Ejercicios

Ejercicio 3.14. Factorice (si es posible) cada una de las siguientes expresiones:

1.: $6 x^{2} - 13 x + 6$
2.: $2 x^{2} - \sqrt{3} x + 1$
3.: $x^{2} + x + 1$
4.: $- 3 x^{2} + 7 x + 20$
5.: $- 2 x^{2} - 5 x - 3$
6.: $\frac{1}{4} x^{2} + x + 1$

1.: $(3 x - 2) (2 x - 3)$
2.: $x (2 x - \sqrt{3}) + 1$
3.: $x (x + 1) + 1$
4.: $- ((3 x + 5) (x - 4))$
5.: $- ((x + 1) (2 x + 3)$
6.: $\frac{1}{4} {(x + 2)}^{2}$

Factorización de polinomios de grado mayor que $2$ , con coeficientes enteros

A continuación nuestro objetivo es factorizar polinomios de grado mayor que dos, para lo cual haremos uso de: la división sintética, del procedimiento para factorizar polinomios de grado 2, del teorema del factor y de las siguientes proposiciones:

Proposición 18.

Si $P (x)$ es un polinomio de grado $n$ , entonces $P (x)$ tiene a lo sumo $n$ ceros reales.

■

Ejemplo 122.

a.): El polinomio $x^{3} + 1$ , es de grado $3$ por lo que tiene a lo sumo $3$ ceros reales.
b.): El polinomio $2 x^{4} - 4 x^{2} - 4$ , es de grado $4$ por lo que tiene a lo sumo $4$ ceros reales.

Teorema 13.

Sea $P (x)$ un polinomio tal que: $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ donde $a_{n}, a_{n - 1}, . . ., a_{1}, a_{0}$

Son números enteros. Y sean $c$ y $d$ números enteros tales que $\frac{c}{d}$ es una fracción canónica.

Si $\frac{c}{d}$ es un cero de $P (x)$ entonces, $a_{0}$ es divisible por $c$ y $a_{n}$ es divisible por $d$ .

De la proposición anterior se deduce que todos los ceros racionales de $P (x)$ están contenidos en el conjunto $D$ , donde:

D = {\frac{c}{d} \in Q : c es un divisor de a_{0} y d es un divisor de a_{n}}

(pero no necesariamente todo elemento de $D$ es un cero de $P (x)$ ).

Para aplicar las proposiciones anteriores en la factorización de un polinomio $P (x)$ , con:

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}

con $a_{n}, a_{n - 1}, . . ., a_{1}, a_{0}$ , números enteros, $a_{n} \neq 0$ , $n \in I N$ , $n > 2$ se sigue el siguiente procedimiento:

1.)

Se determina el conjunto

D_{a_{0}}

, donde:

: $D_{a_{0}} = {c \in Z : c es un divisor de a_{0}}$

2.)

Se determina el conjunto

D_{a_{n}}

, donde:

: $D_{a_{n}} = {d \in I N : d es un divisor de a_{n}}$

3.)

Se forma el conjunto

D

, donde:

: $D = {\frac{c}{d} : c \in D_{a_{0}} y d \in D_{a_{n}}}$

4.)

Entre los elementos de

D

se busca un

α

tal que

P (α) = 0

5.)

Se efectúa la división de

P (x)

por

x - α

, y se expresa la identidad

: $P (x) = (x - α) C (x)$

donde

C (x)

es el cociente que se obtiene al dividir

P (x)

por

x - α

6.)

C (x)

de grado mayor que

2

, se repiten los pasos

4

5

para

C (x) .

7.)

C (x)

es de grado

2

, se utiliza alguno de los métodos de factorización de polinomios de este tipo.

■

Ejemplo 123.

Factorice $P (x)$ (si se posible), donde:

P (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 6

Solución.

En este caso:

$D_{6}$: $= {1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6}$ (divisores enteros de $6$ )
$D_{1}$: $= {1}$ (divisores naturales de $1$ )
$D$: $= {1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6}$ cada elemento de $D$ es el cociente de un elemento de $D_{6}$ y un elemento de $D_{1} .$

El paso siguiente es determinar algún $α$ , $α \in D$ tal que $P (α) = 0$

Calculemos $P (- 1)$ , (por división sintética):

1	-4	1	6	-1

	-1	5	-6

1	-5	6	0

De aquí se tiene que $P (- 1) = 0$ y además $x^{3} - 4 x^{2} + x + 6 = (x + 1) (x^{2} - 5 x + 6)$

Como $x^{2} - 5 x + 6$ es de grado $2$ , podemos utilizar alguno de los métodos de factorización estudiados para polinomios de este tipo.

Por fórmula general se tiene que en $x^{2} - 5 x + 6$ :

: $Δ = {(- 5)}^{2} - 4 (1) (6)$ $α = \frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ $β = \frac{5 + \sqrt{1}}{2}$
: $Δ = 25 - 24$ $α = \frac{4}{2}$ $β = \frac{6}{2}$
: $Δ = 1$ $α = 2$ $β = 3$

por lo que:

: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ y como $x^{3} - 4 x + 6 = (x + 1) (x^{2} - 5 x + 6)$
: entonces $x^{3} - 4 x + 6 = (x + 1) (x - 2) (x - 3)$

■

Ejemplo 124.

Factorice $P (x)$ (si se posible), donde:

P (x) = 2 x^{4} - 4 x^{2} - 6 x - 4

Solución.

En este caso:

: $D_{- 4}$ $= {1, - 1, 2, - 2, 4, - 4}$ Divisores enteros de $- 4$
: $D_{2}$ $= {1, 2}$ Divisores naturales de $2$
: $D = {1, - 1, 2, - 2, 4, - 4, \frac{1}{2}, \frac{- 1}{2}}$

El paso siguiente es determinar algún $α$ , $α \in D$ , tal que $P (α) = 0$

Calculemos $P (1)$ por división sintética:

2	0	-4	-6	-4	1

	2	2	-2	-8

2	2	-2	-8	-12

Como $P (1) = - 12$ , $x - 1$ no es un factor de $P (x)$

Calculemos $P (- 1)$ por división sintética:

2	0	-4	-6	-4	-1

	-2	2	2	4

2	-2	-2	-4	0

De aquí se tiene que $P (- 1) = 0$ y además

2 x^{4} - 4 x^{2} - 6 x - 4 = (x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 4)

(3.19)

Sea $C (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 4$ que es un polinomio de grado $3$ , debemos encontrar un $β$ , $β \in D$ tal que $C (β) = 0$

Calculemos $C (2)$ por división sintética:

2	-2	-2	-4	2

	4	4	4

2	2	2	0

De aquí se tiene que $C (2) = 0$ y además

2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 4 = (x - 2) (2 x^{2} + 2 x + 2)

(3.20)

Como $2 x^{2} + 2 x + 2$ es de grado $2$ , podemos utilizar alguno de los métodos de factorización estudiados para polinomios de este tipo.

Por fórmula general se tiene que en $2 x^{2} + 2 x + 2$

: $Δ = {(2)}^{2} - 4 (2) (2)$
: $Δ = 4 - 16$
: $Δ = - 12$

Como $Δ < 0$ entonces $2 x^{2} + 2 x + 2$ no es factorizable en el conjunto de los números reales.

Así,: por 3.19 y 3.20 se tiene que:
: $2 x^{4} - 4 x^{2} - 6 x - 4 = (x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - 4)$
$∴$: $2 x^{4} - 4 x^{2} - 6 x - 4 = (x + 1) (x - 2) (2 x^{2} + 2 x + 2)$

$\cdot$

■

Ejemplo 125.

Factorice $P (x)$ (si se posible), donde:

P (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x

Solución.

Factorizando $P (x)$ por factor común se tiene que:

P (x) = x (x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8)

(3.21)

Sea $P_{1} (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$ , para $P_{1} (x)$ se tiene:

: $D_{8} = {1, - 1, 2, - 2, 4, - 4, 8, - 8}$
: $D_{1} = {1}$
: $D = {1, - 1, 2, - 2, 4, - 4, 8, - 8}$

Calculando $P_{1} (1)$ y $P_{1} (- 1)$ se tiene que

: $P_{1} (1) = 3$ y $P_{1} (- 1) = 9$

Calculemos $P_{1} (2)$ (por división sintética):

1	-2	-4	8	2

	2	0	-8

1	0	-4	0

De aquí se tiene que $P_{1} (2) = 0$ y además

: $x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8 = (x - 2) (x^{2} - 4)$

y como $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ entonces

x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8 = (x - 2) (x - 2) (x + 2)

(3.22)

Así por 3.21 y 3.22 se tiene que:

: $x^{4} - 2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x = x (x - 2) (x - 2) (x + 2)$

■

Ejemplo 126.

Factorice $P (x)$ (si se posible), donde:

P (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 3

Solución.

En este caso:

: $D_{3} = {1, - 1, 3, - 3}$
: $D_{1} = {1}$
: $D = {1, - 1, 3, - 3}$

Calculando $P (1)$ , $P (- 1)$ , $P (3)$ y $P (- 3)$ se tiene que:

: $P (1) = 12$ , $P (- 1) = 2$ , $P (3) = 78$ , $P (- 3) = 0$

Dividiendo $P (x)$ por $(x + 3)$ , (usando división sintética), obtenemos:

1	4	4	3	-2

	-3	-3	-3

1	1	1	0

y por lo tanto:

: $x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 3 = (x + 3) (x^{2} + x + 1)$

factorice, si es posible, $x^{2} + x + 1$ , para esto se tiene que:

: $Δ = {(1)}^{2} - 4 (1) (1)$
: $Δ = 1 - 4$
: $Δ = - 3$

Como $Δ < 0$ entonces $x^{2} + x + 1$ no es factorizable en el conjunto de los números reales.

Así se tiene que:

: $x^{3} + 4 x^{2} + 4 x + 3 = (x + 3) (x^{2} + x + 1)$

■

Ejemplo 127.

Factorice $P (x)$ (si se posible), donde:

P (x) = x^{4} - 8 x^{2} - 9

Solución.

En este caso:

: $D_{- 9} = {1, - 1, 3, - 3, 9, - 9}$
: $D_{1} = {1}$
: $D = {1, - 1, 3, - 3, 9, - 9}$

Calculando $P (1)$ y $P (- 1)$ se tiene que: $P (1) = - 16$ , $P (- 1) = - 16$

Calculemos $P (3)$ por división sintética:

1	0	-8	0	-9	3

	3	9	3	9

1	3	1	3	0

De aquí se tiene que $P (3) = 0$ y además:

: $x^{4} - 8 x^{2} - 9 = (x - 3) (x^{3} + 3 x^{2} + x + 3)$

Sea $P_{1} (x) = x^{3} + 3 x^{2} + x + 3$

Como $1$ y $- 1$ no son ceros de $P (x)$ , tampoco lo son de $P_{1} (x)$ ; por lo que los posibles ceros de $P_{1} (x)$ serían los restantes elementos de $D$ .

Calculando $P_{1} (3)$ se tiene que $P_{1} (3) = 60$

Calculemos $P_{1} (- 3)$ por división sintética:

1	3	1	3	-3

	-3	0	-3

1	0	1	0

De aquí se tiene que $P_{1} (- 3) = 0$ y además

: $x^{3} + 3 x^{2} + x + 3 = (x + 3) (x^{2} + 1)$

factoricemos, si es posible $x^{2} + 1$

Para $x^{2} + 1$ se tiene que:

: $Δ = 0^{2} - 4 (1) (1)$
: $Δ = - 4$

Como $Δ < 0$ , entonces $x^{2} + 1$ no es factorizable en el conjunto de los números reales.

Así se tiene que:

: $x^{3} + 3 x^{2} + x + 3 = (x + 3) (x^{2} + 1)$ y por lo tanto $x^{4} - 8 x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3) (x^{2} + 1)$

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Factorización de polinomios de grado mayor que 2, con coeficientes enteros

Factorización de polinomios de grado mayor que $2$ , con coeficientes enteros