Funciones exponenciales

1. Funciones exponenciales

En temas anteriores, hemos definido el significado de expresiones de la forma $a^{x}$ , con “ $a$ ” un número real positivo y $x$ un número racional, por ejemplo conocemos el significado de $2^{0}, 2^{3}, 2^{5}, 2^{\frac{3}{5}}, 2^{\frac{1}{2}}$ , pero por el contrario no conocemos el significado de expresiones como $2^{\sqrt{3}}, 2^{π}$ , etc. Puesto que en este capítulo nos interesa estudiar expresiones de la forma $a^{x}$ , aceptaremos sin demostrar, que estas expresiones están definidas para todo número real $x$ , si $a \in ℝ, a > 0$ .

Definición 63.

Sea $a \in ℝ, a > 0, a \neq 1$ , se llama función exponencial de base “ $a$ ”, y se denota ${Exp}_{a}$ , a la función definida por:

\binom{{Exp}_{a} : ℝ \to] 0, + \infty [}{x \to a^{x}}

Observaciones

1.: De la definición anterior se tiene que ${Exp}_{a} (x) = a^{x}$
2.: La restricción $a > 0$ , es indispensable, pues si $a$ fuera cero o un número negativo, se presentarían algunas expresiones no definidas en $ℝ$ , tales como $0^{- 1}, {(- 2)}^{\frac{1}{2}}, 0^{0}$ , etc.
3.: El caso $a = 1$ se ha excluido debido a que en este caso se tendría $1^{x} = 1$ , para cada $x \in ℝ$ , o sea que $1^{x}$ es una función constante.

■

Ejemplo 135.

a.): La función $f$ definida por $f (x) = 2^{x}$ es la función exponencial de base $2$ .
b.): La función $g$ definida por $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ es la función exponencial de base $\frac{1}{2}$

1.1 Representación del gráfico de la función exponencial

■

Ejemplo 136.

Considere las funciones exponenciales definidas respectivamente por: ${Exp}_{2} (x), {Exp}_{\frac{1}{2}} (x)$
Realice el trazo de estas funciones.

Solución.

Para realizar el trazo de estas funciones debemos construir, para cada una de ellas una tabla de valores conveniente de la manera siguiente:



$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$


${Exp}_{2} (x)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$

Figura 4.1:



$x$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$


${Exp}_{\frac{1}{2}} (x)$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Figura 4.2:

1.2 Algunas propiedades de la función exponencial

Si $f (x) = a^{x}; a > 1$

1.: $f (x) > 0$ , para toda $x \in ℝ$
2.: $f (0) = 1$
3.: $f (1) = a$
4.: $f$ es biyectiva.
5.: $f$ es creciente en todo su dominio.
6.: Si $x$ tiende a $+ \infty$ entonces $a^{x}$ tiende a $+ \infty$
7.: Si $x$ tiende a $- \infty$ entonces $a^{x}$ tiende a $0$

Si $g (x) = a^{x}; 0 < a < 1$

1.: $g (x) > 0$ ; para toda $x \in ℝ$
2.: $g (0) = 1$
3.: $g (1) = a$
4.: $g$ es biyectiva.
5.: $g$ es decreciente en todo su dominio.
6.: Si $x$ tiende a $+ \infty$ entonces $a^{x}$ tiende a $0$ .
7.: Si $x$ tiende a $- \infty$ entonces $a^{x}$ tiende a $+ \infty$

NOTA Las operaciones con funciones exponenciales satisfacen las propiedades definidas para las potencias racionales.

1.3 La función exponencial de base $e \approx 2, 718281 . . .$

Definición 64.

La función definida por:

\binom{{Exp}_{e} : ℝ \to] 0, + \infty [,}{x \to e^{x}}

Se llama función exponencial de base $e$ . Escribimos $f (x) = e^{x}$ o $f (x) = {Exp}_{e} (x)$

___________

Dado que $e > 1$ esta función posee las mismas propiedades de la función exponencial de base “ $a > 1$ ”.

Ejercicio
Para cada una de las siguientes funciones exponenciales realice su gráfica.

1.: $f (x) = {Exp}_{3} (x)$
2.: $h (x) = {(\frac{1}{3})}^{x}$
3.: $g (x) = {Exp}_{e} (x)$
4.: $m (x) = e^{x} + 1$
5.: $p (x) = {Exp}_{5} (x) + 1$
6.: $g (x) = 2^{x} - 2$

[Siguiente][Inicio]

1. Funciones exponenciales

1.1 Representación del gráfico de la función exponencial

1.2 Algunas propiedades de la función exponencial

1.3 La función exponencial de base e ≈ 2,718281...

1.3 La función exponencial de base $e \approx 2, 718281 . . .$