Función cuadrática

2. Función cuadrática

$- \frac{3}{2}$

$x^{2} + 3 x + 2$

Definición 44.

Sea $f : ℝ \to ℝ$ una función, $f$ recibe el nombre de función polinomial de segundo grado o función cuadrática si $\forall x, x \in ℝ$ se cumple que:

$f (x) = a x^{2} + bx + c$ , con $a, b y c$ constantes reales, $a \neq 0$

■

Ejemplo 87.

Son funciones cuadráticas las definidas por:

1.: $f (x) = 4 x^{2} + 5 x + 8$
2.: $f (x) = 3 x^{2} + 5$
3.: $f (x) = x^{2} - x - \frac{2}{5}$
4.: $f (x) = 4 x^{2} + 2 x$

Definición 45.

Concavidad hacia arriba:

Sea $A \subseteq ℝ, I \subseteq A$

Sea $f : A \to ℝ$ , se dice que $f$ es cóncava hacia arriba en $I$ , si su trazo en $I$ tiene la siguiente forma:

Figura 3.3:

Definición 46.

Concavidad hacia abajo:

Sea $A \subseteq ℝ, J \subseteq A$

Sea $f : A \to ℝ$ , se dice que $f$ es cóncava hacia abajo en $J$ , si su trazo en $J$ tiene la siguiente forma:

Figura 3.4:

■

Ejemplo 88.

Sea $f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{2}$

a)

Complete la siguiente tabla de valores:

$x$	-3	-2	-1	0	1	2	3


$x^{2}$

b)

Realice el trazo de

f

c)

¿Qué tipo de concavidad presenta esta función?

Solución.

a)

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$


$x^{2}$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

b)

Trazo de

f

Figura 3.5:

c)

Esta función es cóncava hacia arriba.

Ejercicio

Sea $f : ℝ \to ℝ, f (x) = x^{2} + 3 x + 2$

1.

Complete la siguiente tabla de valores:

2.

Realice el trazo de

f

3.

¿Qué tipo de concavidad presenta esta función?

Sea $f : ℝ \to ℝ, f (x) = - x^{2} - 1$

4.

Complete la siguiente tabla de valores:

$x$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$


$- x^{2} - 1$

5.

Realice el trazo de

f

6.

¿Qué tipo de concavidad presenta esta función?

Proposición 16.

Sea $f : ℝ \to ℝ$ una función tal que $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , con $a, b y c$ constantes reales y $a \neq 0$ , entonces:

1.: Si $a > 0$ , $f$ es cóncava hacia arriba.
2.: Si $a < 0$ , $f$ es cóncava hacia abajo (convexa).

■

Ejemplo 89.

a): La función $f$ definida por $f (x) = - 2 x^{2} + 5 x - 3$ es convexa.
b): La función $h$ definida por $h (x) = \sqrt{5} x^{2} + x - 1$ es cóncava hacia arriba.

Definición 47.

La gráfica de una función cuadrática recibe el nombre de parábola.

Observe el trazo de la función definida en el ejemplo anterior, note que $f (x)$ toma un valor mínimo, a saber $0$ .

El punto de la parábola donde $f (x)$ toma su valor mínimo (en este caso), recibe el nombre de vértice de la parábola, en este caso es el punto $(0, 0)$ .

Con respecto al ejemplo 89 a)

El valor mínimo para $f (x)$ es _________________ por lo que el vértice de la parábola es:_________________

Con respecto al ejemplo 89 b)

Observe el trazo de la función, note que $h (x)$ toma un valor máximo y es: _________________

El punto de la parábola donde $h (x)$ toma su valor máximo (en este caso), recibe el nombre de vértice de la parábola, en este caso el punto es:_________________

Definición 48.

Sea $f : ℝ \to ℝ$ , una función cuadrática. El punto de la parábola donde $f (x)$ alcanza su máximo o su mínimo valor se llama vértice de la parábola.

Proposición 17.

Sea $f : ℝ \to ℝ$ , tal que $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , con $a, b y c$ constantes reales y $a \neq 0$ . Entonces el vértice $V,$ de la parábola está dado por:

$V = (\frac{- b}{2 a}, f (\frac{- b}{2 a}))$

■

Ejemplo 90.

Determine el vértice de la parábola correspondiente a la función $f$ , definida por $f (x) = 2 x^{2} - 3 x - 2$ .

Solución.

En este caso el vértice $V$ es $(\frac{3}{4}, f (\frac{3}{4}))$ , como:

$\begin{matrix} f (\frac{3}{4}) & = & 2 \cdot [\frac{9}{16}] - 3 \cdot [\frac{3}{4}] - 2 \\ = & \frac{9}{8} - \frac{9}{4} - 2 \\ = & \frac{- 25}{8} \end{matrix}$

o sea $f (\frac{3}{4}) = \frac{- 25}{8}$ y por lo tanto el vértice es: $(\frac{3}{4}, \frac{- 25}{8})$

■

Ejemplo 91.

Determine el vértice de la parábola correspondiente a la función $f$ , definida por $f (x) = x^{2} + 3$ .

Solución.

En este caso el vértice $V$ es $(\frac{0}{2}, f (\frac{0}{2}))$

Como $f (0) = 3,$ entonces el vértice es $(0, 3)$

Ejercicio
Determine el vértice de la parábola correspondiente a la función $f$ definida por:

1.: $f (x) = x^{2} - 2 x - 3$
2.: $f (x) = - 4 x^{2} + 4 x - 1$
3.: $f (x) = 2 x^{2} - 1$
4.: $f (x) = x^{2} + x + 1$

Sea $f : ℝ \to ℝ$ , tal que $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , con $a, b y c$ constantes reales y $a \neq 0$ . Sabemos que $f$ interseca al eje $Y$ cuando $x = 0$ . Pero:

$f (0) = x \cdot {(0)}^{2} + b \cdot 0 + c$ , de donde $f (0) = c$ . Por lo que $f$ interseca el eje $Y$ en $(0, c)$

Sea $f : ℝ \to ℝ$ , tal que $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , con $a, b y c$ , constantes reales y $a \neq 0$ , entonces:

$\begin{matrix} f (x) & = & a x^{2} + bx + c \\ = & a [x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}] completando cuadrados tenemos \\ = & a [x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + \frac{c}{a}] \\ = & a [x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - \frac{c}{a})] \\ = & a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a^{2}})] (*) \end{matrix}$

Definición 49.

El número $b^{2} - 4 ac$ obtenido en (*) recibe el nombre de discriminante de $f$ y se denota por el símbolo $Δ$ , que se lee “delta” o sea:

$Δ = b^{2} - 4 ac$

Casos que se pueden presentar, según el valor de $b^{2} - 4 ac$

1.

b^{2} - 4 ac < 0

b^{2} - 4 ac < 0

entonces

\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a^{2}} < 0

¿Por qué?

por lo que $- (\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a^{2}}) > 0$ de aquí que ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a^{2}}) > 0$ , pues ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} > 0$

i.: Si $a > 0$ ; $a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a^{2}})] > 0 ⟹ f (x) > 0$
ii.: Si $a < 0$ ; $a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a^{2}})] < 0 ⟹ f (x) < 0$

Observe que si el discriminante es menor que cero, siempre se obtiene que $f (x) \neq 0$ , y por lo tanto el gráfico de $f$ no interseca al eje $X$ .

2.

b^{2} - 4 ac = 0

Entonces por (*) tenemos que:

$f (x) = a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{0}{4 a^{2}})]$

f (x) = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2}

(3.8)

De aquí se obtiene que $f (x) = 0$ si y sólo sí:

$a = 0$ ó ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0,$ pero $a \neq 0$

por lo que ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0 ⟹ x + \frac{b}{2 a} = 0 ⟹ x = \frac{- b}{2 a}$

Además como ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} > 0$ siempre entonces:

i.: Si $a > 0$ se cumple que $f (x) \geq 0$ ; ver 3.8
ii.: Si $a < 0$ se cumple que $f (x) \leq 0$ ; ver 3.8

Lo anterior se puede resumir así:

Sea $f : ℝ \to ℝ$ , tal que $f (x) = a x^{2} + bx + c$ donde $a, b y c$ , son constantes reales y $a \neq 0$ , si $b^{2} - 4 ac = 0$ , entonces $f$ tiene dos ceros reales, ambos iguales a $\frac{- b}{2 a}$ y la gráfica de $f$ interseca al eje $X$ en $(\frac{- b}{2 a}, 0)$

3.

b^{2} - 4 ac > 0

Por (*) sabemos que:

$\begin{matrix} f (x) & = & a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - (\frac{b^{2} - 4 ac}{4 a^{2}})] como b^{2} - 4 ac > 0 \\ = & a [{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{\sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a})}^{2}] por diferencia de cuadrados \\ = & a [(x + \frac{b}{2 a}) + (\frac{\sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a})] \cdot [(x + \frac{b}{2 a}) - (\frac{\sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a})] \\ = & a [x + \frac{b + \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}] \cdot [x + \frac{b - \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}] (* * *) \end{matrix}$

i.

Por (***),

f (x) = 0

si y sólo sí

$a [x + \frac{b + \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}] \cdot [x + \frac{b - \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}] = 0$ , como $a \neq 0$

$⟹ x + \frac{b + \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a} = 0$ ó $x + \frac{b - \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a} = 0$

O sea: $x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}$ ó $x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 ac}}{2 a}$

Lo anterior se puede resumir así:

Sea $f : ℝ \to ℝ$ , tal que $f (x) = a x^{2} + bx + c$ donde $a, b y c$ , son constantes reales y $a \neq 0$ , si $b^{2} - 4 ac > 0$ , entonces $f$ tiene dos ceros reales, que vienen dados por las fórmulas:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ ó $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$

donde $Δ = b^{2} - 4 ac$

Nota Si $b^{2} - 4 ac = 0$ , las fórmulas anteriores se pueden aplicar

En este curso estamos interesados en estudiar algunas propiedades de la función cuadrática (y en particular de la parábola), es por esto que deseamos resumir toda la información obtenida hasta aquí, para poder tener las herramientas necesarias que nos ayuden en la representación gráfica de la parábola.

Resultado:.

Sea $f : ℝ \to ℝ$ , tal que $f (x) = a x^{2} + bx + c$ donde $a, b y c$ , son constantes reales y $a \neq 0$ .

Entonces se cumple uno y sólo uno de los siguientes casos:

1): $b^{2} - 4 ac < 0 y a > 0$
3): $b^{2} - 4 ac = 0 y a > 0$
5): $b^{2} - 4 ac > 0 y a > 0$
2): $b^{2} - 4 ac < 0 y a < 0$
4): $b^{2} - 4 ac = 0 y a < 0$
6): $b^{2} - 4 ac > 0 y a < 0$

Con respecto a los casos anteriores obtenemos la siguiente información:

Caso.

b^{2} - 4 ac < 0 y a > 0

1.: $f$ No interseca el eje $X$ o sea $f$ no tiene ceros reales ( $Δ < 0$ )
2.: $f$ es cóncava hacia arriba ( $a > 0$ )
3.: $f (x) > 0,$ ¡siempre! $\forall x \in ℝ$
4.: Trazo de $f$ : supongamos $\frac{- b}{2 a} > 0$

Figura 3.6:

Caso.

b^{2} - 4 ac < 0 y a < 0

1.: $f$ No interseca el eje $X$ o sea $f$ no tiene ceros reales ( $Δ < 0$ )
2.: $f$ es cóncava hacia abajo ( $a < 0$ )
3.: $f (x) < 0$ , ¡siempre! $\forall x \in ℝ$
4.: Trazo de $f$ : supongamos $\frac{- b}{2 a} > 0$

Figura 3.7:

Caso.

b^{2} - 4 ac = 0 y a > 0

1.: $f$ tiene dos ceros reales iguales, que vienen dados por $\frac{- b}{2 a}$ ( $Δ = 0$ )
2.: $f$ interseca el eje $X$ en un punto, a saber $(\frac{- b}{2 a}, 0)$
3.: $f$ es cóncava hacia arriba ( $a > 0$ )
4.: Trazo de $f$ : supongamos $\frac{- b}{2 a} > 0$

Figura 3.8:
5.: $f (x) > 0$ , si $x \in ℝ - {\frac{- b}{2 a}}$

Caso.

$b^{2} - 4 ac = 0 y a < 0$

1.: $f$ tiene dos ceros reales iguales, que vienen dados por $\frac{- b}{2 a}$ ( $Δ = 0$ )
2.: $f$ interseca el eje $X$ en un punto, a saber $(\frac{- b}{2 a}, 0)$
3.: $f$ es cóncava hacia abajo ( $a < 0$ )
4.: Trazo de $f$ : supongamos $\frac{- b}{2 a} > 0$

Figura 3.9:
5.: $f (x) < 0$ , si $x \in ℝ - {\frac{- b}{2 a}}$

Caso.

$b^{2} - 4 ac > 0 y a > 0$

1.: $f$ tiene dos ceros reales, $x_{1} y x_{2}$ donde $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ y $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$
2.: $f$ interseca el eje $X$ en dos puntos, a saber $(x_{1}, 0)$ y $(x_{2}, 0)$ , donde $x_{1}, x_{2}$ están dadas en 1.
3.: $f$ es cóncava hacia arriba ( $a > 0$ )
4.: Trazo de $f$ : supongamos $x_{1} < 0$ y $x_{2} > 0$

Figura 3.10:
5.: $f (x) < 0$ , si $x \in] x_{1}, x_{2} [$
6.: $f (x) > 0$ , si $x \in] - \infty, x_{1} [\cup] x_{2}, \infty [$

Caso.

b^{2} - 4 ac > 0 y a < 0

1.: $f$ tiene dos ceros reales ( $Δ > 0$ ), $x_{1} y x_{2}$ donde $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}$ y $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}$
2.: $f$ interseca el eje $X$ en dos puntos, a saber $(x_{1}, 0)$ y $(x_{2}, 0)$ , donde $x_{1}, x_{2}$ están dadas en 1.
3.: $f$ es cóncava hacia abajo ( $a < 0$ )
4.: Trazo de $f$ : supongamos $x_{1} < 0$ y $x_{2} > 0$

Figura 3.11:
5.: $f (x) > 0$ , si $x \in] x_{1}, x_{2} [$
6.: $f (x) < 0$ , si $x \in] - \infty, x_{1} [\cup] x_{2}, \infty [$

Para realizar el trazo de una función cuadrática la información anterior es muy importante.

■

Ejemplo 92.

Realice el trazo de la función $f$ definida por $f (x) = - 2 x^{2} + 7 x - 3$ .

Solución.

De acuerdo con la notación $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , en este caso $a = - 2, b = 7 y c = - 3$

1.

Determinemos el discriminante de

f

Sabemos que $Δ = b^{2} - 4 ac ⟹ Δ = 49 - 4 (- 2) (- 3),$ o sea $Δ = 25$

2.

Determinemos el vértice de la parábola

(\frac{- b}{2 a}, f (\frac{- b}{2 a}))

$\frac{- b}{2 a} = \frac{- 7}{2 (- 2)} = \frac{- 7}{- 4} = \frac{7}{4}$

$f (\frac{7}{4}) = - 2 {[\frac{7}{4}]}^{2} + 7 [\frac{7}{4}] - 3 = - 2 [\frac{49}{16}] + \frac{49}{4} - 3$

$\frac{- 98}{16} + \frac{49}{4} - 3 = \frac{- 98 + 196 - 48}{16} = \frac{50}{16} = \frac{25}{8}$

Por lo que el vértice es:

(\frac{7}{4}, \frac{25}{8})

(3.9)

3.

Intersecciones con los ejes coordenados.

a)

Intersección de la parábola con el eje

X

.
como

Δ > 0

f

tiene dos ceros reales diferentes.

$x_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{25}}{2 \cdot (- 2)} = \frac{- 7 - 5}{- 4} = \frac{- 12}{- 4} = 3$ , por lo tanto $x_{1} = 3$

$x_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{25}}{2 \cdot (- 2)} = \frac{- 7 + 5}{- 4} = \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2}$ , por lo tanto $x_{2} = \frac{1}{2}$

Por lo anterior la parábola interseca al eje $X$ en:

(3, 0) y (\frac{1}{2}, 0)

(3.10)

b)

Intersección de la parábola con el eje

Y

Dado que la intersección de la parábola con el eje $Y$ es el punto $(0, c),$ en este caso es $(0, - 3)$

4.

Concavidad

En este caso como $a = - 2$ , o sea $a < 0$ , entonces:

f es cóncava hacia abajo.

(3.11)

5.

Con la información obtenida en 3.9, 3.10 y 3.11 construimos la siguiente tabla de valores


$x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{7}{4}$	$3$


$- x^{2} - 7 x - 3$	$- 3$	$0$	$\frac{25}{4}$	$0$

6.

Trazo de

f

Por la tabla anterior y 3.11, el trazo correspondiente a $f$ es:

Figura 3.12:

■

Ejemplo 93.

Realice el trazo de la función $f$ definida por $f (x) = x^{2} + 3$

Solución.

De acuerdo con la notación $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , en este caso $a = 1, b = 0 y c = 3$

1.

Determinemos el discriminante de

f

Sabemos que $Δ = b^{2} - 4 ac ⟹ Δ = 0 - 4 (1) (3) = - 12,$ o sea $Δ = - 12$

2.

Determinemos el vértice de la parábola

(\frac{- b}{2 a}, f (\frac{- b}{2 a}))

$\frac{- b}{2 a} = \frac{- 0}{2 (1)} = 0$

Además $f (0) = 3$ . Por lo que el vértice es:

(0, 3)

(3.12)

3.

Intersecciones con los ejes coordenados.

a)

Intersección de la parábola con el eje

X

Como $Δ < 0$ , $f$ no tiene ceros reales y por lo tanto no interseca al eje $X$ .

b)

Intersección de la parábola con el eje

Y

Dado que la intersección de la parábola con el eje $Y$ es el punto $(0, c),$ en este caso es:

(0, 3)

(3.13)

4.

Concavidad

Como $a = 1$ , o sea $a > 0$ , entonces:

f es cóncava hacia arriba.

(3.14)

5.

Con la información obtenida anteriormente, conocemos únicamente un punto de la parábola, a saber

(0, 3)

Dado que es conveniente conocer otros puntos de la parábola para realizar su trazo, calcularemos la imagen por $f$ de $1$ y $- 1$ , de la manera siguiente:

a): $f (1) = 1^{2} + 3 = 4, o sea f (1) = 4$
b): $f (- 1) = {(- 1)}^{2} + 3 = 4, o sea f (- 1) = 4$

Así $(1, 4)$ y $(- 1, 4)$ pertenecen a la parábola y construimos la siguiente tabla de valores:

$x$	$0$	$- 1$	$1$


$x^{3} + 3$	$3$	$4$	$4$

Nota Los números $1$ y $- 1$ , se escogieron apropiadamente.

6.

Trazo de

f

Por la tabla anterior y 3.14 el trazo correspondiente a $f$ es:

Figura 3.13:

Ejercicio

Realizar la representación gráfica de las siguientes funciones,

1.: $f (x) = - x^{2} + 1$
2.: $f (x) = - 4 x^{2} + x$
3.: $f (x) = 4 x^{2} + 4 x + 1$
4.: $f (x) = x^{2} + x + 6$
5.: $f (x) = x^{2} + x - 6$
6.: $f (x) = - x^{2} + 2 x - 1$

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