Conceptos básicos

1. Conceptos básicos

Definición 1.

Sean $A$ y $B$ conjuntos tales que $A \neq \emptyset$ y $B \neq \emptyset$ . Se llama producto cartesiano de $A$ y $B$ , denotado por $A \times B$ , al conjunto, ${(a, b) tal que a \in A, b \in B}$ .

O sea: $A \times B = {(a, b) tal que a \in A, b \in B}$

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Ejemplo 1.

Sean $A = {1, 2}$ $B = {1, 2, 3}$ .

Entonces $A \times B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}$ .

Ejercicio

1.: Sean $A = {- 1, 0}$ y $B = {0, 1}$ . Determine $B \times A$
2.: Sean $X = {\sqrt{2}, \frac{- 1}{3}}$ , $Y = {7}$ . Determine $X \times Y$

Definición 2.

Sean $A$ y $B$ conjuntos tales que $A \neq \emptyset$ y $B \neq \emptyset$ . Los elementos de $A \times B$ se llaman pares ordenados, por que si: $a \in A, b \in B$ y $a \neq b$ entonces $(a, b) \neq (b, a)$ .

Así con respecto al primer ejemplo, observe que: $(1, 2) \neq (2, 1)$

En un capítulo anterior vimos que podemos representar los números reales como puntos de una recta. Ahora estamos interesados en obtener una representación para $ℝ \times ℝ$ , esto de acuerdo a la definición 1, al conjunto:

{(x, y) tal que x, y \in ℝ}

Lo que buscamos “es establecer una correspondencia entre el conjunto de todos los pares ordenados de números reales $(ℝ \times ℝ)$ y el conjunto de todos los puntos de un plano.”

Una forma de establecer esta correspondencia es por medio de un sistema de coordenadas rectangulares que se puede construir de la siguiente forma:

Se dibujan dos rectas numéricas perpendiculares entre sí, que se intersecan en el punto cero de cada una, como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2.1:

Nota:

El nombre de sistema de coordenadas rectangulares se debe a que las rectas numéricas se intersecan determinando un ángulo recto (ángulo de $90$ ).

Las dos rectas numéricas de la figura anterior recibe el nombre de ejes coordenados.

Los ejes coordenados son, generalmente (en este curso siempre), un eje horizontal (que llamamos eje $X$ ) y un eje vertical (que llamaremos eje $Y$ ).

El punto cero donde se intersecan el eje $X$ y el eje $Y$ se llama origen.

Figura 2.2:

El plano en que se usa un sistema de coordenadas se llama plano coordenado o plano real. Así a cada punto $P$ del plano se le puede asignar un par ordenado de números reales, como sigue:

Se traza desde $P$ un segmento perpendicular al eje $X$ , que le interseque en el punto $a$ . (Ver figura 2.3).

Se traza desde $P$ un segmento perpendicular al eje $Y$ en el punto $b$ .

Figura 2.3:

El número $a$ recibe el nombre de abscisa

El número $b$ recibe el nombre de ordenada

Al punto $P$ le podemos asignar el par ordenado $(a, b)$ . (Note que primero se escribe la abscisa ( $a$ ) y luego la ordenada ( $b$ ) )

Diremos que $P$ tiene coordenadas $a$ y $b$ .

En forma similar, a un par ordenado de números reales se le puede asignar un punto del plano coordenado.

De todo lo anterior tenemos:

A cada punto $P$ del plano coordenado se le asocia exactamente un par ordenado de números reales ( $a, b$ ) y a cada par ordenado de números reales se asocia exactamente un punto del plano.

Ejercicio

Represente en un sistema de coordenadas rectangulares los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos:

1.: ${(- 1, 3), (3, - 1), (- 5, - 4), (2, 3), (0, 0)}$
2.: ${(\frac{1}{2}, 0), (0, \frac{1}{2}), (\frac{- 7}{5}, 1), (\frac{- 3}{4}, \frac{- 4}{3})}$
3.: ${(\frac{5}{4}, - 1), (\frac{- 1}{2}, \frac{1}{4}), (\frac{2}{3}, \frac{- 5}{4}), (1, \frac{- 7}{6})}$

Las cuatro regiones en las que los ejes de un sistema coordenado rectangular divide al plano se llaman cuadrantes. Los cuadrantes se numeran I, II, III y IV, de la siguiente manera:

Figura 2.4:

También se le llama primero, segundo, tercero y cuarto cuadrante.

Signo de las coordenadas de un punto, según el cuadrante donde esté

Sea $P$ un punto de coordenadas $(x, y)$ entonces tenemos que:

Figura 2.5:

Figura 2.6:

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