Ejercicios

11. Ejercicios

Ejercicio 11.1. Un experimento consiste en lanzar una moneda hasta que ocurran dos veces consecutivas ya sea escudo o corona. Describa el espacio muestral que representa las posibles combinaciones E(escudo) C(corona) que pueden darse. Describa el evento deben hacerse exactamente 8 lanzamientos

Espacio muestral:

{EE, CC, ECC, CEE, EECC, CCEE, ECCE, CEEG, \dots}

(todas las secuencias que terminan con dos iguales consecutivas).
Evento exactamente 8 lanzamientos: Secuencias de longitud 8 que terminan con dos iguales y no contienen dos iguales consecutivas antes de la posición 8.

Ejercicio 11.2. Cuatro matrimonios (Hombre-Mujer) van al cine y se sientan en butacas consecutivas de forma aleatoria.

1.: De cuántas maneras se pueden sentar si no hay ninguna restricción.
2.: De cuántas maneras si se sientan como parejas, es decir los matrimonios van juntos.
3.: De cuántas maneras si los hombres se sientan todos juntos y las mujeres también.
4.: Si una pareja específica debe quedar junta. Qué tal si fueran dos parejas.
5.: Tres de ellos van a ir a comprar palomitas, si se eligen en forma totalmente aleatoria de cuántas maneras se puede formar la delegación.
6.: Volviendo sobre la pregunta anterior, si en la delegación debe ir al menos una mujer, de cuántas maneras se puede formar la delegación.

1.: $8! = 40320$
2.: $4! \times 2^{4} = 24 \times 16 = 384$
3.: $2! \times 4! \times 4! = 2 \times 24 \times 24 = 1152$
4.: Una pareja: $2! \times 7! = 10080$ ; dos parejas: $2^{2} \times 2! \times 6! = 4 \times 2 \times 720 = 5760$
5.: $(\binom{8}{3}) = 56$
6.: Total con al menos una mujer: $56 - (\binom{4}{3}) = 56 - 4 = 52$

Ejercicio 11.3. Use el principio de inclusión y exclusión, en el ejercicio previo, para determinar la probabilidad de que si las parejas se sientan en forma aleatoria alguna de ellas quede junta.

P (alguna pareja junta) = \frac{(\binom{4}{1}) 2! 7! - (\binom{4}{2}) 2^{2} 2! 6! + (\binom{4}{3}) 2^{3} 3! 5! - (\binom{4}{4}) 2^{4} 4! 4!}{8!} = \frac{4 \cdot 10080 - 6 \cdot 5760 + 4 \cdot 3840 - 1 \cdot 3072}{40320} = \frac{40320 - 34560 + 15360 - 3072}{40320} = \frac{18048}{40320} \approx 0.4476

Ejercicio 11.4. Dada la palabra ‘RASGUñO’, ¿de cuántas maneras se pueden reordenar sus letras? ¿Cuál es la probabilidad de que la r quede antes que la o?

La palabra tiene 8 letras con una

\tilde{n}

. Total permutaciones:

8! = 40320

. Por simetría,

P (r antes que o) = \frac{1}{2}

Ejercicio 11.5. En las permutaciones debe prestarse especial atención al caso en el cual puede darse la repetición del mismo elemento. Resuelva los siguientes casos:

1.: ¿De cuántas maneras se podrían reordenar las letras si fuera la palabra ‘PALABRA’?, ¿y si fuera la palabra ‘BORRACHERA’?
2.: ¿Cuántas palabras de 4 letras tomadas de la palabra ‘PALABRAS’?

1.: ‘palabra’: 7 letras con a repetida 3 veces, $\frac{7!}{3!} = 840$ . ‘borrachera’: 10 letras con a(2), r(3), e(2), b(1), o(1), c(1), h(1), $\frac{10!}{2! 3! 2!} = 151200$ .
2.: ‘palabras’: 8 letras con a(3), p(1), l(1), b(1), r(1), s(1). Para palabras de 4 letras: casos según repeticiones de a.

Ejercicio 11.6. Un pequeño autobús tiene dos filas de 5 asientos. Diez personas van a abordarlo, 3 de ellos prefieren ir al lado derecho, 2 al lado izquierdo y a los otros 5 no les importa qué asiento les corresponda. Si los pasajeros se ubican completamente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todos queden satisfechos?

Total formas:

10!

. Formas favorables: asignar 3 derecha a los 5 asientos derechos:

P (5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

, 2 izquierda a los 5 izquierdos:

P (5, 2) = 20

, restantes 5 a los 5 asientos sobrantes:

5!

. Total:

60 \cdot 20 \cdot 120 = 144000

P = \frac{144000}{10!} = \frac{144000}{3628800} \approx 0.03968

Ejercicio 11.7. Un ascensor puede detenerse en 10 pisos. Si parte con 7 pasajeros, ¿cuál es la probabilidad de que en ningún piso bajen más de dos pasajeros?

Casos totales:

1 0^{7}

. Favorables: distribuciones de 7 en 10 pisos con a lo sumo 2 por piso. Coeficiente de

x^{7}

{(1 + x + x^{2} / 2!)}^{10}

multiplicado por

7!

, o usar inclusion-exclusión.

Ejercicio 11.8. Se van a ubicar 7 bolas en 7 celdas, ¿cuál es la probabilidad de que queden tres celdas con 1 bolilla, 2 con dos y dos desocupadas?

Total:

7^{7}

(bolas distinguibles). Favorables: elegir celdas:

(\binom{7}{3}) (\binom{4}{2}) (\binom{2}{2})

, luego asignar bolas:

\frac{7!}{{(1!)}^{3} {(2!)}^{2}}

P = \frac{(\binom{7}{3}) (\binom{4}{2}) \cdot 7! / (1!^{3} 2!^{2})}{7^{7}}

Ejercicio 11.9. Se tiran 7 dados, ¿cuántos resultados pueden ocurrir?

6^{7} = 279936

(dados distinguibles).

Ejercicio 11.10. Se van a ubicar

n

bolas en

n

celdas. ¿Cuál es la probabilidad de que quede exactamente una celda vacía?

Total:

n^{n}

. Elegir celda vacía:

n

. Elegir celda con 2 bolas:

n - 1

. Elegir las 2 bolas:

(\binom{n}{2})

. Restantes

n - 2

bolas en

n - 2

celdas:

(n - 2)!

P = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (\binom{n}{2}) \cdot (n - 2)!}{n^{n}} = \frac{n! \cdot (\binom{n}{2})}{n^{n}}

Ejercicio 11.11. En una urna hay 6 bolillas celestes y 4 blancas. En un primer paso se extrae una bolita de la urna, si es blanca se elimina si es celeste se reintegra. Como segundo paso se extrae otra bolita. Si la segunda bolita es celeste qué es más probable que la primera haya sido blanca o celeste.

P (1ra celeste ∣ 2da celeste) = \frac{P (C_{1}) P (C_{2} | C_{1})}{P (C_{2})} = \frac{(0.6) (0.6)}{0.6 \cdot 0.6 + 0.4 \cdot \frac{6}{9}} = \frac{0.36}{0.36 + 0.2667} = \frac{0.36}{0.6267} \approx 0.574

P (1ra blanca ∣ 2da celeste) \approx 0.426

. Más probable que la primera haya sido celeste.

Ejercicio 11.12. En una baraja hay 52 cartas divididas en 13 grupos. Se le reparte a una persona una mano con 5 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que reciba tres cartas iguales y dos distintas entre sí?

P = \frac{(\binom{13}{1}) (\binom{4}{3}) \cdot (\binom{12}{2}) {(\binom{4}{1})}^{2}}{(\binom{52}{5})}

Ejercicio 11.13. Una baraja está compuesta de 52 cartas divididas en 4 grupos de 13 cartas numeradas de 2 a 14.

1.: Si se van a elegir 5 cartas determine la probabilidad de que sean de distinto número.
2.: Si se van a elegir 4 cartas al azar cuál es la probabilidad de que sean todas de un mismo grupo.
3.: Se van a tomar 13 cartas, determine la probabilidad de que no hayan dos cartas de igual número.

1.: $\frac{(\binom{13}{5}) 4^{5}}{(\binom{52}{5})}$
2.: $\frac{4 \cdot (\binom{13}{4})}{(\binom{52}{4})}$
3.: $\frac{4^{13}}{(\binom{52}{13})}$ (una de cada número)

Ejercicio 11.14. En un salón hay 9 mujeres y 4 hombres. Se eligen sucesivamente y al azar 5 personas para formar un comité con 5 puestos. Sean los eventos

A_{i} :

La persona elegida en el puesto

i

es mujer para

i : = 1, 2 \dots, 5

B_{j} :

La persona elegida en el puesto

j

es hombre para

j : = 1, 2 \dots, 5

Para cada uno de los ítemes exprese el enunciado en términos de los $A_{i}$ y $B_{j}$ y calcule las probabilidades respectivas:

1.: La segunda y tercer persona son mujeres.
2.: Hay al menos un hombre.

1.: $A_{2} \cap A_{3}$ . $P = \frac{9}{13} \cdot \frac{8}{12} = \frac{72}{156} = \frac{6}{13}$
2.: $B_{1} \cup B_{2} \cup B_{3} \cup B_{4} \cup B_{5} = 1 - (A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap A_{5})$ . $P = 1 - \frac{9}{13} \cdot \frac{8}{12} \cdot \frac{7}{11} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = 1 - \frac{15120}{154440} = 1 - \frac{126}{1287} = \frac{1161}{1287}$

Ejercicio 11.15. Cuatro personas en una terminal suben a un autobús que se detiene en 3 paradas. Determine la probabilidad de que en cada parada baje al menos una persona.

Total:

3^{4} = 81

. Favorables: distribuciones de 4 en 3 con ninguna vacía:

3! \cdot S (4, 3) = 6 \cdot 6 = 36

P = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}

Ejercicio 11.16. Cierto algoritmo recibe una palabra por entrada, toma las letras que la forman y da como salida todas las palabras, con significado o no, formadas con una, dos, tres, hasta el total de letras de la palabra. Por ejemplo si la entrada es ama la salida es

{a, m, am, ma, aa, maa, ama, aam}

. Determine la cantidad de palabras en la salida de este programa cuando la entrada es osiris.

‘osiris’: letras o,s,i,r,i,s (o(1),s(2),i(2),r(1)). Total palabras:

\sum_{k = 1}^{6} (permutaciones con repetición de k tomadas del multiconjunto)

. Cálculo por casos.

Ejercicio 11.17. Cinco Fantasmas salen de sus cuevas a asustar cada noche. Un día, por la emoción de su trabajo les sorprende la luz del amanecer y corriendo llegan a sus cuevas, ocupándolas en forma aleatoria. Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos quede en su lugar.

Desarreglos:

D_{5} = 5! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}) = 44

P (al menos uno) = 1 - \frac{44}{120} = \frac{76}{120} = \frac{19}{30}

Ejercicio 11.18. Diez palomas indistinguibles vuelan hacia 4 nidos, las palomas se ubican de manera totalmente aleatoria. Determine la probabilidad de que no queden nidos vacíos.

Combinaciones con repetición: total

(\binom{10 + 4 - 1}{4 - 1}) = (\binom{13}{3}) = 286

. Favorables (ninguno vacío):

(\binom{10 - 1}{4 - 1}) = (\binom{9}{3}) = 84

P = \frac{84}{286} = \frac{42}{143}

Ejercicio 11.19. Cuando una persona juega tiro al blanco la probabilidad de fallar se reduce a la mitad con cada jugada, de hecho la probabilidad de fallar el primer intento es de

\frac{1}{2}

, la de fallar en el segundo es

\frac{1}{4}

y ası´ sucesivamente. Cuál es la probabilidad de que un jugador necesite hacer exactamente

n

intentos antes de acertar.

Acertar en intento

n

: fallar

n - 1

y acertar en

n

P = (\frac{1}{2}) (\frac{1}{4}) \dots (\frac{1}{2^{n - 1}}) \cdot (1 - \frac{1}{2^{n}}) = \frac{1}{2^{(n - 1) n / 2}} \cdot (1 - \frac{1}{2^{n}})

Ejercicio 11.20. En una sala hay

n

parejas Esposo-Esposa, si en una dinámica se eligen

2 r < 2 n

personas, ¿de cuántas maneras se puede elegir?

1.: No hay restricciones.
2.: Deben ser parejas Esposo-Esposa.
3.: Debe ser pareja Hombre-Mujer, sin importar si son o no esposos.

1.: $(\binom{2 n}{2 r})$
2.: $(\binom{n}{r})$ (elegir $r$ parejas completas)
3.: Elegir $h$ hombres y $m$ mujeres con $h + m = 2 r$ : $\sum_{h = max (0, 2 r - n)}^{min (n, 2 r)} (\binom{n}{h}) (\binom{n}{2 r - h})$

Ejercicio 11.21. Se tiran 7 dados distinguibles, ¿cuántos resultados posibles hay?

6^{7} = 279936

Ejercicio 11.22. Se van a formar números de 3 dígitos, es decir entre 100 y 999, con los dígitos

0, 1, 2 \dots, 9

sin repetir dígitos. ¿Cuántos números hay?, ¿cuál es la probabilidad de que al tomar un número de estos al azar sea par?

Total:

9 \cdot 9 \cdot 8 = 648

(centenas: 1-9, decenas: restantes 9, unidades: restantes 8). Pares: unidades par (0,2,4,6,8). Casos: unidad=0:

9 \cdot 8 = 72

; unidad

\in {2, 4, 6, 8}

8 \cdot 8 \cdot 4 = 256

. Total pares:

328

P = \frac{328}{648} = \frac{41}{81}

Ejercicio 11.23. Cuatro damas llegan a un baile con su respectiva pareja, 4 caballeros. Un apagón produce una confusión y cada una de ellas toma al azar un caballero, determine la probabilidad de que al menos una de ellas quede con la pareja que traía.

Desarreglos:

D_{4} = 4! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 9

P = 1 - \frac{9}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}

Ejercicio 11.24. 10 personas se van a ubicar en 6 oficinas, ninguna oficina debe quedar vacía. ¿De cuántas maneras se puede dar la ocupación si las personas son indistinguibles? Si las personas son distinguibles, ¿de cuántas maneras puede darse la ocupación?

Indistinguibles:

(\binom{10 - 1}{6 - 1}) = (\binom{9}{5}) = 126

. Distinguibles:

6! \cdot S (10, 6)

donde

S (10, 6)

es número de Stirling de segunda especie.

Ejercicio 11.25. Se va a formar un arreglo de 8 posiciones, cada una de ellas puede ser 0 o 1. Si se elige un arreglo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga unos seguidos?

Total:

2^{8} = 256

. Favorables:

F_{n + 2}

con

F_{1} = 1, F_{2} = 2

: número de cadenas binarias sin 1s consecutivos =

F_{10} = 55

P = \frac{55}{256}

Ejercicio 11.26. En una canasta hay 8 bolillas blancas y 2 negras.

1.: Si se extraen dos bolillas con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?
2.: Si se extraen dos bolillas, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean blancas?

1.: ${(\frac{8}{10})}^{2} = \frac{64}{100} = 0.64$
2.: $\frac{(\binom{8}{2})}{(\binom{10}{2})} = \frac{28}{45} \approx 0.6222$

Ejercicio 11.27. Dada la palabra DESEO determine:

1.: La cantidad de secuencias de cuatro letras que se pueden formar si estas secuencias deben incluir a la letra E, y cada letra puede usarse tantas veces como aparezca en la palabra.
2.: La cantidad de secuencias de cuatro letras que se pueden formar si estas secuencias deben incluir a la letra E, y se admite repetición de letras sin ninguna restricción.

Palabra DESEO: D(1), E(2), S(1), O(1). Total 5 letras con repeticiones.

1.: Con E al menos una: total $\frac{5!}{2!} = 60$ sin restricción. Sin E: $\frac{3!}{1!} = 6$ (D,S,O). Con E: $60 - 6 = 54$ .
2.: Con repetición ilimitada: $4^{5} = 1024$ total. Sin E: $3^{5} = 243$ . Con E: $1024 - 243 = 781$ .

Ejercicio 11.28. Se van a distribuir 40 estudiantes indistinguibles en 6 aulas, ¿de cuántas maneras puede hacerse la distribución si las dos primeras aulas no pueden quedar vacías, la tercer aula debe tener al menos 3 estudiantes y el aula 4 debe tener a lo sumo un estudiante?

Ecuación:

x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 40

, con

x_{1} \geq 1, x_{2} \geq 1, x_{3} \geq 3, 0 \leq x_{4} \leq 1, x_{5} \geq 0, x_{6} \geq 0

. Cambio:

y_{1} = x_{1} - 1 \geq 0

y_{2} = x_{2} - 1 \geq 0

y_{3} = x_{3} - 3 \geq 0

y_{4} = x_{4}

y_{5} = x_{5}

y_{6} = x_{6}

y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{5} + y_{6} = 35

con

0 \leq y_{4} \leq 1

. Total sin restricción

y_{4}

(\binom{35 + 6 - 1}{6 - 1}) = (\binom{40}{5}) = 658008

. Restar casos con

y_{4} \geq 2

y_{4}^{'} = y_{4} - 2 \geq 0

, nueva suma

33

(\binom{33 + 6 - 1}{5}) = (\binom{38}{5}) = 501942

. Total:

658008 - 501942 = 156066

Ejercicio 11.29. Se van a distribuir

a

caramelos,

b

melcochas y

c

chocolates entre

a + b + c

personas. Si la repartición se hace al azar y cada persona recibe exactamente un dulce, ¿de cuántas maneras pueden distribuirse los dulces entre ellos?

\frac{(a + b + c)!}{a! b! c!}

Ejercicio 11.30. Encuentre la probabilidad de obtener cada una de las siguientes manos de póker:

1.: Escalerilla limpia (cinco cartas en secuencia de un solo palo, pero no en escalerilla real [10, J, Q, K, A]. Como el A también se cuenta como uno, la secuencia A, 2, 3, 4, 5 es también una escalerilla limpia).
2.: Cuatro cartas del mismo valor.
3.: Casa llena (un par y un triple del mismo valor, por ejemplo A, A, K, K, K).
4.: Cinco cartas del mismo palo, pero no en escalerilla.
5.: Escalerilla (cinco cartas en secuencia, pero no del mismo palo).

1.: $\frac{4 \cdot 10}{(\binom{52}{5})}$ (10 secuencias, 4 palos)
2.: $\frac{(\binom{13}{1}) (\binom{4}{4}) (\binom{48}{1})}{(\binom{52}{5})}$
3.: $\frac{(\binom{13}{1}) (\binom{4}{3}) (\binom{12}{1}) (\binom{4}{2})}{(\binom{52}{5})}$
4.: $\frac{4 (\binom{13}{5}) - 4 \cdot 10}{(\binom{52}{5})}$
5.: $\frac{10 \cdot 4^{5} - 4 \cdot 10}{(\binom{52}{5})}$

Ejercicio 11.31. Suponga que se toman dos cartas de una mano formada por las 4 Q’s y las 4 K’s de una baraja. Calcule:

1.: La probabilidad de que las dos cartas sean Q’s, sabiendo que una de ellas es una Q.
2.: La probabilidad de que ambas cartas sean Q’s, sabiendo que una de ellas es una Q roja.
3.: La probabilidad de que ambas sean Q’s, sabiendo que una de ellas es la Q de corazones.

Total cartas: 8 (4Q,4K). Espacio muestral:

(\binom{8}{2}) = 28

1.: $P = \frac{(\binom{4}{2})}{(\binom{8}{2}) - (\binom{4}{2})} = \frac{6}{28 - 6} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$
2.: $P = \frac{(\binom{3}{1})}{(\binom{7}{1})} = \frac{3}{7}$ (una Q roja fija, queda 1 Q roja y 2 Q negras entre 7 restantes)
3.: $P = \frac{3}{7}$ (Q corazones fija, quedan 3 Q entre 7)

Ejercicio 11.32. Pruebe que

P [A_{k}] = 1 / n

. Para justificar que la probabilidad de un hombre de obtener su propio sombrero no depende de que llegue de primero, segundo, o incluso de último.

P (A_{k}) = \frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{n}

, por simetría.

Ejercicio 11.33. Pedro y Juan son parte de un grupo de 6 personas que han colocado su sombrero sobre una mesa. Luego todos seleccionan un sombrero al azar de los que se encuentran en dicha mesa. Calcule la probabilidad de que:

1.: Pedro obtenga su propio sombrero.
2.: Que tanto Pedro como Juan obtengan sus respectivos sombreros.
3.: Al menos uno de ellos, o Pedro o Juan, obtenga su propio sombrero.

1.: $\frac{1}{6}$
2.: $\frac{1}{6 \cdot 5} = \frac{1}{30}$
3.: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{30} = \frac{10 + 10 - 1}{30} = \frac{19}{30}$

Ejercicio 11.34. Considere el problema de correspondencia de

n

urnas y

n

bolas numeradas. Muestre que la probabilidad de que al menos haya una correspondencia está dada por

1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} - \dots + \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n!} \approx 1 - e^{- 1} = 0, 632120559 .

Por inclusión-exclusión:

P (\cup A_{i}) = \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k - 1} (\binom{n}{k}) \frac{(n - k)!}{n!} = \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k - 1} \frac{1}{k!}

. Al hacer

n \to \infty

tiende a

1 - e^{- 1}

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