectangulares los gr\'aficos de $f$ y $f^{-1}$ y $g$ donde $g(x) = x$\\

\end{enumerate}
}{}%



\section{Ejercicios}
