Dominio real y ámbito

2. Dominio real y ámbito

Definición 3.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos. Una función $f$ de $A$ en $B$ es una ley, regla o correspondencia que a cada elemento de $A$ , le hace corresponder un y sólo un elemento de $B$ .

Definición 4.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos y $f$ de $A$ en $B$ una función. Sea $a \in A$ . El elemento que $f$ le hace corresponder a $a$ en $B$ , se llama imagen de $a$ y se denota por $f (a)$ ( $f (a) :$ se lee “efe de a”) y $a$ recibe el nombre de preimagen de $f (a)$ .

■

Ejemplo 2.

Sea:

Figura 2.7:

Tal y como está definida esta correspondencia $f$ es función de $x$ en $y$ .

Complete:

a): Al $1$ se le asigna el $- 1$ , o sea $f (1) = - 1$ . La imagen de $1$ es :
b): Al $2$ se le asigna el $- 2$ , o sea $f (2) = - 2$ . La preimagen de $- 2$ es :
c): Al $3$ se le asigna el $- 3$ , o sea = . La imagen de $3$ es :
d): Al $4$ se le asigna el $- 4$ , o sea = . La preimagen de $- 4$ es :

Notación: Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos y $a \in A$

Si $f$ es una función de A en B y $f (a)$ es la imagen de $a$ , esto se indica de la siguiente forma

\binom{f : A \to B,}{a \to f (a)}

Definición 5.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos y $f : A \to B$ función.

Entonces:

1.: $A$ recibe el nombre de dominio de la función
2.: $B$ recibe el nombre de codominio de la función

Ejercicio
Complete:

1.

Con respecto al ejemplo 2:

a.1) El dominio de la función es __________________________

a.2) El codominio de la función es __________________________

2.

Considere la función

f :] - 5, 4] \to ℝ

. Entonces:

b.1) El dominio de la $f$ es __________________________

b.2) El codominio de la $f$ es __________________________

Definición 6.

Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos y $f : A \to B$ función.

a): Se llama rango o ámbito de $f$ al conjunto $A_{f}$ , definido por la igualdad: $A_{f} = {f (x) tal que x \in A}$

O sea $A_{f}$ es el conjunto de las imágenes.
b): Se llama gráfico de $f$ al conjunto $G_{f}$ , definido por la igualdad $G_{f} = {(x, f (x)) tal que x \in A}$

Una función se puede definir por medio de diagramas de Venn. También puede definirse dando su dominio, codominio y una regla que indica en que forma se asocia cada miembro del dominio, con uno del codominio. La regla es a menudo (aunque no siempre) una frase numérica abierta.

■

Ejemplo 3.

Sea $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ , $B = {- 6, - 5, - 4, - 2, 0, 1, 2, 4, 6}$ y $f : A \to B, f (x) = 2 x$

Determine

a)

El ámbito o rango de

f

b)

El gráfico de

f

c)

Represente el gráfico de

f

en un sistema de coordenadas rectangulares.

Solución.

a)

Para determinar

A_{f}

, construyamos la siguiente tabla de valores considerando que

f (x) = 2 x

$f (- 2)$	$=$	$2 (- 2)$	$=$	$- 4$
$f (- 1)$	$=$	$2 (- 1)$	$=$	$- 2$
$f (0)$	$=$	$2 (0)$	$=$	$0$
$f (1)$	$=$	$2 (1)$	$=$	$2$
$f (2)$	$=$	$2 (2)$	$=$	$4$


$x$	$2 x$

$- 2$	$- 4$

$- 1$	$- 2$

$0$	$0$

$1$	$2$

$2$	$4$

Por lo que $A_{f} = {- 4, - 2, 0, 2, 4}$

b)

Por definición

G_{f} = {(x, 2 x) tal que x \in A}

por lo que:

$G_{f} = {(- 2, - 4), (- 1, - 2), (0, 0), (1, 2), (2, 4)}$

c)

Representación de

G_{f}

Figura 2.8:

Nota: Generalmente en vez de escribir “Represente el gráfico de $f$ en un sistema de coordenadas rectangulares”, escribiremos “Realice el trazo de $f$ ”

Ejercicio
Para cada una de las siguientes funciones

1.

Determine:

a.1) $A_{f}$

a.2) $G_{f}$

2.

Realice el trazo de

f

b.1) Sea $A = {- \sqrt{3}, - 2, \sqrt{2}, - 1}, B = {- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}$ y $f : A \to B, f (x) = x^{2}$

b.2) Sean $A = {\frac{- 3}{2}, - 1, \frac{- 1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}}, B =] - 7, 7 [$ y $f : A \to B,$
$f (x) = - 4 x$

Definición 7.

Sean A y B dos conjuntos no vacíos y $f : A \to B,$ función. Sea $α \in A,$ se dice que $α$ es un cero de $f$ , si se cumple que: $f (α) = 0$

■

Ejemplo 4.

Sea $f : ℝ \to ℝ, f (x) = 2 x - 1$

a): Determine los ceros de $f$ .
b): Realice el trazo de $f$ .

Solución.

a)

Ceros de

f

$f (x) = 0$	$⟺$	$2 x - 1$	$=$	$0$
		$2 x$	$=$	$1$
		$x$	$=$	$\frac{1}{2}$

Por lo que $\frac{1}{2}$ es un cero de $f$ .

b)

Trazo de

f

Observe que en este caso el dominio de $f$ es $ℝ$ , así es que $x$ se le puede asignar cualquier número real, pero para construir la tabla de valores escogemos valores para $x$ “ apropiados ”.



$x$	$- 2$	$\frac{- 3}{2}$	$- 1$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$...$



$2 x - 1$	$- 5$	$- 4$	$- 3$	$- 1$	$0$	$1$	$3$	$...$

Figura 2.9:

Observe que en el gráfico anterior se obtiene:

1.

La intersección entre la gráfica de

f

y el eje

X

(\frac{1}{2}, 0)

2.

La intersección entre la gráfica de

f

y el eje

Y

(0, - 1)

En general:

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos no vacíos y $f : A \to B$ función.

a): Intersección entre la gráfica de $f$ y el eje $X$

Sea $α \in A$ tal que $f (α) = 0,$ es decir $α$ es un cero de $f$ , entonces la gráfica de $f$ interseca el eje $X$ en el punto $(α, 0)$
b): Intersección entre la gráfica de $f$ y el eje $Y$

Sea $β \in B$ tal que $f (0) = β,$ es decir $β$ es la imagen de cero, entonces la gráfica de $f$ interseca el eje $Y$ en el punto $(0, β)$

Ejercicio

Complete, de acuerdo a las gráficas que se presentan:

Ejercicio 2.1.

f (x) = y

Figura 2.10:

a.1): $f$ interseca al eje $X$ en: _________________
a.2): $f$ interseca al eje $Y$ en: _________________
a.3): $f (x) = 0$ cuando $x$ vale: _________________

Ejercicio 2.2.

g (x) = y

Figura 2.11:

b.1): $g$ interseca al eje $X$ en: _________________
b.2): $g$ interseca al eje $Y$ en: _________________
b.3): $g (x) = 0$ cuando $x$ vale: _________________

Ejercicio 2.3.

h (x) = y

Figura 2.12:

c.1): $h$ interseca al eje $X$ en: _________________
c.2): $h$ interseca al eje $Y$ en: _________________
c.3): $h (x) = 0$ cuando $x$ vale: _________________

Recuerde que si $f$ es una función, el número real $f (x)$ se representa en el eje $Y$ , por esto a menudo escribimos $f (x) = y$

Así para ver cuando una función es positiva (o negativa) basta ver para que valores de $x, f (x) > 0$ (o $f (x) < 0$ ).

■

Ejemplo 5.

Considere la gráfica de una función $f$ , $f : ℝ \to ℝ$

Figura 2.13:

Determine, en notación de intervalos, los conjuntos

a): $A = {x \in ℝ tal que f (x) > 0}$
b): $B = {x \in ℝ tal que f (x) < 0}$

Solución.

a): Como $f (x) = y$ , basta ver cuando $y > 0$ .

Por lo que $A =] - 1, 2 [$
b): Similarmente basta ver cuando $y < 0$ .

Por lo que $B =] - \infty, - 1 [⋃] 2, + \infty [$

Ejercicio

Determine para cada una de las siguientes funciones:

Figura 2.14:

f : ℝ \to ℝ

Figura 2.15:

f :] - 5, 5] \to ℝ

1.

Intervalos donde

f

es positiva

2.

Intervalos donde

f

es negativa

3.

Puntos de intersección con el eje

X

4.

Puntos de intersección con el eje

Y

Sea $f : ℝ \to ℝ, f (x) = x$ . Realice el trazo de $f$

Nota: Esta función recibe el nombre de función identidad.

Sea $g : ℝ \to ℝ, f (x) = 3$ . Realice el trazo de $g$

Sea $c \in ℝ,$ sea $h : ℝ \to ℝ, h (x) = c$ . Realice el trazo de $h$

Nota: Las funciones $g$ y $h$ anteriores reciben el nombre de funciones constantes.

Sea

$f (x) =$ ${\begin{matrix} x + 2 si x \in [- 5, 0 [ \\ - x + 2 si x \in [0, 5 [ \end{matrix}$

Realice el trazo de $f$

Sea

$f (x) =$ ${\begin{matrix} - 3 si x \in [- 3, - 2 [ \\ - 2 si x \in [- 2, - 1 [ \\ - 1 si x \in [- 1, 0 [ \\ 0 si x \in [0, 1 [ \\ 1 si x \in [1, 2 [ \\ 3 si x \in [2, 3 [ \end{matrix}$

Realice el trazo de $f$

Sea

$f (x) =$ ${\begin{matrix} - x - 3 si x \in] - 5, - 1] \\ - 2 si x \in] - 1, 1] \\ x - 3 si x \in [1, 5] \end{matrix}$

Realice el trazo de $f$

Sean $f, g, h$ funciones con dominio $ℝ$ , tales que:

$f (x) = \frac{x^{2} - 3}{x^{2} + 1}$

$g (x) = 3 x + 1$

$f (x) = \sqrt[3]{- 2 x + 5}$

5.

Determine la intersección de la gráfica de

f

, de

g

y de

h

con los ejes coordenados.

Algunas veces cuando una función está definida por una frase numérica abierta, nos interesa determinar los valores de la variable para los cuales la frase numérica abierta representa un número real, es decir nos interesa saber el dominio de la variable.

Definición 8.

Sea $f (x) = y$ , donde $y$ es una frase numérica abierta que involucra la variable $x$ . Entonces diremos que el dominio de la variable $x$ es el dominio máximo de $f$ y lo denotamos $D_{f}$

Nota: Recuerde que:

1.: Si $\frac{a}{b} \in ℝ$ entonces $b \neq 0$
2.: Si $\sqrt[n]{a} \in ℝ,$ con $n$ par entonces $a \geq 0$

■

Ejemplo 6.

1.

Sea

f (x) = \frac{x}{x - 1}

. Como

x - 1 \neq 0

entonces

x \neq 1

Por lo que el dominio de $f$ es $ℝ - {1},$ o sea $D_{f} = ℝ - {1}$

2.

Sea

f (x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 25},

aquí tiene que cumplirse que

x^{2} - 25 \neq 0

$\begin{matrix} x^{2} - 25 & = & 0 \\ (x - 5) (x + 5) & = & 0 ⟹ {\begin{matrix} x - 5 & = & 0 & ⟹ & x & = & 5 \\ x + 5 & = & 0 & ⟹ & x & = & - 5 \end{matrix} \end{matrix}$

Por lo que $D_{f} = ℝ - {5, - 5}$

■

Ejemplo 7.

Sea $f (x) = \sqrt{\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 2)}},$ aquí tiene que cumplirse que $\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Raíces: $x - 1 = 0 ⟹ x = 1$

Restricciones: $x = - 1, x = 2$

$- \infty$ $- 1$ $1$ $2$ $+ \infty$



$x - 1$	$-$	$-$	o $+$	$+$


$x + 1$	$-$	o $+$	$+$	$+$


$x - 2$	$-$	$-$	$-$	o $+$


$\frac{x - 1}{(x + 1) (x - 2)}$	$-$	$+$	$-$	$+$

Por lo que $D_{f} =] - 1, 1] \cup] 2, + \infty [$

■

Ejemplo 8.

Sea $g (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1},$ aquí tiene que cumplirse que $x + 2 \geq 0$ y $x - 1 \neq 0$

a): $x + 2 \geq 0 ⟺ x \geq - 2 ⟺ x \in [- 2, + \infty [$
b): $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

Por lo que $D_{f} = [- 2, + \infty [- {1}$

Ejercicio
Determine el dominio máximo para las funciones definidas por:

1.: $f (x) = \sqrt{\frac{- x + 2}{x}}$
2.: $g (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x - 5}$
3.: $h (x) = \sqrt{\frac{3}{x + 6} - 1}$
4.: $j (x) = \sqrt{x^{3} - 25 x}$
5.: $k (x) = \sqrt[3]{\frac{2}{- x + 1}}$
6.: $l (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1}}$

Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos y $f : A \to B,$ función

1.: $f$ se dice que es inyectiva: si todo elemento en B (codominio) tiene a lo más una preimagen en A (dominio).

Es decir: Si $f (a) = f (b)$ entonces $a = b$
2.: $f$ se dice que es sobreyectiva: si todo elemento en B (codominio) tiene alguna preimagen en A (dominio).
3.: $f$ se dice que es biyectiva: si es inyectiva y sobreyectiva.
a): Ejemplos de funciones inyectivas

Figura 2.16:
b): Ejemplos de funciones no inyectivas

Figura 2.17:

Figura 2.18:
c): Ejemplos de funciones sobreyectivas

Figura 2.19:
$f : [- 4, 4] \to [- 5, 5]$

Figura 2.20:
d): Ejemplos de funciones no sobreyectivas

Figura 2.21:
$f : [- 2, 1 [\cup] 2, 4] \to [- 3, 3]$

Figura 2.22:

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