
\chapter{Funciones trigonométricas}

\section{Ángulos, definición y notación}
% === Cap8 - Introducción ===

La palabra ``Trigonometría'' procede del griego  y su significado
es ``medida de triángulos''. Así, se considera la trigonometría
como aquella parte de la matemática que trata de los elementos de
los
triángulos, tanto planos como esféricos.\\

No obstante a pesar del concepto de trigonometría que se acaba de
ofrecer, hoy en día la trigonometría posee otras muchas
importantes aplicaciones que no se refieren específicamente a los
triángulos.\\

Muchos fenómenos físicos se representan de un modo regular o
periódico, por ejemplo, el movimiento de un péndulo oscila de modo
regular; el voltaje de un circuito de corriente alterna oscila
constantemente entre los valores positivos y negativos; incluso
las estaciones del año tienen un ciclo perfectamente definido.\\

Por lo anterior, se dice que estos fenómenos tienen cambios
periódicos.\\

Para el estudio de estos cambios periódicos, se usan modelos
matemáticos, en los cuales las funciones trigonométricas son
fundamentales.\\

Para iniciar el desarrollo de este capítulo, recordaremos algunos
conceptos fundamentales de geometría plana.\\



% === Cap8 - Algunos conocimientos previos de geometr$\acute{\mbox{i}}$a plana ===



\begin{definicion}
Sea $L$\, una recta de ecuación $y = mx + b$,\, con
$m\in\mathbb{R},\;\;\; b\in \mathbb{R}$.\, Si $A$\, y $B$\, son puntos de $L$,\,
entonces escribimos  $L={AB \atop \leftrightarrow}$\\
\end{definicion}

La recta $L$\, la podemos representar geométricamente sin usar
coordenadas rectangulares de la siguiente forma:\\

%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig01}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig1}
\end{center}
%%\end{figure}



\begin{definicion}
Rayo:\\
Sea $L$\, una recta de ecuación $y = mx + b$,\, con
$m\in \mathbb{R},\;\; b\in \mathbb{R}$\, y sean $A,\; B\;\mbox{y}\;\; C$\, tres
puntos en $L$\,
como se muestra en la siguiente figura:\\
\end{definicion}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig02}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig2}
\end{center}
%%\end{figure}


Sea $B = (x_{0},y_{0})$.\, Los conjuntos definidos por:\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$\overrightarrow{BA} = \{(x,y) \,\in\,
\mbox{L/}
\,\,x\leq x_0 \}$\\

\item[b.)] $\;\;\;$$\overrightarrow{BC} = \{(x,y) \,\in \,
\mbox{L/}\,\,x\geq x_0 \}$\\
\end{enumerate}

reciben el nombre de {\em{rayos}} y el punto $B$\, recibe el nombre de
{\em{origen}} o punto inicial del rayo.\\

De acuerdo con la figura anterior, los rayos
$\overrightarrow{BA}$\, y $\overrightarrow{BC}$\,  se pueden
representar respectivamente así:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap8-Trigonometria/fig03}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig3}
\end{center}
%%\end{figure}



\begin{definicion}[\textbf Círculo]
Sea $P$\, un plano, $O$\, un punto en $P$\, y $ r
\in \mathbb{R},\;\; r \geq 0 $.

Se llama círculo de centro $O$\, y de radio $r$,\, al conjunto de
puntos en $P$\, cuya distancia a $O$\, es $r$.\\
\end{definicion}


\inxx{Círculo}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig04}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig4}
\end{center}
%%\end{figure}



\begin{ejemplo}
\begin{enumerate}
\item[a)] Sea $C$\, un círculo cuyo radio es $2cm$\, y su centro es el punto $(0,0),$\, entonces $C$\, se puede representar así:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig05}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig5}
\end{center}
%%\end{figure}


\item[b)] Sea $C$\, un círculo cuyo radio es $2,5cm$\, y su centro es $(2,-1)$\, entonces $C$\, se puede representar así:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig06}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig6}
\end{center}
%%\end{figure}
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Represente cada uno de los siguientes círculos:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$C$\, es un círculo de radio $3,5cm$\, y su centro es
$(-2,-1)$\\

\item $\;\;\;$$C$\, es un círculo de radio $4cm$\, y su centro es $(0,2)$\\

\item $\;\;\;$$C$\, es un círculo de radio $2,25cm$\, y su centro es $(-3,2)$\\

\end{enumerate}


\begin{definicion}[Circunferencia]
Sea $C$\, un círculo, se llama
circunferencia de $C$\, a la longitud del
círculo $C$.\\


\inxx{Circunferencia}
Si $C$\, es un círculo de radio $r$,\, entonces la circunferencia $L$\, de $C$\, es
dada por:\\

\begin{center}
$L=2\pi r$
\end{center}
\end{definicion}


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item $\;\;\;$Sea $C$\, un círculo cuyo radio es $5cm$\, entonces la circunferencia
$L$\, de $C$\, es dada por:\\

\[L=2 \pi \cdot 5\;\;\Longrightarrow\;\; L=10 \pi\]

Así la circunferencia de $C$ es $10 \pi \;\;cm$. \\

\item $\;\;\;$Sea $C$\, un círculo cuyo radio es $7,5\;\;cm$\, entonces la
circunferencia $L$\, de $C$\, es dada por:\\

\[L=2 \pi \cdot 7.5\;\;\Longrightarrow\;\;L=15\pi\]

Así la circunferencia de $C$\, es $15\pi\;\;cm$.\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Calcule la circunferencia de cada uno de los siguientes círculos:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$C$\, es un círculo cuyo radio es $12\;cm$.\\

\item $\;\;\;$$C$\, es un círculo cuyo radio es $1\;cm$.\\

\item $\;\;\;$$C$\, es un círculo cuyo radio es $13,5$\,pulgadas. \\

\end{enumerate}


\begin{definicion}[Ángulo plano]
Se llama ángulo plano a la unión de dos rayos
con un origen común. Los rayos que forman un ángulo se llaman
lados del ángulo
y al punto común u origen de los rayos, se llama vértice del ángulo. \\
\end{definicion}

\inxx{Ángulo plano}
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig07}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig7}
\end{center}
%%\end{figure}



En la figura anterior los rayos $\overrightarrow{OA}$\, y
$\overrightarrow{OC}$\, determinan un ángulo y se denota
 $\measuredangle AOC$\,($\measuredangle AOC$\, se lee ``ángulo $AOC$'') \\

\begin{definicion}[Ángulo central]
Se llama ángulo central de un círculo a
aquel ángulo cuyo vértice
es el centro del círculo.\\
\end{definicion}

\inxx{Ángulo central}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig08}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig8}
\end{center}
%%\end{figure}


El $\measuredangle AOB$ es un ángulo central.\\

\begin{definicion}[Arco subtendido]
Sea un círculo de centro $O$\, y radio
$r$,\, sea el $\measuredangle \;POQ$ un ángulo central de $C$,\,
tal que $P$\, y $Q$\,
están en $C$.\\
\end{definicion}


\inxx{Arco subtendido}


Se llama arco subtendido por el {ángulo $POQ$\, al conjunto de
puntos de $C$\, que están entre $P$\, y $Q$,\,
incluyendo a estos. \\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images-Cap8-Trigonometria/fig09}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig9}
\end{center}
%%\end{figure}

A veces resulta conveniente designar a uno de los lados de un
ángulo como el lado inicial del ángulo y al otro como lado final.\\

En un sistema de coordenadas rectangulares los ángulos que tienen
su vértice en el origen del sistema  de coordenadas y el rayo
positivo del eje $X$\, como
lado inicial, se dice que están en \textbf{ posición normal} \\

\begin{ejemplo}

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig10_1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig10}
\end{center}
%%\end{figure}
El $\measuredangle\;POQ$\, está en posición normal, su lado inicial es $\overrightarrow{OQ}$
y  su lado final es $\overrightarrow{OP}$.
}{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig10_2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig11}
\end{center}
%%\end{figure}
}

\end{ejemplo}

\textbf{Ejercicio}\\

Complete la frase siguiente: si
$\measuredangle\;{ROS}$ está en posición normal, entonces  su lado
inicial es \underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,} y  su lado final es \underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}


\vspace{1cm}
{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Rotación positiva y rotación negativa}}\\


Un ángulo puede considerarse engendrado por dos rayos con un origen común de
la siguiente manera, un rayo
fijo (lado inicial) y un rayo móvil (lado final)  que rota alrededor de su origen.\\

\begin{definicion}
Dado un ángulo que se considere engendrado por una rotación, si
ésta se ha realizado en el sentido  contrario al que giran las
agujas del reloj, se dice que el ángulo tiene sentido positivo, en caso contrario, se dice que el ángulo tiene sentido negativo.\\
\end{definicion}

\begin{ejemplo}

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig11_1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig12}
\end{center}
%%\end{figure}
El $\measuredangle {RPQ}$\, tiene sentido positivo
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/positivo}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig13}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[width=3.8cm,height=2.8cm]{images-Cap8-Trigonometria/fig11_2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig14}
\end{center}
%%\end{figure}
El $\measuredangle {ABC}$\, tiene sentido negativo
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/negativo} \\
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig15}
\end{center}
%%\end{figure}
}

\end{ejemplo}



\textbf{Ejercicio}\\
Dibuje dos ángulos, uno con sentido positivo y otro con sentido negativo.




\section{Ángulos en posición estándar y coterminales}
% === Sección de origen: Medida de ángulos ===

Para medir ángulos existen dos sistemas de medición uno que usa
como unidad de medida el grado,
y otro que usa como unidad de medida el radián.\\

\subsection{Medida en grados}

Consideremos el $\measuredangle ABC$\, como ángulo central de un círculo y
con sentido positivo.\\

Se dice que la medida del $\measuredangle ABC$\, es un grado $(1°)$\, si subtiende un arco cuya medida
es $\displaystyle\frac{1}{360}$\, de la circunferencia.\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig12}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig16}
\end{center}
%%\end{figure}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Notación:}}
m $\measuredangle ABC=1°$; \hspace{1cm} m $\measuredangle ABC$\, se lee ``medida del ángulo $ABC$'' \\

\begin{definicion}~

\begin{enumerate}
\item[a)] Un minuto, denotado por $1'$,\, es $\displaystyle\frac{1}{60}$ parte del grado.\\

\item[b)] Un segundo, denotado por $1'',$ es $\displaystyle\frac{1}{60}$ parte de un minuto.\\
\end{enumerate}

Por consiguiente: $1\;\mbox{hora}=60'$ y $1\;\mbox{minuto}=60''$.\\
\end{definicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Representación de ángulos}}


\begin{ejemplo}
\begin{enumerate}
\item[a.] Representación  de un ángulo cuya medida es $30°$.\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig13}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig17}
\end{center}
%%\end{figure}


\item[b.] Representación de un ángulo de $90°$\, en posición normal.\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig14}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig18}
\end{center}
%%\end{figure}
\end{enumerate}
\end{ejemplo}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} Un ángulo cuya medida es $90°$\, recibe el nombre de \textbf{{ángulo recto}} \\

\textbf{Ejercicio}\\
Represente de manera aproximada (usando regla y transportador) un ángulo cuya medida sea:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$60°$\\

\item $\;\;\;$$150°$\\

\item $\;\;\;$$180°$\\

\item $\;\;\;$$360°$\\

Represente (usando regla y transportador) un ángulo en posición normal y cuya medida sea:\\

\item $\;\;\;$$135°$\\

\item $\;\;\;$$315°$\\

\item $\;\;\;$$15°$\\

\item $\;\;\;$$120°$\\

\end{enumerate}



\subsection{Medida en radianes}


\inxx{Radianes}
Para definir lo que entenderemos por radián asumiremos que los
arcos del círculo se pueden medir,
recordemos también que los círculos de radio 1 tienen como circunferencia $2 \pi $,\, observaremos
además que también aceptamos la existencia de un número real.\\


\begin{definicion}
Sea $C$\, un círculo de radio $1$\, y centro en el origen del sistema de
coordenadas rectangulares \\
\end{definicion}



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig15}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig19}
\end{center}
%%\end{figure}



Diremos que el valor absoluto de la medida del $\measuredangle POQ$,\, en
radianes, es igual a la longitud
del arco $PQ$\\


\begin{ejemplo}
Sea $C$\, un círculo de centro $O$\, y radio $1$ \\

\begin{enumerate}
\item[a)] Si el ángulo $MON$\, subtiende al arco de longitud
 $\displaystyle\frac{\pi }{ 4 }, $ entonces la medida en radianes del ángulo $MON$ es
 $\displaystyle\frac{\pi }{ 4 } $ radianes.\\

\item[b)] Si el ángulo $ROS$ subtiende un arco de longitud $2 \pi
$,\, entonces la medida en radianes del ángulo $ROS$\, es
\underline{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\

\item[c)] Si el ángulo $JOX$\, subtiende un arco de longitud
$1,$\, entonces la medida en radianes
del ángulo $JOX$\, es 1 radián.\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} \\

\begin{enumerate}
\item Si un ángulo ha sido engendrado por rotación positiva,
 entonces se le asigna una medida positiva.\\

\item Si un ángulo ha sido engendrado por rotación negativa,
 entonces se le asigna una medida negativa.\\
\end{enumerate}

\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item Los ángulos que se presentan a continuación tienen medida positiva.\\

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/figejem1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig20}
\end{center}
%%\end{figure}
}
{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/figejem2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig21}
\end{center}
%%\end{figure}
}

\item Los ángulos que se representan  a continuación tienen medida negativa.\\

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/figejem3}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig22}
\end{center}
%%\end{figure}
}
{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/figejem4}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig23}
\end{center}
%%\end{figure}
}

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


Por lo anterior existen ángulos cuya medida es $35°$,\, $-35°$,\,
$700°$,\, $3$\, radianes, $\displaystyle\frac{-3}{4}$\, radianes, etc.\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Convenio}} \\

 Siempre que no se especifique las unidades para la medida de un
ángulo entenderemos que las unidades son radianes.\\

\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item $\;\;\;$$m \;\measuredangle ABC\; = 2 \pi $\, significa que ``la medida del
 $\measuredangle ABC$\, es $2$\, radianes'' \\

\item $\;\;\;$$m \;\measuredangle POQ = \displaystyle\frac{-3\pi }{2}$\,
significa que ``la medida del $\measuredangle POQ = \displaystyle\frac{-3\pi }{2}$\, radianes''.\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\subsection{Relación entre grados y radianes}


Como la circunferencia de un círculo de radio $1$\, es igual a $2\pi$,\,
se tiene que un rayo engendra un ángulo cuya
 medida es $2\pi $\, radianes cuando el rayo se hace rotar
``una vuelta completa'', en sentido positivo.\\

De la misma forma, dado que un ángulo cuya medida es $1°$,\,
subtiende un arco cuya medida es $\displaystyle\frac{1}{360}$\,
 de la circunferencia, se tiene que un rayo engendra un ángulo
cuya medida es $360°$,\, cuando el rayo se hace rotar ``una vuelta
 completa'' en sentido positivo.\\


\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
 \item[a.)] Un ángulo de $360°$\, es equivalente a un ángulo de $2\pi$\, radianes.\\

 \item[b.)] Un ángulo de $180°$\, es equivalente a un ángulo de $\pi$\, radianes.\\

 \item[c.)] Un ángulo de $90°$\, es equivalente a un ángulo de $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\, radianes.\\

 \item[d.)] Un ángulo de $45°$\, es equivalente a un ángulo de $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$\, radianes.\\
 \end{enumerate}
\end{ejemplo}

En particular se tiene que:\\

\begin{enumerate}
\item La medida $R$\, en radianes de un ángulo que mide $G$\, grados $(G°)$\,
es
el número real $R$\, por:\\

\begin{center}
$R = \displaystyle{\frac{\pi G }{180}}$
\end{center}

\item La medida $G$\, en grados $(G°)$\, de un ángulo que mide $R$\, radianes,
 viene dada por:\\

\begin{center}
$G = \displaystyle{\frac{180° R }{\pi }}$
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{ejemplo}
Exprese en radianes las siguientes medidas de ángulos \\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;210°$\\

\item[b.)] $\;\;\;-36°$\\

\item[c.)] $\;\;\;-720°$\\

\item[d.)] $\;\;\;315°$\\
\end{enumerate}

\wsolu

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$R=\displaystyle{\frac{\pi\cdot 210}{180}\Longrightarrow\;R=\frac{7\pi}{6}}$,\, o sea
\hspace{0.5cm}$210^{\circ} \; \mbox{ equivale a }\;\displaystyle{\frac{7\pi}{6}}$\\

\item[b.)] $\;\;\;$$R=\displaystyle{\frac{\pi\cdot (-36)}{180}\Longrightarrow\;R=\frac{-\pi}{5}}$,\,
o sea  \hspace{0.5cm} $-36^{\circ} \; \mbox{ equivale a }\; \displaystyle{\frac{-\pi}{5}}$\\

\item[c.)] $\;\;\;$$R=\displaystyle{\frac{\pi\cdot (-720)}{180}\Longrightarrow\;R=-4\pi}$,\,
 o sea \hspace{0.5cm}$-720^{\circ} \; \mbox{ equivale a }\; -4\pi $\\

\item[d.)] $\;\;\;$$R=\displaystyle{\frac{\pi\cdot 315}{180}\Longrightarrow\;R=\frac{7\pi}{4}}$,\,
o sea\hspace{0.5cm} $315^{\circ} \; \mbox{ equivale a }\; \displaystyle{\frac{7\pi}{4}}$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Exprese en grados las siguientes medidas de ángulos, dadas en radianes.\\

\begin{enumerate}
\item[(a.)] $\;\;\;$$\displaystyle{\frac{5\pi}{3}}$\\

\item[(b.)] $\;\;\;$$\displaystyle{\frac{-11\pi}{4}}$\\

\item[(c.)] $\;\;\;$$\displaystyle{\frac{-5\pi}{6}}$\\

\item[(d.)] $\;\;\;$$3$\\
\end{enumerate}

\wsolu

\begin{enumerate}
\item[(a.)] $\;\;\;$$G^{\circ}=\displaystyle{\frac{180^{\circ}\frac{5\pi}{3}}{\pi}\Longrightarrow G^{\circ}=300^{\circ}}$,\,
o sea $\displaystyle{\frac{5\pi}{3}\; \mbox{ equivale a }\; 300^{\circ}}$\\

\item[(b.)] $\;\;\;$$G^{\circ}=\displaystyle{\frac{180^{\circ}\frac{-11\pi}{4}}{\pi}\Longrightarrow G^{\circ}=-495^{\circ}}$,\,
 o sea $\displaystyle{\frac{-11\pi}{4} \; \mbox{ equivale a }\; -495^{\circ}}$\\

\item[(c.)] $\;\;\;$$G^{\circ}=\displaystyle{\frac{180^{\circ}\frac{-5\pi}{6}}{\pi}\Longrightarrow G^{\circ}=-150^{\circ}}$,\,
o sea $\displaystyle{\frac{-5\pi}{6} \; \mbox{ equivale a }\; -150^{\circ}}$\\

\item[(d.)] $\;\;\;$$G^{\circ}=\displaystyle{\frac{180^{\circ}\cdot
3}{\pi}\Longrightarrow G^{\circ}\approx 171.88734^{\circ} \approx
171^{\circ}53'14'' }$,\,
o sea $3 \; \mbox{ equivale a }\; 171^{\circ}53'14''\;$ aproximadamente\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} para pasar $\,0.88734^{\circ}\,$ a minutos y segundos
usamos {\em regla de tres}. En este caso $\,0.88734 = 53.2404' =
53'+0.2404'=53'+14.424''\,$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Exprese en radianes las siguientes medidas de ángulos:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$30°$\\

\item $\;\;\;$$90°$\\

\item $\;\;\;$$150°$\\

\item $\;\;\;$$-300°$\\

\item $\;\;\;$$45°$\\

\item $\;\;\;$$120°$\\

\item $\;\;\;$$-180°$\\

\item $\;\;\;$$-330°$\\

\item $\;\;\;$$60°$\\

\item $\;\;\;$$-135°$\\

\item $\;\;\;$$270°$\\

\item $\;\;\;$$360°$\\

Exprese en grados las siguientes medidas de ángulos dados en
radianes:\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \frac{5\pi}{3}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \frac{-7\pi}{6}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \frac{-3\pi}{2}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \frac{5\pi}{4}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \frac{3}{2}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \frac{-1}{2}$\\

\end{enumerate}


\subsection{Círculo trigonométrico}

\inxx{Círculo trigonométrico}


\begin{definicion}
El círculo cuyo radio es $1$\, y su centro es el punto $(0,0)$\, de un sistema de coordenadas rectangulares, se llama círculo trigonométrico.
\end{definicion}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig16}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig24}
\end{center}
%%\end{figure}

En la figura anterior observe que si $(x,y)$ es un punto del círculo trigonométrico
entonces:\\

\[x^{2}+y^{2}=1\]


!`Verifíquelo!


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig17}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig25}
\end{center}
%%\end{figure}


\textbf{Ejercicio}\\
Con respecto a la figura anterior:\\
Si $(x,y)$\, es un punto del círculo trigonométrico determine:  \begin{enumerate}

\item ?`Cuáles son los valores posibles para $x$? \\

\item ?`Cuáles son los valores posibles para $y$? \\

\item ?`En qué cuadrante $x$\, es positiva? \\

\item ?`En qué cuadrante $x$\, es negativa? \\

\item ?`En que cuadrante $y$\, es positiva? \\

\item ?`En qué cuadrante $y$\, es negativa? \\

\end{enumerate}


\mpage{
En la siguiente figura, se muestra los puntos de intersección entre
el círculo trigonométrico y los ejes coordenados.\\
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig18-a}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig26}
\end{center}
%%\end{figure}
}
{
En la siguiente figura, se muestra las medidas de los ángulos (en
sentido positivo) en posición normal, que se forman con los ejes
coordenados.\\
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig18-b}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig27}
\end{center}
%%\end{figure}
}


\section{Círculo unitario}
Círculo unitario.

\section{Definiciones de seno, coseno y tangente}
% === Cap8 - Las funciones trigonométricas seno y coseno} ===

\inxx{Seno}
\inxx{Coseno}



\begin{definicion}
Sea $P$\, un punto en el círculo trigonométrico, tal que
$P=(x,y)$,\, sea $\alpha$\, la medida del ángulo formado por la
parte positiva del eje $X$\, y el rayo $OP$\, (ver figura)
\end{definicion}


Se definen las funciones:\\

\begin{enumerate}
\item[a)] \[\begin{array}{ccccc}
  \mbox{coseno}: & \mathbb{R}      & \longrightarrow & \mathbb{R} &   \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & x, & \mbox{o sea, coseno}(\alpha)=x
            \end{array}\]



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Designamos con  $\cos \alpha$\, el criterio de la función coseno; o sea $\cos\;(\alpha) =$\, coseno $(\alpha)$\\



\item[b)] \[\begin{array}{ccccc}
  \mbox{seno}:   & \mathbb{R}      & \longrightarrow & \mathbb{R} &   \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & y, & \mbox{o sea, seno}(\alpha)=y \\
\end{array}\]


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Designamos con  $\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\, el criterio de la función seno; o sea, $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) =$\,  seno $(\alpha)$\\
\end{enumerate}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig19}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig28}
\end{center}
%%\end{figure}


Por lo anterior se obtiene que $x=\cos\;(\alpha)$;\, $y=\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\,\, o sea, $P=(x,y)=(\cos\;(\alpha),\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Algunas propiedades de las funciones seno y coseno}}\\


\begin{enumerate}
\item[a.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Ámbito de las funciones seno y coseno}}\\

Como el punto $P$\, pertenece al círculo trigonométrico, se obtiene
que las coordenadas ``$x$''\, y ``$y$'' de $P$\, satisfacen
respectivamente las desigualdades compuestas.\\
\begin{enumerate}
\item[i.)] $\;\;\;$$-1\leq x \leq 1$ \\

\item[ii.)] $\;\;\;$$-1\leq y \leq 1$
\end{enumerate}

Además como $\cos\;(\alpha)\;=\; x$\, y  $\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha\;=y$\, entonces:
\begin{enumerate}
\item[i.)] $\;\;\;$$-1\leq \cos\;(\alpha) \leq 1$ \\

\item[ii.)] $\;\;\;$$-1\leq \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) \leq 1$
\end{enumerate}

Por lo que el ámbito de las funciones seno y coseno
es $[-1,1]$.\\

\item[b.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Signo de los valores de las
funciones seno y coseno}}\\

Con base en el ejercicio $6$\, y la
definición de las funciones seno y coseno se obtiene que:\\

\begin{enumerate}
\item[i.)] Si $0<\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, son números reales positivos.\\

\item[ii.)] Si $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}<\alpha<\pi$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, es un número real negativo y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, es un número real positivo.\\

\item[iii.)] Si $\pi<\alpha<\displaystyle{\frac{3\pi}{2}}$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, son números reales negativos.\\

\item[iv.)] Si $\displaystyle{\frac{3\pi}{2}}<\alpha<2\pi$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, es un número real positivo y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, es un número real negativo.\\
\end{enumerate}


Las propiedades anteriores pueden resumirse de la siguiente forma:\\


\mpage{
\textbf{a.}\, La función seno toma valores positivos en el $I$\, y $II$\, cuadrante y valores negativos en el $III$\, y $IV$\, cuadrante.\\
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig20-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig29}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
\textbf{b.}\, La función coseno toma valores positivos en el $I$\, y $IV$\, cuadrante y valores negativos en el $II$\, y $III$\, cuadrante.\\
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig20-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig30}
\end{center}
%%\end{figure}
}

\inxx{Cuadrantes}


\item[c.] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Algunos valores de las funciones seno y coseno}}\\


Como los puntos de intersección del círculo trigonométrico con los ejes coordenados son $(1,0),\;(0,1),\;(-1,0),\;(0,-1)$\, como se muestra en la figura siguiente:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig21}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig31}
\end{center}
%%\end{figure}


Tenemos que:

\begin{enumerate}
\item[i)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits 0 = 0$\,                        \hspace{1.1cm}  y     \hspace{5.9mm}  $\cos 0 = 1$\\

\item[ii)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \displaystyle{\frac{\pi}{2}} = 1$\,      \hspace{1cm}  y     \hspace{5.8mm}  $\cos \displaystyle{\frac{\pi}{2}} = 0$\\

\item[iii)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \pi = 0$\,                    \hspace{1.1cm}  y     \hspace{5.9mm}  $\cos \pi = -1$\\

\item[iv)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \displaystyle{\frac{3\pi}{2}} = -1$\,    \hspace{0.6cm}  y     \hspace{5.5mm}  $\cos \displaystyle{\frac{3\pi}{2}} = 0$\\

\end{enumerate}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada uno de los siguientes ángulos:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$\alpha =\displaystyle{\frac{-3\pi}{2}}$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =\displaystyle{\frac{-\pi}{2}}$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =2\pi$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =7\pi$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =\displaystyle{\frac{-5\pi}{2}}$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =27\pi$\\

Represente en el círculo trigonométrico, el ángulo correspondiente.\\

Para cada valor de $\alpha$,\, calcule
$\cos\;(\alpha)$\, y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$.\\

\end{enumerate}


\item[d.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Periodicidad de las funciones seno y coseno}}\\

Sea $P = (x,y)$\, un punto en el círculo trigonométrico.
Sea $\alpha$\, la medida del ángulo, cuyo lado inicial es el lado
positivo del eje $X$\, y cuyo lado final es el rayo $OP$.\, Si hacemos
girar el rayo OP ``una vuelta completa'', o en forma general ``$n$\,
vueltas completas'', entonces el rayo $OP$\, en su posición final
interseca al círculo trigonométrico en el mismo punto $(x,y)$,\, por
lo cual los valores de las funciones seno y coseno no han variado,
así tenemos que:\\

\[\cos(\alpha+2\pi)=\cos \alpha \;\;\mbox{y}\;\;\ \mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha+2\pi)=\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha\]


En general:\\

\begin{center}
$\cos(\alpha+n\cdot 2\pi)=\cos \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha+n\cdot 2\pi)=\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$
\end{center}


Por lo anterior se dice que las funciones seno y
coseno son \textbf{ funciones periódicas} y su período es
$2\pi$.\\

\item[e.)] Sea $P = (x,y)$\, un punto del círculo trigonométrico,
sea $\alpha,\;0 < \alpha <\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\, la medida del
ángulo formado por la
parte positiva del eje $X$\, y el rayo $OP$\, entonces:\\


\begin{enumerate}
\item[i.)]

$\mathop{\rm sen}\nolimits(\pi -\alpha)=\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\cos(\pi -\alpha)=-\cos \alpha$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación}}\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig22}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig32}
\end{center}
%%\end{figure}


De la figura se obtiene que: \\

\[\displaystyle{\left .\begin{array}{rcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)         & = & y \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi - \alpha) & = & y \\
              \end{array}\right\}
\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi-\alpha)=\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }\]


\[\displaystyle{\hspace{1cm}\left .\begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha)         & = & x \\
  \cos(\pi - \alpha) & = & -x \\
              \end{array}\right\}
\;\; \cos(\pi-\alpha)=-\cos\;(\alpha) }\]



\item[ii)]

$\mathop{\rm sen}\nolimits(\pi +\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\cos(\pi +\alpha)=-\cos \alpha$\\



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación}}\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig23}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig33}
\end{center}
%%\end{figure}

De la figura se obtiene que: \\

\[\displaystyle{\left .\begin{array}{rcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)         & = & y \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi + \alpha) & = & -y \\
              \end{array}\right\}
\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi+\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }\]


\[\displaystyle{\hspace{0.6cm}\left .\begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha)         & = & x \\
  \cos(\pi + \alpha) & = & -x \\
              \end{array}\right\}
\;\; \cos(\pi+\alpha)=-\cos\;(\alpha) }\]



\item[iii)]

$\mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\cos(\alpha)=\cos (-\alpha)$\\



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación}}\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig24}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig34}
\end{center}
%%\end{figure}


De la figura se obtiene que: \\

\[\displaystyle{\left .\begin{array}{rcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)         & = & y \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha) & = & -y \\
              \end{array}\right\}
\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }\]


\[\displaystyle{\hspace{0.6cm}\left .\begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha)         & = & x \\
  \cos(-\alpha)      & = &  x \\
              \end{array}\right\}
\;\; \cos(-\alpha)=\cos\;(\alpha) }\]
\end{enumerate}


\item[f.] Sea $P$\, un punto del círculo trigonométrico tal que $P = (x,y)$.\\

Sea $\alpha$\, la medida del ángulo formado por la parte positiva
del eje $X$\, y el rayo $OP$,\, entonces las coordenadas de $P$\, satisfacen
la igualdad $x^2 + y^2 = 1$.\\

Como $x=\cos \alpha$\, y $y= \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, entonces:\\

\begin{equation}\label{Cap8_eq1}
\cos\;(\alpha))^{2}+(\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))^{2}=1
\end{equation}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Notación}}
$(\cos\;(\alpha))^{n}=\cos^{n}\alpha$ \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm}$(\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))^{n}=\mathop{\rm sen}\nolimits^{n}\alpha$\\

Así la igualdad \ref{Cap8_eq1} se escribe:\\

\begin{center}
$\cos^{2}\alpha + \mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\alpha=1$
\end{center}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observación importante}}: La periodicidad de las funciones
seno y coseno (así como las propiedades enunciadas en puntos
$e.i$\, y $e.ii$,\,
nos permiten generalizar la propiedad enunciada en el punto $e.iii$\\

O sea: Si $\alpha\in\mathbb{R}$\, entonces:\\

\begin{center}
$\cos(-\alpha)=\cos \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits (\alpha)$\\
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}
{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida es $\alpha$,\, donde $0<\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$}}\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Recuerde que:}}\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Un ángulo cuya medida es $\alpha$,\, donde
$0 < \alpha
< \displaystyle \frac{\pi}{2}$\, recibe el nombre de  \textbf{ ángulo agudo}.\\

\item[b)] Un ángulo cuya medida es $\alpha$,\, donde $\displaystyle
\frac{\pi}{2} < \alpha <  \pi $\, recibe el nombre de
\textbf{ ángulo obtuso}.\\

\item[c)] La suma de las medidas de los ángulos internos de un
triángulo es $\pi$.\\

\item[d)] Un triángulo en el cual uno de sus ángulos internos es un
ángulo recto recibe el nombre de \textbf{ triángulo rectángulo}
y se representa:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig25}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig35}
\end{center}
%%\end{figure}


\item[e)] Sea $l$\, una recta y sean $A$\, y $B$\, puntos de $l$,\, se llama
{segmento de extremos $A$\, y $B$}\, al conjunto de puntos de $l$\, que están
entre $A$\, y $B$\, incluyendo a éstos; se denota $\overline{AB}$\, y se
representa:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig26}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig36}
\end{center}
%%\end{figure}

\item[f)] Sea $\Delta ABC$\, tal que $m \measuredangle \, ABC = \displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig27}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig37}
\end{center}
%%\end{figure}

entonces:\\

\begin{enumerate}
\item[i)] $\;\;\;$$\overline{AB}$\, y $\overline{BC}$\, reciben el nombre de \textbf{ catetos} del $\triangle ABC$.\\

\item[ii)] $\;\;\;$$\overline{AC}$\, recibe el nombre de \textbf{ hipotenusa} del $\triangle ABC$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{ Las funciones seno y coseno, como razón entre las medidas de los lados de\\
un triángulo rectángulo.}}\\


Sea $P$\, un punto del círculo trigonométrico tal que $P =
(x,y)$.\, Sea $\alpha$\, la medida del ángulo formado por la parte
positiva del eje $X$\, y el rayo $OP$.\\


Sea $A$\, un punto en la parte positiva del eje $x$\, tal que
$d(O,A)\;>\;1$\,  y sea $B$\, un punto de $\overrightarrow{OP}$\, tal que $\overline{BA}\perp\overline{OA}$,\, como se muestra en la figura.\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig28}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig38}
\end{center}
%%\end{figure}


Por semejanza de triángulos tenemos que el $\triangle OQP$\, es
semejante al $\triangle OAB$\, de donde:\\

\begin{enumerate}
\item[i)] $\;\;\;$$\displaystyle{\frac{d(Q,P)}{d(O,P)}=\frac{d(A,B)}{d(O,B)}}$\\

como $d(Q,P)= \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$,\, y $d(O,P)=1$\\

entonces:\\

\[\displaystyle{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}{1}=\frac{d(A,B)}{d(O,B)}}\]

Por lo tanto:
\begin{center}
$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) = \displaystyle{\frac{d(A,B)}{d(O,B)}}$
\end{center}


\item[ii)] $\;\;\;$$\displaystyle{\frac{d(O,Q)}{d(O,P)}=\frac{d(O,A)}{d(O,B)}}$\\

como $d(O,Q)= \cos\;(\alpha)$,\, y $d(O,P)=1$\\

entonces:\\

\[\displaystyle{\frac{\cos\;(\alpha)}{1}=\frac{d(O,A)}{d(O,B)}}\]

Por lo tanto:
\begin{center}
$\cos\;(\alpha) = \displaystyle{\frac{d(O,A)}{d(O,B)}}$
\end{center}


en general se tiene que si el $\triangle ABC$\, es un triángulo rectángulo y $\alpha$\, es la medida de uno de sus ángulos
internos agudos, como se muestra en la figura.\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig29}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig39}
\end{center}
%%\end{figure}


entonces:\\

$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{\mbox{longitud del cateto opuesto al ángulo cuya medida es}\;\alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}}}$\\


$\cos\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{\mbox{longitud del cateto adyacente al ángulo cuya medida es}\;\alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}}}$


Por lo tanto de acuerdo a la figura:\\

\begin{center}
$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{c}{b}}$\hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} $\cos\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{a}{b}}$
\end{center}
\end{enumerate}



\begin{ejemplo}
Considere el triángulo rectángulo representado en la siguiente figura:\\


\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig30}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig40}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
donde $d(A,B)\; = 4$, $d(B,C)\;= 3$
}


Determine sen $\alpha$\, y $\cos \alpha$\\

\wsolu

\[\begin{array}{rclcrcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{d(A,B)}{d(A,C)}} & \mbox{y} &  \cos\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{d(B,C)}{d(A,C)}} \\
             &   &                           &          &             &   &                           \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{4     }{d(A,C)}} & \mbox{y} &  \cos\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{ 3    }{d(A,C)}} \\
\end{array}\]



Sea $d(A,C)=a$,\, por el Teorema de Pitágoras $a^{2}= 3^{2} + 4^{2} \Longrightarrow a^{2} = 25 \Longrightarrow a = 5$\\

Por lo tanto sen $\alpha = \displaystyle{\frac{4}{5}}$ y $\cos \alpha = \displaystyle{\frac{3}{5}}$\\

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Considere las siguientes figuras:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig31-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig41}
\end{center}
%%\end{figure}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig31-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig42}
\end{center}
%%\end{figure}


Determine:
  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$\alpha$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits 45^\circ$\, y $\cos 45^\circ$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits 60^\circ$\, y $\cos 60^\circ$\\

\item $\;\;\;$$\beta$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)$\, y  $\cos\;(\beta)$

\end{enumerate}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Valores de las funciones seno y coseno, para ángulos cuya medida es $45^{\circ},\;60^{\circ}$\, \'o  $30^{\circ}$}}\\


De particular importancia son los valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida sea $45^{\circ}$,\,
$30^{\circ}$\, y $60^\circ$\, y dado que estas funciones para un ángulo agudo, pueden expresarse como razones entre las
medidas de los lados de un triángulo rectángulo, recordemos los valores de las funciones seno y coseno para $45^\circ$,\,
$30^\circ$\, y $60^\circ$, mediante las siguientes figuras:

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig32-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig43}
\end{center}
%%\end{figure}
}
{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig32-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig44}
\end{center}
%%\end{figure}
}



Obtenemos así la siguiente tabla:\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline

$x$              & $60^\circ $               & $45^\circ$                  & $30^\circ$               \\ \hline

$\mathop{\rm sen}\nolimits x$         & $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ & $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$   & $\displaystyle{\frac{1}{2}}$        \\ \hline

$\cos x$         & $\displaystyle{\frac{1}{2}}$        & $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$   & $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}  Recuerde que:\\

$60^{\circ}$\, es equivalente a $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$\\

$30^{\circ}$\, es equivalente a $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$\\

$45^{\circ}$\, es equivalente a $\displaystyle \frac{\pi}{4}$\\


\begin{ejemplo}
Calcular:


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left(\frac{5\pi}{3}\right)}$\\

\item[b.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \frac{-7\pi}{6} \right)}$\\

\item[c.)] $\;\;\;$$\cos\displaystyle\left( \frac{7\pi}{4}\right)$\\
\end{enumerate}

\wsolu


\begin{enumerate}

\item[a.)]  $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle
\left(\frac{5\pi}{3}\right)$

Como $\displaystyle{\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \left( 2\pi + \frac{-\pi}{3} \right)}$\\

entonces:\\

\[\begin{array}{rcll}
  \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\frac{5\pi}{3}\right)} & = &  \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\left( 2\pi + \frac{-\pi}{3} \right)} &   \\
    &   &   &   \\
                                         & = & \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\left(\frac{-\pi}{3} \right) }         & \mbox{por propiedad d} \\
    &   &   &   \\
                                         & = & \displaystyle{ -\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\frac{\pi}{3}\right)}                     & \mbox{por propiedad e-iii} \\
    &   &   &   \\
                                         & = & \displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}                       &   \\
\end{array}\]




\item[b.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \displaystyle{\left( \frac{-7\pi}{6} \right)}$\\

Sabemos que  $\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \frac{-7\pi}{6} \right)= -\mathop{\rm sen}\nolimits \,\left( \frac{7\pi}{6}\right)}$\\

Como $\displaystyle {\frac{7\pi}{6} =  \pi + \frac{\pi}{6}}$\\

entonces:\\

\[\begin{array}{rcll}
  -\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\;\left(\frac{7\pi}{6}\right)} & = & \displaystyle{-\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left( \pi + \frac{\pi}{6} \right)}  &   \\
    &   &   &   \\
                                          & = & -\mathop{\rm sen}\nolimits\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{6}\right)}                       & \mbox{por propiedad e-ii} \\
    &   &   &   \\
                           & = & -\displaystyle{\frac{1}{2}}                              &   \\
\end{array}\]


\item[c.)]  $\;\;\;$$\cos\displaystyle{ \left(\frac{7\pi}{4}\right)}$\\

como $\displaystyle{\frac{7 \pi}{4} = 2\pi + \frac{-\pi}{4}}$\\

entonces:\\

\[\begin{array}{rcll}
  \cos\displaystyle{\left(\frac{7\pi}{4}\right)} & = & \cos\displaystyle{\left( 2\pi + \frac{-\pi}{4} \right)} &   \\
    &   &   &   \\
                          & = & \cos\;\displaystyle{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}                     & \mbox{por propiedad d} \\
    &   &   &   \\
                          & = & \cos\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{4}\right)}                      & \mbox{por propiedad e-ii} \\
    &   &   &   \\
                          & = & \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}                       &   \\
\end{array}\]

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\subsection{Representación gráfica de las funciones seno y coseno}


\begin{enumerate}

\item {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Representación del gráfico de la función seno.}}


Recordemos que seno: $\mathbb{R} \rightarrow [-1,1]$,\, así para analizar el trazo de la función seno construiremos
la siguiente tabla de valores convenientes:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}  \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$x$      & $0$                       & $\displaystyle \frac{\pi}{6}$      & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$     & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
         & $\displaystyle\frac{2\pi}{3}$       & $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$     & $\pi$                   & $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$
         & $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$      & $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$     & $\displaystyle \frac{5\pi}{3}$
         & $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$     & $2\pi$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\   \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$y=\mathop{\rm sen}\nolimits x$ & $0$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$   & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$
         & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$  & $\displaystyle \frac{1}{2}$        & $0$                     & $\displaystyle \frac{-1}{2}$
         & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$ & $-1$                     & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$
         & $\displaystyle \frac{-1}{2}$        & $0$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\   \hline
\end{tabular}
\end{center}


Al representar cada uno de los puntos en un sistema de coordenadas tenemos:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig33}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig45}
\end{center}
%%\end{figure}

por lo tanto representando los pares $(\alpha,\; \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))$\, para todo $\alpha,\;\;\alpha \in [0, 2\pi]$.\, Se obtendrá
el trazo de la función seno correspondiente a ese intervalo, como se muestra en la figura\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig34}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig46}
\end{center}
%%\end{figure}

Dado que la función seno es una función periódica, de período
$2\pi$\, o sea $\mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha + 2n\pi) = \mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$,\,
el trazo correspondiente a la función seno en el intervalo $[0,2\pi]$\, se repite cada $2\pi$,\, obteniéndose así:\\



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig35}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig47}
\end{center}
%%\end{figure}


\item {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Representación del gráfico de la función coseno.}}


Recordemos que coseno: $\mathbb{R} \rightarrow [-1,1]$,\, así para realizar el trazo de la función coseno construiremos
la siguiente tabla de valores convenientes:\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}  \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$x$      & $0$                       & $\displaystyle \frac{\pi}{6}$      & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$   & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
         & $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$      & $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$     & $\pi$                 & $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$
         & $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$      & $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$     & $\displaystyle \frac{5\pi}{3}$
         & $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$     & $2\pi$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\   \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$y=\cos x$ & $1$                       & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$     & $0$
         & $\displaystyle \frac{-1}{2}$        & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$& $-1$
         & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle \frac{-1}{2}$       & $0$
         & $\displaystyle \frac{1}{2}$         & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\  \hline
\end{tabular}

\end{center}

Al representar cada uno de los puntos en un sistema de coordenadas obtenemos:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig36}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig48}
\end{center}
%%\end{figure}

por lo tanto representando los pares $(\alpha,\; cos\alpha)$\, para todo $\alpha,\; \alpha \in [0, 2\pi]$\, se obtendrá
el trazo de la función coseno correspondiente a ese intervalo, como se muestra en la figura\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig37}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig49}
\end{center}
%%\end{figure}

Como la función coseno es una función periódica, de período $2\pi$\,(o sea $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha)$,\,
el trazo correspondiente a la función coseno en el intervalo $[0,2\pi]$\, se repite cada $2\pi$,\, obteniéndose así:\\



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig38}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig50}
\end{center}
%%\end{figure}

\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
Hacer el trazo de la función $f$,\, definida por $f(\alpha) = \mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$\\

\wsolu


Para  construir la tabla de valores, es conveniente que $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3}$\, tome los valores $0,\;\;
\displaystyle{ \frac{\pi}{2},\;\;\frac{3\pi}{2},\;\;2\pi}$,\, así obtenemos la siguiente tabla.\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}  \hline

$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\
$\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3}$ & $0$ & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ & $\pi$
& $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\  \hline

$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\
$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left[ \alpha - \frac{\pi}{3} \right]}$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\  \hline

\end{tabular}
\end{center}

Como para realizar el trazo de $f$,\, necesitamos pares $\displaystyle{\left( \alpha, \mathop{\rm sen}\nolimits \left[ \alpha - \frac{\pi}{3} \right] \right)}$
entonces los valores de $\alpha$ se obtienen así:\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} = 0
\Longrightarrow \alpha=  \frac{\pi}{3}$

\item[b.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} =
\frac{\pi}{2} \Longrightarrow \alpha=  \frac{\pi}{2} +
\frac{\pi}{3} \Longrightarrow \alpha= \frac{5\pi}{6}$

\item[c.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} = \pi
\Longrightarrow \alpha=  \pi + \frac{\pi}{3} \Longrightarrow
\alpha= \frac{4\pi}{3}$

\item[d.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} =
\frac{3\pi}{2} \Longrightarrow \alpha=  \frac{3\pi}{2} +
\frac{\pi}{3} \Longrightarrow \alpha= \frac{11\pi}{6}$

\item[e.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} = 2\pi
\Longrightarrow \alpha=  2\pi + \frac{\pi}{3} \Longrightarrow
\alpha= \frac{7\pi}{3}$
\end{enumerate}


Con la tabla  y la información anterior, construimos la siguiente tabla \\


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|r}  \cline{1-6}
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$\\
$\alpha$ & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ & $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$ & $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$
& $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$ & $\displaystyle \frac{7\pi}{3}$& \hspace{0.5cm}(*) \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$\\ \cline{1-6}
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ \\
$\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$ & $0$ & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ & $\pi$
& $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ & $2\pi$& \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$\\\cline{1-6}
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ \\
$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$&\hspace{0.5cm}(**) \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ \\\cline{1-6}
\end{tabular}
\end{center}


Usando $(*)$,\, $(**)$\, y la periocidad de la función seno trazamos el gráfico de la función sen$\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig39}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig51}
\end{center}
%%\end{figure}

\end{ejemplo}


\section{Gráficas de las funciones trigonométricas básicas}
% === Cap8 - Las funciones trigonométricas seno y coseno} ===

\inxx{Seno}
\inxx{Coseno}



\begin{definicion}
Sea $P$\, un punto en el círculo trigonométrico, tal que
$P=(x,y)$,\, sea $\alpha$\, la medida del ángulo formado por la
parte positiva del eje $X$\, y el rayo $OP$\, (ver figura)
\end{definicion}


Se definen las funciones:\\

\begin{enumerate}
\item[a)] \[\begin{array}{ccccc}
  \mbox{coseno}: & \mathbb{R}      & \longrightarrow & \mathbb{R} &   \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & x, & \mbox{o sea, coseno}(\alpha)=x
            \end{array}\]



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Designamos con  $\cos \alpha$\, el criterio de la función coseno; o sea $\cos\;(\alpha) =$\, coseno $(\alpha)$\\



\item[b)] \[\begin{array}{ccccc}
  \mbox{seno}:   & \mathbb{R}      & \longrightarrow & \mathbb{R} &   \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & y, & \mbox{o sea, seno}(\alpha)=y \\
\end{array}\]


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Designamos con  $\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\, el criterio de la función seno; o sea, $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) =$\,  seno $(\alpha)$\\
\end{enumerate}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig19}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig28}
\end{center}
%%\end{figure}


Por lo anterior se obtiene que $x=\cos\;(\alpha)$;\, $y=\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\,\, o sea, $P=(x,y)=(\cos\;(\alpha),\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Algunas propiedades de las funciones seno y coseno}}\\


\begin{enumerate}
\item[a.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Ámbito de las funciones seno y coseno}}\\

Como el punto $P$\, pertenece al círculo trigonométrico, se obtiene
que las coordenadas ``$x$''\, y ``$y$'' de $P$\, satisfacen
respectivamente las desigualdades compuestas.\\
\begin{enumerate}
\item[i.)] $\;\;\;$$-1\leq x \leq 1$ \\

\item[ii.)] $\;\;\;$$-1\leq y \leq 1$
\end{enumerate}

Además como $\cos\;(\alpha)\;=\; x$\, y  $\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha\;=y$\, entonces:
\begin{enumerate}
\item[i.)] $\;\;\;$$-1\leq \cos\;(\alpha) \leq 1$ \\

\item[ii.)] $\;\;\;$$-1\leq \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) \leq 1$
\end{enumerate}

Por lo que el ámbito de las funciones seno y coseno
es $[-1,1]$.\\

\item[b.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Signo de los valores de las
funciones seno y coseno}}\\

Con base en el ejercicio $6$\, y la
definición de las funciones seno y coseno se obtiene que:\\

\begin{enumerate}
\item[i.)] Si $0<\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, son números reales positivos.\\

\item[ii.)] Si $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}<\alpha<\pi$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, es un número real negativo y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, es un número real positivo.\\

\item[iii.)] Si $\pi<\alpha<\displaystyle{\frac{3\pi}{2}}$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, son números reales negativos.\\

\item[iv.)] Si $\displaystyle{\frac{3\pi}{2}}<\alpha<2\pi$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, es un número real positivo y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, es un número real negativo.\\
\end{enumerate}


Las propiedades anteriores pueden resumirse de la siguiente forma:\\


\mpage{
\textbf{a.}\, La función seno toma valores positivos en el $I$\, y $II$\, cuadrante y valores negativos en el $III$\, y $IV$\, cuadrante.\\
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig20-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig29}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
\textbf{b.}\, La función coseno toma valores positivos en el $I$\, y $IV$\, cuadrante y valores negativos en el $II$\, y $III$\, cuadrante.\\
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig20-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig30}
\end{center}
%%\end{figure}
}

\inxx{Cuadrantes}


\item[c.] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Algunos valores de las funciones seno y coseno}}\\


Como los puntos de intersección del círculo trigonométrico con los ejes coordenados son $(1,0),\;(0,1),\;(-1,0),\;(0,-1)$\, como se muestra en la figura siguiente:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig21}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig31}
\end{center}
%%\end{figure}


Tenemos que:

\begin{enumerate}
\item[i)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits 0 = 0$\,                        \hspace{1.1cm}  y     \hspace{5.9mm}  $\cos 0 = 1$\\

\item[ii)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \displaystyle{\frac{\pi}{2}} = 1$\,      \hspace{1cm}  y     \hspace{5.8mm}  $\cos \displaystyle{\frac{\pi}{2}} = 0$\\

\item[iii)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \pi = 0$\,                    \hspace{1.1cm}  y     \hspace{5.9mm}  $\cos \pi = -1$\\

\item[iv)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \displaystyle{\frac{3\pi}{2}} = -1$\,    \hspace{0.6cm}  y     \hspace{5.5mm}  $\cos \displaystyle{\frac{3\pi}{2}} = 0$\\

\end{enumerate}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada uno de los siguientes ángulos:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$\alpha =\displaystyle{\frac{-3\pi}{2}}$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =\displaystyle{\frac{-\pi}{2}}$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =2\pi$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =7\pi$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =\displaystyle{\frac{-5\pi}{2}}$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =27\pi$\\

Represente en el círculo trigonométrico, el ángulo correspondiente.\\

Para cada valor de $\alpha$,\, calcule
$\cos\;(\alpha)$\, y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$.\\

\end{enumerate}


\item[d.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Periodicidad de las funciones seno y coseno}}\\

Sea $P = (x,y)$\, un punto en el círculo trigonométrico.
Sea $\alpha$\, la medida del ángulo, cuyo lado inicial es el lado
positivo del eje $X$\, y cuyo lado final es el rayo $OP$.\, Si hacemos
girar el rayo OP ``una vuelta completa'', o en forma general ``$n$\,
vueltas completas'', entonces el rayo $OP$\, en su posición final
interseca al círculo trigonométrico en el mismo punto $(x,y)$,\, por
lo cual los valores de las funciones seno y coseno no han variado,
así tenemos que:\\

\[\cos(\alpha+2\pi)=\cos \alpha \;\;\mbox{y}\;\;\ \mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha+2\pi)=\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha\]


En general:\\

\begin{center}
$\cos(\alpha+n\cdot 2\pi)=\cos \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha+n\cdot 2\pi)=\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$
\end{center}


Por lo anterior se dice que las funciones seno y
coseno son \textbf{ funciones periódicas} y su período es
$2\pi$.\\

\item[e.)] Sea $P = (x,y)$\, un punto del círculo trigonométrico,
sea $\alpha,\;0 < \alpha <\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\, la medida del
ángulo formado por la
parte positiva del eje $X$\, y el rayo $OP$\, entonces:\\


\begin{enumerate}
\item[i.)]

$\mathop{\rm sen}\nolimits(\pi -\alpha)=\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\cos(\pi -\alpha)=-\cos \alpha$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación}}\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig22}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig32}
\end{center}
%%\end{figure}


De la figura se obtiene que: \\

\[\displaystyle{\left .\begin{array}{rcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)         & = & y \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi - \alpha) & = & y \\
              \end{array}\right\}
\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi-\alpha)=\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }\]


\[\displaystyle{\hspace{1cm}\left .\begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha)         & = & x \\
  \cos(\pi - \alpha) & = & -x \\
              \end{array}\right\}
\;\; \cos(\pi-\alpha)=-\cos\;(\alpha) }\]



\item[ii)]

$\mathop{\rm sen}\nolimits(\pi +\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\cos(\pi +\alpha)=-\cos \alpha$\\



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación}}\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig23}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig33}
\end{center}
%%\end{figure}

De la figura se obtiene que: \\

\[\displaystyle{\left .\begin{array}{rcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)         & = & y \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi + \alpha) & = & -y \\
              \end{array}\right\}
\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi+\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }\]


\[\displaystyle{\hspace{0.6cm}\left .\begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha)         & = & x \\
  \cos(\pi + \alpha) & = & -x \\
              \end{array}\right\}
\;\; \cos(\pi+\alpha)=-\cos\;(\alpha) }\]



\item[iii)]

$\mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\cos(\alpha)=\cos (-\alpha)$\\



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación}}\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig24}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig34}
\end{center}
%%\end{figure}


De la figura se obtiene que: \\

\[\displaystyle{\left .\begin{array}{rcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)         & = & y \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha) & = & -y \\
              \end{array}\right\}
\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }\]


\[\displaystyle{\hspace{0.6cm}\left .\begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha)         & = & x \\
  \cos(-\alpha)      & = &  x \\
              \end{array}\right\}
\;\; \cos(-\alpha)=\cos\;(\alpha) }\]
\end{enumerate}


\item[f.] Sea $P$\, un punto del círculo trigonométrico tal que $P = (x,y)$.\\

Sea $\alpha$\, la medida del ángulo formado por la parte positiva
del eje $X$\, y el rayo $OP$,\, entonces las coordenadas de $P$\, satisfacen
la igualdad $x^2 + y^2 = 1$.\\

Como $x=\cos \alpha$\, y $y= \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, entonces:\\

\begin{equation}\label{Cap8_eq1}
\cos\;(\alpha))^{2}+(\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))^{2}=1
\end{equation}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Notación}}
$(\cos\;(\alpha))^{n}=\cos^{n}\alpha$ \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm}$(\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))^{n}=\mathop{\rm sen}\nolimits^{n}\alpha$\\

Así la igualdad \ref{Cap8_eq1} se escribe:\\

\begin{center}
$\cos^{2}\alpha + \mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\alpha=1$
\end{center}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observación importante}}: La periodicidad de las funciones
seno y coseno (así como las propiedades enunciadas en puntos
$e.i$\, y $e.ii$,\,
nos permiten generalizar la propiedad enunciada en el punto $e.iii$\\

O sea: Si $\alpha\in\mathbb{R}$\, entonces:\\

\begin{center}
$\cos(-\alpha)=\cos \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits (\alpha)$\\
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}
{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida es $\alpha$,\, donde $0<\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$}}\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Recuerde que:}}\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Un ángulo cuya medida es $\alpha$,\, donde $0 < \alpha
< \displaystyle \frac{\pi}{2}$\, recibe el nombre de  \textbf{ ángulo agudo}.\\

\item[b)] Un ángulo cuya medida es $\alpha$,\, donde $\displaystyle
\frac{\pi}{2} < \alpha <  \pi $\, recibe el nombre de
\textbf{ ángulo obtuso}.\\

\item[c)] La suma de las medidas de los ángulos internos de un
triángulo es $\pi$.\\

\item[d)] Un triángulo en el cual uno de sus ángulos internos es un
ángulo recto recibe el nombre de \textbf{ triángulo rectángulo}
y se representa:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig25}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig35}
\end{center}
%%\end{figure}


\item[e)] Sea $l$\, una recta y sean $A$\, y $B$\, puntos de $l$,\, se llama
{segmento de extremos $A$\, y $B$}\, al conjunto de puntos de $l$\, que están
entre $A$\, y $B$\, incluyendo a éstos; se denota $\overline{AB}$\, y se
representa:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig26}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig36}
\end{center}
%%\end{figure}

\item[f)] Sea $\Delta ABC$\, tal que $m \measuredangle \, ABC = \displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig27}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig37}
\end{center}
%%\end{figure}

entonces:\\

\begin{enumerate}
\item[i)] $\;\;\;$$\overline{AB}$\, y $\overline{BC}$\, reciben el nombre de \textbf{ catetos} del $\triangle ABC$.\\

\item[ii)] $\;\;\;$$\overline{AC}$\, recibe el nombre de \textbf{ hipotenusa} del $\triangle ABC$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{ Las funciones seno y coseno, como razón entre las medidas de los lados de\\
un triángulo rectángulo.}}\\


Sea $P$\, un punto del círculo trigonométrico tal que $P =
(x,y)$.\, Sea $\alpha$\, la medida del ángulo formado por la parte
positiva del eje $X$\, y el rayo $OP$.\\


Sea $A$\, un punto en la parte positiva del eje $x$\, tal que
$d(O,A)\;>\;1$\,  y sea $B$\, un punto de $\overrightarrow{OP}$\, tal que $\overline{BA}\perp\overline{OA}$,\, como se muestra en la figura.\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig28}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig38}
\end{center}
%%\end{figure}


Por semejanza de triángulos tenemos que el $\triangle OQP$\, es
semejante al $\triangle OAB$\, de donde:\\

\begin{enumerate}
\item[i)] $\;\;\;$$\displaystyle{\frac{d(Q,P)}{d(O,P)}=\frac{d(A,B)}{d(O,B)}}$\\

como $d(Q,P)= \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$,\, y $d(O,P)=1$\\

entonces:\\

\[\displaystyle{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}{1}=\frac{d(A,B)}{d(O,B)}}\]

Por lo tanto:
\begin{center}
$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) = \displaystyle{\frac{d(A,B)}{d(O,B)}}$
\end{center}


\item[ii)] $\;\;\;$$\displaystyle{\frac{d(O,Q)}{d(O,P)}=\frac{d(O,A)}{d(O,B)}}$\\

como $d(O,Q)= \cos\;(\alpha)$,\, y $d(O,P)=1$\\

entonces:\\

\[\displaystyle{\frac{\cos\;(\alpha)}{1}=\frac{d(O,A)}{d(O,B)}}\]

Por lo tanto:
\begin{center}
$\cos\;(\alpha) = \displaystyle{\frac{d(O,A)}{d(O,B)}}$
\end{center}


en general se tiene que si el $\triangle ABC$\, es un triángulo rectángulo y $\alpha$\, es la medida de uno de sus ángulos
internos agudos, como se muestra en la figura.\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig29}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig39}
\end{center}
%%\end{figure}


entonces:\\

$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{\mbox{longitud del cateto opuesto al ángulo cuya medida es}\;\alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}}}$\\


$\cos\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{\mbox{longitud del cateto adyacente al ángulo cuya medida es}\;\alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}}}$


Por lo tanto de acuerdo a la figura:\\

\begin{center}
$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{c}{b}}$\hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} $\cos\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{a}{b}}$
\end{center}
\end{enumerate}



\begin{ejemplo}
Considere el triángulo rectángulo representado en la siguiente figura:\\


\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig30}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig40}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
donde $d(A,B)\; = 4$
\hspace{0.9cm} $d(B,C)\;= 3$
}


Determine sen $\alpha$\, y $\cos \alpha$\\

\wsolu

\[\begin{array}{rclcrcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{d(A,B)}{d(A,C)}} & \mbox{y} &  \cos\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{d(B,C)}{d(A,C)}} \\
             &   &                           &          &             &   &                           \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{4     }{d(A,C)}} & \mbox{y} &  \cos\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{ 3    }{d(A,C)}} \\
\end{array}\]



Sea $d(A,C)=a$,\, por el Teorema de Pitágoras $a^{2}= 3^{2} + 4^{2} \Longrightarrow a^{2} = 25 \Longrightarrow a = 5$\\

Por lo tanto sen $\alpha = \displaystyle{\frac{4}{5}}$ y $\cos \alpha = \displaystyle{\frac{3}{5}}$\\

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Considere las siguientes figuras:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig31-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig41}
\end{center}
%%\end{figure}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig31-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig42}
\end{center}
%%\end{figure}


Determine:
  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$\alpha$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits 45^\circ$\, y $\cos 45^\circ$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits 60^\circ$\, y $\cos 60^\circ$\\

\item $\;\;\;$$\beta$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)$\, y  $\cos\;(\beta)$

\end{enumerate}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Valores de las funciones seno y coseno, para ángulos cuya medida es $45^{\circ},\;60^{\circ}$\, \'o  $30^{\circ}$}}\\


De particular importancia son los valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida sea $45^{\circ}$,\,
$30^{\circ}$\, y $60^\circ$\, y dado que estas funciones para un ángulo agudo, pueden expresarse como razones entre las
medidas de los lados de un triángulo rectángulo, recordemos los valores de las funciones seno y coseno para $45^\circ$,\,
$30^\circ$\, y $60^\circ$, mediante las siguientes figuras:

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig32-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig43}
\end{center}
%%\end{figure}
}
{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig32-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig44}
\end{center}
%%\end{figure}
}



Obtenemos así la siguiente tabla:\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline

$x$              & $60^\circ $               & $45^\circ$                  & $30^\circ$               \\ \hline

$\mathop{\rm sen}\nolimits x$         & $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ & $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$   & $\displaystyle{\frac{1}{2}}$        \\ \hline

$\cos x$         & $\displaystyle{\frac{1}{2}}$        & $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$   & $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}  Recuerde que:\\

$60^{\circ}$\, es equivalente a $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$\\

$30^{\circ}$\, es equivalente a $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$\\

$45^{\circ}$\, es equivalente a $\displaystyle \frac{\pi}{4}$\\


\begin{ejemplo}
Calcular:


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left(\frac{5\pi}{3}\right)}$\\

\item[b.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \frac{-7\pi}{6} \right)}$\\

\item[c.)] $\;\;\;$$\cos\displaystyle\left( \frac{7\pi}{4}\right)$\\
\end{enumerate}

\wsolu


\begin{enumerate}

\item[a.)]  $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle
\left(\frac{5\pi}{3}\right)$

Como $\displaystyle{\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \left( 2\pi + \frac{-\pi}{3} \right)}$\\

entonces:\\

\[\begin{array}{rcll}
  \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\frac{5\pi}{3}\right)} & = &  \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\left( 2\pi + \frac{-\pi}{3} \right)} &   \\
    &   &   &   \\
                                         & = & \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\left(\frac{-\pi}{3} \right) }         & \mbox{por propiedad d} \\
    &   &   &   \\
                                         & = & \displaystyle{ -\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\frac{\pi}{3}\right)}                     & \mbox{por propiedad e-iii} \\
    &   &   &   \\
                                         & = & \displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}                       &   \\
\end{array}\]




\item[b.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \displaystyle{\left( \frac{-7\pi}{6} \right)}$\\

Sabemos que  $\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \frac{-7\pi}{6} \right)= -\mathop{\rm sen}\nolimits \,\left( \frac{7\pi}{6}\right)}$\\

Como $\displaystyle {\frac{7\pi}{6} =  \pi + \frac{\pi}{6}}$\\

entonces:\\

\[\begin{array}{rcll}
  -\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\;\left(\frac{7\pi}{6}\right)} & = & \displaystyle{-\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left( \pi + \frac{\pi}{6} \right)}  &   \\
    &   &   &   \\
                                          & = & -\mathop{\rm sen}\nolimits\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{6}\right)}                       & \mbox{por propiedad e-ii} \\
    &   &   &   \\
                           & = & -\displaystyle{\frac{1}{2}}                              &   \\
\end{array}\]


\item[c.)]  $\;\;\;$$\cos\displaystyle{ \left(\frac{7\pi}{4}\right)}$\\

como $\displaystyle{\frac{7 \pi}{4} = 2\pi + \frac{-\pi}{4}}$\\

entonces:\\

\[\begin{array}{rcll}
  \cos\displaystyle{\left(\frac{7\pi}{4}\right)} & = & \cos\displaystyle{\left( 2\pi + \frac{-\pi}{4} \right)} &   \\
    &   &   &   \\
                          & = & \cos\;\displaystyle{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}                     & \mbox{por propiedad d} \\
    &   &   &   \\
                          & = & \cos\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{4}\right)}                      & \mbox{por propiedad e-ii} \\
    &   &   &   \\
                          & = & \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}                       &   \\
\end{array}\]

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\subsection{Representación gráfica de las funciones seno y coseno}


\begin{enumerate}

\item {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Representación del gráfico de la función seno.}}


Recordemos que seno: $\mathbb{R} \rightarrow [-1,1]$,\, así para analizar el trazo de la función seno construiremos
la siguiente tabla de valores convenientes:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}  \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$x$      & $0$                       & $\displaystyle \frac{\pi}{6}$      & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$     & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
         & $\displaystyle\frac{2\pi}{3}$       & $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$     & $\pi$                   & $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$
         & $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$      & $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$     & $\displaystyle \frac{5\pi}{3}$
         & $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$     & $2\pi$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\   \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$y=\mathop{\rm sen}\nolimits x$ & $0$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$   & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$
         & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$  & $\displaystyle \frac{1}{2}$        & $0$                     & $\displaystyle \frac{-1}{2}$
         & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$ & $-1$                     & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$
         & $\displaystyle \frac{-1}{2}$        & $0$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\   \hline
\end{tabular}
\end{center}


Al representar cada uno de los puntos en un sistema de coordenadas tenemos:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig33}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig45}
\end{center}
%%\end{figure}

por lo tanto representando los pares $(\alpha,\; \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))$\, para todo $\alpha,\;\;\alpha \in [0, 2\pi]$.\, Se obtendrá
el trazo de la función seno correspondiente a ese intervalo, como se muestra en la figura\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig34}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig46}
\end{center}
%%\end{figure}

Dado que la función seno es una función periódica, de período
$2\pi$\, o sea $\mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha + 2n\pi) = \mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$,\,
el trazo correspondiente a la función seno en el intervalo $[0,2\pi]$\, se repite cada $2\pi$,\, obteniéndose así:\\



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig35}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig47}
\end{center}
%%\end{figure}


\item {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Representación del gráfico de la función coseno.}}


Recordemos que coseno: $\mathbb{R} \rightarrow [-1,1]$,\, así para realizar el trazo de la función coseno construiremos
la siguiente tabla de valores convenientes:\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}  \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$x$      & $0$                       & $\displaystyle \frac{\pi}{6}$      & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$   & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
         & $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$      & $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$     & $\pi$                 & $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$
         & $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$      & $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$     & $\displaystyle \frac{5\pi}{3}$
         & $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$     & $2\pi$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\   \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$y=\cos x$ & $1$                       & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$     & $0$
         & $\displaystyle \frac{-1}{2}$        & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$& $-1$
         & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle \frac{-1}{2}$       & $0$
         & $\displaystyle \frac{1}{2}$         & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\  \hline
\end{tabular}

\end{center}

Al representar cada uno de los puntos en un sistema de coordenadas obtenemos:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig36}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig48}
\end{center}
%%\end{figure}

por lo tanto representando los pares $(\alpha,\; cos\alpha)$\, para todo $\alpha,\; \alpha \in [0, 2\pi]$\, se obtendrá
el trazo de la función coseno correspondiente a ese intervalo, como se muestra en la figura\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig37}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig49}
\end{center}
%%\end{figure}

Como la función coseno es una función periódica, de período $2\pi$\,(o sea $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha)$,\,
el trazo correspondiente a la función coseno en el intervalo $[0,2\pi]$\, se repite cada $2\pi$,\, obteniéndose así:\\



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig38}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig50}
\end{center}
%%\end{figure}

\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
Hacer el trazo de la función $f$,\, definida por $f(\alpha) = \mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$\\

\wsolu


Para  construir la tabla de valores, es conveniente que $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3}$\, tome los valores $0,\;\;
\displaystyle{ \frac{\pi}{2},\;\;\frac{3\pi}{2},\;\;2\pi}$,\, así obtenemos la siguiente tabla.\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}  \hline

$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\
$\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3}$ & $0$ & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ & $\pi$
& $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\  \hline

$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\
$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left[ \alpha - \frac{\pi}{3} \right]}$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\  \hline

\end{tabular}
\end{center}

Como para realizar el trazo de $f$,\, necesitamos pares $\displaystyle{\left( \alpha, \mathop{\rm sen}\nolimits \left[ \alpha - \frac{\pi}{3} \right] \right)}$
entonces los valores de $\alpha$ se obtienen así:\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} = 0
\Longrightarrow \alpha=  \frac{\pi}{3}$

\item[b.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} =
\frac{\pi}{2} \Longrightarrow \alpha=  \frac{\pi}{2} +
\frac{\pi}{3} \Longrightarrow \alpha= \frac{5\pi}{6}$

\item[c.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} = \pi
\Longrightarrow \alpha=  \pi + \frac{\pi}{3} \Longrightarrow
\alpha= \frac{4\pi}{3}$

\item[d.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} =
\frac{3\pi}{2} \Longrightarrow \alpha=  \frac{3\pi}{2} +
\frac{\pi}{3} \Longrightarrow \alpha= \frac{11\pi}{6}$

\item[e.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} = 2\pi
\Longrightarrow \alpha=  2\pi + \frac{\pi}{3} \Longrightarrow
\alpha= \frac{7\pi}{3}$
\end{enumerate}


Con la tabla  y la información anterior, construimos la siguiente tabla \\


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|r}  \cline{1-6}
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$\\
$\alpha$ & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ & $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$ & $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$
& $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$ & $\displaystyle \frac{7\pi}{3}$& \hspace{0.5cm}(*) \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$\\ \cline{1-6}
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ \\
$\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$ & $0$ & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ & $\pi$
& $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ & $2\pi$& \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$\\\cline{1-6}
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ \\
$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$&\hspace{0.5cm}(**) \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ \\\cline{1-6}
\end{tabular}
\end{center}


Usando $(*)$,\, $(**)$\, y la periocidad de la función seno trazamos el gráfico de la función sen$\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig39}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig51}
\end{center}
%%\end{figure}

\end{ejemplo}


\section{Amplitud y período}
% === Cap8 - Las funciones trigonométricas seno y coseno} ===

\inxx{Seno}
\inxx{Coseno}



\begin{definicion}
Sea $P$\, un punto en el círculo trigonométrico, tal que
$P=(x,y)$,\, sea $\alpha$\, la medida del ángulo formado por la
parte positiva del eje $X$\, y el rayo $OP$\, (ver figura)
\end{definicion}


Se definen las funciones:\\

\begin{enumerate}
\item[a)] \[\begin{array}{ccccc}
  \mbox{coseno}: & \mathbb{R}      & \longrightarrow & \mathbb{R} &   \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & x, & \mbox{o sea, coseno}(\alpha)=x
            \end{array}\]



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Designamos con  $\cos \alpha$\, el criterio de la función coseno; o sea $\cos\;(\alpha) =$\, coseno $(\alpha)$\\



\item[b)] \[\begin{array}{ccccc}
  \mbox{seno}:   & \mathbb{R}      & \longrightarrow & \mathbb{R} &   \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & y, & \mbox{o sea, seno}(\alpha)=y \\
\end{array}\]


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Designamos con  $\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\, el criterio de la función seno; o sea, $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) =$\,  seno $(\alpha)$\\
\end{enumerate}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig19}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig28}
\end{center}
%%\end{figure}


Por lo anterior se obtiene que $x=\cos\;(\alpha)$;\, $y=\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\,\, o sea, $P=(x,y)=(\cos\;(\alpha),\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Algunas propiedades de las funciones seno y coseno}}\\


\begin{enumerate}
\item[a.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Ámbito de las funciones seno y coseno}}\\

Como el punto $P$\, pertenece al círculo trigonométrico, se obtiene
que las coordenadas ``$x$''\, y ``$y$'' de $P$\, satisfacen
respectivamente las desigualdades compuestas.\\
\begin{enumerate}
\item[i.)] $\;\;\;$$-1\leq x \leq 1$ \\

\item[ii.)] $\;\;\;$$-1\leq y \leq 1$
\end{enumerate}

Además como $\cos\;(\alpha)\;=\; x$\, y  $\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha\;=y$\, entonces:
\begin{enumerate}
\item[i.)] $\;\;\;$$-1\leq \cos\;(\alpha) \leq 1$ \\

\item[ii.)] $\;\;\;$$-1\leq \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) \leq 1$
\end{enumerate}

Por lo que el ámbito de las funciones seno y coseno
es $[-1,1]$.\\

\item[b.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Signo de los valores de las
funciones seno y coseno}}\\

Con base en el ejercicio $6$\, y la
definición de las funciones seno y coseno se obtiene que:\\

\begin{enumerate}
\item[i.)] Si $0<\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, son números reales positivos.\\

\item[ii.)] Si $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}<\alpha<\pi$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, es un número real negativo y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, es un número real positivo.\\

\item[iii.)] Si $\pi<\alpha<\displaystyle{\frac{3\pi}{2}}$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, son números reales negativos.\\

\item[iv.)] Si $\displaystyle{\frac{3\pi}{2}}<\alpha<2\pi$\, entonces $\cos\;(\alpha)$\, es un número real positivo y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, es un número real negativo.\\
\end{enumerate}


Las propiedades anteriores pueden resumirse de la siguiente forma:\\


\mpage{
\textbf{a.}\, La función seno toma valores positivos en el $I$\, y $II$\, cuadrante y valores negativos en el $III$\, y $IV$\, cuadrante.
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig20-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig29}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
\textbf{b.}\, La función coseno toma valores positivos en el $I$\, y $IV$\, cuadrante y valores negativos en el $II$\, y $III$\, cuadrante.
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig20-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig30}
\end{center}
%%\end{figure}
}

\inxx{Cuadrantes}


\item[c.] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Algunos valores de las funciones seno y coseno}}\\


Como los puntos de intersección del círculo trigonométrico con los ejes coordenados son $(1,0),\;(0,1),\;(-1,0),\;(0,-1)$\, como se muestra en la figura siguiente:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig21}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig31}
\end{center}
%%\end{figure}


Tenemos que:

\begin{enumerate}
\item[i)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits 0 = 0$\,                        \hspace{1.1cm}  y     \hspace{5.9mm}  $\cos 0 = 1$\\

\item[ii)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \displaystyle{\frac{\pi}{2}} = 1$\,      \hspace{1cm}  y     \hspace{5.8mm}  $\cos \displaystyle{\frac{\pi}{2}} = 0$\\

\item[iii)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \pi = 0$\,                    \hspace{1.1cm}  y     \hspace{5.9mm}  $\cos \pi = -1$\\

\item[iv)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \displaystyle{\frac{3\pi}{2}} = -1$\,    \hspace{0.6cm}  y     \hspace{5.5mm}  $\cos \displaystyle{\frac{3\pi}{2}} = 0$\\

\end{enumerate}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada uno de los siguientes ángulos:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$\alpha =\displaystyle{\frac{-3\pi}{2}}$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =\displaystyle{\frac{-\pi}{2}}$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =2\pi$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =7\pi$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =\displaystyle{\frac{-5\pi}{2}}$\\

\item $\;\;\;$$\alpha =27\pi$\\

Represente en el círculo trigonométrico, el ángulo correspondiente.\\

Para cada valor de $\alpha$,\, calcule
$\cos\;(\alpha)$\, y $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$.\\

\end{enumerate}


\item[d.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Periodicidad de las funciones seno y coseno}}\\

Sea $P = (x,y)$\, un punto en el círculo trigonométrico.
Sea $\alpha$\, la medida del ángulo, cuyo lado inicial es el lado
positivo del eje $X$\, y cuyo lado final es el rayo $OP$.\, Si hacemos
girar el rayo OP ``una vuelta completa'', o en forma general ``$n$\,
vueltas completas'', entonces el rayo $OP$\, en su posición final
interseca al círculo trigonométrico en el mismo punto $(x,y)$,\, por
lo cual los valores de las funciones seno y coseno no han variado,
así tenemos que:\\

\[\cos(\alpha+2\pi)=\cos \alpha \;\;\mbox{y}\;\;\ \mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha+2\pi)=\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha\]


En general:\\

\begin{center}
$\cos(\alpha+n\cdot 2\pi)=\cos \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha+n\cdot 2\pi)=\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$
\end{center}


Por lo anterior se dice que las funciones seno y
coseno son \textbf{ funciones periódicas} y su período es
$2\pi$.\\

\item[e.)] Sea $P = (x,y)$\, un punto del círculo trigonométrico,
sea $\alpha,\;0 < \alpha <\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\, la medida del
ángulo formado por la
parte positiva del eje $X$\, y el rayo $OP$\, entonces:\\


\begin{enumerate}
\item[i.)]

$\mathop{\rm sen}\nolimits(\pi -\alpha)=\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\cos(\pi -\alpha)=-\cos \alpha$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación}}\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig22}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig32}
\end{center}
%%\end{figure}


De la figura se obtiene que: \\

\[\displaystyle{\left .\begin{array}{rcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)         & = & y \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi - \alpha) & = & y \\
              \end{array}\right\}
\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi-\alpha)=\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }\]


\[\displaystyle{\hspace{1cm}\left .\begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha)         & = & x \\
  \cos(\pi - \alpha) & = & -x \\
              \end{array}\right\}
\;\; \cos(\pi-\alpha)=-\cos\;(\alpha) }\]



\item[ii)]

$\mathop{\rm sen}\nolimits(\pi +\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\cos(\pi +\alpha)=-\cos \alpha$\\



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación}}\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig23}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig33}
\end{center}
%%\end{figure}

De la figura se obtiene que: \\

\[\displaystyle{\left .\begin{array}{rcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)         & = & y \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi + \alpha) & = & -y \\
              \end{array}\right\}
\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits(\pi+\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }\]


\[\displaystyle{\hspace{0.6cm}\left .\begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha)         & = & x \\
  \cos(\pi + \alpha) & = & -x \\
              \end{array}\right\}
\;\; \cos(\pi+\alpha)=-\cos\;(\alpha) }\]



\item[iii)]

$\mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\cos(\alpha)=\cos (-\alpha)$\\



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación}}\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig24}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig34}
\end{center}
%%\end{figure}


De la figura se obtiene que: \\

\[\displaystyle{\left .\begin{array}{rcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)         & = & y \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha) & = & -y \\
              \end{array}\right\}
\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }\]


\[\displaystyle{\hspace{0.6cm}\left .\begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha)         & = & x \\
  \cos(-\alpha)      & = &  x \\
              \end{array}\right\}
\;\; \cos(-\alpha)=\cos\;(\alpha) }\]
\end{enumerate}


\item[f.] Sea $P$\, un punto del círculo trigonométrico tal que $P = (x,y)$.\\

Sea $\alpha$\, la medida del ángulo formado por la parte positiva
del eje $X$\, y el rayo $OP$,\, entonces las coordenadas de $P$\, satisfacen
la igualdad $x^2 + y^2 = 1$.\\

Como $x=\cos \alpha$\, y $y= \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\, entonces:\\

\begin{equation}\label{Cap8_eq1}
\cos\;(\alpha))^{2}+(\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))^{2}=1
\end{equation}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Notación}}
$(\cos\;(\alpha))^{n}=\cos^{n}\alpha$ \hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm}$(\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))^{n}=\mathop{\rm sen}\nolimits^{n}\alpha$\\

Así la igualdad \ref{Cap8_eq1} se escribe:\\

\begin{center}
$\cos^{2}\alpha + \mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\alpha=1$
\end{center}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Observación importante}}: La periodicidad de las funciones
seno y coseno (así como las propiedades enunciadas en puntos
$e.i$\, y $e.ii$,\,
nos permiten generalizar la propiedad enunciada en el punto $e.iii$\\

O sea: Si $\alpha\in\mathbb{R}$\, entonces:\\

\begin{center}
$\cos(-\alpha)=\cos \alpha$\hspace{1cm} y \hspace{1cm}$\mathop{\rm sen}\nolimits(-\alpha)=-\mathop{\rm sen}\nolimits (\alpha)$\\
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{1cm}
{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida es $\alpha$,\, donde $0<\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$}}\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Recuerde que:}}\\

\begin{enumerate}
\item[a)] Un ángulo cuya medida es $\alpha$,\, donde $0 < \alpha
< \displaystyle \frac{\pi}{2}$\, recibe el nombre de  \textbf{ ángulo agudo}.\\

\item[b)] Un ángulo cuya medida es $\alpha$,\, donde $\displaystyle
\frac{\pi}{2} < \alpha <  \pi $\, recibe el nombre de
\textbf{ ángulo obtuso}.\\

\item[c)] La suma de las medidas de los ángulos internos de un
triángulo es $\pi$.\\

\item[d)] Un triángulo en el cual uno de sus ángulos internos es un
ángulo recto recibe el nombre de \textbf{ triángulo rectángulo}
y se representa:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig25}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig35}
\end{center}
%%\end{figure}


\item[e)] Sea $l$\, una recta y sean $A$\, y $B$\, puntos de $l$,\, se llama
{segmento de extremos $A$\, y $B$}\, al conjunto de puntos de $l$\, que están
entre $A$\, y $B$\, incluyendo a éstos; se denota $\overline{AB}$\, y se
representa:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig26}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig36}
\end{center}
%%\end{figure}

\item[f)] Sea $\Delta ABC$\, tal que $m \measuredangle \, ABC = \displaystyle{\frac{\pi}{2}}$\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig27}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig37}
\end{center}
%%\end{figure}

entonces:\\

\begin{enumerate}
\item[i)] $\;\;\;$$\overline{AB}$\, y $\overline{BC}$\, reciben el nombre de \textbf{ catetos} del $\triangle ABC$.\\

\item[ii)] $\;\;\;$$\overline{AC}$\, recibe el nombre de \textbf{ hipotenusa} del $\triangle ABC$.\\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{ Las funciones seno y coseno, como razón entre las medidas de los lados de\\
un triángulo rectángulo.}}\\


Sea $P$\, un punto del círculo trigonométrico tal que $P =
(x,y)$.\, Sea $\alpha$\, la medida del ángulo formado por la parte
positiva del eje $X$\, y el rayo $OP$.\\


Sea $A$\, un punto en la parte positiva del eje $x$\, tal que
$d(O,A)\;>\;1$\,  y sea $B$\, un punto de $\overrightarrow{OP}$\, tal que $\overline{BA}\perp\overline{OA}$,\, como se muestra en la figura.\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig28}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig38}
\end{center}
%%\end{figure}


Por semejanza de triángulos tenemos que el $\triangle OQP$\, es
semejante al $\triangle OAB$\, de donde:\\

\begin{enumerate}
\item[i)] $\;\;\;$$\displaystyle{\frac{d(Q,P)}{d(O,P)}=\frac{d(A,B)}{d(O,B)}}$\\

como $d(Q,P)= \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$,\, y $d(O,P)=1$\\

entonces:\\

\[\displaystyle{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}{1}=\frac{d(A,B)}{d(O,B)}}\]

Por lo tanto:
\begin{center}
$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) = \displaystyle{\frac{d(A,B)}{d(O,B)}}$
\end{center}


\item[ii)] $\;\;\;$$\displaystyle{\frac{d(O,Q)}{d(O,P)}=\frac{d(O,A)}{d(O,B)}}$\\

como $d(O,Q)= \cos\;(\alpha)$,\, y $d(O,P)=1$\\

entonces:\\

\[\displaystyle{\frac{\cos\;(\alpha)}{1}=\frac{d(O,A)}{d(O,B)}}\]

Por lo tanto:
\begin{center}
$\cos\;(\alpha) = \displaystyle{\frac{d(O,A)}{d(O,B)}}$
\end{center}


en general se tiene que si el $\triangle ABC$\, es un triángulo rectángulo y $\alpha$\, es la medida de uno de sus ángulos
internos agudos, como se muestra en la figura.\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig29}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig39}
\end{center}
%%\end{figure}


entonces:\\

$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{\mbox{longitud del cateto opuesto al ángulo cuya medida es}\;\alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}}}$\\


$\cos\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{\mbox{longitud del cateto adyacente al ángulo cuya medida es}\;\alpha}{\mbox{longitud de la hipotenusa}}}$


Por lo tanto de acuerdo a la figura:\\

\begin{center}
$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{c}{b}}$\hspace{0.5cm} y \hspace{0.5cm} $\cos\;(\alpha)=\displaystyle{\frac{a}{b}}$
\end{center}
\end{enumerate}



\begin{ejemplo}
Considere el triángulo rectángulo representado en la siguiente figura:\\


\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig30}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig40}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
donde $d(A,B)\; = 4$
\hspace{0.9cm} $d(B,C)\;= 3$
}


Determine sen $\alpha$\, y $\cos \alpha$\\

\wsolu

\[\begin{array}{rclcrcl}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{d(A,B)}{d(A,C)}} & \mbox{y} &  \cos\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{d(B,C)}{d(A,C)}} \\
             &   &                           &          &             &   &                           \\
  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{4     }{d(A,C)}} & \mbox{y} &  \cos\;(\alpha) & = & \displaystyle{\frac{ 3    }{d(A,C)}} \\
\end{array}\]



Sea $d(A,C)=a$,\, por el Teorema de Pitágoras $a^{2}= 3^{2} + 4^{2} \Longrightarrow a^{2} = 25 \Longrightarrow a = 5$\\

Por lo tanto sen $\alpha = \displaystyle{\frac{4}{5}}$ y $\cos \alpha = \displaystyle{\frac{3}{5}}$\\

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Considere las siguientes figuras:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig31-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig41}
\end{center}
%%\end{figure}


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig31-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig42}
\end{center}
%%\end{figure}


Determine:
  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$\alpha$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits 45^\circ$\, y $\cos 45^\circ$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits 60^\circ$\, y $\cos 60^\circ$\\

\item $\;\;\;$$\beta$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)$\, y  $\cos\;(\beta)$

\end{enumerate}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Valores de las funciones seno y coseno, para ángulos cuya medida es $45^{\circ},\;60^{\circ}$\, \'o  $30^{\circ}$}}\\


De particular importancia son los valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida sea $45^{\circ}$,\,
$30^{\circ}$\, y $60^\circ$\, y dado que estas funciones para un ángulo agudo, pueden expresarse como razones entre las
medidas de los lados de un triángulo rectángulo, recordemos los valores de las funciones seno y coseno para $45^\circ$,\,
$30^\circ$\, y $60^\circ$, mediante las siguientes figuras:

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig32-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig43}
\end{center}
%%\end{figure}
}
{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig32-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig44}
\end{center}
%%\end{figure}
}



Obtenemos así la siguiente tabla:\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}  \hline

$x$              & $60^\circ $               & $45^\circ$                  & $30^\circ$               \\ \hline

$\mathop{\rm sen}\nolimits x$         & $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$ & $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$   & $\displaystyle{\frac{1}{2}}$        \\ \hline

$\cos x$         & $\displaystyle{\frac{1}{2}}$        & $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$   & $\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}  Recuerde que:\\

$60^{\circ}$\, es equivalente a $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$\\

$30^{\circ}$\, es equivalente a $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$\\

$45^{\circ}$\, es equivalente a $\displaystyle \frac{\pi}{4}$\\


\begin{ejemplo}
Calcular:


\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left(\frac{5\pi}{3}\right)}$\\

\item[b.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \frac{-7\pi}{6} \right)}$\\

\item[c.)] $\;\;\;$$\cos\displaystyle\left( \frac{7\pi}{4}\right)$\\
\end{enumerate}

\wsolu


\begin{enumerate}

\item[a.)]  $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle
\left(\frac{5\pi}{3}\right)$

Como $\displaystyle{\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \left( 2\pi + \frac{-\pi}{3} \right)}$\\

entonces:\\

\[\begin{array}{rcll}
  \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\frac{5\pi}{3}\right)} & = &  \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\left( 2\pi + \frac{-\pi}{3} \right)} &   \\
    &   &   &   \\
                                         & = & \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\left(\frac{-\pi}{3} \right) }         & \mbox{por propiedad d} \\
    &   &   &   \\
                                         & = & \displaystyle{ -\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\frac{\pi}{3}\right)}                     & \mbox{por propiedad e-iii} \\
    &   &   &   \\
                                         & = & \displaystyle{-\frac{\sqrt{3}}{2}}                       &   \\
\end{array}\]




\item[b.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits \displaystyle{\left( \frac{-7\pi}{6} \right)}$\\

Sabemos que  $\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \frac{-7\pi}{6} \right)= -\mathop{\rm sen}\nolimits \,\left( \frac{7\pi}{6}\right)}$\\

Como $\displaystyle {\frac{7\pi}{6} =  \pi + \frac{\pi}{6}}$\\

entonces:\\

\[\begin{array}{rcll}
  -\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\;\left(\frac{7\pi}{6}\right)} & = & \displaystyle{-\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left( \pi + \frac{\pi}{6} \right)}  &   \\
    &   &   &   \\
                                          & = & -\mathop{\rm sen}\nolimits\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{6}\right)}                       & \mbox{por propiedad e-ii} \\
    &   &   &   \\
                           & = & -\displaystyle{\frac{1}{2}}                              &   \\
\end{array}\]


\item[c.)]  $\;\;\;$$\cos\displaystyle{ \left(\frac{7\pi}{4}\right)}$\\

como $\displaystyle{\frac{7 \pi}{4} = 2\pi + \frac{-\pi}{4}}$\\

entonces:\\

\[\begin{array}{rcll}
  \cos\displaystyle{\left(\frac{7\pi}{4}\right)} & = & \cos\displaystyle{\left( 2\pi + \frac{-\pi}{4} \right)} &   \\
    &   &   &   \\
                          & = & \cos\;\displaystyle{\left(-\frac{\pi}{4}\right)}                     & \mbox{por propiedad d} \\
    &   &   &   \\
                          & = & \cos\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{4}\right)}                      & \mbox{por propiedad e-ii} \\
    &   &   &   \\
                          & = & \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}                       &   \\
\end{array}\]

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\subsection{Representación gráfica de las funciones seno y coseno}


\begin{enumerate}

\item {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Representación del gráfico de la función seno.}}


Recordemos que seno: $\mathbb{R} \rightarrow [-1,1]$,\, así para analizar el trazo de la función seno construiremos
la siguiente tabla de valores convenientes:

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}  \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$x$      & $0$                       & $\displaystyle \frac{\pi}{6}$      & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$     & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
         & $\displaystyle\frac{2\pi}{3}$       & $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$     & $\pi$                   & $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$
         & $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$      & $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$     & $\displaystyle \frac{5\pi}{3}$
         & $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$     & $2\pi$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\   \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$y=\mathop{\rm sen}\nolimits x$ & $0$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$   & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$
         & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$  & $\displaystyle \frac{1}{2}$        & $0$                     & $\displaystyle \frac{-1}{2}$
         & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$ & $-1$                     & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$
         & $\displaystyle \frac{-1}{2}$        & $0$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\   \hline
\end{tabular}
\end{center}


Al representar cada uno de los puntos en un sistema de coordenadas tenemos:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig33}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig45}
\end{center}
%%\end{figure}

por lo tanto representando los pares $(\alpha,\; \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha))$\, para todo $\alpha,\;\;\alpha \in [0, 2\pi]$.\, Se obtendrá
el trazo de la función seno correspondiente a ese intervalo, como se muestra en la figura\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig34}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig46}
\end{center}
%%\end{figure}

Dado que la función seno es una función periódica, de período
$2\pi$\, o sea $\mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha + 2n\pi) = \mathop{\rm sen}\nolimits \alpha$,\,
el trazo correspondiente a la función seno en el intervalo $[0,2\pi]$\, se repite cada $2\pi$,\, obteniéndose así:\\



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig35}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig47}
\end{center}
%%\end{figure}


\item {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Representación del gráfico de la función coseno.}}


Recordemos que coseno: $\mathbb{R} \rightarrow [-1,1]$,\, así para realizar el trazo de la función coseno construiremos
la siguiente tabla de valores convenientes:\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}  \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$x$      & $0$                       & $\displaystyle \frac{\pi}{6}$      & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$   & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
         & $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$      & $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$     & $\pi$                 & $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$
         & $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$      & $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$     & $\displaystyle \frac{5\pi}{3}$
         & $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$     & $2\pi$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\   \hline
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\
$y=\cos x$ & $1$                       & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$     & $0$
         & $\displaystyle \frac{-1}{2}$        & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$& $-1$
         & $\displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle \frac{-1}{2}$       & $0$
         & $\displaystyle \frac{1}{2}$         & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $1$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ & $$ & $$ \\  \hline
\end{tabular}

\end{center}

Al representar cada uno de los puntos en un sistema de coordenadas obtenemos:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig36}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig48}
\end{center}
%%\end{figure}

por lo tanto representando los pares $(\alpha,\; cos\alpha)$\, para todo $\alpha,\; \alpha \in [0, 2\pi]$\, se obtendrá
el trazo de la función coseno correspondiente a ese intervalo, como se muestra en la figura\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig37}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig49}
\end{center}
%%\end{figure}

Como la función coseno es una función periódica, de período $2\pi$\,(o sea $\cos(\alpha + 2\pi) = \cos \alpha)$,\,
el trazo correspondiente a la función coseno en el intervalo $[0,2\pi]$\, se repite cada $2\pi$,\, obteniéndose así:\\



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig38}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig50}
\end{center}
%%\end{figure}

\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
Hacer el trazo de la función $f$,\, definida por $f(\alpha) = \mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$\\

\wsolu


Para  construir la tabla de valores, es conveniente que $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3}$\, tome los valores $0,\;\;
\displaystyle{ \frac{\pi}{2},\;\;\frac{3\pi}{2},\;\;2\pi}$,\, así obtenemos la siguiente tabla.\\

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}  \hline

$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\
$\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3}$ & $0$ & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ & $\pi$
& $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ & $2\pi$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\  \hline

$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\
$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left[ \alpha - \frac{\pi}{3} \right]}$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$ \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ \\  \hline

\end{tabular}
\end{center}

Como para realizar el trazo de $f$,\, necesitamos pares $\displaystyle{\left( \alpha, \mathop{\rm sen}\nolimits \left[ \alpha - \frac{\pi}{3} \right] \right)}$
entonces los valores de $\alpha$ se obtienen así:\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} = 0
\Longrightarrow \alpha=  \frac{\pi}{3}$

\item[b.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} =
\frac{\pi}{2} \Longrightarrow \alpha=  \frac{\pi}{2} +
\frac{\pi}{3} \Longrightarrow \alpha= \frac{5\pi}{6}$

\item[c.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} = \pi
\Longrightarrow \alpha=  \pi + \frac{\pi}{3} \Longrightarrow
\alpha= \frac{4\pi}{3}$

\item[d.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} =
\frac{3\pi}{2} \Longrightarrow \alpha=  \frac{3\pi}{2} +
\frac{\pi}{3} \Longrightarrow \alpha= \frac{11\pi}{6}$

\item[e.)] $\;\;\;$Si $\alpha - \displaystyle \frac{\pi}{3} = 2\pi
\Longrightarrow \alpha=  2\pi + \frac{\pi}{3} \Longrightarrow
\alpha= \frac{7\pi}{3}$
\end{enumerate}


Con la tabla  y la información anterior, construimos la siguiente tabla \\


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|r}  \cline{1-6}
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$\\
$\alpha$ & $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ & $\displaystyle \frac{5\pi}{6}$ & $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$
& $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$ & $\displaystyle \frac{7\pi}{3}$& \hspace{0.5cm}(*) \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$\\ \cline{1-6}
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ \\
$\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$ & $0$ & $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ & $\pi$
& $\displaystyle \frac{3\pi}{2}$ & $2\pi$& \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$\\\cline{1-6}
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ \\
$\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$ & $0$ & $1$ & $0$ & $-1$ & $0$&\hspace{0.5cm}(**) \\
$$ & $$ & $$ & $$ & $$ & $$& $$ \\\cline{1-6}
\end{tabular}
\end{center}


Usando $(*)$,\, $(**)$\, y la periocidad de la función seno trazamos el gráfico de la función sen$\displaystyle{\left( \alpha - \frac{\pi}{3} \right)}$\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig39}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig51}
\end{center}
%%\end{figure}

\end{ejemplo}


\section{Identidades trigonométricas}
% === Sección de origen: Identidades trigonométricas ===


Algunas identidades trigonométricas importantes.\\

{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}  Las identidades trigonométricas que se
demostrarán tomando como unidad de medida el radián, son también válidas
si se considera como unidad de medida el grado.


\begin{enumerate}

\item $\;\;\;$Sea $\alpha \in \mathbb{R}$\, y $\beta \in \mathbb{R}$,\, entonces:\\

\begin{center}
$\cos\;(\alpha + \beta ) = \cos\;(\alpha)\cdot\cos\;(\beta)  - \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)$\\
\end{center}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración:}}\\

Para la demostración de esta identidad haremos uso de los siguientes resultados de la geometría plana.\\

\begin{enumerate}
\item[i.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Notación:}} Si $P$\, y $Q$\, son puntos de un círculo $C$\, entonces $\widehat{PQ}$\, denota el arco de extremos $P$\, y $Q$.\\

\item[ii.)] {\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Teorema:}} Sean $A, \;B,\; P \;\mbox{y}\; Q$\, puntos del círculo $C$,\, entonces: \\

\[m(\widehat{BP})=m(\widehat{AQ})\Longleftrightarrow d(B,P)=d(A,Q)\]

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig54}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig66}
\end{center}
%%\end{figure}
\end{enumerate}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración} (de la identidad 1)}\\

Considere la siguiente figura:\\

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig55}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig67}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
donde:\\
$\begin{array}{rcl}
  A & = & (\cos\;(\alpha),\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)) \\
  B & = & (\cos\;(\alpha+\beta),\mathop{\rm sen}\nolimits(\alpha+\beta)) \\
  P & = & (1,0) \\
\end{array}$
}


Con respecto a la figura anterior, tenemos:

$m\measuredangle\;POA=\alpha \Longrightarrow m(\widehat{PA})=\alpha$\, y $m\measuredangle\;AOB=\beta\Longrightarrow m(\widehat{AB})=\beta$\\

entonces $m(\widehat{PB})=m(\widehat{PA})+m(\widehat{AB})=\alpha+\beta$\,\hspace{0.5cm}(i)\\


Considere la siguiente figura:

\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig56}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig68}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
donde:\\
$\begin{array}{rcl}
  A & = & (\cos\;(\alpha),\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)) \\
  Q & = & (\cos\;(-\beta),\mathop{\rm sen}\nolimits(-\beta)) \\
  P & = & (1,0) \\
\end{array}$
}


Con respecto a la figura anterior tenemos:\\

$m\measuredangle\;AOP=\alpha \Longrightarrow m(\widehat{AP})=\alpha$\, y $m\measuredangle\;POQ=-\beta\Longrightarrow m(\widehat{PQ})=\beta$\\

entonces $m(\widehat{AQ})=m(\widehat{AP})+m(\widehat{PQ})=\alpha+\beta$\,\hspace{0.5cm}(ii)\\


de (i) y (ii) tenemos que $m(\widehat{PB})=m(\widehat{AQ})$ \\

de donde por el teorema anterior, $d(P, B) = d(A, Q)$\, \hspace{0.5cm} (*)\\

Además, por la figura tras anterior, obtenemos que:\\



$\begin{array}{rcl}
  d(P,B) & = & \displaystyle{\sqrt{[\cos\;(\alpha+\beta)-1]^{2}+[\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha+\beta)-0]^{2}} }\\
         &   &  \\
         & = & \displaystyle{\sqrt{\cos^{2}\;(\alpha+\beta)-2\cos\;(\alpha+\beta)+1+\mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\;(\alpha+\beta)} } \\
         &   &  \\
         & = & \displaystyle{\sqrt{\cos^{2}\;(\alpha+\beta)+\mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\;(\alpha+\beta)-2\cos\;(\alpha+\beta)+1} } \\
         &   &  \\
         & = & \displaystyle{\sqrt{1-2\cos\;(\alpha+\beta)+1}} \\
         &   &  \\
         & = & \displaystyle{\sqrt{2-2\cos\;(\alpha+\beta)}} \\
\end{array}$


por lo que $d(P,B)=\sqrt{2-2\cos\;(\alpha+\beta)}$\\

y, por la figura anterior, obtenemos que \\


$\begin{array}{rcl}
  d(A,Q) & = & \displaystyle{\sqrt{[\cos\;(\alpha)-\cos\;(-\beta)]^{2}+[\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)-\mathop{\rm sen}\nolimits\;(-\beta)]^{2}}} \\
         &   &  \\
         & = & \displaystyle{\sqrt{[\cos\;(\alpha)-\cos\;(\beta)]^{2}+[\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)+\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)]^{2}} } \\
         &   &  \\
         & = & \displaystyle{\sqrt{\cos^{2}\;(\alpha)-2\cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)+\cos^{2}\;(\beta)+\mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\;(\alpha)+2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)+\mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\;(\beta)}}  \\
         &   &  \\
         & = & \displaystyle{\sqrt{(\cos^{2}\;(\alpha)+\mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\;(\alpha))+(\cos^{2}\;(\beta)+\mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\;(\beta))-2\cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)+2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)}} \\
         &   &  \\
         & = & \displaystyle{\sqrt{1+1-2\cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)+2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)}} \\
         &   &  \\
         & = & \displaystyle{\sqrt{2-2\cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)+2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)}} \\
\end{array}$


por lo que $d(A,Q)=\displaystyle{\sqrt{2-2\cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)+2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)}} $\\


por lo tanto de (*) tenemos que:\\


\[d(B,P)=d(A,C)\]


o sea:\\
\[\begin{array}{rcl}
  \displaystyle{\sqrt{2-2\cos\;(\alpha+\beta)}} & = & \displaystyle{\sqrt{2-2\cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)+2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)}} \\
                                      & = &  \\
  2-2\cos\;(\alpha+\beta)             & = & 2-2\cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)+2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta) \\
                                      & = &  \\
  -2\cos\;(\alpha+\beta)              & = & -2\cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)+2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta) \\
                                      & = &  \\
  \cos\;(\alpha+\beta)                & = & \cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)-\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta) \\
\end{array}\]


\item $\;\;\;$Sean $\alpha \in  \mathbb{R}$\, y $\beta \in R$,\, entonces:\\

\begin{center}
$\cos\;(\alpha - \beta) = \cos\;(\alpha)\cdot \cos\;(\beta) + \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) \cdot\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)$\\
\end{center}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración}}\\

$ \begin{array}{rcl}
  \cos\;(\alpha -\beta) & = & \cos\;(\alpha +\;-\beta) \\
                        & = & \cos\;(\alpha)\;\cos\;(-\beta)+\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(-\beta)\;\;\;\mbox{Por identidad 1} \\
                        & = & \cos\;(\alpha)\;\cos\;(\beta)+\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta) \\
\end{array}$


Aplicando la identidad (1) o (2) y sustituyendo $\alpha $\, y $\beta$\, por el valor correspondiente, se puede demostrar las siguientes identidades (llamadas fórmulas de reducción)\\


Sea $x \in \mathbb{R}$\, entonces:\\


\item $\;\;\;$$ \cos \displaystyle {\left(\frac{\pi}{2} + x \right)}= -\mathop{\rm sen}\nolimits x$\\

\item $\;\;\;$$\cos \displaystyle {\left(\frac{\pi}{2} - x \right)}= \mathop{\rm sen}\nolimits x$\\

\item $\;\;\;$$\cos (\pi + x )= -\cos x$\\

\item $\;\;\;$$\cos (\pi - x )= -\cos x$\\

\item $\;\;\;$$\cos \displaystyle {\left( \frac{3\pi}{2} + x \right)}= \mathop{\rm sen}\nolimits x$\\

\item $\;\;\;$$\cos \displaystyle {\left(\frac{3\pi}{2}- x \right)}= -\mathop{\rm sen}\nolimits x$\\


\textbf{Ejercicio}\\

Demostrar las identidades (3), (4), (5), (6), (7) y (8)\\

$\;\;\;$Sea $\alpha \in \mathbb{R}$, entonces:\\

\begin{center}
$\cos\;(\alpha) = \mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle {\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)}$\\
\end{center}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración:}}\\

Si $\alpha \in \mathbb{R}$\, entonces existe $\beta,\;\beta \in \mathbb{R}$\, tal que\\

\begin{enumerate}
\item[i.)] $\;\;\;$$\alpha=\displaystyle{\frac{\pi}{2}-\beta}$\\

\item[ii.)] $\;\;\;$$\beta=\displaystyle{\frac{\pi}{2}-\alpha}$\\
\end{enumerate}


$\begin{array}{rcll}
  \cos\;(\alpha) & = & \cos\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)}  & \mbox{por (i)}  \\
               & = & \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)                                 & \mbox{por identidad (4)} \\
               & = & \mathop{\rm sen}\nolimits\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)} & \mbox{por (ii)} \\
\end{array}$


por lo tanto $\cos \;\alpha=\mathop{\rm sen}\nolimits \;\displaystyle {\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right)}$\\


\item $\;\;\;$Sean $\alpha \in \mathbb{R}$ \,entonces:\\

\begin{center}
$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha + \beta) = \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) \cdot\cos\;(\beta)  + \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)\cdot \cos\;(\alpha)$\\
\end{center}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración:}}\\

Recuerde que $\cos \;\displaystyle {\left(  \frac{\pi}{2} - x \right)}= \mathop{\rm sen}\nolimits \;(x)$\,\hspace{0.5cm} por identidad (4)\\

Por lo tanto:\\

$\begin{array}{rcll}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\; (\alpha + \beta)& = & \displaystyle{\cos\;\left[\frac{\pi}{2} - (\alpha +\beta)\right]}                                        &   \\
                         &   &  &   \\
                         & = & \cos\; \displaystyle {\left[\left( \frac{\pi}{2}  - \alpha \right) - \beta\right]}             &   \\
                         &   &  &   \\
                         & = & \cos\;\displaystyle{ \left( \frac{\pi}{2}  - \alpha \right)\cdot \cos (\beta) + \mathop{\rm sen}\nolimits\;\left( \frac{\pi}{2}  - \alpha \right)\cdot \mathop{\rm sen}\nolimits (\beta)} & \mbox{por identidad (2)}  \\
                         &   &  &   \\
                         & = & \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot \cos\;(\beta)  + \cos\;(\alpha) \cdot sen\;(\beta)                                                      & \mbox{por identidad (4) y (5)}  \\
\end{array}$


\item $\;\;\;$Sean $\alpha \in \mathbb{R}$\, y $\beta \in \mathbb{R}$,\, entonces:\\

\begin{center}
$\mathop{\rm sen}\nolimits \;(\alpha - \beta) = \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot \cos\;(\beta)  - \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)\cdot \cos\;(\alpha)$\\
\end{center}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración:}}\\

$\begin{array}{rcll}
  \mathop{\rm sen}\nolimits\; (\alpha - \beta)& = & \mathop{\rm sen}\nolimits\; (\alpha +\;-\beta)                                                      &   \\
                         &   &  &   \\
                         & = & \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot \cos\;(-\beta)  + \mathop{\rm sen}\nolimits\;(-\beta)\cdot\cos\;(\alpha)             &   \mbox{por identidad (10)}  \\
                         &   &  &   \\
                         & = & \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot \cos\;(\beta)  - \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)\cdot\cos\;(\alpha)                   &  \mbox{por\, e-iii} \\
\end{array}$



Aplicando las identidades (9) o (10) y sustituyendo $ \alpha$\, o $\beta $\, por el valor correspondiente, se pueden demostrar las siguientes identidades (llamadas fórmulas de reducción)\\

Sea $x \in \mathbb{R}$ entonces:\\

\item $\;\;\;$$ \displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos\;(x)}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\; (\pi + x) = -\mathop{\rm sen}\nolimits\;(x)}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\; (\pi - x) = \mathop{\rm sen}\nolimits\;(x)}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits \;\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos\;(x)}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle{\mathop{\rm sen}\nolimits\; \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos\;(x)}$\\


\textbf{Ejercicio}\\

Demostrar las identidades (11), (12), (13), (14), (15), (16).\\

Utilizando las identidades (1), (2), (10), (11) se puede demostrar que:\\
      Si $\alpha \in \mathbb{R}$\, y $\beta \in R$,\, entonces:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$\tan\; (\alpha +\beta) = \displaystyle{\frac{\tan\;(\alpha) + \tan\;(\beta)}{1-\tan\;(\alpha) \cdot\tan\; \beta}}$\\

\item $\;\;\;$$\tan \;(\alpha -\beta) =  \displaystyle{\frac{\tan\;(\alpha) - \tan\;(\beta)}{1+\tan\;(\alpha) \cdot\tan\; \beta}} $\\

\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
Determinar: \\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$\tan\;(15^\circ)$\\

\item[b.)] $\;\;\;$$\cos\;(120^\circ)$\\
\end{enumerate}

\wsolu

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$\tan\;(15^\circ)$\\

$15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}$,\, por lo que:\\

$\begin{array}{rcl}
  \tan\;15^{\circ} & = & \tan\;(45^{\circ}-30^{\circ}) \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{\tan\;45^{\circ}-\tan\;30^{\circ}}{1+\tan\;45^{\circ}\cdot\tan\;30^{\circ}}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}} \\
\end{array}$


Por lo tanto $\tan (15^\circ)  = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$\\

\item[b.)] $\;\;\;$$\cos\;(120^\circ)$\\

$120^{\circ}  = 2 \cdot 60^{\circ}$,\, por lo que:\\

$\begin{array}{rcll}
  \cos\;120^{\circ} & = & \cos\;(2\cdot 60^{\circ})& \\
    &   &   \\
    & = & \cos^{2}\;60^{\circ}-\mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\;60^{\circ}& \mbox{por identidad (19)} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}- \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} }& \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}& \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{-2}{4}}& \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{-1}{2}}& \\
\end{array}$


por lo tanto $\cos\;(120^{\circ})=\displaystyle{\frac{-1}{2}} $\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Determinar:\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$\tan \;75^\circ $\\

\item[b.)] $\;\;\;$$\cos \;165^\circ$ \\

\item[c.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\; 255^\circ$ \\

\item[d.)] $\;\;\;$$\cot\;(-15)^\circ $ \\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


En particular sí, en las identidades (1), (10) y (17), $\alpha  = \beta$\, obtenemos las \textbf{ identidades para el ángulo doble}, a saber:\\


\item $\;\;\;$$\cos \;2\alpha  = \cos^2\;\alpha - \mathop{\rm sen}\nolimits^2\;\alpha$\\

\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\; 2\alpha  = 2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot \cos\;(\alpha)$\\

\item $\;\;\;$$\tan 2\alpha = \displaystyle{\frac{2\tan\;(\alpha)}{1- \tan^2\;\alpha}}$\\


y si, en cada una de las identidades (19), (20) y (21),  $\alpha =\displaystyle{\frac{x}{2},\;x \in \mathbb{R}}$\, obtenemos las \textbf{ identidades para el ángulo medio}\,


\item $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\;\displaystyle{\frac{x}{2}= \sqrt{ \frac{1-\cos\;(x)}{2}}}$\\

\item $\;\;\;$$\cos\;\displaystyle{\frac{x}{2}=\sqrt {\frac{1+\cos\;(x)}{2}}}$\\

\item $\;\;\;$$\tan\;\displaystyle{\frac{x}{2}=\sqrt {\frac{1-\cos\;(x)}{1+\cos\;(x)}}}$\\

\end{enumerate}


\textbf{Ejercicio}\\
Demostrar las identidades (19), (20), (21), (22), (23) y (24)\\

Usando las identidades trigonométricas anteriores, la definición de las funciones trigonométricas y las propiedades de las operaciones definidas en $\mathbb{R}$,\, es posible comprobar otras identidades trigonométricas.



\begin{ejemplo}
Comprobar la identidad: $\displaystyle{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) \cdot\cot\;(\alpha)\; +\; \cos\;(\alpha)}{\cot\;(\alpha)}}$ $= 2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$\\

\wsolu

$\begin{array}{rcl}
  \displaystyle{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot\cot\;(\alpha)+\cos\;(\alpha) }{ \cot\;(\alpha)}} & = & \displaystyle{\frac{  \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot \displaystyle{\frac{\cos(\alpha)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }}+\cos\;(\alpha) }{ \displaystyle{\frac{\cos\;(\alpha)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}}}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{ \displaystyle{\frac{ \mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot\cos\;(\alpha)+\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot\cos\;(\alpha)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }} }{\displaystyle{ \frac{\cos\;(\alpha)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}}}}\\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{\displaystyle{ \frac{ 2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot\cos\;(\alpha)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }} }{ \displaystyle{\frac{\cos\;(\alpha)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}}}}  \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{ 2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\cdot\cos\;(\alpha)\cdot\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}{\cos\;(\alpha)\cdot\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) }}  \\
    &   &   \\
    & = & 2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)  \\
\end{array}$


por lo tanto:\\

\begin{center}
$\displaystyle{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) \cdot\cot\;(\alpha)\; +\; \cos\;(\alpha)}{\cot\;(\alpha)}}  = 2\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)$
\end{center}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Comprobar la identidad: $\displaystyle{\frac{1}{1 + \mathop{\rm sen}\nolimits\;A} + \frac{1}{1 - \mathop{\rm sen}\nolimits\;A}= 2 \sec^2\;A}$\\

\wsolu


$\begin{array}{rcl}
  \displaystyle{\frac{1}{1+\mathop{\rm sen}\nolimits\;A}+\frac{1}{1-\mathop{\rm sen}\nolimits\;A}} & = & \displaystyle{\frac{1-\mathop{\rm sen}\nolimits\;A+1+\mathop{\rm sen}\nolimits\;A}{(1+\mathop{\rm sen}\nolimits\;A)(1-\mathop{\rm sen}\nolimits\;A)}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{2}{1-\mathop{\rm sen}\nolimits^{2}\;A}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{2}{\cos^{2}\;A}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{2\cdot\frac{1}{\cos^{2}\;A}} \\
    &   &   \\
    & = & 2\cdot\sec^{2}\;A  \\
\end{array}$


Por lo tanto:\\

$\displaystyle{\frac{1}{1 + \mathop{\rm sen}\nolimits\;A} + \frac{1}{1 - \mathop{\rm sen}\nolimits\;A}= 2 \sec^2\;A}$\\

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Comprobar la identidad:
$\displaystyle \frac{1 + \cos\;(2\alpha)}{2} = \cos^2\;(\alpha)$\\

\wsolu

$
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{1 + \cos\;(2\alpha)}{2} & = & \displaystyle \frac{1 + \cos^2\;(\alpha) - \mathop{\rm sen}\nolimits^2\;(\alpha)}{2} \\
  & &\\
                                       & = & \displaystyle \frac{\cos^2\;(\alpha) + 1 - \mathop{\rm sen}\nolimits^2\;(\alpha)}{2} \\
  & & \\
                                       & = &\displaystyle \frac{\cos^2\;(\alpha) + \cos^2\;(\alpha)}{2}\\
  & & \\
                                       & = &\displaystyle \frac{2\cos^2\;(\alpha)}{2}\\
  & & \\
                                       & = &\displaystyle \cos^2\;(\alpha)\\
\end{array}$ \\


Por lo tanto $\displaystyle \frac{1 + \cos\;(2\alpha)}{2} = \cos^2\;(\alpha)$
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Comprobar la identidad:
$\displaystyle \cos \;2A + \mathop{\rm sen}\nolimits \;2A \cdot \tan \;A = 1$\\

\wsolu

$\begin{array}{rcl}
\displaystyle \cos \;2A + \mathop{\rm sen}\nolimits \;2A \cdot \tan \;A & = &\displaystyle{ \cos^2\; A - \mathop{\rm sen}\nolimits^2 \;A + 2\mathop{\rm sen}\nolimits \;A \cdot \cos \;A \cdot \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits A}{\cos A}}\\
  & &\\
                                          & = & \cos^2 \;A - \mathop{\rm sen}\nolimits^2 \;A + 2\mathop{\rm sen}\nolimits^2\;A\\
  & &\\
                                          & = & \cos^2 \;A + \mathop{\rm sen}\nolimits^2 \;A\\
  & &\\
                                          & = & 1\\
  & &\\
\end{array}$



Por lo tanto:\\

$\cos\;2A + \mathop{\rm sen}\nolimits\;2A \cdot \tan\; A = 1$\\
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Comprobar la identidad:  $\displaystyle {\csc\; A + \cot\; A = \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\; A}{1 - \cos \;A}}$\\

\wsolu\\

$\begin{array}{rcl}
\csc\; A + \cot\; A & = & \displaystyle {\frac{1}{\mathop{\rm sen}\nolimits\; A} + \frac{\cos\; A}{\mathop{\rm sen}\nolimits\; A}}\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle {\frac{1 + \cos\; A}{\mathop{\rm sen}\nolimits \;A}}\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle \frac{1 + \cos \;A}{\mathop{\rm sen}\nolimits \;A} \cdot \frac{1 - \cos\; A}{1 - \cos \;A}\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle \frac{(1 + \cos \;A) \cdot (1 - \cos \;A)}{\mathop{\rm sen}\nolimits \;A \cdot (1 - \cos \;A)}\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle \frac{1 - \cos^2\; A}{\mathop{\rm sen}\nolimits \;A \cdot (1 - \cos \;A)}\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits^2 \;A}{\mathop{\rm sen}\nolimits\; A \cdot (1 - \cos\; A)}\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits \;A }{1 - \cos\; A}\\
\end{array}$ \\


Por lo tanto: \\

$\displaystyle \csc\; A + \cot \;A = \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits \;A}{1 - \cos\; A}$\\
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Compruebe que: si $k \in \mathbb{Z}$\, y $\alpha \in \mathbb{R} $\, entonces:
$\tan\;(\alpha + k \cdot \pi) = \tan\;\alpha$\\

\wsolu\\


$\begin{array}{rcl}
\displaystyle \tan\;(\alpha + k \pi) & = & \displaystyle \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha + k \pi)}{\cos\;(\alpha + k \pi)}\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits \;\alpha \cdot \cos\; k \pi + \mathop{\rm sen}\nolimits \;k \pi \cdot \cos \;\alpha}{\cos\; \alpha \cdot \cos\; k \pi - \mathop{\rm sen}\nolimits \;\alpha \cdot \mathop{\rm sen}\nolimits\; k \pi}\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\; \alpha \cdot \cos\;k \pi}{\cos \;\alpha \cdot \cos\; k \pi} \; \;\; \mbox { ?`Por qué? }\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\; \alpha}{\cos\; \alpha}\\
  & &\\
  & &\\
 & = &\displaystyle \tan\; \alpha\\
\end{array}$ \\


Por lo tanto $\displaystyle \tan\;(\alpha + k \pi) = \tan \;\alpha$\\
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Compruebe cada una de las siguientes identidades:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$\displaystyle \cos\; x \cdot \cos\;(-x) + \mathop{\rm sen}\nolimits^2\;x = 1$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \tan \;x \cdot \cot\;(-x) + \mathop{\rm sen}\nolimits^2\; x + \cos^2\; x = 0$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \cot^2 \;x \cdot \cos^2\; x = \cot^2\; x - \cos^2 \;x$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\; (x)}{\csc\; x} + \frac{\cos\; (x)}{\sec\; x} = 1$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \sec \;x \cdot (1 - \mathop{\rm sen}\nolimits^2\; x) = \cos\; x$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits^4 \;x = \frac{1 - \cos^2\; x}{\csc^2 \;x}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \cos\;2A = \cos^4 \;A - \mathop{\rm sen}\nolimits ^4 \;A$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \tan \;A + \tan \;B = \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(A+B)}{\cos\; A \cdot \cos \;B}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \cot\; x - \tan\; x = 2 \cot\; 2 x$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \tan \;\frac{x}{2}(1 + \cos\; (x)) = \mathop{\rm sen}\nolimits\; (x)$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle (\tan \;x + \cot\; x) \cdot \mathop{\rm sen}\nolimits \;x \cdot \cos\; x = 1$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle 2\csc \;2x = \sec \;x \cdot \csc \;x$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits\;(A+B) + \mathop{\rm sen}\nolimits\;(A-B) = 2\mathop{\rm sen}\nolimits \;A \cdot \mathop{\rm sen}\nolimits\; B$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits\;(A+B) \cdot \mathop{\rm sen}\nolimits\;(A-B) = \cos^2\; B -\cos^2 \;A$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle - \cos\; (x) \cdot \cos\;(-x) + \mathop{\rm sen}\nolimits\; (x) \cdot \mathop{\rm sen}\nolimits\;(-x) = -1$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle 1 + \tan^2\; x = \sec^2 \;x$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \tan \;x + \cot\; x = 2\csc 2\; x $\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \frac{\sec\; x}{\tan \;x + \cot \;x} = \mathop{\rm sen}\nolimits\; (x)$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \cos(x + \frac{\pi}{3}) - \cos\;(x - \frac{\pi}{6}) = 0$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits^2 \;x = \frac{1 - \cos\; (x)}{2}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \tan\; A - \tan\; B = \frac{sen\;(A-B)}{\cos\; A \cdot \cos\; B}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \tan\; A = \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits \;2A}{1 + cos\; 2A}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits\; (x) \cdot cos\; x = \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\; 2x}{2}$\\

\item $\;\;\;$$\displaystyle \tan\; \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos\; (x)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\; (x)}$\\

\end{enumerate}


\section{Funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente}
% === Sección de origen: Otras funciones trigonométricas ===


Recordemos que:\\

\begin{enumerate}
\item[a.)]$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) = 0$\, sí y sólo sí  $\;\alpha = -\pi ,
\; \; \alpha = 0, \;\;  \alpha =
\pi , \;\; \alpha = 2\pi \; ...\; $ o sea \\

$\mathop{\rm sen}\nolimits(-\pi) = 0,\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits 0 = 0,\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits \;\pi = 0,\;\; \mathop{\rm sen}\nolimits 2\pi = 0\; ...$\\

En general\\

\[\mathop{\rm sen}\nolimits (k \cdot  \pi) = 0, \;\;k \,\in \,\mathbb{Z}\]


\item[b.)] $\cos\;(\alpha)  = 0$\, sí y sólo sí   $\;\alpha =
\displaystyle {\frac{-3\pi}{2}, \;\; \alpha =
 \frac{-\pi}{2}, \;\; \alpha =  \frac{\pi}{2}, \;\; \alpha =  \frac{3\pi}{2}; ...}\;$
o sea \\

 $\cos\;\displaystyle{\left(  \frac{-3\pi}{2} \right)  =
0,\;\;\cos\;\left(  \frac{-\pi}{2} \right) = 0,\;\;
\cos\;\left( \frac{\pi}{2}\right) = 0,\; \cos\; \left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 \;...}$\\
\end{enumerate}

observemos que: \\

\[\begin{array}{rcl}
  \displaystyle{\frac{-3\pi}{2}} & = & \displaystyle{\frac{\pi}{2}}+\;-2\pi \\
    &   &   \\
  \displaystyle{\frac{-\pi}{2}} & = & \displaystyle{\frac{\pi}{2}+\;-1\cdot\pi} \\
    &   &   \\
  \displaystyle{\frac{\pi}{2}} & = & \displaystyle{\frac{\pi}{2}+0\cdot\pi} \\
    &   &   \\
  \displaystyle{\frac{-3\pi}{2}} & = & \displaystyle{\frac{\pi}{2}+1\cdot\pi} \\
\end{array}\]


En general\\


\[\cos\;\displaystyle{\left( \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi \right)=0,\;\;k\in\mathbb{Z}}\]

\rule{2cm}{0.01cm}\\


Sean $A = \{\alpha \in \mathbb{R} / \cos\;(\alpha) = 0\},\;\;B= \{\alpha \in \mathbb{R} / \mathop{\rm sen}\nolimits \alpha = 0\}$\, entonces\\

 $A = \{\alpha \in \mathbb{R} / \alpha=\displaystyle{\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi,\;\;k\in\mathbb{Z}}\}$\\


 $B= \{\alpha \in \mathbb{R} /  \alpha = k\cdot\pi,\;\;k\in\mathbb{Z}\}$\\


\begin{definicion}
Función tangente\\

\[\begin{array}{cccc}
  \mbox{Tangente}: & \mathbb{R}-A      & \longrightarrow & \mathbb{R}    \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & \displaystyle{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}{\cos\;(\alpha)}}
            \end{array}\]
\end{definicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Tangente $(\alpha)$\, se denota  $\tan\;(\alpha)$\, o sea $\tan\;(\alpha)  =  \displaystyle \frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}{\cos\;(\alpha)}$\\

\begin{definicion} Función cotangente\\

\[\begin{array}{cccc}
  \mbox{Cotangente}: & \mathbb{R}-B      & \longrightarrow & \mathbb{R}    \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & \displaystyle{\frac{\cos\;(\alpha)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}}
            \end{array}\]
\end{definicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Cotangente $(\alpha)$\, se denota  $\cot\;(\alpha)$,\, o sea $\cot\;\alpha  =  \displaystyle \frac{\cos\;(\alpha)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}$\\

\begin{definicion} Función secante\\

\[\begin{array}{cccc}
  \mbox{Secante}: & \mathbb{R}-A      & \longrightarrow & \mathbb{R}    \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & \displaystyle{\frac{1}{\cos\;(\alpha)}}
            \end{array}\]
\end{definicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} Secante $(\alpha)$\, se denota
$\sec\;(\alpha)$,\, o sea  $\sec\;(\alpha) = \displaystyle
\frac{1}{\cos\;(\alpha)}$

\begin{definicion} Función cosecante\\

\[\begin{array}{cccc}
  \mbox{Cosecante}: & \mathbb{R}-B      & \longrightarrow & \mathbb{R}    \\
                 &  \alpha & \longrightarrow & \displaystyle{\frac{1}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}}
            \end{array}\]
\end{definicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}} Cosecante $(\alpha)$\, se denota
$\csc\;(\alpha)$, o sea $\csc\;(\alpha) = \displaystyle
\frac{1}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}$


\begin{ejemplo}
Calcule:\\

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$\tan\;\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{3}\right)}$\\

\item[b.)] $\;\;\;$$\cot\;\displaystyle{\left(  \frac{-\pi}{4} \right)}$\\

\item[c.)] $\;\;\;$$\sec\;(-\pi)$\\

\item[d.)] $\;\;\;$$\csc\;\displaystyle {\left( \frac{2\pi}{3}\right)}$\\
\end{enumerate}

\wsolu

\begin{enumerate}
\item[a.)] $\;\;\;$$\tan\;\displaystyle {\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)}{\cos\;\left(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)}=\frac{\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}}{\displaystyle{\frac{1}{2}}}=\sqrt{3}}$,\,\, o sea $\tan\;\displaystyle {\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}}$ \\

\item[b.)] $\;\;\;$$\cot\;\displaystyle{\left(
\frac{-\pi}{4}\right)
=\frac{\cos\;\left(\displaystyle{\frac{-\pi}{4}}\right)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\displaystyle{\frac{-\pi}{4}}\right)}
=\frac{\cos\;\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)}{-\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)}=-\frac{\cos\;\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\displaystyle{\frac{\pi}{4}}\right)}=-\frac{\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}}{\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=-1
}$\,\,\,o sea
$\cot\;\displaystyle{\left( \frac{-\pi}{4}\right) =-1}$\\

\item[c.)] $\;\;\;$$\sec\;(-\pi)=\displaystyle{\frac{1}{\cos\;(-\pi)}=\frac{1}{\cos\;(\pi)}=\frac{1}{-1}=-1}$\,\,\, o sea $\sec\;(-\pi)=-1$\\

\item[d.)] $\;\;\;$$\csc\;\displaystyle {\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{1}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\displaystyle{\frac{2\pi}{3}}\right)}=\frac{1}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\pi-\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)}=\frac{1}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;\left(\displaystyle{\frac{\pi}{3}}\right)}=\frac{1}{\displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}}$\\

o sea\,\,\, $\csc\;\displaystyle {\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}}$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Calcule cada uno de los siguientes valores:  \begin{enumerate}

\item Tangente \\

\item Cotangente\\

\item Secante\\

\item Cosecante\\

\item $\tan\;\displaystyle{\left(\frac{-\pi}{6}\right)}$\\

\item $\cot\;\displaystyle{\left(\frac{5\pi}{2}\right)}$\\

\item $\sec\;\displaystyle{\left(\frac{4\pi}{3}\right)}$\\

\item $\csc\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{6}\right)}$\\

\item $\tan\;\displaystyle{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}$\\

\item $\cot\;\displaystyle{\left(\frac{-5\pi}{4}\right)}$\\

\item $\sec\;\displaystyle{\left(\frac{9\pi}{4}\right)}$\\

\item $\csc\;\displaystyle{\left(\frac{-4\pi}{3}\right)}$\\

\item $\tan\;\displaystyle{\left(\frac{7\pi}{6}\right)}$\\

\item $\cot\;\displaystyle{\left(\frac{-2\pi}{3}\right)}$\\

\item $\sec\;\displaystyle{\left(\frac{-7\pi}{6}\right)}$\\

\item $\csc\;\displaystyle{\left(\frac{5\pi}{3}\right)}$\\

\item $\tan\,{\left(-3\pi\right)}$\\

\item $\cot\;\displaystyle{\left(\frac{-\pi}{6}\right)}$\\

\item $\sec\;(0)$\\

\item $\csc\;\displaystyle{\left(\frac{-\pi}{2}\right)}$\\

\end{enumerate}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Periocidad de las funciones tangente y cotangente}}\\


Sean $\alpha \in \mathbb{R}$\, y $k \in \mathbb{Z}$,\, entonces:\\

\begin{center}
$\tan\;(\alpha+k\pi)=\tan\;(\alpha),\;\;\;\cos\;(\alpha)\neq 0$
\end{center}


\begin{center}
$\cot\;(\alpha+k\pi)=\cot\;\alpha,\;\;\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\neq 0$
\end{center}


Lo anterior dice que la tangente y cotangente son periódicas, de período $\pi$.\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Este resultado se demostrará más adelante.\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Periodicidad de las Funciones Secante y Cosecante}}\\



Sea  $\alpha \in \mathbb{R}$\, y  $k \in \mathbb{Z}$\, entonces:\\


\begin{center}
$\sec\;(\alpha+2k\pi)=\sec\;\alpha,\;\;\;\cos\;(\alpha)\neq 0$
\end{center}


\begin{center}
$\csc\;(\alpha+2k\pi)=\csc\;\alpha,\;\;\;\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)\neq 0$
\end{center}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Demostración:}}

\begin{enumerate}
\item $\sec\;(\alpha + 2k\pi) = \sec\;(\alpha) $\, se obtiene del hecho de que:\\

\[\begin{array}{ccc}
  \sec\;(\alpha + 2k\pi) & = & \displaystyle{\frac{1}{\cos\;(\alpha + 2k\pi)}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{1}{\cos\;(\alpha)}} \\
    &   &   \\
    & = & \sec\;(\alpha)\\

\end{array}\]


\item $\csc\;(\alpha + 2k\pi) = \csc\;(\alpha)$ se obtiene del hecho que:\\

\[\begin{array}{ccc}
  \csc\;(\alpha + 2k\pi) & = & \displaystyle{\frac{1}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha + 2k\pi)}} \\
    &   &   \\
    & = & \displaystyle{\frac{1}{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}} \\
    &   &   \\
    & = & \csc\;(\alpha)\\
\end{array}\]
\end{enumerate}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Signo de los Valores de las Funciones Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante}}\\


Con respecto a los signos de los valores de las funciones seno y coseno enunciadas anteriormente y de acuerdo a las definiciones tangente,
cotangente, secante y cosecante obtenemos la siguiente tabla de signos:\\


\begin{table}[htbp]
\begin{tabular}{|p{69pt}|p{67pt}|p{78pt}|p{84pt}|p{86pt}|}\hline
& \multicolumn{4}{|p{315pt}|}{\begin{center} Cuadrante \end{center} }  \\ \hline
 & \begin{center} I \end{center} & \begin{center} II \end{center} & \begin{center} III \end{center} & \begin{center} IV \end{center}  \\ \cline{2-5}
 \raisebox{0ex}[0cm][0cm]{$\alpha$} &\multicolumn{4}{|p{316pt}|}{0 \hspace{2cm} $\pi/2$ \hspace{2.5cm} $\pi$ \hspace{2.5cm} $3\pi/2$}  \\ \hline
 \raisebox{-5ex}[0cm][0cm]{$\tan(\alpha)$ }& \begin{center} + \end{center}  & \begin{center} $-$ \end{center} & \begin{center} + \end{center}  & \begin{center} $-$\end{center}  \\\hline
 \raisebox{-5ex}[0cm][0cm]{$\cot(\alpha)$ }& \begin{center}+ \end{center}   & \begin{center} $-$ \end{center} & \begin{center} +\end{center}   & \begin{center} $-$ \end{center}  \\\hline
 \raisebox{-5ex}[0cm][0cm]{$\sec(\alpha)$ }& \begin{center}+ \end{center}   & \begin{center}$-$ \end{center} & \begin{center} $-$ \end{center} & \begin{center}  + \end{center}  \\\hline
 \raisebox{-5ex}[0cm][0cm]{$\csc(\alpha)$ }& \begin{center}+\end{center}   & \begin{center} + \end{center}   & \begin{center} $-$ \end{center} & \begin{center} $-$ \end{center}  \\\hline
\end{tabular}
\end{table}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Representación del gráfico de la tangente}}\\


Para representar el gráfico de la tangente construimos la siguiente tabla de valores :\\


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
& & & & & & & & & \\
$\alpha$  &   $\displaystyle\frac{-\pi }{2}$  & $\displaystyle\frac{-\pi}{3}$ & $\displaystyle\frac{-\pi }{4}$ & $\displaystyle\frac{-\pi }{6}$ & $\phantom{+}0 \phantom{+}$ & $\displaystyle\frac{\pi }{6}$ & $\displaystyle\frac{\pi }{4}$ & $\displaystyle\frac{\pi }{3}$ & $\displaystyle\frac{\pi }{2}$\\
& & & & & & & & & \\ \hline
& & & & & & & & & \\
$\tan\hspace {1mm} (\alpha) $ & indef & $\displaystyle -\sqrt{3}$ & $-1$ & $ \displaystyle \frac{-\sqrt{3}}{3}$ & $0$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$ & $\phantom{+}1\phantom{+}$ & $\displaystyle-\sqrt{3}$ & indef \\
& & & & & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1.5cm}
con los valores de la tabla anterior, construimos el trazo de la tangente en el intervalo $ \left]\displaystyle\frac{-\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right[$\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig40}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig52}
\end{center}
%%\end{figure}

Dado que la tangente es una función periódica, de período $\pi$\, (o sea $\tan\hspace{1mm}(\alpha + k\pi) = \tan \hspace{1mm}\alpha ,\;\; k\in\mathbb{R}$)\, el trazo correspondiente a la función tangente en el intervalo $ \left]\displaystyle\frac{-\pi}{2},\displaystyle\frac{\pi}{2}\right[$ se repite cada $\pi$, obteniéndose así:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig41}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig53}
\end{center}
%%\end{figure}

Considerándose el $\triangle ABC$\, tal que $m\angle\hspace{1mm}ABC = \displaystyle\frac{\pi}{2}$,\, sea $\alpha$\, la medida de uno de sus ángulos internos agudos $\displaystyle\left(\mbox{o sea}\;\; 0 < \alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)$\, como se muestra en la figura:\\



%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig42}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig54}
\end{center}
%%\end{figure}

Como $\tan\;(\alpha) = \displaystyle\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha)}{\cos(\alpha)}$\, se tiene que:\\


\begin{center}
$\tan\;(\alpha) = \displaystyle \frac{\frac{\mbox{ longitud del cateto opuesto al ángulo } \mbox{ que } \mbox{ mide }\displaystyle{\alpha}}{\mbox{  longitud  de la hipotenusa}}}{\frac{\mbox{  longitud del cateto adyacente al ángulo que mide } \displaystyle{\alpha}}{\mbox{ longitud de la hipotenusa}}}$
\end{center}


o sea:\\


\begin{center}
 $\tan\;(\alpha) = \displaystyle\frac{\mbox{ longitud del cateto opuesto al ángulo que mide }\alpha}{\mbox{ longitud del cateto adyacente al ángulo que mide }\alpha}$
\end{center}


En forma similar se tiene que:\\


\begin{center}
$\cot\;(\alpha) =\displaystyle\frac{\mbox{ longitud del cateto adyacente al ángulo que mide }\alpha}{\mbox{ longitud del cateto opuesto al ángulo que mide }\alpha}$



$\sec\;(\alpha) =\displaystyle\frac{\mbox{ longitud de la hipotenusa}}{\mbox{ longitud del cateto adyacente al ángulo que mide }\alpha}$


$\csc\;(\alpha) =\displaystyle\frac{\mbox{ longitud de la hipotenusa}}{\mbox{ longitud del cateto opuesto al ángulo que mide }\alpha}$
\end{center}


Así con respuesta a la figura anterior y los resultados anteriores se obtiene que para $0 < \alpha<\displaystyle\frac{\pi}{2}$ , se cumple:


\begin{enumerate}
 \item[a.)] $\;\;\;$$\tan\;(\alpha) = \displaystyle\frac{a}{c}$\\

 \item[b.)] $\;\;\;$$\sec\;(\alpha) = \displaystyle\frac{b}{c}$\\

 \item[c.)] $\;\;\;$$\cot\;(\alpha) = \displaystyle\frac{c}{a}$\\

 \item[d.)] $\;\;\;$$\csc\;(\alpha) = \displaystyle\frac{b}{a}$\\
\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
Si $\cos\hspace{1mm}(\alpha) =\displaystyle\frac{6}{7}$\, y $ 0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}$,\,
calcule $\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha),\;\;\tan\;(\alpha),\;\;\cot\;(\alpha),\;\;\sec\;(\alpha)\; \mbox{y}\;  \csc\;(\alpha)$.\\

\wsolu

Como $\cos\;(\alpha)=\displaystyle\frac{6}{7}$\,\, y \,\,$ 0 < \alpha < \displaystyle\frac{\pi}{2}$\, entonces se tiene que:\\

%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig43}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig55}
\end{center}
%%\end{figure}



?`Porqué?


Como no sabemos cuanto mide el cateto opuesto al ángulo que mide $\alpha$,\, hay que determinar su valor (usando el teorema de Pitágoras).\\


Sea $x$\, la medida del cateto opuesto al ángulo que mide $\alpha$\, entonces:\\



\[\begin{array}{rcl}
  x^2 + 6^2  & = & 7^2 \\
  x^2 + 36   & = & 49 \\
  x^2        & = & 13 \\
  |x|        & = & \sqrt{13} \\
\end{array}\]


\vspace{2mm}
por lo tanto \hspace{1mm}$x = \sqrt{13}$ \, ó  $x = -\sqrt{13}$;\, pero $x = -\sqrt{13}$\, no nos sirve ?`Por qué?\\



Por lo que el otro cateto mide $\sqrt{13},$\,o sea tenemos el triángulo:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig44}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig56}
\end{center}
%%\end{figure}


Así pues:\\


\begin{enumerate}
\item[1.)] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\alpha) = \displaystyle\frac{\sqrt{13}}{7}$\\

\item[2.)] $\;\;\;$$\tan\;(\alpha) = \displaystyle\frac{\sqrt{13}}{6}$\\

\item[3.)] $\;\;\;$$\cot\;(\alpha) = \displaystyle\frac{6}{\sqrt{13}}$\\

\item[4.)] $\;\;\;$$\sec\;(\alpha) = \displaystyle\frac{7}{6}$\\

\item[5.)] $\;\;\;$$\csc\;(\alpha) = \displaystyle\frac{7}{\sqrt{13}}$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}\alpha =\displaystyle\frac{-3}{4}$ \hspace{1mm}y \hspace{1mm}$ \pi < \alpha < \displaystyle\frac{3\pi}{2}$, calcule $\cos\hspace{1mm}\alpha, \hspace{1mm}\tan\hspace{1mm}\alpha, \hspace{1mm}\cot\hspace{1mm}\alpha, \hspace{1mm}\sec\hspace{1mm}\alpha\hspace{1mm} y\hspace{1mm} \csc\hspace{1mm}\alpha$.

\wsolu

Observe que $\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}\alpha$ \hspace{1mm}es negativo, pues \hspace{1mm}$\alpha$\hspace{1mm} esta en el tercer cuadrante


\mpage{
Como $\pi \; < \alpha <\displaystyle\frac{3\pi}{2}$\, entonces:\\
existe $\beta, \; 0<\beta\hspace{1mm}<\displaystyle\frac{\pi}{2}$,\, tal que:\\
$\alpha = \pi + \beta$\\
}{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig45}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig57}
\end{center}
%%\end{figure}
}


Por lo que\hspace{1mm}$\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\alpha)= \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\pi + \beta) = -\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{-3}{4}$\hspace{1mm}de donde

\begin{center}
$\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{3}{4}$
\end{center}


Como $\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{3}{4}$\hspace{1mm} y \hspace{1mm}$0 < \beta < \displaystyle\frac{\pi}{2}$, entonces se tiene que:


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig46}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig58}
\end{center}
%%\end{figure}


Como no sabemos cuánto mide el cateto adyacente al ángulo que mide\hspace{1mm}$\beta$,\, hay que determinar su valor (usando el teorema de Pitágoras).\\


Sea $x$\, la medida del cateto adyacente al ángulo que mide $\beta$,\, entonces:\\


\mpage{
\[\begin{array}{rcl}
  x^2 + 3^2 & = & 4^2 \\
  x^2       & = & 16 - 9 \\
  x^2       & = & 7 \\
  x         & = & \sqrt{7} \\
\end{array}\]
}{}

\vspace{1.5cm}
Así tenemos el triángulo siguiente:


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig47}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig59}
\end{center}
%%\end{figure}


Así pues:\\

\begin{enumerate}
\item[1.] $\;\;\;$$\cos\hspace{1mm}(\alpha) = \cos\hspace{1mm}\displaystyle\left(\pi+\beta\right) = -\cos\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{-\sqrt{7}}{4}$\\

\item[2.] $\;\;\;$$\tan\hspace{1mm}(\alpha) = \displaystyle\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\pi + \beta)}{\cos\hspace{1mm}(\pi + \beta)} = \displaystyle\frac{-\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta)}{-\cos\hspace{1mm}(\beta)} = \displaystyle\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta)}{\cos\hspace{1mm}(\beta)} = \tan\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{3}{\sqrt{7}}$\\

\item[3.] $\;\;\;$$\cot\hspace{1mm}(\alpha) = \displaystyle\frac{\cos\hspace{1mm}(\pi + \beta)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\pi + \beta)} = \displaystyle\frac{-\cos\hspace{1mm}(\beta)}{-\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta)} = \displaystyle\frac{\cos\hspace{1mm}(\beta)}{\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta)} = \cot\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{3}$\\

\item[4.] $\;\;\;$$\sec\hspace{1mm}(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\cos\displaystyle\left(\pi + \beta\right)} = \displaystyle\frac{1}{-\cos\hspace{1mm}(\beta)} = \displaystyle-\frac{1}{\cos\hspace{1mm}(\beta)} = -\sec\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{-4}{\sqrt{7}}$\\

\item[5.] $\;\;\;$$\csc\hspace{1mm}(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\mathop{\rm sen}\nolimits\displaystyle\left(\pi + \beta\right)} = \displaystyle\frac{1}{-\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta)} = \displaystyle\frac{1}{-\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta)} = -\csc\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{-4}{3}$\\
\end{enumerate}
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $\tan\hspace{1mm}(\alpha) = \displaystyle-\frac{1}{2}$ y $\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Calcule $\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\alpha) $ y $\cos\hspace{1mm}(\alpha) $\\

\wsolu


Observe que $\tan\hspace{1mm}(\alpha) $ es negativo, pues $\alpha$ está en el segundo cuadrante.\\

\mpage{
como $\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ entonces
\vspace{2mm}
existe $\beta, \;\;0 < \beta < \displaystyle\frac{\pi}{2}$ tal que
\vspace{2mm}
\hspace{1cm}$\alpha = \pi-\beta$
}
{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig48}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig60}
\end{center}
%%\end{figure}
}


Por lo que:\\

$\tan\hspace{1mm}\alpha = \tan\hspace{1mm}(-\beta) = \displaystyle\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\pi - \beta)}{\cos\hspace{1mm}(\pi - \beta)} =\displaystyle{\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\;(\beta)}{-\cos\;(\beta)}}= -\tan\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{-1}{2}$\\

de donde $\tan\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{1}{2}$\\

Como $\tan\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{1}{2}$ y $0 < \beta < \displaystyle\frac{\pi}{2}$, entonces se tiene que:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig49}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig61}
\end{center}
%%\end{figure}


Usando el teorema de Pitágoras tenemos $x = \sqrt{5}$\\

Por lo que:\\

\begin{enumerate}
\item[1.] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\alpha) = \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\pi - \beta) = \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}$\\

\item[2.] $\;\;\;$$\cos\hspace{1mm}(\alpha) = \cos\hspace{1mm}(\pi - \beta) = -\cos\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle-\frac{2}{\sqrt{5}}$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Si $\sec\hspace{1mm}(\alpha) = 4$ y $\displaystyle\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Calcule: \,\,$\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\alpha); \;\;\;\tan\hspace{1mm}\alpha$

\wsolu

Observe que $\sec\hspace{1mm}(\alpha)$ es positivo, pues $\alpha$\, está en el cuarto cuadrante\\

\mpage{
Como $\displaystyle\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$, entonces
existe $\beta,\;\;\; 0 < \beta < \displaystyle\frac{\pi}{2}$, tal que:
$\alpha = 2\pi - \beta$
}{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig50}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig62}
\end{center}
%%\end{figure}
}


Por lo que:\\

$\sec\hspace{1mm}(\alpha) = \sec\hspace{1mm}(2\pi - \beta) = \displaystyle\frac{1}{\cos\hspace{1mm}(2\pi - \beta)} =
\displaystyle\frac{1}{\cos\hspace{1mm}(2\pi + (-\beta))} = \displaystyle\frac{1}{\cos\hspace{1mm}(-\beta)} =
\displaystyle\frac{1}{\cos\hspace{1mm}(\beta)} = \sec\hspace{1mm}(\beta) = 4$\\


Como $\sec\hspace{1mm}\beta = 4$ y $0 < \beta < \displaystyle\frac{\pi}{2}$, entonces se tiene que:\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig51}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig63}
\end{center}
%%\end{figure}


Usando el teorema de Pitágoras tenemos que $x = \sqrt{15}$, por lo que:\\


\begin{enumerate}
\item[1.] $\;\;\;$$\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\alpha) = \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(2\pi - \beta) = \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}[2\pi + (-\beta)] = \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(-\beta) = -\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta) = \displaystyle-\frac{\sqrt{15}}{4}$\\

\item[2.] $\;\;\;$$\tan\hspace{1mm}(\alpha) = \tan\hspace{1mm}(2\pi - \beta) =
\displaystyle\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}[2\pi + (-\beta)]}{\cos\hspace{1mm}[2\pi + (-\beta)]} =
\displaystyle\frac{\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(-\beta)}{\cos\hspace{1mm}(-\beta)} =
\displaystyle\frac{-\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\beta)}{\cos\hspace{1mm}(\beta)} =
-\tan\hspace{1mm}(\beta) = -\sqrt{15}$\\
\end{enumerate}

\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Calcule: $\cot\hspace{1mm}(\alpha),\; \cos\hspace{1mm}(\alpha),\;\; \sec\hspace{1mm}(\alpha)$  \begin{enumerate}

\item Si $\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\alpha) = \displaystyle\frac{-2}{3}$\hspace{1mm}y $\displaystyle\frac{-3}{2} < \alpha < 2\pi$\\

Calcule: $\cos\hspace{1mm}(\alpha), \tan\hspace{1mm}(\alpha),\; \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\alpha)$\\

\item Si $\tan\hspace{1mm}(\alpha) = \displaystyle\frac{2}{3}$\hspace{1mm}y $\pi < \alpha < \displaystyle\frac{3\pi}{2}$\\

Calcule: $\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}(\alpha), \cos\hspace{1mm}(\alpha), \csc\hspace{1mm}(\alpha)$\\

\item Si $\csc\hspace{1mm}(\alpha) = -5$\hspace{1mm}y $\displaystyle\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$\\

Calcule: $\cot\hspace{1mm}(\alpha), \cos\hspace{1mm}(\alpha), \sec\hspace{1mm}(\alpha)$

\end{enumerate}


\begin{ejemplo}
Determine el valor de A donde:\\

$A = \mathop{\rm sen}\nolimits^2\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{\pi}{4}\right) - \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{2\pi}{3}\right)\;\cdot\cos\hspace{1mm}(5\pi)$\\

\wsolu

$A = \mathop{\rm sen}\nolimits^2\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{\pi}{4}\right) - \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{2\pi}{3}\right)\;\cdot\cos\hspace{1mm}(5\pi)$\\

$A = \displaystyle\left[\mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]^2 - \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{2\pi}{3}\right)\;\cdot\cos\hspace{1mm}(5\pi)$  \\

como:\\

$\begin{array}{llcll}
  (1) & \mathop{\rm sen}\nolimits\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{4}\right)}  & = & \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}       &  \\
      &                           &   &                               &   \\
  (2) & \mathop{\rm sen}\nolimits\;\displaystyle{\left(\frac{2\pi}{3}\right)} & = & \mathop{\rm sen}\nolimits\;\displaystyle{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)} &   \\
      &                           &   &                               &   \\
      &                           & = & \mathop{\rm sen}\nolimits\;\displaystyle{\left(\frac{\pi}{3}\right)}      & \mbox{Por propiedad e-i} \\
      &                           &   &                               &   \\
      &                           & = & \displaystyle{\frac{\sqrt{3}}{2}}       &   \\
      &                           &   &                               &   \\
  (3) & \cos\;(5\pi)                & = & \cos\;(\pi+4\pi)              & \mbox{Por periodicidad del coseno} \\
      &                           &   &                               &   \\
      &                           & = & -1                            &   \\
\end{array}$


entonces:\\

$\begin{array}{rcl}
  A & = & \displaystyle{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot -1} \\
    &   &   \\
  A & = & \displaystyle{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}} \\
    &   &   \\
  A & = & \displaystyle{\frac{1+\sqrt{3}}{2}} \\
\end{array}$
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Para cada una de las siguientes expresiones determine el valor de A:  \begin{enumerate}

\item $\;\;\;$$A = \cos^3\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{3\pi}{2}\right) + \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}\displaystyle\left(\displaystyle\frac{-\pi}{2}\right) + 2\cos\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{5\pi}{3}\right)$\\

\item $\;\;\;$$A = -\cos\hspace{1mm}(3\pi) + \mathop{\rm sen}\nolimits\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{5\pi}{6}\right)\;\cdot \cos\hspace{1mm}\displaystyle\left(\displaystyle\frac{-2\pi}{3}\right)$\\

\item $\;\;\;$$A = \tan\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{2\pi}{3}\right) - \sec\hspace{1mm}\displaystyle\left(\displaystyle\frac{-\pi}{4}\right) \cdot \cos\hspace{1mm}\displaystyle\left(\frac{7\pi}{4}\right)$\\

\end{enumerate}



{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{La pendiente de una recta como la tangente
del ángulo de inclinación de ésta.}}


\begin{definicion}
Sea $L$\, una recta de ecuación $y = mx + b$\, con $m \neq 0$\\

Sea $A$\, el punto de intersección de $L$\, y el eje $X$\, tal que $A = (a,0)$\\

Sea $B$\, un punto del eje $X$\, tal que $B = (b,0)$\, y $b > a.$\\

Sea $P \in L$\, tal que $P = (x,y)$,\, con $y > 0$\, (ver las siguientes figuras)\\

El $\measuredangle\;BAP$\, se llama \textbf{ ángulo de inclinación de la recta $L$}.\\
\end{definicion}


\mpage{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig52-1}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig64}
\end{center}
%%\end{figure}
}{
%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig52-2}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig65}
\end{center}
%%\end{figure}
}


\begin{definicion}
Sea $L$\, una recta de ecuación $y = b$,\, $b$\, constante real, entonces se dice que la medida del ángulo de inclinación es $0$.\\
\end{definicion}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
Si $\alpha$\,  es la medida del ángulo de inclinación de una recta entonces  $0< \alpha < \pi$\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Nota:}}
La pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación.\\


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Justificación:}}\\

Sea $L$\, la recta de ecuación $y = mx + b$\\

Sea $\alpha$\, la medida del ángulo de inclinación de $L$\\

Sean $P$\, y $Q$\, puntos de $L$\, tal que $P = (x_1, y_1)$\, y $Q = (x_2, y_2)$.\, Sea $\alpha $\, la medida

del ángulo de inclinación de $L$,\, como se muestra en la figura siguiente\\


%%\begin{figure}[H]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.45]{images-Cap8-Trigonometria/fig53}
\captionof{figure}{}\label{Cap8_fig65}
\end{center}
%%\end{figure}


Sabemos que $ \,m = \displaystyle{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}\,$ pero $\tan\;(\alpha) =\displaystyle{\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}$\\

por lo tanto:
\begin{center} $m = \tan \;(\alpha) $\end{center}


\begin{ejemplo}
Determine la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es $\displaystyle{\frac{2\pi}{3}}$\, y que contiene el punto $(\sqrt{3}, 2)$\\

\wsolu

Sea $y = mx + b$\, la ecuación de la recta,  entonces $m = \tan {\displaystyle{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}}$\\

\[\begin{array}{rcl}
  m & = & \displaystyle{\tan\;\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)} \\
    &   &   \\
  m & = & \displaystyle{\tan\;\left(-\frac{\pi}{3}\right)} \\
    &   &   \\
  m & = & \displaystyle{-\tan\;\left(\frac{\pi}{3}\right)} \\
    &   &   \\
  m & = & -\sqrt{3} \\
\end{array}\]


por lo que $y = - \sqrt{3}x + b$,\, como $(\sqrt{3}, 2)$\, es un punto de la recta, entonces:\\

\[\begin{array}{rcl}
  2 & = & -\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+b \\
  2 & = & -3+b \\
  5 & = & b \\
\end{array}\]


Por lo tanto la ecuación de la recta es $y = - \sqrt{3} x + 5$\\
\end{ejemplo}


\textbf{Ejercicio}\\
Determine la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es $\displaystyle{\frac{\pi}{4}}$ y contiene el punto $(-2, 2)$\\

Determine la ecuación de la recta que contiene el origen del sistema de coordenadas y cuyo ángulo de inclinación es $\pi$


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{Identidades}}\\

Una identidad es una igualdad que es verdadera para todo elemento del dominio de las variables que intervienen.\\

\begin{ejemplo}

\begin{enumerate}
\item[1.)] $\;\;\;$$x ( x + 1) = x^2 + x$;\, por propiedad distributiva esta igualdad es verdadera para todo número real.\\

\item[2.)] $\;\;\;$$\displaystyle \frac {(x - 3)(x + 3)} {x-3} =
{x + 3}$;\, esta igualdad es verdadera para todo número real
diferente de $3$,\, pues $3$\,

no pertenece al dominio de la variable.\\

\end{enumerate}
\end{ejemplo}


{\fontfamily{hv}\fontseries{b}\selectfont{ Nota:}}\\

Es frecuente que en el enunciado de una identidad propuesta no se incluya ninguna mención explícita del subconjunto de $\mathbb{R}$\, sobre la cual la identidad está definida. Sin embargo,
al comprobar la identidad se debe recordar que la identidad es válida para aquellos valores de la variable o variables para los cuales cada miembro de la identidad está definida.\\

\section{Ecuaciones trigonométricas}
% === Sección de origen: Ecuaciones trigonométricas ===


Para resolver ecuaciones en las que intervienen valores de funciones trigonométricas, se pueden usar varios métodos, algunos algebraicos (factorización, por ejemplo) y otros que consisten en la aplicación de las identidades trigonométricas.\\


\begin{ejemplo}
Resolver: $\displaystyle \cos \;(x) = \frac{1}{2}$ \\

\wsolu\\


Como $\cos \;(x)$\, es positiva, esta ecuación tiene soluciones en el primer y cuarto cuadrante.\\

En el primer cuadrante, una solución particular del $\;\displaystyle \cos \;(x) = \frac{1}{2}$\, es $\displaystyle \frac{\pi}{3}$,\, pues $\displaystyle \cos \;\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ . \\

Pero como el coseno es función periódica de periodo $2\pi$\, se tiene que $\displaystyle \cos \;\left(\frac{\pi}{3} + 2n\pi \right) = \cos \;\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$;\, $n \in \mathbb{Z}$.\\

Así tenemos que todos los números de la forma $\;\displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi$,\, $n \in \mathbb{Z}$\,
son solución de $\displaystyle \cos \;(x) = \frac{1}{2}$\, o sea:\\

$\displaystyle S_1 = \left\{ x \in \mathbb{R}\;/ \;x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi,\; n \in \mathbb{Z} \right \}$\\

En el cuarto cuadrante, una solución particular de $\displaystyle \cos\; (x) = \frac{1}{2}$\,
es $\displaystyle \frac{-\pi}{3}$\, pues $\;\displaystyle \cos(-\pi / 3) =
 \cos\;\left( \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$\,
 y tomando en cuenta el periodo de la función coseno,
 todos los números de la forma $\displaystyle \frac{-\pi}{3} + 2n\pi$,\, $n \in \mathbb{Z}$\,
 son solución de $\displaystyle \cos\; (x) = \frac{1}{2}$\, o sea:\\

 $$\displaystyle S_2 = \left\{ x \in \mathbb{R}\;/\; x = \frac{-\pi}{3} + 2n\pi, \;n \in \mathbb{Z} \right \}$$


Así $\displaystyle S = S_1 \cup S_2$ \,es decir
$\displaystyle S = \left\{x \in \mathbb{R} \;/\; x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi \mbox{ ó } x = \frac{-\pi}{3} + 2n\pi,\; n \in \mathbb{Z} \right \}$\\
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Resolver $\displaystyle \cos\;(x) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$\\

\wsolu\\

Como $\cos \;(x)$\, es negativo, esta ecuación tiene soluciones en el segundo y tercer cuadrante.\\

En el segundo cuadrante, una solución particular de $\displaystyle \cos \;(x) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$\, es $\displaystyle \pi - \frac{\pi}{4},\;$ o sea $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$\, pues: \\

$\displaystyle \cos \;\left(\frac{3\pi}{4}\right) = - \cos\; \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$\\

Así $\displaystyle S_1 = \left\{ x \in \mathbb{R}\;/\; x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi,\; n \in \mathbb{Z} \right \}$\\

En el tercer cuadrante, una solución particular de $\displaystyle \cos \;(x) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$\, es $\displaystyle\pi + \frac{\pi}{4},\;$ o sea $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$,\, pues \\

$\displaystyle \cos\; \left(\frac{5\pi}{4}\right) = - cos\;\left( \frac{\pi}{4}\right) = \frac{-\sqrt{2}}{2}$\\

Así $\displaystyle S_2 = \left\{ x \in \mathbb{R}\;/\; x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi,\; n \in \mathbb{Z} \right \}$ \\

Por lo tanto $\displaystyle S = S_1 \cup S_2$ , \,es decir\\

$\displaystyle S = \left\{x \in \mathbb{R} \;/ \;x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi \mbox{ ó } x = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi, n \in \mathbb{N} \right \}$\\
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Resolver $\displaystyle \tan\; (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$\\


\wsolu\\

Como $\tan\; (x)$\, es positiva, esta ecuación tiene soluciones en el primer y tercer cuadrante.\\

En el primer cuadrante una solución particular de $\displaystyle \tan \;(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ \,es $\displaystyle \frac{\pi}{6}$, pues

$\displaystyle \tan\; \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$,\, pero como la función es periódica, de periodo $\displaystyle \pi$ ,

se tiene que: \\

\begin{center}$\displaystyle \tan \;(x) = \left(\frac{\pi}{6} + n \pi \right) = \tan\; \left(\frac{\pi}{6} \right)= \frac{\sqrt{3}}{3}, n \in \mathbb{Z}$ \\
\end{center}

o sea, todos los números de la forma $\displaystyle \frac{\pi}{6} + n \pi, n \in \mathbb{Z}$\, son solución de $\displaystyle \tan\; x = \frac{\sqrt{3}}{3}$,\, así\\

$\displaystyle S_1 = \left\{ x \in \mathbb{R}\;/ \;x = \frac{\pi}{6} + n \pi, n \in \mathbb{Z} \right \}$\\

En el tercer cuadrante una solución particular de $\displaystyle \tan\; (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$\, es $\displaystyle \pi + \frac{\pi}{6}$,\, o sea $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$ , pues $\displaystyle \tan\; \left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$\\

Observe además que $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$\, está contenida en $\displaystyle S_1$ ,\, pues $\displaystyle \frac{7\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi$\, por lo tanto $\displaystyle S = S_1$\, o sea \\

$\displaystyle S = \left\{ x \in \mathbb{R}\;/\; x = \frac{\pi}{6} + n \pi, n \in \mathbb{Z} \right \}$\\
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Resolver $\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits\; (2x) = 3 \mathop{\rm sen}\nolimits \;(x)$\\

\wsolu\\

$\begin{array}{rcl}
\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits \;(2x) = 3 \mathop{\rm sen}\nolimits\; (x) & \Longrightarrow & \displaystyle 2 \mathop{\rm sen}\nolimits\; (x) \cdot \cos \;x = 3 \mathop{\rm sen}\nolimits \;x\\
  & &\\
  & &\\
 & \Longrightarrow & \displaystyle 2 \mathop{\rm sen}\nolimits \;(x) \cdot \cos \;(x) - 3 \mathop{\rm sen}\nolimits \;(x) = 0\\
  & &\\
  & &\\
 & \Longrightarrow &\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits\; (x) \;( 2 \cos\; (x) - 3 ) = 0\\
  & &\\
  & &\\
 & \Longrightarrow & \displaystyle  \mbox{\textbf{a)} } \mathop{\rm sen}\nolimits\; (x) = 0 \;\;\mbox{ ó }\;\; \displaystyle  \mbox{\textbf{b)} } 2 \cos\; x - 3 = 0\\
\end{array}$ \\


\textbf{a.)} Sí $\;\displaystyle \mathop{\rm sen}\nolimits\; (x) = 0$, entonces
$\displaystyle x = n \pi,\;\; n \in \mathbb{Z};$ o sea\\
\\
$\displaystyle S_1 =  \left\{ x \in \mathbb{R}/\; x = n \pi ,\; n \in \mathbb{Z} \right \}$\\


\textbf{ b.)} Sí $\;\displaystyle 2 \cos\; (x) - 3 = 0$ entonces\\

$\displaystyle 2 \cos\; (x) = 3\; \Longrightarrow \;
\displaystyle \cos\; (x) = \frac{3}{2},\;\;$
por lo que $\displaystyle S_2 = \varnothing $ (?`Por qué?)\\


Así $\displaystyle S = S_1 \mbox{ ó } S = \left\{ x \in \, \mathbb R/ x = n \pi , \;n \in \mathbb Z \right \}$\\
\end{ejemplo}

\begin{ejemplo}
Resolver $\,\cos(2x)+\mathop{\rm sen}\nolimits(2x)+1=0\,$ en el intervalo $\,]-\pi,\; \pi[\,$\\

\wsolu



\begin{eqnarray*}
\cos^2x - {\color{red}\mathop{\rm sen}\nolimits^2 x}+ \mathop{\rm sen}\nolimits(2x) +1 &=&0\\
&&\\
\cos^2x-{\color{red}(1-\cos^2x)}+\mathop{\rm sen}\nolimits(2x) +1 &=&0\\
&&\\
 {\color{red} 2\cos^2x}+\mathop{\rm sen}\nolimits(2x) &=&0\\
&&\\
2\cos^2x+2\mathop{\rm sen}\nolimits(x)\cos x &=&0\\
&&\\
2\cos x\;(\cos x+\mathop{\rm sen}\nolimits x) &=&0\\
\end{eqnarray*}


$$\Longrightarrow\; \left\{
                    \begin{array}{lcl}
                    2\cos x &=&0 \;\Longrightarrow\; x = (2k+1)\pi/2,\;\; k \,\in\, \mathbb{Z}\\
                            &&\\
                   \cos x+\mathop{\rm sen}\nolimits x&=0&\;\Longrightarrow\; \cos x= -\mathop{\rm sen}\nolimits x
                   \;\Longrightarrow\;\tan x = -1
                   \;\Longrightarrow\; x= -\pi/4+k\pi, \;\; k \,\in\, \mathbb{Z}\\
                    \end{array}
                    \right.$$


De la familia $\, x = (2k+1)\pi/2,\;\; k \,\in\, \mathbb{Z}\,$ tenemos
$\,-\pi/2,\;\pi/2 \,\in\, ]-\pi,\; \pi[.\,$\\

De la familia $\, x= -\pi/4+k\pi, \;\; k \,\in\, \mathbb{Z},\,$ tenemos
$\,-\pi/4,\;3\pi/4 \,\in\, ]-\pi,\; \pi[.\,$\\
\end{ejemplo}


\begin{ejemplo}
Resolver $\,\cos(2x)+\cos(4x)-2=0.\,$\\


\wsolu

\begin{eqnarray*}
\cos(2x)+\color{red}\cos(4x)\color{black}-2 &=&0\\
&&\\
\color{black}\cos(2x)+\;\color{red}\cos^2(2x)-\mathop{\rm sen}\nolimits^2(2x)\color{black}\;-\;2 &=&0\\
&&\\
\cos(2x)+\;\cos^2(2x)-\color{red}(1-\cos^2(2x))\color{black}\;-\;2 &=&0\\
&&\\
2\cos^2(2x)+\cos(2x)-\;3 &=&0\\
\end{eqnarray*}


Ponemos $\,u=\cos(2x)\,$ y nos queda: $\,2u^2+u-3=0\;\Longrightarrow\;
u=1\;\wedge\; u=-3/2.\,$\\

$\,\cos(2x)=-3/2\,$ no tiene solución pues $\,-1 \leq\cos(\theta) \leq 1.\,$\\

$\,\cos(2x)=1\;\Longrightarrow\;2x=2k\pi\;\Longrightarrow\;x=k\pi,\; k \,\in\, \mathbb{Z}.\,$


\end{ejemplo}
\section{Seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos}
Seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos.

\section{Ley de senos y ley de cosenos}
Ley de senos, ley de cosenos y problemas de aplicación.

\section{Ejercicios}
