Ejemplo 32.

En una gran empresa el 60% de las personas tiene problemas de tensión. Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 1000, 615 o más presenten este problema.

Este problema es de tipo binomial, puede resolverse calculando en forma directa $1-B(614;1000,.6)$ lo que conduce al valor $0.158528$,

También podemos recurrir a la aproximación normal de binomial y la probabilidad solicitada es:

$$P[X\ge 615]=\Phi \left(\frac{1000-600+.5}{\sqrt{1000(0.6)(0.4)}}\right)-\Phi \left(\frac{615-600-.5}{\sqrt{1000(0.6)(0.4)}}\right)$$

$$=1-\Phi (.93597)=0.174$$

Ejemplo 33.

La consultas a un sistema tienen una duración cuya media es de 4 segundos y su desviación estándar es de 1.5 segundos. Si llegan 50 consultas en forma independiente, cuál es la probabilidad de que las 50 tengan una duración promedio entre 3.5 y 3.8 segundos.

Si aplicamos los resultados descritos hasta ahora el promedio de la muestra de las 50 consultas sigue una distribución que es aproximadamente normal con media $\mu =4$ y desviación estándar $\sigma =1.5/\sqrt{50}=0.2121.$ Luego:

$$P[3.5\le X\le 3.8]=\Phi \left(\frac{3.8-4}{0.2121}\right)-\Phi \left(\frac{3.5-4}{0.2121}\right)=0.1645.$$

Ejemplo 34.

Una sonda espacial cuenta con un juego de 10 computadores para controlar su estado. En todo momento se encuentra trabajando un único computador y estos trabajan en forma serial de manera que en el instante en que uno falle empieza a funcionar el siguiente, y ası´ sucesivamente hasta utilizar los 10 computadores. La sonda está por pasar detrás de un planeta, por lo que se espera no tener comunicación con ella durante 4000 horas. Si cada computador opera correctamente 440 horas en promedio con una desviación estándar de 30 horas, entonces el tiempo acumulado de funcionamiento, $Y$ de todas los computadores sigue una distribución que se puede aproximar por una normal con media 1440 y desviación estándar $30\sqrt{10}$.

$$P[Y>4000]=1-\Phi \left(\frac{4000-4400}{30\sqrt{10}}\right)$$

$$=1-\Phi (-4.21)\approx 1.$$

Si el promedio de funcionamiento de cada computador fuera de 410 horas y la desviación estándar de 30 entonces la probabilidad pedida sería:

$$P[Y>4000]=1-\Phi \left(\frac{4000-4100}{30\sqrt{10}}\right)=1-\Phi (-1.05409)=1-0.14592=0.85408.$$

Ejemplo 35.

El rendimiento de cierto cilindro de gas está normalmente distribuido con una media de 6 horas y una desviación estándar de .5 horas. Este gas se vende en paquetes de 5 cilindros y en cada paquete se utilizan los cinco cilindros en forma secuencial, es decir se empieza uno solamente si se ha terminado el anterior.

Se desea determinar el tiempo máximo de duración de cada paquete de manera que éste sea excedido sólo por el 3% de los paquetes.

Como el tiempo de duración de cada cilindro es normal la distribución del tiempo $\mathit{TP}=T_1+\cdots +T_5$ de cada paquete también es normal con media 30 y desviación estándar $0.5\sqrt{5},$ lo que se solicita es un valor $c$ tal que.

$$P[\mathit{TP}<c]=0.97=P\left[Z<\frac{c-30}{0.5\sqrt{5}}\right]=0.97$$

De la herramienta correspondiente se obtiene $\frac{c-30}{0.5\sqrt{5}}=1.8807$ es decir $c=31.977,$ es decir solo un 3% de los paquetes tienen una duración de más de $31.977$ horas.

Ejemplo 36.

La duración de una batidora de un cierto fabricante es de 5 años, con una desviación estándar de un año. Si asumimos que las duraciones de estos mezcladores siguen aproximadamente una distribución normal, la aplicación de los teoremas estudiados nos permiten hacer las siguientes deducciones.

Si se toma una muestra aleatoria de 9 de estas batidoras entonces como la duración de un mezclador es de 5 años con una desviación de 1 año, la duración promedio sigue una distribución normal con una media de 5 años y con una desviación de $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{1}{3}=0.3333$.

Si se quiere la probabilidad de que en promedio este grupo dure entre 4.4 y 5.2 años se tiene

$$P[4.4\le \overline{X}\le 5.2]=P[-1.8\le Z\le .60]=0.9918-0.0359=0.9559$$

O por ejemplo el valor de $\overline{x}$ a la derecha del cual caería el $15\%$ de las medias calculadas de las muestras aleatorias de tamaño 9 se obtiene del cálculo

$$P[\overline{X}\ge \overline{x}]=0,15$$

o bien

$$P[\overline{X}\le \overline{x}]=P\left[Z\le \frac{\overline{x}-5}{0.33333}\right]=0,85$$

de la tabla y despejando se obtiene $\overline{x}=5,35,$ es decir si se compraran 9 batidoras un 15% de éstas funcionaría por un período superior a 5.35 años.

Ejemplo 37.

Un médico atiende un paciente en un tiempo que es una variable aleatoria con media $\mu =8$ minutos y desviación estándar 3 minutos. Si debe atender un total de 40 pacientes la probabilidad de que atienda todos los pacientes en menos de 5 horas, asumiendo que los pacientes ingresan, en forma continua es

$$P[T=T_1+\cdots +T_{40}\le 300]=P[Z<\frac{300-320}{3\sqrt{40}}]=0,1469$$

La probabilidad de que el tiempo promedio de atención sea superior a 7.5 minutos se obtiene de

$$P[\overline{X}>7.5]=1-P[Z\le \frac{7.5-8}{3/\sqrt{40}}]=0.8531.$$