Concepto de función inversa

16. Concepto de función inversa

Sea $f : A \to B$ una función biyectiva. Según la definición de función biyectiva tenemos que $f (A) = B$ y que cada elemento “ $y$ ” de $B$ es imagen de uno y sólo un elemento “ $x$ ” de $A,$ entonces es posible definir una función $f^{- 1} : B \to A,$ que llamaremos inversa de f, de la manera siguiente.

Definición 37.

Sea $f : A \to B$ una función biyectiva entonces la función inversa $f^{- 1}$ de $f$ es una función biyectiva tal que:

$f^{- 1} : B \to A$ y $f^{- 1} (y) = x ⟺ f (x) = y$

Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:

Figura 2.53:

De la representación anterior se puede notar que: $(f^{- 1} o f) (x) = x$ y que $(f o f^{- 1}) (x) = x$

■

Ejemplo 73.

Sea $f : ℝ \to ℝ, biyectiva f (x) = 2 x - 1$

a): Determine el criterio para la función $f^{- 1}$
b): Verifique que $(f o f^{- 1}) (x) = x$ y $(f^{- 1} o f) (x) = x$
c): Represente en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los gráficos de $f, f^{- 1}, g$ donde $g (x) = x$

Solución.

a)

Como

f (x) = 2 x - 1

f (x) = y

entonces podemos escribir

y = 2 x - 1 .

Como en la definición 38

x = f^{- 1} (y),

el criterio para la función

f^{- 1}

se obtiene despejando

x

en términos de

y

, de la siguiente manera:

$y = 2 x - 1 ⟹ y + 1 = 2 x ⟹ \frac{y + 1}{2} = x$ $⟹ f_{y}^{- 1} = \frac{y + 1}{2}$

Como las letras particulares que se usan para expresar el criterio de una función, no son importantes, se acostumbra a expresar el criterio en términos de la variable x, así en vez de escribir:

$f^{- 1} (y) = \frac{y + 1}{2},$ escribimos $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{2}$

$(fo f^{- 1}) (x)$	$=$	$f (f^{- 1} (x))$
	$=$	$f (\frac{x + 1}{2})$
	$=$	$2 (\frac{x + 1}{2}) - 1$
	$=$	$x + 1 - 1$
	$=$	$x$

Así

(fo f^{- 1}) (x) = x

$(f^{- 1} of) (x)$	$=$	$f^{- 1} (f (x))$
	$=$	$f^{- 1} (2 x - 1)$
	$=$	$\frac{2 x - 1 + 1}{2}$
	$=$	$\frac{2 x}{2}$
	$=$	$x$

Así

(f^{- 1} of) (x) = x

c)

Para representar los gráficos correspondientes a

f

f^{- 1}

construimos las siguientes tablas de valores:



$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$



$f (x)$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$1$	$3$



$x$	$- 5$	$- 3$	$- 1$	$1$	$3$



$f^{- 1} (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Figura 2.54:

■

Ejemplo 74.

Sea $f : [- 3, + \infty [\to [0, + \infty [$ biyectiva, $f (x) = \sqrt{x + 3}$

a): Determine el dominio y ámbito de $f^{- 1}$
b): Determine el criterio para la función $f^{- 1}$ (en adelante $f^{- 1} (x)$ )
c): Verifique que $(fo f^{- 1}) (x) = x$ y $(f^{- 1} of) (x) = x$
d): Represente en un mismo sistema de coordenadas rectángulares los gráficos de $f, f^{- 1}$ y $g$ donde $g (x) = x$

Solución.

a)

El dominio de

f^{- 1}

[0, + \infty [

El ámbito de $f^{- 1}$ es $[- 3, + \infty [$

b)

Como

y = \sqrt{x + 3} ⟹ y^{2} = x + 3

y^{2} - 3 = x

, como

x = f^{- 1} (y)

tenemos

f^{- 1} (y) = y^{2} - 3

y por lo tanto podemos decir que

f^{- 1} (x) = x^{2} - 3

Observe que al despejar $x$ obtenemos que $f^{- 1} (y) = y^{2} - 3$ sin embargo, por convenio en la notación, escribimos $f^{- 1} (x) = x^{2} - 3$

c)

$(fo f^{- 1}) (x)$	$=$	$f (f^{- 1} (x))$
	$=$	$f (x^{2} - 3)$
	$=$	$\sqrt{x^{2} - 3 + 3}$
	$=$	$\sqrt{x^{2}}$
	$=$	$\| x \| y como x \geq 0$
	$=$	$x$

$(f^{- 1} of) (x)$	$=$	$f^{- 1} (f (x))$
	$=$	$f^{- 1} (\sqrt{x + 3})$
	$=$	${(\sqrt{x + 3})}^{2} - 3$
	$=$	$x + 3 - 3$
	$=$	$x$

Por lo tanto: $(fo f^{- 1}) (x) = x$ y $(f^{- 1} of) (x) = x$

d)

Para representar los gráficos correspondientes a

f

f^{- 1}

construiremos las siguientes tablas de valores:



$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$



$f (x)$	$0$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	$2$



$x$	$0$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	$2$



$f^{- 1} (x)$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$

Figura 2.55:

Ejercicio

Para cada una de las funciones biyectivas $f$ que se presentan a continuación:

Ejercicio 16.1.

1.: $f : [0, + \infty [\to [1, + \infty [, f (x) = 1 + 3 x^{3}$
2.: $f :] - \infty, 2 [\to [0, + \infty [, f (x) = \sqrt{2 - x}$
3.: $f : [1, + \infty [\to [- 1, + \infty [, f (x) = x^{3} - 2$
4.: $f : [0, + \infty [\to [0, + \infty [, f (x) = \sqrt{x}$
5.: $f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{3}$
6.: $f : ℝ \to ℝ, f (x) = 2 x - 3$

Realizar:

1.: Determinar el dominio y ámbito de la función inversa $f^{- 1} .$
2.: Determinar el criterio para la función $f^{- 1} .$
3.: Verificar que $(fo f^{- 1}) (x) = x$ y $(f^{- 1} of) (x) = x .$
4.: Representar en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los gráficos de $f$ y $f^{- 1}$ y $g$ donde $g (x) = x$

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