
\chapter{Funciones exponenciales y logarítmicas}

\section{Funciones exponenciales}
% === Sección de origen: La función exponencial ===

En temas anteriores, hemos definido el significado de expresiones
de la forma $a^{x}$,\, con ``$a$''\, un número real positivo y
$x$\, un número racional, por ejemplo conocemos el significado de
$2^{0},\;2^{3},\;2^{5},\;\displaystyle{
2^{\frac{3}{5}},\;2^{\frac{1}{2}}}$\, , pero por el contrario no
conocemos el significado de expresiones como
$\displaystyle{2^{\sqrt 3},\;2^{\pi }}$,\, etc. Puesto que en este
capítulo nos interesa estudiar expresiones de la forma $a^x$,\,
aceptaremos sin demostrar, que estas expresiones están definidas
para todo número real $x$,\, si $a\in \mathbb{R} ,\;a>0$.\\


\begin{definicion}
Sea $a \in \mathbb{R} ,\; a>0,\;a\neq 1$,\, se llama función exponencial
de base ``$a$'', y se denota $\mbox{Exp}_a$,\, a la función definida por:\\

\[\mbox{Exp}_{a}:\mathbb{R}\;\;\longrightarrow \;\;
]0,+\infty[ \atop \hspace{0.7cm} x\longrightarrow\;\;a^{x}\]
\end{definicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observaciones}}\\

\inxx{Funciones, exponencial}

\begin{enumerate}
\item De la definición anterior se tiene que $\mbox{Exp}_{a}(x)=a^{x}$\\

\item La restricción $a>0$,\, es indispensable, pues si $a$\,
fuera cero o un número negativo, se presentarían algunas expresiones
no definidas en $\mathbb{R}$,\, tales como $\displaystyle{0^{-1},\;(-2)^{\frac{1}{2}},\;0^{0}}$,\, etc.\\

\item El caso $a=1$\, se ha excluido debido a que en este caso se
tendría $1^{x}=1$,\, para cada $x\in\mathbb{R}$,\,
o sea que $1^{x}$\, es una función constante.\\
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[a.)] La función $f$\, definida por $f(x)=2^{x}$\, es la función exponencial de base $2$.\\

\item[b.)] La función $g$\, definida por
$g(x)=\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^{x}}$\, es
la función exponencial de base $\displaystyle{\frac{1}{2}}$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}

\subsection{Representación del gráfico de la función exponencial}


\begin{ejemplo}
Considere las funciones exponenciales definidas respectivamente por: $\mbox{Exp}_{2}(x),\; \displaystyle{\mbox{Exp}_{\frac{1}{2}}(x)}$\\
Realice el trazo de estas funciones.\\
\end{ejemplo}
\wsolu


Para realizar el trazo de estas funciones debemos
construir,
para cada una de ellas una tabla de valores conveniente de la manera siguiente:\\

\mpage{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}   \hline
$ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ \\
$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$  \\  \hline
$ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ \\
$ {\mbox{Exp}_2(x)}$ & $\displaystyle \frac{1}{4}$  & $\displaystyle
\frac{1}{2}$ & $1$ & $2$ & $4$ \\  \hline
\end{tabular}
}
{
\begin{center}
%\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap7/fig01}
\captionof{figure}{}\label{Cap7_fig1}
%\end{figure}
\end{center}
}

\  \ \hfill

\mpage{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}   \hline
$ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ \\
$x$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$  \\  \hline
$ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ \\
$\displaystyle {\mbox{Exp}_{\frac{1}{2}}} (x)$ & $4$  & $2$ & $1$ &
$\displaystyle \frac{1}{2}$ & $\displaystyle \frac{1}{4}$ \\  \hline
\end{tabular}
}{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap7/fig02}\end{center}
\captionof{figure}{}\label{Cap7_fig2}
%\end{figure}
}


\subsection{Algunas propiedades de la función exponencial}


\mpage{
Si $\displaystyle f(x) = a^x; \; \; \; a > 1$
\begin{enumerate}
\item $\;\;\;f(x) > 0$,\, para toda $x\in \mathbb{R}$\\
\item $\;\;\;f(0) = 1$\\
\item $\;\;\;f(1) = a$\\
\item $\;\;\;f$\, es biyectiva.\\
\item $\;\;\;f$\, es creciente en todo su dominio.\\
\item $\;\;\;$Si $x$\, tiende a $+ \infty$\, entonces $a^x$\, tiende a $+
\infty$\\
\item $\;\;\;$Si $x$\, tiende a $- \infty$\, entonces $a^x$\, tiende a $0$\\
\end{enumerate}
}{
Si $\displaystyle g(x) = a^x;\; \; \; 0 < a < 1$
\begin{enumerate}
\item $\;\;\;g(x) > 0$;\, para toda $x\in \mathbb{R}$\\
\item $\;\;\; g(0) = 1$\\
\item $\;\;\; g(1) = a$\\
\item $\;\;\; g$\, es biyectiva.\\
\item $\;\;\; g$\, es decreciente en todo su dominio.\\
\item $\;\;\;$Si $x$\, tiende a $+ \infty$\, entonces $a^x$\, tiende a
$0$.\\
\item $\;\;\;$Si $x$\, tiende a $- \infty$\, entonces $a^x$\, tiende a $+
\infty$\\
\end{enumerate}
}


\textbf{NOTA} Las operaciones con funciones exponenciales satisfacen las propiedades definidas para las
potencias racionales.\\


\subsection{La función exponencial de base $e\approx2,718281...$}


\begin{definicion}
La función definida por:
\[{ \mbox{Exp}_{e}:\mathbb{R}\;\longrightarrow \; ]0,+\infty[,  \atop \;\;\; x\;\longrightarrow\; e^{x}}\]


Se llama función exponencial de base $e$. Escribimos $\,f(x) \,=\, e^x\,$ o $\,f(x) \,=\, \mbox{Exp}_e(x)\,$\\
\end{definicion}
\rule{2cm}{0.01cm}\\

Dado que $e>1$\, esta función posee las mismas propiedades de la función exponencial de base ``$a>1$''.\\


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada una de las siguientes funciones exponenciales realice su gráfica.  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;f(x) = \mbox{Exp}_3 (x)$\\

\item $\;\;\;h(x) = \displaystyle \left(\frac{1}{3}\right)^x$\\

\item $\;\;\;g(x) = \mbox{Exp}_e(x)$\\

\item $\;\;\;m(x) = e^x +1$\\

\item $\;\;\;p(x) = \mbox{Exp}_5 (x) +1$\\

\item $\;\;\;g(x) = 2^x -2$\\

\end{enumerate}



\section{Funciones logarítmicas}
% === Sección de origen: La funci\'{o}n logar$\rm{\acute{i}}$tmica y sus propiedades ===


\inxx{Funciones, logarítmica}


Como la función exponencial es biyectiva, entonces existe su función inversa, a esta función la llamamos función logarítmica.



\begin{definicion}
Sea $a\in \mathbb{R},\;a>0$\, y $a\neq 1$,\, sea $f$\, la función definida por $f(x)= \mbox{Exp}_a (x)$,\, la función $f^{-1}$,\,
inversa de $f$,\, se llama {\rm función logarítmica} de base $a$\, y la denotamos ``$\displaystyle{\log_a}$''.\\
\end{definicion}

Así tenemos que:\\

\[\mbox{Exp}_{e}:\mathbb{R}\;\longrightarrow \; ]0,+\infty[, \hspace{0.5cm}\mbox{donde}\;\;y=a^{x} \atop \hspace{-2.5cm} x\;\longrightarrow \;y \]

entonces:\\

\[\log_{a}:\;]0,+\infty[\;\longrightarrow \; \mathbb{R}, \hspace{0.5cm}\mbox{donde}\;\;x=\log_{a}y \atop \hspace{-1.5cm} y\;\longrightarrow\; x \]

Por lo anterior podemos decir que:\\

Si $a\in \mathbb{R},\;a>0,\;\; a\neq 1,\;\; x\in\mathbb{R},\; y \in\; ]0,+\infty[$\\


\begin{center}
$\displaystyle{\log_{a}y = x\; \Longleftrightarrow \; a^x = y}$
\end{center}


La expresión $\log_{a}y$\, se lee ``logaritmo de $y$\, en base $a$''\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observaciones}}\\

\begin{enumerate}
\item La función logarítmica está definida únicamente para números reales mayores que cero.\\

\item La base de la función logarítmica es un número real positivo diferente de uno.\\
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
\begin{enumerate}
\item[a.] $\;\;\;\displaystyle{8=2^{3} \Longrightarrow 3 = \log_{2} 8}$\\

\item[b.] $\;\;\;\displaystyle{49=7^{2} \Longrightarrow 2 = \log_{7}49}$\\

\item[c.] $\;\;\;\displaystyle{\log\;_{2}  \left(\frac{1}{2} \right)=-1 \Longrightarrow  2^{-1} = \frac{1}{2}} $\\

\item[d.] $\;\;\;\displaystyle{\log_{16}  2 = \frac{1}{4} \Longrightarrow  (16)^{\frac{1}{4}}} = 2$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}

Para cada una de las siguientes expresiones, calcule el valor de la letra para que la igualdad sea verdadera.\\

\begin{enumerate}
\item $\;\;\;\log_{2} N = 4$\\

\item $\;\;\;\log_{c} 32 = 5$\\

\item $\;\;\;\log_{3}(1/9) = b$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\wsolu


\begin{enumerate}
\item $\;\;\;$Si $\log_{2} N = 4$\, entonces $2^{4}=N$,\, o sea $16=N$\\

\item $\;\;\;$Si $\log_{c} 32 = 5$\, entonces:  \\

 $$\begin{array}{rcl}
 c^{5} & = & 32 \\
  \displaystyle{(c^{5})^{\frac{1}{5}}} & = & \displaystyle{(32)^{\frac{1}{5}}} \\
  c    & = & \displaystyle{(2^{5})^{\frac{1}{5}}} \\
  c    & = & 2 \\
 \end{array}$$\\


\item $\;\;\;$Si $\log_{3} (1/9) = b$\, entonces:
                                                 \[\begin{array}{rcl}
                                                                  3^{b} & = & \displaystyle{\frac{1}{9}} \\
                                                                        &   &   \\
                                                                  3^{b} & = & 3^{-2} \\
                                                                        &   &   \\
                                                                      b & = & -2   \\
                                                  \end{array}\]
\end{enumerate}


\textbf{Ejercicio}\\

En cada una de las siguientes expresiones, calcule el valor de la tetra para que la igualdad sea verdadera.  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;\log_x 1 = 0$\\

\item $\;\;\;\log_x {(x^2 + x)} = 2$\\

\item $\;\;\;\log_{2} {(-x+1)} = 3$\\

\item $\;\;\;\log_{4} 2 = x+1$\\

\item $\;\;\;\displaystyle{ \log_{x+1} 4 = 2}$\\

\item $\;\;\;\log_x {(2x^2 - x)} = 2$\\

\item $\;\;\;\log_{2} \displaystyle{ \frac{1}{4} = x}$\\

\item $\;\;\;\displaystyle{\log_8 N = \frac{-1}{2}}$\\

\item $\;\;\;\displaystyle {\log_{-8} x = \frac{1}{3}}$\\

\item $\;\;\;\log_{6x-17} {(x^2 - 9)} = 1$\\

\item $\;\;\;\log_2 {(x^2 + 2 ^x)} = x$\\

\end{enumerate}



\subsection{Representación del gráfico de la función logarítmica}


\begin{ejemplo}
Considere las funciones logarítmicas  $f$\, y $g,$\, definidas
respectivamente por
$\; f(x)=\log_{2}x,\;\; \; \; \; g(x)=\displaystyle{\log_{\frac{1}{2}}x}$\\

Realice el trazo de estas funciones.\\
\end{ejemplo}


\wsolu


Para realizar el trazo de $f$\, y $g$\, debemos construir para
cada una de ellas, una tabla de valores conveniente
de la manera siguiente:\\

\mpage{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}   \hline
$ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ \\
$x$ & $\displaystyle \frac{1}{4}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ & $1$ & $2$ & $4$  \\  \hline
$ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ \\
$\log_2 (x)$ & $-2$  & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\  \hline
\end{tabular}
}{\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}   \hline
$ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ \\
$x$ & $4$ & $2$ & $1$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ & $\displaystyle \frac{1}{4}$  \\  \hline
$ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ & $ $ \\
$\log_{\frac{1}{2}} (x)$ & $-2$  & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ \\  \hline
\end{tabular}
}

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap7/fig04}\end{center}
\captionof{figure}{}\label{Cap7_fig3}
%\end{figure}
}{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap7/fig03}\end{center}
\captionof{figure}{}\label{Cap7_fig4}
%\end{figure}
}


\subsection{Algunas propiedades de la función logarítmica}


\mpage{
Si $f(x) = \log_a x ;\;\;\; a > 1$
\begin{enumerate}
\item $\;\;\;\log_a 1 = 0$, pues $a^0 = 1$\\
\item $\;\;\;\log_a a = 1$, pues $a^1 = a$\\
\item $\;\;\;f$ es biyectiva.\\
\item $\;\;\;f$ es creciente en todo su dominio.\\
\item $\;\;\;$Si $x$ tiende a $+ \infty$ entonces $\log_a x$ tiende a $+ \infty$\\
\item $\;\;$Si $x$ tiende a $0$ tomando valores positivos entonces $\log_a x$ tiende a $- \infty$\\
\end{enumerate}
}{ Si $g(x) = \log_a x;\;\;\; 0 < a < 1$
\begin{enumerate}
\item $\;\;\;\log_a 1 = 0$, pues $a^0 = 1$\\
\item $\;\;\;\log_a a = 1$, pues $a^1 = a$\\
\item $\;\;\;g$ es biyectiva.\\
\item $\;\;\;g$ es decreciente en todo su dominio.\\
\item $\;\;\;$Si $x$ tiende a $+ \infty$ entonces $\log_a x$ tiende a $- \infty$\\
\item $\;\;$Si $x$ tiende a $0$ tomando valores positivos entonces $\log_a x$ tiende a $+ \infty$\\
\end{enumerate}
}


\subsection{La función logarítmica de base $e$\, ($e\approx 2,718281$)}


\begin{definicion}
La función $f$\, definida por:\\

\[f:\;]0,+\infty[\; \longrightarrow \;\mathbb{R},\atop \hspace{1.8cm} x\;\longrightarrow \;\log_{e}x\]

se llama función logarítmica de base $e$,\, y escribimos $\ln(x)$\, o sea $\ln(x)=\log_{e}x$.\\
\end{definicion}
\rule{2cm}{0.01cm}\\


Los logaritmos de base $e$\,se llaman logaritmos neperianos o logaritmos naturales.\\

La función logarítmica de base $e$\, posee las mismas propiedades
de la función logarítmica de base $a,$\,
con $a>1$.\\

La expresión $\ln\;x$\, se lee ``logaritmo natural de $x$''.\\


\subsection{La función logarítmica de base $10$}




\inxx{Logaritmos}
\begin{definicion}
La función $f$ definida por:\\

\[f:\;]0,+\infty[\;\longrightarrow \;\mathbb{R},\atop \hspace{2cm}x\;\longrightarrow\;\log_{10}x\]

se llama función logarítmica de base $10$\, y escribimos $\log(x)$\, o sea $\log(x)=\log_{10}x$.\\

Los logaritmos de base $10$\, se laman logaritmos decimales.\\
\end{definicion}


\textbf{Ejercicio}\\
Considere las funciones definidas por:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;f(x) = \ln(x)$\\

\item $\;\;\;h(x) = \log_{2} {(x+2)}$\\

\item $\;\;\;p(x) = \ln(-x+3)$\\

\item $\;\;\;g(x) = e^{-x}$\\

\item $\;\;\;m(x)= 3^{x} + 1$\\

\item $\;\;\;q(x) = \log_{10}{(1-3x)}$\\

Para cada una de las funciones anteriores determine:\\

\item $\;\;\;$Determine su máximo dominio real.\\

\item $\;\;\;$Realice su trazo.\\

\end{enumerate}



\subsection{Propiedades de los logaritmos}

\inxx{Logaritmos, propiedades}


\begin{proposicion}\label{Cap7_prop1}
Sea $a\in\mathbb{R},\;\;a>0\;\;\mbox{y}\;\;a\neq 1$,\, como
$\mbox{Exp}_{a}$\, y $\log_{a}$\, son funciones mutuamente
inversas entonces al calcular la composición de estas dos funciones se obtiene :\\

\begin{enumerate}
\item[a.] $\;\;\;[\mbox{Exp}_a  \circ   \log_a] (x) = x$,\, con $x\in \mathbb{R}$\, y $x >0$ \label{Cap7_prop1a}\\

\item[b.] $\;\;\;[\log_a  \circ   \mbox{Exp}_a] (x) = x$,\, con
$x\in \mathbb{R}$ \label{Cap7_prop1b}\\

\end{enumerate}

\end{proposicion}


Por $(a)$ se tiene:

\[\begin{array}{rcll}
  x & = & [\mbox{Exp}_{a}\circ \log_{a}](x) &   \\
    &   &   &   \\
    & = & \mbox{Exp}_{a}[\log_{a}(x)] & \;\mbox{por definición}\;\mbox{Exp}_{a}(x)=a^{x} \\
    &   &   &   \\
    & = & a\log_{a}(x) &   \\
\end{array}\]


Por lo tanto \fbox{\sc $a^{\log_a x} = x$} \hspace{0.5cm}Por \ref{Cap7_prop1a}a\\


Por $(b)$ se tiene:\\
\[\begin{array}{rcll}
  x & = & [\log_{a}\circ \mbox{Exp}_{a}](x) &   \\
    &   &   &   \\
    & = & \log_{a}[\mbox{Exp}_{a}(x)] & \;\mbox{por definición}\;\mbox{Exp}_{a}(x)=a^{x} \\
    &   &   &   \\
    & = & \log_{a}a^{x} &   \\
\end{array}\]


Por lo tanto: \fbox{\sc $\log_a a^x = x$} \hspace{0.5cm}Por \ref{Cap7_prop1b}b\\


\begin{ejemplo}
\begin{enumerate}
\item[a.] $\;\;\;\log_3 {3^2} = 2$ \hspace{1cm} Por \ref{Cap7_prop1b}b
\item[b.] $\;\;\;5^{\log_5 7} = 7$ \hspace{1.09cm} Por \ref{Cap7_prop1a}a
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Resuelva las siguientes ecuaciones, aplicando las propiedades \ref{Cap7_prop1a}a y \ref{Cap7_prop1b}b.\\

\begin{enumerate}
\item[a.] $\;\;\;3^{-2x + 5} = 1$
\item[b.] $\;\;\;\ln[(x+3)(x+5)] = \ln 15$
\end{enumerate}
\end{ejemplo}



\wsolu


\begin{enumerate}
\item[a.] $\;\;\;3^{-2x + 5} = 1$\\

Si $3^{-2x+5}=1$\, entonces aplicando $\log_{3}x$\, a ambos términos  de la igualdad se obtiene que:\\

\[\log_{3}3^{-2x+5}=\log_{3}1\]

Como $\log_{3}3^{-2x+5}=-2x+5$\,\, Por \ref{Cap7_prop1b}b\,\, y $\log_{3}1=0,$\, entonces:\\

\[\begin{array}{rcl}
  -2x+5 & = & 0 \\
        &   &   \\
  -2x   & = & -5 \\
        &   &   \\
  x     & = & \displaystyle{\frac{-5}{-2}} \\
        &   &   \\
  x     & = & \displaystyle{\frac{ 5}{ 2}} \\
\end{array}\]

Así el conjunto solución de $3^{-2x + 5} = 1$\, es $\left\{\displaystyle{\frac{5}{2}}\right\}$\\


\item[b.]$\;\;\;\ln[(x+3)(x+5)] = \ln 15$\\

Si $\ln[(x+3)(x+5)] = \ln 15,$\, entonces aplicando $\mbox{Exp}_{e}x$\, a ambos términos de la igualdad se tiene que:\\

\[e^{\ln\;[(x+3)(x+5)]}=e^{\ln\;15}\]

Como $e^{\ln\;[(x+3)(x+5)]}=(x+3)(x+5)$\,\, y $e^{\ln\;15}=15$\, Por \ref{Cap7_prop1a}a\\

Entonces: $(x+3)(x+5)=15$\\

Por lo que:\\

\[\begin{array}{rcl}
  x^{2}+8x +15& = & 15 \\
     &   &   \\
  x^{2}+8x +15-15 & = & 0 \\
       &   &   \\
  x^{2}+8x & = & 0 \\
       &   &   \\
  x(x+8) & = & 0\\
         & &\\
      x=0& o &x=-8\\
\end{array}\]

\end{enumerate}


Así obtenemos dos posibles soluciones para la ecuación propuesta;
para averiguar si efectivamente son soluciones de la ecuación se debe realizar la prueba
en $\ln[(x+3)(x+5)] = \ln \;15$\, y descartar aquellos valores para la $x$,\, que no proporcionen una igualdad verdadera.\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Prueba:}}\\

\begin{enumerate}
\item[(i)] $\;\;\;$Para $x = 0$, Sustituyendo:\\

\[\begin{array}{rcl}
  \ln\;[(0+3)(0+5)] & = & \ln\;15 \\
    &   &   \\
  \ln\;(3\cdot 5) & = & \ln\;15 \\
    &   &   \\
  \ln\;15  & = & \ln\;15 \\
\end{array}\]

Por lo que $0$\, es una solución de la ecuación original.

\item[(ii)] $\;\;\;$Para $x = -8$, Sustituyendo:\\

\[\begin{array}{rcl}
  \ln\;[(-8+3)(-8+5) ]& = & \ln\;15 \\
    &   &   \\
  \ln\;[(-5)\cdot (-3)] & = & \ln\;15 \\
    &   &   \\
  \ln\;15  & = & \ln\;15 \\
\end{array}\]
\end{enumerate}

Por lo que $-8$\, es una solución de la ecuación original.\\

Por lo tanto $S=\{0,-8\}$.\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observación}}\\

En el proceso de resolución de ecuaciones que involucren
logaritmos, los valores de la incógnita, que se obtienen, no
siempre son soluciones de la ecuación original, por lo tanto para
determinar el conjunto solución es necesario verificar cuales de
los valores obtenidos son
soluciones de la ecuación original.\\


\begin{proposicion}\label{Cap7_prop2}
Sea $a \in \mathbb{R},\; a>0,\;a\neq \; 1,\; x\in\mathbb{R},\; y\in\mathbb{R}$\\

\begin{center}
\sc $a^{x} = a^{y} \Longrightarrow x=y$
\end{center}
\end{proposicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración}}\\

Si $a^x = a^y$\, entonces aplicando $\log_{a}$\, a ambos miembros
de la igualdad:\\

\[\begin{array}{rcl}
  \log_a {a^x} & = & \log_a {a^y}\;\;\;\;\;\mbox{Por \ref{Cap7_prop1b}b} \\
    &   &   \\
  x & = & y \\
\end{array}\]


\begin{ejemplo}
Resolver $\log_{2}\left(\displaystyle{\frac{1}{32}}\right)=x$\\
\end{ejemplo}


\wsolu


\[\begin{array}{rcll}

  \log_{2}\left(\displaystyle{\frac{1}{32}}\right) & = & x \\
                          &   &   &   \\
                    2^{x} & = & \displaystyle{\frac{1}{32}}  \\
                          &   &      \\
                    2^{x} & = &\displaystyle{\frac{1}{2^{5}}}     \\
                          &   &   &   \\
                    2^{x} & = & 2^{-5} \;\;\;\;\mbox{Por \ref{Cap7_prop2}}  \\
                          &   &      \\
                        x & = & -5     \\
\end{array}\]

Por lo tanto $S=\{-5\}$\\



\begin{ejemplo}
Resolver la ecuación $\displaystyle{\frac{2^{x}}{4}=32}$\\
\end{ejemplo}


\wsolu


\[\begin{array}{rcl}
  \displaystyle{\frac{2^{x}}{4}}     & = & 32 \\
                           &   &    \\
  \displaystyle{\frac{2^{x}}{2^{2}}} & = & 2^{5} \\
                           &   &    \\
                   2^{x-2} & = & 2^{5}  \;\;\;\;\mbox{Por \ref{Cap7_prop2}}\\
                           &   &    \\
                       x-2 & = & 5 \\
                           &   &    \\
                       x   & = & 7 \\
\end{array}\]

Por lo tanto $S=\{7\}$


\begin{proposicion}\label{Cap7_prop3}
Sean $a\in\mathbb{R},\;a>0,\;a\neq 1,\;x\in\;]0,+\infty[,\; y\in\;]0,+\infty[$\\

\begin{center}
\bf {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{ $\log_{a}x = \log_{a}y \Longrightarrow x=y$}}
\end{center}
\end{proposicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración}}\\

Si $\log_{a}x = \log_{a}y$\, entonces aplicando $\mbox{Exp}_{a}$\, a ambos miembros
de la igualdad:\\

\[\begin{array}{rcl}
  a^{\log_{a}x} & = & a^{\log_{a}y}\;\;\;\;\;\mbox{Por \ref{Cap7_prop1a}a} \\
    &   &   \\
  x & = & y \\
\end{array}\]


\begin{ejemplo}
Resolver $\ln\;(x^{2}-3x+2)=\ln\;(x^{2}-5x+5)$\\

\wsolu


\[\begin{array}{rcll}

         \ln\;(x^{2}-3x+2) & = & \ln\;(x^{2}-5x+5)\;\;\;\;\mbox{Por \ref{Cap7_prop3}} \\
                          &   &   &   \\
             x^{2}-3x+2   & = & x^{2}-5x+5 \\
                          &   &      \\
                  2x-3    & = & 0     \\
                          &   &   &   \\
                       2x & = & 3   \\
                          &   &      \\
                        x & = & \displaystyle{\frac{3}{2}}    \\
\end{array}\]

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Prueba}}\\

$\ln\;(x^{2}-3x+2)=\ln\;(x^{2}-5x+5)$\\

Si $x=\displaystyle{\frac{3}{2}}$;\\

\[\begin{array}{rcl}
  \displaystyle{\ln\;\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-3\cdot \left(\frac{3}{2}\right)+2\right]} & = &   \displaystyle{\ln\;\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-5\cdot \left(\frac{3}{2}\right)+5\right]} \\
    &   &   \\
  \displaystyle{\ln\;\left(\frac{-1}{4}\right)} & = &   \displaystyle{\ln\;\left(\frac{-1}{4}\right)} \\
\end{array}\]

 Como $\;\displaystyle{\ln\left(\frac{-1}{4}\right)}$\, no está definido
en $\mathbb{R},$\, entonces $\displaystyle{\frac{3}{2}}$\, no es solución de
la ecuación.\\

Por lo tanto $S=\varnothing$\\
\end{ejemplo}





\textbf{Ejercicio}\\
Resuelva para $x$\, cada una de las siguientes ecuaciones.  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;3=2e^{x}$\\

\item $\;\;\;7=e^{-6x}$\\

\item $\;\;\;11=\displaystyle{\frac{2^{x}}{3}}$\\

\item $\;\;\;\sqrt{5}=\displaystyle{\frac{r^{x}}{\sqrt{5}}}$\\

\item $\;\;\;e^{x}=81$\\

\item $\;\;\;3^{-x}=27$\\

\item $\;\;\;9^{2x}=3\cdot \;27^{x}$\\

\item $\;\;\;3^{x+1}=729$\\

\item $\;\;\;4\cdot\; 16^{x}=64^{x-1}$\\

\item $\;\;\;5^{4x^{2}-4x-3}=1$\\

\item $\;\;\;8^{x-1}\cdot\; 2^{x}\cdot\; \displaystyle{\frac{1}{4^{x-2}}=\frac{1}{16}}$\\

\item $\;\;\;\sqrt{125^{x}}\cdot\; \displaystyle{\frac{1}{25^{x-1}}=\sqrt{5^{x}}}$\\

\end{enumerate}


\begin{proposicion}\label{Cap7_prop4}
Sean $a\in\mathbb{R},\;a>0,\;a\neq 1,\;x\in\;]0,+\infty[,\; y\in\;]0,+\infty[$\, entonces:\\

\begin{center}
\bf {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{$\log_{a}(\;x\cdot y) = \log_{a}x +\log_{a}y $}}
\end{center}
\end{proposicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración}}\\

Sean $M=\log_{a}x;\;N=\log_{a}y$\\

De $M=\log_{a}x$\, se tiene que $a^{M}=x$;\, de $N=\log_{a}y$\, se tiene que $a^{N}=y$\\

Así:\\
\[\begin{array}{rcl}
  x\cdot y & = & a^{M}\cdot a^{N} \\
           &   &   \\
  x\cdot y & = & a^{M+N} \\
\end{array}\]

Aplicando $\log_{a}$\, a ambos miembros de la igualdad se tiene que:\\

\[\begin{array}{rcl}
  \log_{a}(x\cdot y)  & = &\log_{a}a^{M+N}\;\;\;Por \ref{Cap7_prop1b}b \\
                   &   &   \\
  \log_{a}(x\cdot y)  & = & M+N \\
\end{array}\]

Pero $M=\log_{a}x\;\;\mbox{y}\;\;N=\log_{a}y$\, por lo que:\\

\[\log_{a}(\;x\cdot y) = \log_{a}x +\log_{a}y \]


\begin{ejemplo}
Sabiendo que $\log\;{2}\simeq 0,30103$\, y $\log\;3 \simeq 0,47712$.\\

Determine el valor de $\log\;12$\\



\wsolu


Como:\\

\[\begin{array}{rcll}
  \log\;12 & = & \log\;(4\cdot 3)         & \mbox{Por \ref{Cap7_prop3}} \\
          &   &                         &   \\
          & = & \log\;4+\log\;3           &   \\
          &   &                         &   \\
          & = & \log(2\cdot 2)+\log\;3    & \mbox{Por \ref{Cap7_prop3}} \\
          &   &                         &   \\
          & = & \log\;2+\log\;2+\log\;3    &   \\
          &   &                         &   \\
          & = & 2\;\log\;2+\log\;3        &   \\
          &   &                         &   \\
          & = & 2\cdot \;0,30103+0,47712&   \\
          &   &                         &   \\
          & = & 1,07918                 &   \\
\end{array}\]

Por lo tanto $\log\;12\simeq 1,07918 $\\
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Resolver $\log\;(x-3)+\log\;(x+2)=\log\;(5x-14)$\\



\wsolu


\[\begin{array}{rcll}
\log\;(x-3)+\log\;(x+2)  & = & \log\;(5x-14) & \mbox{Por \ref{Cap7_prop4}} \\
                         &   &              &   \\
\log\;[(x-3)\cdot(x+2)]  & = & \log\;(5x-14) & \mbox{Por \ref{Cap7_prop3}} \\
                         &   &              &   \\
(x-3)\cdot(x+2)          & = & 5x-14        &   \\
                         &   &              &   \\
x^{2}-x-6-5x+14          & = & 0            &   \\
                         &   &              &   \\
x^{2}-6x+8               & = & 0            &   \\
                         &   &              &   \\
                    x    & = & 4 \;\;\;\mbox{y}\;\;\;x=2       &   \\

\end{array}\]


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Prueba:}}\,\,$\log\;(x-3)+\log\;(x+2)=\log\;(5x-14)$\\



\begin{enumerate}
\item[a.] Si $x=4$\\
\[\begin{array}{rcl}
  \log\;(4-3)+\log\;(4+2) & = & \log\;(5\cdot 4-14) \\
                        &   &   \\
  \log\;(1)+\log\;(6)     & = & \log\;(6) \\
                        &   &   \\
  0+\log\;(6)            & = & \log\;(6) \\
                        &   &   \\
  \log\;(6)              & = &  \log\;(6) \\
\end{array}\]
Por lo tanto $4$\, es solución
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\begin{enumerate}
\item[b.] Si $x=2$\\
\[\begin{array}{rcl}
  \log\;(2-3)+\log\;(2+2) & = & \log\;(5\cdot 2-14) \\
                      &   &   \\
  \log\;(-1)+\log\;(4)     & = & \log\;(-4) \\
\end{array}\]

Como $\log\;(-1)\;\;\mbox{y}\;\;\log\;(-4)$\,
no están definidos en $\mathbb{R},$\, tenemos que $2$\, no es solución.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}
$\therefore \;\;S=\{4\}$


\begin{proposicion}\label{Cap7_prop5}
Sean $a\in\mathbb{R},\;a>0,\;a\neq 1,\;x\in\;]0,+\infty[,\; n\in\mathbb{R}$\, entonces:\\

\begin{center}
\bf {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{$\log_{a}\;x^{n} = n\cdot \log_{a}x$}}
\end{center}
\end{proposicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración}}\\


Sea $x=a^{y}$\, con $y\in\mathbb{R}$\, entonces $\log_{a}x=y$\\

así $\log_{a}x^{n}=\log_{a}(a^{y})^{n}=\log_{a}a^{y\cdot n}=y\cdot n,$\\

o sea, $\log_{a}x^{n}=y\cdot n$. Pero como $y=\log_{a}x$,\, tenemos que $\log_{a}x^{n}=n\cdot \log_{a}x$\\


\begin{ejemplo}
Resolver $2\;\log(1-2x)=\log(-x+1)$\\
\end{ejemplo}


\wsolu


\[\begin{array}{rcll}
  2\;\log(1-2x)      & = & \log(-x+1)            & \mbox{Por \ref{Cap7_prop5}} \\
                    &   &                      &   \\
  \log(1-2x)^{2}     & = & \log(-x+1)            & \mbox{Por \ref{Cap7_prop3}} \\
                    &   &                      &   \\
  (1-2x)^{2}        & = & (-x+1)               &   \\
                    &   &                      &   \\
  1-4x+4x^{2}       & = & -x+1                 &   \\
                    &   &                      &   \\
  4x^{2}-3x         & = & 0                    &   \\
                    &   &                      &   \\
  x(4x-3)           & = & 0                    &   \\
                    &   &                      &   \\
  x                 & = & 0\;\;\mbox{y}\;\;x=\displaystyle{\frac{3}{4}}    &   \\
\end{array}\]

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Prueba:}}\,\,\,$2\;\log(1-2x)=\log(-x+1)$\\


\begin{enumerate}
\item[a.] $\;\;\;$Si $x=0$\\
\[\begin{array}{rcl}
  2\;\log(1-2\cdot 0) & = & \log(-0+1) \\
                     &   &   \\
  2\;\log(1)          & = & \log(1) \\
                     &   &   \\
  2\cdot 0           & = & 0 \\
                     &   &   \\
  0                  & = & 0 \\
\end{array}\]
Por lo tanto $0$\, es solución

\item[b.] $\;\;\;$Si $\displaystyle{x=\frac{3}{4}}$\\
\[\begin{array}{ccc}
  2\;\log\left(1-2\cdot\displaystyle{\frac{3}{4}}\right) & = & \log\left(-\displaystyle{\frac{3}{4}}+1\right) \\
    &   &   \\
  2\;\log\left(1-\displaystyle{\frac{3}{2}}\right) & = & \log\left(\displaystyle{\frac{1}{4}}\right) \\
    &   &   \\
 2\;\log\left(-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right) & = & \log\left(\displaystyle{\frac{1}{4}}\right) \\
\end{array}\]
como $\displaystyle{\log\left(\frac{-1}{2}\right)}$\, no está definido en $\mathbb{R}$,\, entonces $\displaystyle{\frac{3}{4}}$\, no es solución.
\end{enumerate}



\begin{proposicion}\label{Cap7_prop6}
Sean $a\in\mathbb{R},\;a>0,\;a\neq 1,\;x\in\;]0,+\infty[,\; y\in\;]0,+\infty[$\, entonces:\\

\begin{center}
{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{$\log_{a}\;\displaystyle{\frac{x}{y} = \log_{a}x-\log_{a}y}$}}
\end{center}
\end{proposicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración}}\\

\[\begin{array}{rcll}
  \displaystyle{\log_{a}\;\frac{x}{y}} & = & \displaystyle{\log_{a}\;(x\cdot y^{-1})} & Por \ref{Cap7_prop4} \\
                            &   &                             &   \\
                            & = & \log_{a}x +\log_{a}y^{-1}     & Por \ref{Cap7_prop5} \\
                            &   &                             &   \\
                            & = & \log_{a}x +\;-1\cdot \log_{a}y&   \\
                            &   &                             &   \\
                            & = & \log_{a}x - \log_{a}y         &   \\

\end{array}\]

O sea $\log_{a}\;\displaystyle{\frac{x}{y} = \log_{a}x-\log_{a}y}$\\


\begin{ejemplo}
Resolver $\ln\;(x-10)-\ln\;(x-7)=\ln\;2$\\
\end{ejemplo}

\wsolu


\[\begin{array}{rcll}
  \ln\;(x-10)-\ln\;(x-7)      & = & \ln\;2         & \mbox{Por \ref{Cap7_prop6}} \\
                            &   &               &   \\
  \displaystyle{\ln\;\frac{x-10}{x-7}} & = & \ln\;2         & \mbox{Por \ref{Cap7_prop3}} \\
                            &   &               &   \\
  \displaystyle{\frac{x-10}{x-7}}     & = & 2             &   \\
                            &   &               &   \\
  x-10                      & = & 2(x-7)        &   \\
                            &   &               &   \\
  x-10                      & = & 2x-14         &   \\
                            &   &               &   \\
  -x+4                      & = & 0             &   \\
                            &   &               &   \\
  x                         & = & 4             &   \\
\end{array}\]


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Prueba:}} $\ln\;(x-10)-\ln\;(x-7)=\ln\;2$\\

\[\begin{array}{ccc}
  \ln\;(4-10)-\ln\;(4-7)& = & \ln\;2 \\
                      &   &       \\
  \ln\;(-6)-\ln\;(-3)   & = & \ln\;2 \\
\end{array}\]

Como $\ln\;(-6)\;\;\mbox{y}\;\;\ln\;(-3)$\, no están definidos en
$\mathbb{R}$\, entonces $4$\, no es solución, por
lo tanto $S=\varnothing$\\


\begin{ejemplo}
Verifique que $\displaystyle{\log_{2}\;\left[\frac{2^{3x}\cdot x^{2}\cdot 5}{\sqrt{8}\cdot 2^{x^{5}}}\right]=3x+2\cdot \log_{2}5-\frac{3}{2}-x^{5}}$\\
\end{ejemplo}


\wsolu


\[\begin{array}{rcl}
 \displaystyle{\log_{2}\;\left[\frac{2^{3x}\cdot x^{2}\cdot 5}{\sqrt{8}\cdot 2^{x^{5}}}\right]} &
      = & \log_{2}(2^{3x}\cdot x^{2}\cdot 5)-\log_{2}(\sqrt{8}\cdot 2^{x^{5}}) \\
    &   &   \\
    & = & \log_{2}2^{{3x}}+\log_{2}x^{2}+\log_{2}5-(\log_{2}\sqrt{8}+\log_{2}2^{x^{5}}) \\
    &   &   \\
    & = & \log_{2}2^{{3x}}+\log_{2}x^{2}+\log_{2}5-\log_{2}\sqrt{8}-\log_{2}2^{x^{5}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{3x\cdot \log_{2}2+2\cdot \log_{2}x+\log_{2}5-\log_{2}8^{\frac{1}{2}}-x^{5}\cdot \log_{2}2 }\\
    &   &   \\
    & = & 3x\cdot 1+2\cdot \log_{2}x+\log_{2}5-\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot \log_{2}8-x^{5}\cdot 1} \\
    &   &   \\
    & = & 3x+2\cdot \log_{2}x+\log_{2}5-\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot 3-x^{5}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{3x+2\cdot \log_{2}x+\log_{2}5-\frac{3}{2}-x^{5}} \\
\end{array}\]


\textbf{Ejercicio}\\
Verifique cada una de las siguientes identidades:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;\displaystyle{\log\left[\frac{x^{3}\cdot 10^{2x}}{10^{x^{2}}}\right]=3\cdot \log\;x+2x-x^{2}}$\\

\item $\;\;\;\displaystyle{\log_{3}\sqrt[3]{2\sqrt{3}}=\log_{3}\sqrt[3]{2}-\log_{3}\sqrt[6]{x}}$\\

\end{enumerate}

\begin{ejemplo}
\begin{enumerate}
\item Resuelva $9\cdot3^{2x}-15\cdot 3^{x}-6=0$\\

\wsolu


\[\begin{array}{rcl}
  9\cdot3^{2x}-15\cdot 3^{x}-6       & = & 0 \\
                                     &   &   \\
  9\cdot (3^{x})^{2}-15\cdot 3^{x}-6 & = & 0 \\
\end{array}\]

Sea $y=3^{x}$\,\,(*)\\
\[\begin{array}{rcl}
  9\cdot y^{2}-15\cdot y-6         & = & 0 \\
                                   &   &   \\
  y                                & = & \displaystyle{\frac{-1}{3}},\;\;\;y\;=\;2 \\
\end{array}\]

De (*) tenemos que:\\
\begin{enumerate}
\item[a.] $\;\;\;3^{x}=\displaystyle{\frac{-1}{3}}\;\;\;S_{1}=\varnothing$\, ?`Por qué?. \\

\item[b.] $\;\;\;3^{x}=2\Longrightarrow x=\log_{3}2\Longrightarrow S_{2}=\{\log_{3}2\}$\\

\end{enumerate}

Por lo tanto $S=\{log_{3}2\}$\\

\item Resuelva $\sqrt{\log_{2}x}=\log_{2}\sqrt{x}$\\

\wsolu


\[\begin{array}{rcl}
  \sqrt{\log_{2}x}                                    & = & \log_{2}\sqrt{x} \\ \\

  \sqrt{\log_{2}x}                                    & = & \displaystyle{\frac{1}{2}\cdot \log_{2}x} \\ \\

  \left(\sqrt{\log_{2}x}\;\right)^{2}                 & = & \left(\displaystyle{\frac{1}{2}\cdot \log_{2}x}\right)^{2} \\ \\

  \log_{2}x                                           & = & \displaystyle{\frac{1}{4}\cdot (\log_{2}x})^{2} \\ \\

  \log_{2}x- \displaystyle{\frac{1}{4}\cdot (\log_{2}x})^{2}     & = & 0 \\ \\

  \log_{2}x \cdot(1- \displaystyle{\frac{1}{4}\cdot \log_{2}x})  & = & 0 \\ \\
\end{array}\]

Así $\log_{2}x=0$\,\,\, ó\,\,\, $1-\displaystyle{\frac{1}{4}\cdot \log_{2}x=0}$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Caso I}}\\

$\log_{2}x=0\Longleftrightarrow x=2^{0}\Longleftrightarrow x=1$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Caso II}}\\

$1-\displaystyle{\frac{1}{4}\cdot \log_{2}x=0\Longleftrightarrow 1}=\displaystyle{\frac{1}{4}\cdot \log_{2}x
\Longleftrightarrow 4=\log_{2}x\Longleftrightarrow x=16}$\\


Por lo tanto $S=\{1,16\}$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\

Resuelva para $x$,\, cada una de las siguientes ecuaciones:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;3^{2x+2}-5\cdot 3^{x+1}-6=0$\\

\item $\;\;\;9^{x-2}+3^{x-1}-2=0$\\

\item $\;\;\;27^{x+3}=\displaystyle{\frac{(\sqrt{3})^{x}}{9^{x-2}}}$\\

\item $\;\;\;3^{1-2x}=2^{x+5}$\\

\item $\;\;\;10^{7-2x}=3^{5-3x}$\\

\item $\;\;\;5^{x+2}=4^{x-1}$\\

\item $\;\;\;-\log(x-1)=2$\\

\item $\;\;\;-\log_{2}(x-2)=1$\\

\item $\;\;\;\log\;\sqrt{x}=\sqrt{\ln\;x}$\\

\item $\;\;\;\displaystyle{\frac{2\;\log(1+x)}{\log(x+2)}}=0$\\

\item $\;\;\;-1+\log\;x=\displaystyle{\frac{-1-\log\;x}{\log\;x+1}}$\\

\item $\;\;\;\log\;(x^{8})=(\ln\;x)^{4}$\\

\item $\;\;\;\log\;x^{3}=(\log\;x)^{3}$\\

\item $\;\;\;\log\;x^{4}=\log^{4}x$\\

\item $\;\;\;2\;\log_{5}(x-2)-\log_{5}(x+4)=\log_{5}3$\\

\item $\;\;\;\log(2x+7)-\log(x-1)=\log\;5$\\

\item $\;\;\;-\log_{2}\displaystyle{\frac{1}{x-2}}=2+\log_{2}(x-2)$\\

\item $\;\;\;y=\ln(x+\sqrt{x^{2}-1})$\\

\item $\;\;\;y=\ln(x-\sqrt{x^{2}-2})$\\

\item $\;\;\;y=\ln\displaystyle{\sqrt{\frac{x+3}{x-3}}}$\\

\item $\;\;\;e^{\ln\;4}=e^{(x+\sqrt{x^{2}-4})}$\\

\item $\;\;\;x^{\sqrt{\log\;x}}=10^{8}$\\

\end{enumerate}
\section{Modelización}
Modelización con funciones exponenciales y logarítmicas.

\section{Identidades logarítmicas}
Identidades logarítmicas.

\section{Ecuaciones exponenciales y logarítmicas}
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

\section{Ejercicios}
