Función valor absoluto

8. Función valor absoluto

Nuestro objetivo en este capítulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma $ax + b$ , donde $a$ y $b$ son constantes reales con $a \neq 0$ , y $x$ es una variable real.

Para esto conviene recordar la definición de valor absoluto siguiente:

Para cada número real $x$ , se define su valor absoluto (y se denota $| x |$ ) de la siguiente manera:

$\| x \|$	$=$	$x$	$si$	$x$	$\geq$	$0$

			$o$

$\| x \|$	$=$	$- x$	$si$	$x$	$<$	$0$

Esta definición frecuentemente se denota de la siguiente manera:

| x | = {\begin{matrix} x & si & x \geq 0 \end{matrix}

Aplicando esta definición a expresiones de la forma $ax + b$ se tiene:

| ax + b | = {\begin{matrix} ax + b & si & ax + b \geq 0 \end{matrix}

Usando la definición de valor absoluto se tiene:

■

Ejemplo 9.

$| x + 5 | = {\begin{matrix} x + 5 & si & x + 5 \geq 0 \end{matrix}$


$pero:$	$x + 5 \geq 0$	$⟺$	$x \geq - 5$

$y$	$x + 5 < 0$	$⟺$	$x < - 5$

$∴ | x + 5 | = {\begin{matrix} x + 5 & si & x \geq - 5 \end{matrix}$

Para efectos de lograr mayor claridad podemos resumir esta información en la tabla siguiente:

- \infty

- 5

+ \infty



$\| x + 5 \|$	$- (x + 5)$	$x + 5$

■

Ejemplo 10.

$| x - 7 | = {\begin{matrix} x - 7 & si & x - 7 \geq 0 \end{matrix}$


$pero:$	$x - 7 \geq 0$	$⟺$	$x \geq 7$

$y$	$x - 7 < 0$	$⟺$	$x < 7$

$∴ | x - 7 | = {\begin{matrix} x - 7 & si & x \geq 7 \end{matrix}$

y en forma resumida podemos escribir:

- \infty

7

+ \infty



$\| x - 7 \|$	$- (x - 7)$	$x - 7$

■

Ejemplo 11.

$| - 2 x + 3 | = {\begin{matrix} - 2 x + 3 & si & - 2 x + 3 \geq 0 \end{matrix}$


$pero:$	$- 2 x + 3 \geq 0$	$⟺$	$- 2 x \geq - 3$ ,	$o sea$	$x \leq \frac{3}{2}$

$y$	$- 2 x + 3 < 0$	$⟺$	$- 2 x < - 3$ ,	$o sea$	$x > \frac{3}{2}$

$∴ | - 2 x + 3 | = {\begin{matrix} - 2 x + 3 & si & x \geq \frac{3}{2} \end{matrix}$

y en forma resumida podemos escribir:

- \infty

3 ∕ 2

+ \infty



$\| - 2 x + 3 \|$	$- 2 x + 3$	$- (- 2 x + 3)$

■

Ejemplo 12.

$| - 3 - 5 x | = {\begin{matrix} - 3 - 5 x & si & - 3 - 5 x \geq 0 \end{matrix}$


$pero:$	$- 3 - 5 x \geq 0$	$⟺$	$- 5 x \geq 3$ ,	$o sea$	$x \leq \frac{- 3}{5}$

$y$	$- 3 - 5 x < 0$	$⟺$	$- 5 x < 3$ ,	$o sea$	$x > \frac{- 3}{5}$

$∴ | - 3 - 5 x | = {\begin{matrix} - 3 - 5 x & si & x \leq \frac{- 3}{5} \end{matrix}$

y en forma resumida podemos escribir:

- \infty

- 3 ∕ 5

+ \infty



$\| - 3 - 5 x \|$	$- 3 - 5 x$	$- (- 3 - 5 x)$

8.1 Propiedades del valor absoluto

Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.

Proposición 1.

$\forall x, x \in ℝ : | x | \geq 0$

Demostración

$x \in ℝ : | x | = {\begin{matrix} x & si & x \geq 0 \end{matrix}$

Hay dos posibles casos:

Caso 1: $x \geq 0$

$x \geq 0 ⟹ | x | = x$

$∴ | x | \geq 0$

Caso 2: $x < 0$

$x < 0 ⟹ | x | = - x$

$∴ | x | \geq 0; pues x < 0 ⟹ - x > 0$

Proposición 2.

Si $x \in ℝ y | x | = 0 entonces x = 0$

Demostración: (ejercicio para el estudiante)

Proposición 3.

Si $x \in ℝ, y \in ℝ entonces | x \cdot y | = | x | | y |$

Demostración

Para demostrar esta propiedad conviene recordar que:

$\forall a, a \in ℝ : | a | = \sqrt[n]{a^{n}}, si n es par (ver página 94)$

en particular:

$| a | = \sqrt{a^{2}}; \forall a, a \in ℝ$

Usando esta definición se tiene que:

$| xy | = \sqrt{{(xy)}^{2}} = \sqrt{x^{2} y^{2}} = \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{y^{2}} = | x | \cdot | y |$

$∴ = | x | \cdot | y |$

Proposición 4.

$\forall x, x \in ℝ : | - x | = | x |$

Demostración:(ejercicio para el estudiante)

Proposición 5.

Si $x \in ℝ, y \in ℝ, y \neq 0 entonces | \frac{x}{y} | = \frac{| x |}{| y |}$

Demostración

Aquí también usaremos el hecho que:

$\forall a, a \in ℝ : | a | = \sqrt{a^{2}}$

Si $x \in ℝ, y \in ℝ, y \neq 0 entonces \frac{x}{y} \in ℝ$

$∴ | \frac{x}{y} | = \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2}} = \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}}} = \frac{\sqrt{x^{2}}}{\sqrt{y^{2}}} = \frac{| x |}{| y |}$

$| \frac{x}{y} | = \frac{| x |}{| y |}$

Proposición 6.

$\forall x, x \in ℝ : | x |^{2} = x^{2}$

Demostración

$\forall x, x \in ℝ :$ , se tiene que:

$| x | = \sqrt{x^{2}}$

$\Rightarrow | x |^{2} = {(\sqrt{x^{2}})}^{2}$

$\Rightarrow | x |^{2} = x^{2} pues \forall a, a \in ℝ (\sqrt{a} \in ℝ ⟹ {(\sqrt{a})}^{2} = a)$

$∴ \forall x, x \in ℝ : | x |^{2} = x^{2}$

Proposición 7.

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:

$| x | = k ⟺ x = k ó x = - k$

Demostración:

Como $| x | = \sqrt{x^{2}}, se tiene:$


	$\| x \|$	$=$	$k$

$⟺$	$\sqrt{x^{2}}$	$=$	$k$

$⟺$	${(\sqrt{x^{2}})}^{2}$	$=$	$k^{2}$

$⟺$	$x^{2}$	$=$	$k^{2}$

$⟺$	$x^{2} - k^{2}$	$=$	$0$

$⟺$	$(x - k) (x + k)$	$=$	$0$

⟺

x = k

x = - k

∴ | x | = k ⟺ x = k o x = - k

Proposición 8.

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:

$| x | < k ⟺ - k < x < k$

Demostración:

Como $| x | = \sqrt{x^{2}}$ , se tiene:


	$\| x \|$	$<$	$k$

$⟺$	$\sqrt{x^{2}}$	$<$	$k$

$⟺$	${(\sqrt{x^{2}})}^{2}$	$<$	$k^{2}$

$⟺$	$x^{2}$	$<$	$k^{2}$

$⟺$	$x^{2} - k^{2}$	$<$	$0$

$⟺$	$(x - k) (x + k)$	$<$	$0$

Resolviendo esta inecuación:

- \infty

- k

k

+ \infty



$x - k$	$-$	$-$	$+$


$x + k$	$-$	$+$	$+$


$(x - k) (x + k)$	$+$	$-$	$+$

De aquí se tiene:

$(x - k) (x + k) < 0 ⟺ x \in] - k, k [$

o sea: $- k < x < k$

$∴ | x | < k ⟺ - k < x < k$

Proposición 9.

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:

$| x | > k ⟺ x > k o x < - k$

Demostración:

Esta propiedad se demuestra en forma similar a la propiedad 8, ya demostrada, dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.

Proposición 10.

Sea $x$ una variable real y $k$ un número real positivo entonces:

$i .)$: $| x | \leq k ⟺ - k \leq x \leq k$
$ii .)$: $| x | \geq k ⟺ x \geq k o x \leq k$

Demostración:

El procedimiento usado para demostrar esta propiedad es similar al usado para demostrar la propiedad 8. Dejaremos esta demostración como ejercicio para el estudiante.

Proposición 11.

$\forall x, x \in ℝ : - | x | \leq x \leq | x |$

Demostración:

Sabemos que $\forall x, x \in ℝ : | x | = {\begin{matrix} x & si & x \geq 0 \end{matrix}$

Caso 1: $x \geq 0$

x \geq 0 ⟹ x = | x | ∴ x \leq | x |

(2.1)

Además como | x | \geq 0 entonces - | x | \leq 0 y como x \geq 0 entonces: - | x | \leq x

(2.2)

Así por 2.1 y 2.2 se tiene que:

$- | x | \leq x y x \leq | x |$

∴ - | x | \leq x \leq | x |

(2.3)

Caso 2: $x < 0$


$x < 0$	$⟹$	$\| x \|$	$=$	$- x$

	$⟹$	$- \| x \|$	$=$	$x$

	$∴$	$- \| x \|$	$\leq$	$x$	$(∗∗∗)$

Además como $x < 0 y | x | \geq 0$ entonces

x \leq | x |

(2.4)

Así por $(∗∗∗)$ y 2.4 se tiene que:

$- | x | \leq x y x \leq | x |$

∴ - | x | \leq x \leq | x |

(2.5)

Por lo tanto de 2.3 y 2.5 se concluye que:

$\forall x, x \in ℝ : - | x | \leq x \leq | x |$

Proposición 12.

(desigualdad triangular) Si $x \in ℝ, y \in ℝ entonces | x + y | \leq | x | + | y |$

Demostración:

Antes de demostrar esta propiedad, es necesario conocer el siguiente lema:

Lema 1.

Sean $a \in ℝ, b \in ℝ, c \in ℝ, d \in ℝ$

Si $a \leq b y c \leq d entonces a + c \leq b + d$

Demostración:(del lema)

Supongamos que $a \leq b y c \leq d$ , hay que demostrar que $a + c \leq b + d$

$i .)$: $a \leq b ⟹ a + c \leq b + c$
$ii .)$: $c \leq d ⟹ b + c \leq b + d$

por $i .)$ y $ii .)$ se tiene que $a + c \leq b + d$

Nota: El lema anterior expresa que si se tienen desigualdades $a \leq b y c \leq d$ podemos sumar miembro a miembro estas desigualdades de la manera siguiente:

$a$	$\leq$	$b$

$c$	$\leq$	$d$


$a + c$	$\leq$	$b + d$

Estamos ahora en condiciones de demostrar la desigualdad triangular.

Demostración de la Propiedad (desigualdad triangular).

$\forall x, x \in ℝ, \forall y, y \in ℝ$ , se tiene que:

$- | x | \leq x \leq | x | y$

$- | y | \leq y \leq | y |$

Sumando miembro a miembro estas desigualdades se tiene:

$- | x | + - | y | \leq x + y \leq | x | + | y |$

$∴ - (| x | + | y |) \leq x + y \leq | x | + | y |$

$∴ | x + y | \leq | x | + | y |$ por la propiedad $(10 . i)$

8.2 Ecuaciones que involucran valor absoluto

A continuación resolveremos algunas ecuaciones que involucran valor absoluto, para esto utilizaremos, siempre que sea posible, algunas propiedades enunciadas anteriormente y en los que no sea posible aplicar alguna de dichas propiedades, resolveremos las ecuaciones correspondientes usando la definición de valor absoluto. Además es importante tener en cuenta que toda ecuación que involucre valor absoluto se puede resolver usando la definición.

■

Ejemplo 13.

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones

1.: $| 2 x - 3 | = 7$
2.: $| x | = 5$
3.: $| x - 3 | = - 3$
4.: $| x + 8 | = 0$
5.: $| 2 x + 3 | = - 9$
6.: $| x + 3 | = 5 + x$
7.: $| 1 - 3 x | + x = - 3$
8.: $3 | x + 4 | - 2 = x$
9.: $\sqrt[4]{{(2 x - 15)}^{4}} = 10$
10.: $\sqrt{{(3 - 2 x)}^{2}} + x = 3$
11.: $2 \sqrt[4]{{(5 - 4 x)}^{4}} = x + 2$

Solución.

1.)

| 2 x - 3 | = 7

Por la propiedad 10

	$\| 2 x - 3 \| = 7$

$⟺$	$2 x - 3$	=	$7$	o	$2 x - 3$	=	$- 7$
$⟺$	$2 x$	=	$10$	o	$2 x$	=	$- 4$
$⟺$	$x$	=	$5$	o	$x$	=	$- 2$

$∴ S = {- 2, 5}$

Observación: Como dijimos anteriormente, todas las ecuaciones que involucran valor absoluto se pueden resolver usando la definición. Para ilustrar esto resolveremos la ecuación anterior usando la definición de valor absoluto.

$| 2 x - 3 | = 7$

por definición

$| 2 x - 3 | = {\begin{matrix} 2 x - 3 & si & 2 x - 3 \geq 0 \end{matrix}$


$pero:$	$2 x - 3 \geq 0$	$⟺$	$2 x \geq 3$ ;	$o sea$	$x \geq \frac{3}{2}$

$y$	$2 x - 3 < 0$	$⟺$	$2 x < 3$ ;	$o sea$	$x < \frac{3}{2}$

$∴ | 2 x - 3 | = {\begin{matrix} 2 x - 3 & si & x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x - 3) & si & x < \frac{3}{2} \end{matrix}$

Con esta información construimos la tabla siguiente:

- \infty

3 ∕ 2

+ \infty



$\| 2 x - 3 \|$	$- (2 x - 3)$	$2 x - 3$


$\| 2 x - 3 \| = 7$	$- (2 x - 3) = 7$	$2 x - 3 = 7$

	$- 2 x + 3 = 7$	$2 x = 10$

	$- 2 x = 4$	$x = 5$

	$x = - 2$

	$como - 2 \in] - \infty, \frac{3}{2} [$	$como 5 \in] \frac{3}{2}, + \infty [$

	$∴ S_{1} = {$ -2 $}$	$∴ S_{2} = {$ 5 $}$

Así el conjunto solución es $S = S_{1} \cup S_{2} o sea S = {$ -2,5 $}$

2.)

| x | = 5

Por la propiedad 10:

$| x | = 5 ⟺ x = 5 o x = - 5$

$∴ S = {- 5, 5}$

3.)

| x - 3 | = - 3

Por la propiedad 1, $| x - 3 | \geq 0, \forall x, x \in ℝ$ , por lo tanto:

$| x - 3 | = - 3$ !Nunca!

$∴ S = \emptyset$

4.)

| x + 8 | = 0

Por la propiedad 2,


$\| x + 8 \| = 0$	$⟺$	$x + 8$	$=$	$0$

	$⟺$	$x$	$=$	$- 8$

$∴ S = {- 8}$

5.)

| 2 x + 3 | = - 9

Por la propiedad 2, $| 2 x + 3 | \geq 0, \forall x, x \in ℝ$

$∴ | 2 x + 3 | = - 9 ¡Nunca!$

$∴ S = \emptyset$

6.)

| x + 3 | = 5 + x

Nota: En este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades anteriores, por lo que procedemos de la siguiente manera:

| x + 3 | = {\begin{matrix} x + 3 & si & x + 3 \geq 0 \\ - (x + 3) & si & x + 3 < 0 \end{matrix}

o sea:

| x + 3 | = {\begin{matrix} x + 3 & si & x \geq - 3 \\ - (x + 3) & si & x < - 3 \end{matrix}

Con esta información construimos la siguiente tabla:

- \infty

- 3

+ \infty



$\| x + 3 \|$	$- (x + 3)$	$x + 3$


$\| x + 3 \| = 5 + x$	$- (x + 3) = 5 + x$	$x + 3 = 5 + x$

	$Resolviendo esta ecuación:$	$Resolviendo esta ecuación:$

	$- x - 3 = 5 + x$	$x + 3 = 5 + x$

	$- x - x = 5 + 3$	$x - x = 5 - 3$

	$- 2 x = 8$	$0 = 2$

	$x = - 4$

	$como - 4 \in] - \infty, - 3 [$

	$∴ S_{1} = {- 4}$	$∴ S_{2} = \emptyset$

Así el conjunto solución $S de | x + 3 | = 5 + x es S_{1} \cup S_{2}, o sea S = {- 4}$

7.)

| 1 - 3 x | + x = - 3

En este caso debemos proceder como en el ejemplo anterior:

| 1 - 3 x | = {\begin{matrix} 1 - 3 x & si & 1 - 3 x \geq 0 \\ - (1 - 3 x) & si & 1 - 3 x < 0 \end{matrix}


$pero:$	$1 - 3 x \geq 0$	$⟺$	$- 3 x \geq - 1$ ,	$o sea$	$x \leq \frac{1}{3}$

$y$	$1 - 3 x < 0$	$⟺$	$- 3 x < - 1$ ,	$o sea$	$x > \frac{1}{3}$

| 1 - 3 x | = {\begin{matrix} 1 - 3 x & si & x \leq \frac{1}{3} \\ - (1 - 3 x) & si & x > \frac{1}{3} \end{matrix}

Con esta información construiremos la siguiente tabla:

- \infty

1 ∕ 3

+ \infty



$\| 1 - 3 x \|$	$1 - 3 x$	$- (1 - 3 x)$


$\| 1 - 3 x \| + x = - 3$	$1 - 3 x + x = - 3$	$- (1 - 3 x) + x = - 3$

	$- 2 x = - 4$	$- 1 + 3 x + x = - 3$

	$x = 2$	$4 x = - 2$

	$Como 2 \notin] - \infty, \frac{1}{3}]$	$x = \frac{- 1}{2}$

		$como \frac{- 1}{2} \notin] \frac{1}{3}, + \infty [$

	$∴ S_{1} = \emptyset$	$entonces:$

		$∴ S_{2} = \emptyset$

Así el conjunto solución $S de | 1 - 3 x | + x = - 3 es S_{1} \cup S_{2} o sea S = \emptyset$

8.)

3 | x + 4 | - 2 = x

En este caso:

| x + 4 | = {\begin{matrix} x + 4 & si & x + 4 \geq 0 \\ - (x + 4) & si & x + 4 < 0 \end{matrix}

o sea:

| x + 4 | = {\begin{matrix} x + 4 & si & x \geq - 4 \\ - (x + 4) & si & x < - 4 \end{matrix}

Con esta información construimos la siguiente tabla:

- \infty

- 4

+ \infty



$\| x + 4 \|$	$- (x + 4)$	$x + 4$


$3 \| x + 4 \| - 2 = x$	$3 [- (x + 4)] - 2 = x$	$3 (x + 4) - 2 = x$

	$3 [- x - 4] - 2 = x$	$3 x + 12 - 2 = x$

	$- 3 x - 12 - 2 = x$	$3 x - x + 10 = 0$

	$- 3 x - 14 - x = 0$	$2 x = - 10$

	$- 4 x = 14$	$x = - 5$

	$x = \frac{- 14}{4}$	$Como - 5 \notin [- 4, + \infty [$

	$x = \frac{- 7}{2}$	$entonces: S_{2} = \emptyset$

	$Como - 7 ∕ 2 \notin] - \infty, - 4]$

	$entonces: S_{1} = \emptyset$

De aquí se tiene que el conjunto solución $S de 3 | x - 4 | - 2 = x es vacío o sea S = \emptyset$

9.)

\sqrt[4]{{(2 x - 15)}^{4}} = 10

$\sqrt[4]{{(2 x - 15)}^{4}} = 10$	$⟺$

$\| 2 x - 15 \| = 10$	$⟺$	$2 x - 15 = 10$	$o$	$2 x - 15 = - 10$

	$⟺$	$2 x = 25$	$o$	$2 x = 5$

	$⟺$	$x = \frac{25}{2}$	$o$	$x = \frac{5}{2}$

$∴ S = {\frac{25}{2}, \frac{5}{2}}$

10.)

\sqrt{{(3 - x)}^{2}} = 5

$\sqrt{{(3 - x)}^{2}} = 5$	$⟺$

$\| 3 - x \| = 5$	$⟺$	$3 - x = 5$	$o$	$3 - x = - 5$

	$⟺$	$- x = 2$	$o$	$- x = - 8$

	$⟺$	$x = - 2$	$o$	$x = 8$

$∴ S = {- 2, 8}$

11.)

\sqrt{{(3 - 2 x)}^{2}} + x = 3

$\sqrt{{(3 - 2 x)}^{2}} + x$	$=$	$3$	$⟺$

$\| 3 - 2 x \| + x$	$=$	$3$

Pero:

$| 3 - 2 x | = {\begin{matrix} 3 - 2 x & si & 3 - 2 x \geq 0 \\ - (3 - 2 x) & si & 3 - 2 x < 0 \end{matrix}$


$Como:$	$3 - 2 x \geq 0$	$⟺$	$- 2 x \geq - 3$ ,	$o sea$	$x \leq \frac{3}{2}$

$y$	$3 - 2 x < 0$	$⟺$	$- 2 x < - 3$ ,	$o sea$	$x > \frac{3}{2}$

$∴ | 3 - 2 x | = {\begin{matrix} 3 - 2 x & si & x \leq \frac{3}{2} \\ - (3 - 2 x) & si & x > \frac{3}{2} \end{matrix}$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

- \infty

3 ∕ 2

+ \infty



$\| 3 - 2 x \|$	$3 - 2 x$	$- (3 - 2 x)$


$\| 3 - 2 x \| + x = 3$	$3 - 2 x + x = 3$	$- (3 - 2 x) + x = 3$

	$- x = 3 - 3$	$- 3 + 2 x + x = 3$

	$- x = 0$	$3 x = 6$

	$x = 0$	$x = 2$

	$como 0 \in] - \infty, \frac{3}{2} [$	$como 2 \in] \frac{3}{2}, + \infty [$

	$∴ S_{1} = {0}$	$∴ S_{2} = {2}$

De aquí se tiene que el conjunto solución $S de \sqrt{{(3 - 2 x)}^{2}} + x = 3 es {0, 2} o sea; S = {0, 2}$

12.)

2 \sqrt[4]{{(5 - 4 x)}^{4}} = x + 2

$2 | 5 - 4 x | = x + 2$

Pero: $| 5 - 4 x | = {\begin{matrix} 5 - 4 x & si & 5 - 4 x \geq 0 \\ - (5 - 4 x) & si & 5 - 4 x < 0 \end{matrix}$


$Como:$	$5 - 4 x \geq 0$	$⟺$	$- 4 x \geq - 5$ ,	$o sea$	$x \leq \frac{5}{4}$

$y$	$5 - 4 x < 0$	$⟺$	$- 4 x < - 5$ ,	$o sea$	$x > \frac{5}{4}$

$∴ | 5 - 4 x | = {\begin{matrix} 5 - 4 x & si & x \leq \frac{5}{4} \\ - (5 - 4 x) & si & x > \frac{5}{4} \end{matrix}$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

- \infty

5 ∕ 4

+ \infty



$\| 5 - 4 x \|$	$5 - 4 x$	$- (5 - 4 x)$


$2 \| 5 - 4 x \| = x + 2$	$2 (5 - 4 x) = x + 2$	$2 [- (5 - 4 x)] = x + 2$

	$10 - 8 x = x + 2$	$2 [- 5 + 4 x] = x + 2$

	$- 8 x - x = 2 - 10$	$- 10 + 8 x = x + 2$

	$- 9 x = - 8$	$8 x - x = 2 + 10$

	$x = \frac{8}{9}$	$7 x = 12$

		$x = \frac{12}{7}$

	$como \frac{8}{9} \in] - \infty, \frac{5}{4} [$	$como \frac{12}{7} \in] \frac{5}{4}, + \infty [$

	$∴ S_{1} = {\frac{8}{9}}$	$∴ S_{2} = {\frac{12}{7}}$

De aquí se tiene que el conjunto solución $S de 2 \sqrt[4]{{(5 - 4 x)}^{4}} = x + 3 es {\frac{8}{9}, \frac{12}{7}}, o sea S = {\frac{8}{9}, \frac{12}{7}}$

■

Ejemplo 14.

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.): $| x | = 7$
2.): $| 2 x + 5 | = - 8$
3.): $| - 2 x + 9 | = 11$
4.): $- 3 | 3 - 2 x | = - 12$
5.): $| 3 x + 2 | = x + 1$
6.): $2 | 2 x - 5 | = x - 3$
7.): $3 | - 5 x - 1 | = - 2 x + 3$
8.): $- 1 - 2 | 5 - 3 x | = x$
9.): $\sqrt[6]{{(2 x + 1)}^{6}} = 3$
10.): $- 2 \sqrt{{(1 - 7 x)}^{2}} = - 6$
11.): $\sqrt{{(x - 2)}^{2}} + 3 x = 6$
12.): $x + 2 \sqrt[4]{{(x - 6)}^{4}} = 5$
13.): $2 | x | + | x - 1 | = 4$
14.): $| 2 x - 3 | - 2 | x | = 3$
15.): $| \frac{x - 1}{x + 1} | = 2$
16.): $2 | 3 x - 1 | = \sqrt{{(x - 7)}^{2}}$
17.): $2 | 2 - x | + | 2 x - 1 | = x$
18.): $| 3 - 2 x | - 3 | x + 2 | - x = 0$

Nota: En las ecuaciones, que resolveremos a continuación, omitiremos algunos pasos al escribir la definición de cada uno de los valores absolutos involucrados.

Solución.

1.)

2 | x | + | x - 1 | = 4

En este caso se tiene que:

a.): $| x | = {\begin{matrix} x & si & x \geq 0 \end{matrix}$
b.): $| x - 1 | = {\begin{matrix} x - 1 & si & x \geq 1 \end{matrix}$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

- \infty

0

1

+ \infty



$\| x \|$	$- x$	$x$	$x$


$\| x - 1 \|$	$- (x - 1)$	$- (x - 1)$	$x - 1$


$2 \| x \| + \| x - 1 \| = 4$	$2 x + - (x - 1) = 4$	$2 x + - (x - 1) = 4$	$2 (- x) + (x - 1) = 4$

	$- 2 x - x + 1 = 4$	$2 x - x + 1 = 4$	$2 x + x - 1 = 4$

	$- 3 x = 3$	$x = 3$	$3 x = 5$

	$x = - 1$	$x = \frac{5}{3}$

	$como - 1 \in] - \infty, 0 [$	$Como 3 \notin] 0, 1 [$	$como \frac{5}{3} \in] \frac{5}{3}, + \infty [$

	$∴ S_{1} = {- 1}$	$∴ S_{2} = \emptyset$	$∴ S_{2} = {\frac{5}{3}}$

De aquí se tiene que el conjunto solución de $2 | x | + | x - 1 | = 4$ es $S$ donde $S = S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3}$

$∴ S = {- 1, \frac{5}{3}}$

2.)

| 2 x - 3 | - 2 | x | = 3

En este caso se tiene que:

a.): $| 2 x - 3 | = {\begin{matrix} 2 x - 3 & si & x \geq \frac{3}{2} \end{matrix}$
b.): $| x | = {\begin{matrix} x & si & x \geq 0 \end{matrix}$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

- \infty

0

3 ∕ 2

+ \infty



$\| 2 x - 3 \|$	$- (2 x - 3)$	$- (2 x - 3)$	$2 x - 3$


$\| x \|$	$- x$	$x$	$x$


$\| 2 x - 3 \| - 2 \| x \| = 3$	$- (2 x - 3) - 2 (- x) = 3$	$- (2 x - 3) - 2 (x) = 3$	$2 x - 3 - 2 x = 3$

	$- 2 x + 3 + 2 x = 3$	$- 2 x + 3 - 2 x = 3$	$- 3 = 3$

	$3 = 3$	$- 4 x = 0$	$∴ S_{3} = \emptyset$

	$∴ S_{1} =] - \infty, 0 [$	$x = 0$

		$como 0 \in] 0, \frac{3}{2} [$

		$∴ S_{2} = {0}$

De aquí que el conjunto solución de $| 2 x - 3 | - 2 | x | = 3 es S = S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} ∴ S =] - \infty, 0]$

3.)

| \frac{x - 1}{x + 1} | = 2


$\| \frac{x - 1}{x + 1} \| = 2$	$⟺$	$\frac{\| x - 1 \|}{\| x + 1 \|}$	$=$	$2$ ,	$por la propiedad 5$

	$⟺$	$\| x - 1 \|$	$=$	$2 \| x + 1 \|$	$(∗), con x \neq - 1$

	$⟺$	$\| x - 1 \|^{2}$	$=$	${(2 \| x + 1 \|)}^{2}$

	$⟺$	$\| x - 1 \|^{2}$	$=$	$4 \| x + 1 \|^{2}$

	$⟺$	${(x - 1)}^{2}$	$=$	$4 {(x + 1)}^{2}$ ,	$por la propiedad 6$

	$⟺$	$x^{2} - 2 x + 1$	$=$	$4 (x^{2} + 2 x + 1)$

	$⟺$	$x^{2} - 2 x + 1$	$=$	$4 x^{2} + 8 x + 4$

	$⟺$	$- 3 x^{2} - 10 x - 3$	$=$	$0$

	$⟺$	$3 x^{2} + 10 x + 3$	$=$	$0$

Resolviendo esta ecuación por fórmula general:


$△$	$=$	$100 - 4 (3) (3)$

$△$	$=$	$100 - 36$

$△$	$=$	$64$

$x_{1}$	$=$	$\frac{- 10 + 8}{6}$	$⟹$	$x_{1} = \frac{- 1}{3}$

$x_{2}$	$=$	$\frac{- 10 - 8}{6}$	$⟹$	$x_{2} = - 3$

De aquí se tiene que el conjunto solución de $| \frac{x - 1}{x + 1} | = 2 es S, donde$

$S = {- 3, \frac{- 1}{3}}$

Nota: A partir de $(∗)$ esta ecuación se puede resolver utilizando un procedimiento similar al usado en los ejemplos $(1)$ y $(2)$ anteriores.

4.)

2 | 3 x - 1 | = \sqrt{{(x - 7)}^{2}}


$⟺$	$2 \| 3 x - 1 \|$	$=$	$\| x - 7 \|$	$(∗) (Ver nota anterior)$

$⟺$	${(2 \| 3 x - 1 \|)}^{2}$	$=$	$\| x - 7 \|^{2}$

$⟺$	$4 \| 3 x - 1 \|^{2}$	$=$	$\| x - 7 \|^{2}$

$⟺$	$4 {(3 x - 1)}^{2}$	$=$	${(x - 7)}^{2}$

$⟺$	$4 (9 x^{2} - 6 x + 1)$	$=$	$x^{2} - 14 x + 49$

$⟺$	$36 x^{2} - 24 x + 4$	$=$	$x^{2} - 14 x + 49$

$⟺$	$35 x^{2} - 10 x - 45$	$=$	$0$

$⟺$	$7 x^{2} - 2 x - 9$	$=$	$0$

Resolviendo esta ecuación por fórmula general:


$△$	$=$	$4 - 4 (7) (- 9)$

$△$	$=$	$4 + 252$

$△$	$=$	$256$

$x_{1}$	$=$	$\frac{2 + 16}{14}$	$⟹$	$x_{1} = \frac{9}{7}$

$x_{2}$	$=$	$\frac{2 - 16}{14}$	$⟹$	$x_{2} = - 1$

De aqui se tiene que el conjunto solución de $2 | 3 x - 1 | = \sqrt{{(x - 7)}^{2}} es S donde:$ $S = {\frac{9}{7}, - 1}$

5.)

2 | 2 - x | + | 2 x - 1 | = x

En este caso se tiene que:

a.): $| 2 - x | = {\begin{matrix} 2 - x & si & x \leq 2 \end{matrix}$
b.): $| 2 x - 1 | = {\begin{matrix} 2 x - 1 & si & x \geq \frac{1}{2} \end{matrix}$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

- \infty

1 ∕ 2

2

+ \infty



$\| 2 - x \|$	$2 - x$	$2 - x$	$- (2 - x)$


$\| 2 x - 1 \|$	$- (2 x - 1)$	$2 x - 1$	$2 x - 1$


$2 \| 2 - x \| + \| 2 x - 1 \| = x$	$2 (2 - x) + - (2 x - 1) = x$	$2 (2 - x) + (2 x - 1) = x$	$2 [- (2 - x)] + (2 x - 1) = x$

	$4 - 2 x - 2 x + 1 = x$	$4 - 2 x + 2 x - 1 = x$	$2 [- 2 + x] + 2 x - 1 = x$

	$- 2 x - 2 x - x = - 4 - 1$	$3 = x$	$- 4 + 2 x + 2 x - 1 = x$

	$- 5 x = - 5$	$Como 3 \notin [\frac{- 1}{2}, 2]$	$2 x + 2 x - x = 4 + 1$

	$x = 1$	$entonces:$	$3 x = 5$

	$Como 1 \notin] - \infty, \frac{1}{2} [$	$S_{2} = \emptyset$	$x = \frac{5}{3}$

	$entonces:$		$Como \frac{5}{3} \notin] 2, + \infty [$

	$S_{1} = \emptyset$		$entonces:$

			$S_{3} = \emptyset$

De aquí que el conjunto solución de $2 | 2 - x | + | 2 x - 1 | = x es S, donde$ $S = \emptyset$

6.)

| 3 - 2 x | - 3 | x + 2 | - x = 0

En este caso se tiene que:

a.): $| 3 - 2 x | = {\begin{matrix} 3 - 2 x & si & x \leq \frac{3}{2} \end{matrix}$
b.): $| x + 2 | = {\begin{matrix} x + 2 & si & x \geq - 2 \end{matrix}$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

$- \infty$ $- 2$ $3 ∕ 2$ $+ \infty$


$\| 3 - 2 x \|$	$3 - 2 x$	$3 - 2 x$	$- (3 - 2 x)$


$\| x + 2 \|$	$- (x + 2)$	$x + 2$	$x + 2$


$\| 3 - 2 x \| - 3 \| x + 2 \| - x = 0$	$3 - 2 x - 3 [- (x + 2)] - x = 0$	$3 - 2 x - 3 (x + 2) - x = 0$	$- (3 - 2 x) - 3 (x + 2) - x = 0$

	$3 - 2 x - 3 [- x - 2] - x = 0$	$3 - 2 x - 3 x - 6 - x = 0$	$- 3 + 2 x - 3 x - 6 - x = 0$

	$3 - 2 x + 3 x + 6 - x = 0$	$- 6 x - 3 = 0$	$- 2 x - 9 = 0$

	$9 = 0$	$- 6 x = 3$	$- 2 x = 9$

	$∴ S_{1} = \emptyset$	$x = \frac{- 1}{2}$	$x = \frac{- 9}{2}$

		$como \frac{- 1}{2} \in] - 2, \frac{3}{2} [$	$Como: \frac{- 9}{2} \notin] \frac{3}{2}, + \infty [$

		$∴ S_{2} = {\frac{- 1}{2}}$	$∴ S_{3} = \emptyset$

De aquí que el conjunto solución de $| 3 - 2 x | - 3 | x + 2 | - x = 0 es S, donde$ $S = {\frac{- 1}{2}}$

Ejercicio
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.: $\sqrt{{(4 x - 1)}^{2}} = | 3 - 8 x |$
2.: $| \frac{2 x + 1}{1 - x} | = 3$
3.: $| x + 3 | - | x - 2 | = x$
4.: $\sqrt[4]{{(x + 1)}^{4}} - 3 | x - 2 | = 6$
5.: $| x - 4 | - | \frac{x - 1}{5} | = 4 - x$
6.: $\frac{| x |}{2} + 3 x + 4 = | x - 1 |$

8.3 Inecuaciones que involucran valor absoluto

Resolveremos inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones de la forma $ax + b$ , donde $a$ y $b$ son constantes con $a \neq 0$ y $x$ es una variable real. Para esto utilizaremos la definición de valor absoluto, y en los casos en donde sea posible usar alguna de las propiedades estudiadas, las aplicaremos, con el fin de facilitar el procedimiento de resolución.

■

Ejemplo 15.

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1.): $| x - 2 | < 1$
2.): $| 5 x - 7 | \leq 3$
3.): $| 3 - x | < 4$
4.): $| 5 - 2 x | \leq 7$
5.): $| 2 x - 3 | \leq - 5$
6.): $| 7 - 2 x | \geq - 6$
7.): $| 5 x + 2 | > 0$
8.): $2 | 3 - x | - 10 \geq 0$
9.): $| x - 3 | \leq 2 x - 5$
10.): $| x | + 3 \geq 2 x$
11.): $\sqrt[6]{{(2 x + 1)}^{6}} > 3$
12.): $\sqrt{{(\frac{2}{5} x + 1)}^{2}} - x < 2$

Solución.

1.)

| x - 2 | < 1

Sabemos que:

$| x - 2 | = {\begin{matrix} x - 2 & si & x \geq 2 \end{matrix}$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

$- \infty$ $2$ $+ \infty$


$\| x - 2 \|$	$- (x - 2)$	$x - 2$


$\| x - 2 \| < 1$	$- (x - 2) < 1$	$x - 2 < 1$

	$- x + 2 < 1$	$x < 3$

	$- x < - 1$	$Así debe cumplirse que$

	$x > 1$	$x \geq 2 y x < 3$

	$Así debe cumplirse que$	$∴ S_{2} = [2, 3 [$

	$x < 2 y x > 1$

	$∴ S_{1} =] 1, 2 [$

En consecuencia el conjunto solución $S, de | x - 2 | < 1 es S_{1} \cup S_{2} o sea S =] 1, 3 [$

Nota: La inecuación $| x - 2 | < 1$ y otras similares, se pueden resolver aplicando propiedades del valor absoluto y además algunos resultados que se enuncian a continuación y que aceptaremos sin demostrar.

Resultado:.

$\forall a, a \in ℝ, \forall b, b \in ℝ, \forall c, c \in ℝ, \forall k, k \in ℝ$

$i .)$: $a < b < c ⟺ a + k < b + k < c + k$
$ii .)$: $a \leq b \leq c ⟺ a + k \leq b + k \leq c + k$

Resultado:.

$\forall a, a \in ℝ, \forall b, b \in ℝ, \forall c, c \in ℝ, \forall k, k \in ℝ con k > 0$

$i .)$: $a < b < c ⟺ ak < bk < ck$
$ii .)$: $a \leq b \leq c ⟺ ak \leq bk \leq ck$

Resultado:.

$\forall a, a \in ℝ, \forall b, b \in ℝ, \forall c, c \in ℝ, \forall k, k \in ℝ con k < 0$

$i .)$: $a < b < c ⟺ ak > bk > ck$
$ii .)$: $a \leq b \leq c ⟺ ak \geq bk \geq ck$

Usando estos resultados y las propiedades correspondientes del valor absoluto, $| x - 2 | < 1$ se resuelve así.


$\| x - 2 \| < 1$	$⟺$	$- 1 < x - 2 < 1$

	$⟺$	$- 1 + 2 < x - 2 + 2 < 1 + 2$

	$⟺$	$1 < x < 3$

$∴ S =] 1, 3 [$

2.)

| 5 x - 7 | \leq 3


$\| 5 x - 7 \| \leq 3$	$⟺$	$- 3 \leq 5 x - 7 \leq 3$

	$⟺$	$- 3 + 7 \leq 5 x - 7 + 7 \leq 3 + 7$

	$⟺$	$4 \leq 5 x \leq 10$

	$⟺$	$\frac{1}{5} \cdot 4 \leq \frac{1}{5} \cdot 5 x \leq \frac{1}{5} \cdot 10$

	$⟺$	$\frac{4}{5} \leq x \leq 2$

∴ S = [\frac{4}{5}, 2]

3.)

| 3 - x | < 4


$\| 3 - x \| < 4$	$⟺$	$- 4 < 3 - x < 4$

	$⟺$	$- 3 - 4 < - 3 + 3 - x < - 3 + 4$

	$⟺$	$- 7 < - x < 1$

	$⟺$	$7 > x > - 1$

	$⟺$	$- 1 < x < 7$

$∴ S =] - 1, 7 [$

4.)

| 5 - 2 x | \leq 7

$\| 5 - 2 x \| \leq 7$	$⟺$	$- 7 \leq 5 - 2 x \leq 7$

	$⟺$	$- 7 - 5 \leq - 5 + 5 - 2 x \leq - 5 + 7$

	$⟺$	$- 12 \leq - 2 x \leq 2$

	$⟺$	$\frac{- 1}{2} \cdot (- 12) \geq \frac{- 1}{2} \cdot (- 2 x) \geq \frac{- 1}{2} \cdot 2$

	$⟺$	$6 \geq x \geq - 1$

	$⟺$	$- 1 \leq x \leq 6$

$∴ S = [- 1, 6]$

5.)

| 2 x - 3 | < - 5

por propiedad 1:

$| 2 x - 3 | \geq 0, \forall x, x \in ℝ$

$∴ | 2 x - 3 | \geq - 5; ¡Nunca!$

$∴ S = \emptyset$

6.)

| 7 - 2 x | \geq - 6

por propiedad 1;

$| 7 - 2 x | \geq 0, \forall x, x \in ℝ$

en particular

$| 7 - 2 x | \geq - 6, \forall x, x \in ℝ$

$∴ S = ℝ$

7.)

| 5 x + 2 | > 0

por propiedad 1;

$| 5 x + 2 | \geq 0, \forall x, x \in ℝ$

por propiedad 2;

$\| 5 x + 2 \| = 0$	$⟺$	$5 x + 2$	$=$	$0$
	$⟺$	$5 x$	$=$	$- 2$
	$⟺$	$x$	$=$	$\frac{- 2}{5}$

$∴ | 5 x + 2 | > 0; \forall x, x \in ℝ, tal que x \neq \frac{- 2}{5}$

$∴ S = ℝ - {\frac{- 2}{5}}$

8.)

2 | 3 - x | - 10 \geq 0

$2 \| 3 - x \| - 10 \geq 0$	$⟺$	$2 \| 3 - x \| \geq 10$
	$⟺$	$\| 3 - x \| \geq 5$
	$⟺$	$3 - x \geq 5$	o	$3 - x \leq - 5$
	$⟺$	$- x \geq 2$	o	$- x \leq - 8$
	$⟺$	$x \leq - 2$	o	$x \geq 8$

$∴ S =] - \infty, - 2] \cup [8, + \infty [$

9.)

| x - 3 | \leq 2 x - 5

Nota: en este caso no es posible aplicar alguna de las propiedades de valor absoluto enunciadas en páginas anteriores, por lo que procedemos de la manera siguiente:

$| x - 3 | = {\begin{matrix} x - 3 & si & x \geq 3 \end{matrix}$

Con esta información construimos la tabla siguiente

$- \infty$ $3$ $+ \infty$


$\| x - 3 \|$	$- (x - 3)$	$x - 3$


$\| x - 3 \| \leq 2 x - 5$	$- (x - 3) \leq 2 x - 5$	$x - 3 \leq 2 x - 5$

	$- x + 3 \leq 2 x - 5$	$x - 2 x \leq - 5 + 3$

	$- x - 2 x \leq - 5 - 3$	$- x \leq - 2$

	$- 3 x \leq - 8$	$- x \geq - 2$

	$x \geq \frac{8}{3}$

	$Así debe cumplirse$	$Así debe cumplirse$

	$x \geq \frac{8}{3} y x < 3$	$x \geq 2 y x \geq 3$

	$∴ S_{1} = [\frac{8}{3}, 3 [$	$∴ S_{2} = [3, + \infty [$

En consecuencia el conjunto solución $S, de | x - 3 | \leq 2 x - 5 es S_{1} \cup S_{2}; o sea S = [\frac{8}{3}, + \infty [$

10.)

| x | + 3 \geq 2 x

Como

$| x | = {\begin{matrix} x & si & x \geq 0 \end{matrix}$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

$- \infty$ $0$ $+ \infty$


$\| x \|$	$- x$	$x$


$\| x \| + 3 \geq 2 x$	$- x + 3 \geq 2 x$	$x + 3 \geq 2 x$

	$- x - 2 x \geq - 3$	$x - 2 x \geq - 3$

	$- 3 x \geq - 3$	$- x \geq - 3$

	$x \leq 1$	$x \leq 3$

	$Así debe cumplirse$	$Así debe cumplirse$

	$x \leq 1 y x < 0$	$x \leq 3 y x \geq 0$

	$∴ S_{1} =] - \infty, 0 [$	$∴ S_{2} = [0, 3]$

En consecuencia el conjunto solución $S, de | x | + 3 \geq 2 x es S_{1} \cup S_{2} o sea S =] - \infty, 3]$

11.)

\sqrt[6]{{(2 x + 1)}^{6}} > 3

$\sqrt[6]{{(2 x + 1)}^{6}} > 3$	$⟺$	$\| 2 x + 1 \| > 3$
	$⟺$	$2 x + 1 > 3$	o	$2 x + 1 < - 3$
	$⟺$	$2 x > 2$	o	$2 x < - 4$
	$⟺$	$x > 1$	o	$x < - 2$

$S_{1} =] 1, + \infty [$ y $S_{2} =] - \infty, - 2 [$

El conjunto solución $S, de \sqrt[6]{{(2 x + 1)}^{6}} > 3 es S_{1} \cup S_{2}, o sea S =] 1, + \infty [\cup] - \infty, - 2 [$

12.)

\sqrt{{(\frac{2}{5} x + 1)}^{2}} - x < 2

\sqrt{{(\frac{2}{5} x + 1)}^{2}} - x < 2

⟺

| \frac{2}{5} x + 1 | - x < 2

Para este caso se tiene que:

$| \frac{2}{5} x + 1 | = {\begin{matrix} \frac{2}{5} x + 1 & si & x \geq \frac{- 5}{2} \end{matrix}$

Con esta informaión construimos la tabla siguiente:

$- \infty$ $- 5 ∕ 2$ $+ \infty$


$\| \frac{2}{5} x + 1 \|$	$- (\frac{2}{5} x + 1)$	$\frac{2}{5} x + 1$


$\| \frac{2}{5} x + 1 \| - x < 2$	$- (\frac{2}{5} x + 1) - x < 2$	$\frac{2}{5} x + 1 - x < 2$

	$\frac{- 2}{5} x - 1 - x < 2$	$\frac{2}{5} x - x < 2 - 1$

	$\frac{- 2}{5} x - x < 2 + 1$	$\frac{- 3}{5} x < 1$

	$\frac{- 7}{5} x < 3$	$x > \frac{- 5}{3}$

	$x > \frac{- 15}{7}$
	$Así debe cumplirse$	$Así debe cumplirse$

	$x > \frac{- 15}{7} y x < \frac{- 5}{2}$	$x > \frac{- 5}{3} y x \geq \frac{- 5}{2}$

	$∴ S_{1} = \emptyset$	$∴ S_{2} =] \frac{- 5}{3}, + \infty [$

$∴ S = S_{1} \cup S_{2} =] \frac{- 5}{3}, + \infty [$

Ejercicio
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1.: $| 2 x - 3 | < 7$
2.: $| 3 x + 5 | \leq 12$
3.: $\sqrt{{(9 x + 8)}^{2}} \leq - 3$
4.: $| 13 x - 15 | > 0$
5.: $| 3 + 2 x | > 5$
6.: $| - 2 x + 6 | \geq - 4$
7.: $| 2 x - 7 | + x \geq 6$
8.: $\sqrt[8]{{(5 - 2 x)}^{8}} < x - 7$
9.: $2 | 3 - x | + 3 x > 3$
10.: $- 2 | 7 + x | - 3 x \leq 0$
11.: $\sqrt{{(\frac{x}{2} + \frac{2}{3})}^{2}} \geq 1$
12.: $2 \sqrt{{(2 x + 7)}^{2}} \leq x$

■

Ejemplo 16.

Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1.): $| x - 1 | + | x + 1 | < 4$
2.): $| x - 2 | + 3 | x | \leq 6$
3.): $| 4 - x | + | 2 x - 5 | > 7 - x$
4.): $| x | - 2 \sqrt{{(6 - x)}^{2}} \geq x$

Solución.

1.)

| x - 1 | + | x + 1 | < 4

En este caso se tiene que:

$| x - 1 | = {\begin{matrix} x - 1 & si & x \geq 1 \end{matrix}$

$| x + 1 | = {\begin{matrix} x + 1 & si & x \geq - 1 \end{matrix}$

Así:

$- \infty$ $- 1$ $1$ $+ \infty$


$\| x - 1 \|$	$- (x - 1)$	$- (x - 1)$	$x - 1$


$\| x + 1 \|$	$- (x + 1)$	$x + 1$	$x + 1$


$\| x - 1 \| + \| x + 1 \| < 4$	$- (x - 1) + - (x + 1) < 4$	$- (x - 1) + x + 1 < 4$	$x - 1 + x + 1 < 4$

	$- x + 1 - x - 1 < 4$	$- x + 1 + x + 1 < 4$	$2 x < 4$

	$- 2 x < 4$	$2 < 4$	$x < 2$

	$x > - 2$

	$S_{1} =] - 2, - 1 [$	$S_{2} = [- 1, 1 [$	$S_{3} = [1, 2 [$

$∴ Como S = S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3}, entonces: S =] - 2, 2 [$

2.)

| x - 2 | + 3 | x | \leq 6

En este caso se tiene que:

$| x - 2 | = {\begin{matrix} x - 2 & si & x \geq 2 \end{matrix}$

$y$

$| x | = {\begin{matrix} x & si & x \geq 0 \end{matrix}$

Con esta información construimos la siguiente tabla:

$- \infty$ $0$ $2$ $+ \infty$


$\| x - 2 \|$	$- (x - 2)$	$- (x - 2)$	$x - 2$


$\| x \|$	$- x$	$x$	$x$


$\| x - 2 \| + 3 \| x \| \leq 6$	$- (x - 2) + 3 (- x) \leq 6$	$- (x - 2) + 3 x \leq 6$	$x - 2 + 3 x \leq 6$

	$- x + 2 - 3 x \leq 6$	$- x + 2 + 3 x \leq 6$	$4 x \leq 6 + 2$

	$- 4 x \leq 6 - 2$	$2 x \leq 6 - 2$	$4 x \leq 8$

	$- 4 x \leq 4$	$2 x \leq 4$	$x \leq 2$

	$x \geq - 1$	$x \leq 2$

	$S_{1} = [- 1, 0 [$	$S_{2} = [0, 2 [$	$S_{3} = {2}$

$Como S = S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} entonces S = [- 1, 2]$

3.)

| 4 - x | + | 2 x - 5 | > 7 - x

Como:

$| 4 - x | = {\begin{matrix} 4 - x & si & x \leq 4 \end{matrix}$

$y$

$| 2 x - 5 | = {\begin{matrix} 2 x - 5 & si & x \geq \frac{5}{2} \end{matrix}$

Así:

$- \infty$ $5 ∕ 2$ $4$ $+ \infty$


$\| 4 - x \|$	$4 - x$	$4 - x$	$- (4 - x)$


$\| 2 x - 5 \|$	$- (2 x - 5)$	$2 x - 5$	$2 x - 5$


$\| 4 - x \| + \| 2 x - 5 \| > 7 - x$	$4 - x + - (2 x - 5) > 7 - x$	$4 - x + 2 x - 5 > 7 - x$	$- (4 - x) + 2 x - 5 > 7 - x$

	$4 - x - 2 x + 5 > 7 - x$	$- x + 2 x + x > 7 + 5 - 4$	$- 4 + x + 2 x - 5 > 7 - x$

	$- x - 2 x + x > 7 - 5 - 4$	$2 x > 8$	$x + 2 x + x > 7 + 5 + 4$

	$- 2 x > - 2$	$x > \frac{8}{2}$	$4 x > 16$

	$x < 1$	$x > 4$	$x > 4$

	$S_{1} =] - \infty, 1 [$	$S_{2} = \emptyset$	$S_{3} =] 4, + \infty [$

$Como S = S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} entonces S =] - \infty, 1 [\cup] 4, + \infty [$

4.)

| x | - 2 \sqrt{{(6 - x)}^{2}} \geq x

$\| x \| - 2 \sqrt{{(6 - x)}^{2}}$	$\geq$	$x$	$⟺$

$\| x \| - 2 \| 6 - x \|$	$\geq$	$x$

Además:

$| x | = {\begin{matrix} x & si & x \geq 0 \end{matrix}$

$y$

$| 6 - x | = {\begin{matrix} 6 - x & si & x \leq 6 \end{matrix}$

Así:

$- \infty$ $0$ $6$ $+ \infty$


$\| x \|$	$- x$	$x$	$x$


$\| 6 - x \|$	$6 - x$	$6 - x$	$- (6 - x)$


$\| x \| - 2 \| 6 - x \| \geq x$	$- x - 2 (6 - x) \geq x$	$x - 2 (6 - x) \geq x$	$x - 2 (- (6 - x)) \geq x$

	$- x - 12 + 2 x \geq x$	$x - 12 + 2 x \geq x$	$x + 2 (6 - x) \geq x$

	$- x + 2 x - x \geq 12$	$x + 2 x - x \geq 12$	$x + 12 - 2 x \geq x$

	$0 \geq 12$	$2 x \geq 12$	$x - 2 x - x \geq - 12$

		$x \geq 6$	$- 2 x \geq - 12$

			$x \leq 6$

	$∴ S_{1} = \emptyset$	$∴ S_{2} = {6}$	$∴ S_{3} = \emptyset$

De aquí se tiene que: $S = {6}$

Ejercicio
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:

1.: $| x - 6 | + | x | < 4$
2.: $4 | x - 2 | + 3 | x | \geq 6$
3.: $3 | x - 4 | - | 2 x | \leq x - 6$
4.: $\sqrt{{(x - 3)}^{2}} + | 4 - 5 x | > 7$

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