Definiciones Basicas

13. Definiciones Básicas

Definición 14.

Si $Ω$ es el espacio muestral para un experimento aleatorio entonces una variable aleatoria $X$ es una función del espacio muestral al conjunto de los reales.

X : Ω \to ℜ.

La propiedad más importante de una variable aleatoria es la distribución de probabilidad. Si bien no existe una definición exacta de lo que es una distribución de probabilidad si hay consenso en las propiedades que debe cumplir.

Si $X$ es una variable aleatoria discreta con rango $R_{X} = {x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots}$ una distribución de probabilidad para $X$ es una función, $f_{X},$ del $Rango (X)$ a los reales.

f_{X} : Rango (X) \to ℜ, que cumple:

1.: $f_{X} (x_{i}) \geq 0, \forall x_{i} \in Rango (X),$
2.: $\sum_{x \in Rango (X)} f_{X} (x) = 1 .$

En general se aceptan ciertas convenciones de notación. Si $X$ es una variable aleatoria y $x$ es un número real se escribe:

X = x,

para referirse al evento

{𝜖 : 𝜖 \in Ω \land X (𝜖) = x},

similarmente se usa la notación

X \leq x,

para referirse al evento

{𝜖 : 𝜖 \in Ω \land X (𝜖) \leq x},

Si $X$ es una variable aleatoria discreta se puede definir su función de distribución de probabilidad por:

f_{X} (x) = P [X = x] .

(1.11)

Ejemplo 9.

Se tiene una caja que contiene cuatro bolillas rojas y tres verdes y se empiezan a extraer bolillas, sin reemplazo, hasta obtener una bolilla roja. Sea $X$ la variable aleatoria que indica el número de bolillas que se extraen, tenemos lo siguiente.

El espacio muestral para el experimento es $Ω = {roja, verde - roja, verde - verde - roja, verde - verde - verde - roja}$

Los valores que toma $X$ son

{\begin{matrix} X (roja) & = & 1 \\ X (verde - roja) & = & 2 \\ X (verde - verde - roja) & = & 3 \\ X (verde - verde - verde - roja) & = & 4 \end{matrix}

Una distribución de probabilidad, en este ejemplo, fundamentada en asumir que toda bolilla tiene la misma probabilidad de ser tomada, es:

{\begin{matrix} f_{X} (1) & = & \frac{4}{7} \\ f_{X} (2) & = & \frac{3}{7} \frac{4}{6} \\ f_{X} (3) & = & \frac{3}{7} \frac{2}{6} \frac{4}{5} \\ f_{X} (4) & = & \frac{3}{7} \frac{2}{6} \frac{1}{5} \frac{4}{4} \end{matrix}

Una distribución de probabilidad asigna probabilidades a cada uno de los eventos simples del espacio muestral.

Existe otro concepto importante que tiene que ver con el siguiente problema. Dado un espacio muestral $Ω,$ una variable aleatoria discreta definida sobre $Ω$ y un valor $x$ , tiene sentido el calcular la probabilidad de que ocurra alguno de los valores que son menores o iguales a $x$ .

En el ejemplo anterior podrá resultar importante responder a cuál es la probabilidad de que haya que hacer dos o menos extracciones para obtener una bolilla roja.

En este caso el valor solicitado es la probabilidad de que haya que hacer una o dos extracciones para obtener una bolilla roja. Aplicando el principio de la suma se obtiene que:

P [X \leq 2] = P [X = 1] + P [X = 2] = \frac{4}{7} + \frac{3}{7} \frac{4}{6} = \frac{6}{7} .

Definición 15.

Si $X$ es una variable aleatoria discreta con rango
$R = {x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots}$ entonces se define la función de distribución de masa o distribución acumulada para $X$ por:

F_{X} (x) = P [X \leq x] = {\begin{matrix} 0 & si x < x_{0} \\ ∑_{i = 0}^{r} f_{X} (x_{i}) & si x_{r} \leq x < x_{r + 1} . \end{matrix}

Por ejemplo para el caso anterior se tiene que $F_{X} (x)$ cumple

F_{X} (x) = P [X \leq x] = {\begin{matrix} 0 & si x = 0 \\ 4 / 7 & si x = 1 \\ 6 / 7 & si x = 2 \\ 34 / 45 & si x = 3 \\ 1 & si x \geq 4 \end{matrix}

Ejemplo 10.

Se tira un dado que no está cargado, hasta que se obtenga un uno. Si denotamos por $Z$ la ocurrencia de un uno y por $W$ la no ocurrencia, el espacio muestral tiene la forma ${Z, WZ, WWZ, WWWZ, \dots} .$ Si $X$ es el número de lanzamientos los posibles valores para $X$ son ${1, 2, 3, 4 \dots}$ y la función de probabilidad para $X$ tiene la forma:

f_{X} (x) = {\begin{matrix} {(\frac{5}{6})}^{x - 1} (\frac{1}{6}) & si x = 1, 2 \dots \\ 0 & en cualquier otro caso. \end{matrix}

Para el cálculo de de la función de densidad de masa debe calcularse el valor de:

\begin{array}{rcl} P [X \leq x] = {\begin{matrix} 0 & si x < 1 \\ ∑_{i = 1}^{n} {(\frac{5}{6})}^{i - 1} (\frac{1}{6}) & si n \leq x < n + 1 . \end{matrix} \end{array}

Utilizando adecuadamente el hecho de que:

$1 + r + \dots + r^{n} = \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r}$

Se obtiene que:

\begin{array}{rcl} P [X \leq x] = {\begin{matrix} 0 & si x < 1 \\ 1 - \frac{5^{n}}{6^{n}} & si n \leq x < n + 1 . \end{matrix} \end{array}

De acuerdo a esta última función se tiene que la probabilidad de que se deban hacer 1, 2 o 3 lanzamientos antes de obtener un 1 es de 0.4211

Las siguientes reglas se obtienen de manera directa de la definición 15 y de las propiedades de las probabilidades.

\begin{array}{rcl} P [a \leq X \leq b] & = & F (b) - F (a^{-}), & (1.12) \\ P [a \leq X < b] & = & F (b^{-}) - F (a^{-}), & (1.13) \\ P [a < X \leq b] & = & F (b) - F (a) . & (1.14) \\ (1.15) \end{array}

Como se ha dicho anteriormente una variable aleatoria es continua si cumple que al poder alcanzar cualquier par de valores $a < b$ reales entonces puede alcanzar cualquier valor que esté en el intervalo $[a, b]$ . En el caso de variables aleatorias continuas se tienen las siguientes definiciones:

Si $X$ es una variable aleatoria continua una distribución de probabilidad para $X$ es una función $f_{X}$ que cumple las siguientes propiedades:

1.: $f_{X} (x) \geq 0 \forall x.$
2.: Si $a < b$ se tiene $P [a \leq X \leq b] = \int_{a}^{b} f_{X} (x) dx.$
3.: $\int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) dx = 1 .$
4.: $F_{X} (x) = P [X \leq x] = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (t) dt.$

Además se cumple que:

\begin{array}{rcl} P [a \leq X \leq b] & = & F (b) - F (a), & (1.16) \\ P [X = b] = 0 . & (1.17) \end{array}

Por ejemplo, si una variable aleatoria continua $X$ tiene una distribución de probabilidad de la forma

f (x; λ) = {\begin{matrix} λ e^{- λx} : & Para x > 0 \\ 0 : & En cualquier otro caso \end{matrix},

se dice que la variable $X$ sigue una distribución de tipo exponencial de parámetro $λ$ .

Además no es difícil demostrar que la distribución de probabilidad acumulada tiene la forma

F (x; λ) = {\begin{matrix} 0 : & Para x < 0 \\ 1 - e^{- λx} : & Para x \geq 0 \end{matrix},

(1.18)

Ejemplo 11.

El tiempo que tarda un persona en localizar un archivo en su escritorio sigue una distribución exponencial con parámetro $λ = 2$ minutos.

La probabilidad de que en la próxima búsqueda dure menos de 3 minutos es $F (3) = 1 - e^{- 6} = 0.997 .$ Mientras tanto, la probabilidad de que tarde entre 1.5 y 2.5 minutos es de $F (2.5) - F (1.5) = 0.043$ .

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