Ejercicios

31. Ejercicios

Ejercicio 31.1. El coeficiente de inteligencia (C.I.) de una población sigue una distribución normal con media 100 y desviación estándar de 16. ¿Cuál es la probabilidad de que en promedio el C.I. de un grupo de 12 personas elegidas al azar esté entre 95 y 105? ¿Qué tan grande debe ser la muestra para tener una probabilidad del 95% de que el C.I. promedio del grupo esté en esos límites?

Para

n = 12

\bar{X} \sim N (100, 16 / \sqrt{12})

P (95 < \bar{X} < 105) = P (\frac{95 - 100}{16 / \sqrt{12}} < Z < \frac{105 - 100}{16 / \sqrt{12}}) = P (- 1.0825 < Z < 1.0825) = 0.7208 .

Para confianza 95%: $1.96 \cdot \frac{16}{\sqrt{n}} = 5$ , despejando $n = {(\frac{1.96 \cdot 16}{5})}^{2} \approx 39.3$ , se requiere $n = 40$ .

Ejercicio 31.2. Los tiempos de reacción ante una eventualidad, de dos conductores

A

B

son tales que sus distancias de frenado a 50 kilómetros por hora están distribuidos normalmente con media 30 metros y varianza 36 m

^{2}

para

A

y media 40 metros y varianza 64 m

^{2}

para

B

. Si se encuentran de frente en una carretera de una sola vía y cuando se ven van a 50 km/h y están a 90 metros, ¿cuál es la probabilidad de que eviten la colisión?

D_{A} \sim N (30, 6)

D_{B} \sim N (40, 8)

. La distancia total de frenado

D = D_{A} + D_{B} \sim N (70, \sqrt{36 + 64} = 10)

. Evitan colisión si

D < 90

P (D < 90) = P (Z < \frac{90 - 70}{10} = 2) = 0.9772 .

Ejercicio 31.3. Si la probabilidad de que nazca una mujer es de 0.52, ¿cuál es la probabilidad de que hayan menos hombres que mujeres en los próximos 980 nacimientos?

Sea

X \sim Bin (980, 0.52)

el número de mujeres. “Menos hombres que mujeres” equivale a

X > 490

, es decir

X \geq 491

. Aproximación normal:

μ = 980 \cdot 0.52 = 509.6

σ = \sqrt{980 \cdot 0.52 \cdot 0.48} \approx 15.64

P (X \geq 491) \approx P (Z \geq \frac{490.5 - 509.6}{15.64} = - 1.22) = 0.8888 .

Ejercicio 31.4. Una pequeña batería de radio funciona durante un tiempo que sigue una distribución exponencial con media de un minuto. Se tiene un dispositivo con 100 baterías de estas que hace que funcionen secuencialmente. Determine la probabilidad de que entre todas funcionen por un tiempo superior a 110 minutos.

El tiempo total

T = \sum_{i = 1}^{100} X_{i}

con

X_{i} \sim Exp (1)

(media 1).

E [T] = 100

Var (T) = 100

. Por el TLC,

T \approx N (100, 10)

P (T > 110) = P (Z > \frac{110 - 100}{10} = 1) = 0.1587 .

Ejercicio 31.5. Una fábrica produce un tipo de tornillo que miden en promedio 50 mm con una desviación estándar de 2 mm. Determine la medida

m

sobre la cual queda el 10% de los promedios en muestras de 30 tornillos.

\bar{X} \sim N (50, 2 / \sqrt{30})

. Se busca

m

tal que

P (\bar{X} > m) = 0.10

z_{0.10} = 1.2816

, entonces

m = 50 + 1.2816 \cdot \frac{2}{\sqrt{30}} \approx 50 + 0.468 = 50.468 mm .

Ejercicio 31.6. Una persona llena un formulario en un tiempo que se distribuye normalmente con una media de 10 minutos y una desviación de 2 minutos.

1.: Si cinco personas llenan el formulario, ¿cuál es la probabilidad de que en promedio tarden menos de 11 minutos?
2.: Si cinco llenan el formulario, ¿cuál es la probabilidad de que todos ellos duren menos de 11 minutos?

1.

\bar{X} \sim N (10, 2 / \sqrt{5})

P (\bar{X} < 11) = P (Z < \frac{11 - 10}{2 / \sqrt{5}} = 1.118) = 0.8682 .

2.

P (X < 11) = P (Z < \frac{11 - 10}{2} = 0.5) = 0.6915

. Para 5 personas independientes:

{(0.6915)}^{5} = 0.1581

Ejercicio 31.7. Una bomba de agua funciona en promedio 5 horas con una desviación estándar de 0.5 horas.

1.: Asumiendo que el tiempo de funcionamiento es normal y que funcionarán en forma secuencial, una después de la otra, determine cuántas bombas serán necesarias para tener una probabilidad superior al 90% de que entre todas funcionen por más de 90 horas.
2.: La misma pregunta pero sin asumir que el tiempo de funcionamiento es normal.

1.

Con normalidad:

T_{n} \sim N (5 n, 0.5 \sqrt{n})

P (T_{n} > 90) = 0.90

implica

P (Z < \frac{90 - 5 n}{0.5 \sqrt{n}}) = 0.10 ⟹ \frac{90 - 5 n}{0.5 \sqrt{n}} = - 1.2816,

es decir $5 n - 0.6408 \sqrt{n} - 90 = 0$ . Resolviendo numéricamente se obtiene $n \approx 19$ .

2.

Sin normalidad, por el TLC se aplica la misma ecuación aproximada; la respuesta es igualmente

n = 19

Ejercicio 31.8. Para los siguientes ejercicios resuélvalos usando binomiales exactas y aproximaciones por normal.

1.: Se sabe que el 20% de los habitantes de un país usan con frecuencia el cinturón de seguridad. En una muestra de 200, ¿cuál es la probabilidad de que entre 30 y 45 usen el cinturón?
2.: En una muestra de 1000, ¿cuál es la probabilidad de que entre 150 y 210 usen el cinturón?

1.: $X \sim Bin (200, 0.2)$ . Exacto: $P (30 \leq X \leq 45) = \sum_{k = 30}^{45} (\binom{200}{k}) 0 . 2^{k} 0 . 8^{200 - k} \approx 0.832$ . Normal: $μ = 40$ , $σ = 5.657$ , $P (29.5 < X < 45.5) = P (- 1.86 < Z < 0.97) = 0.8023$ .
2.: $X \sim Bin (1000, 0.2)$ , $μ = 200$ , $σ = 12.649$ . Normal: $P (149.5 < X < 210.5) = P (- 3.99 < Z < 0.83) = 0.7967$ .

Ejercicio 31.9. Un programa especial del Parque de Diversiones entrega una camiseta a las personas que se suben al Huracán. Se sabe que un día van a llegar 1600 personas y que la probabilidad de que una persona al azar use el Huracán es 0.2. ¿De cuántas camisetas debe disponerse para garantizar que al menos un 80% de los visitantes que usaron el Huracán reciban camiseta?

X \sim Bin (1600, 0.2)

es el número que usa el Huracán. Se busca

k

tal que

P (X \leq k) \geq 0.80

μ = 320

σ = 16

. Normal:

P (X \leq k) = 0.80

implica

k = 320 + 0.8416 \cdot 16 = 333.47

, se necesitan 334 camisetas.

Ejercicio 31.10. Una batería de radio tiene una duración distribuida normalmente con media de 8 horas y desviación estándar 1 hora. Se colocan en dos radios idénticos que gastan las baterías en forma consecutiva, lotes de 4 baterías. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos radios funcionen por más de 34 horas?

Para cada radio:

T_{4} \sim N (4 \cdot 8 = 32, \sqrt{4 \cdot 1^{2}} = 2)

P (T_{4} > 34) = P (Z > \frac{34 - 32}{2} = 1) = 0.1587 .

Ambos radios funcionan de manera independiente: ${(0.1587)}^{2} = 0.0252$ .

Ejercicio 31.11. El total de accesos a una base de datos en un día sigue una distribución de Poisson con media 3 accesos. Determine la probabilidad de que en los próximos cien días haya más de 350 accesos. Resuelva el problema usando el TLC y sin usarlo.

Sin TLC:

S_{100} \sim Poisson (300)

P (S_{100} > 350) = 1 - ∑_{k = 0}^{350} e^{- 300} \frac{30 0^{k}}{k!} \approx 0.0019 .

Con TLC: $S_{100} \approx N (300, \sqrt{300} = 17.32)$ ,

P (S_{100} > 350.5) = P (Z > 2.915) = 0.0018 .

Ejercicio 31.12. Suponga que el tiempo

T

que tarda una persona en resolver un examen sigue una distribución normal con media 50 minutos y desviación estándar de 12 minutos. Si diez personas hacen el examen, determine la probabilidad de que el tiempo acumulado entre ellos sea superior a 2 horas 10 minutos.

2 h 10 min

= 130

min.

S_{10} \sim N (500, 12 \sqrt{10} \approx 37.95)

P (S_{10} > 130) = P (Z > \frac{130 - 500}{37.95} = - 9.75) \approx 1 .

Ejercicio 31.13. La distribución de peso de cierto tipo de paquete tiene media 10 libras y desviación estándar de 2 libras. Este tipo de paquete se empaca en cajas de 25 paquetes cada una. Se desea establecer un valor de peso

c

, más allá del cual habrá cargo extra. ¿Cuál es el valor de

c

para que el 90% de las cajas no deban pagar cargo extra?

\bar{X} \sim N (10, 2 / \sqrt{25} = 0.4)

P (\bar{X} < c) = 0.90

implica

c = 10 + 1.2816 \cdot 0.4 = 10.5126 libras .

Ejercicio 31.14. Se sabe que el 20% de los habitantes de un país usan con frecuencia el cinturón de seguridad. En una muestra de 200, ¿cuál es la probabilidad de que entre 30 y 45 usen el cinturón? Trace las gráficas de la binomial, de la normal que aproxima y de la Poisson que aproxima.

Bin (200, 0.2)

con

μ = 40

σ \approx 5.657

. Normal aproximante:

N (40, 5.657)

. Poisson aproximante:

Pois (40)

. Gráficas: superponer el histograma de la binomial con las curvas de la normal y la Poisson.

Ejercicio 31.15. Una línea aérea sabe que la probabilidad de que una persona que compra un boleto de avión en realidad llegue a abordar es de

0.98

. Si la línea aérea tiene 350 espacios y desea que la probabilidad de que el avión se llene en cada vuelo sea de 0.95, determine el total de boletos que debe vender.

Sea

X \sim Bin (n, 0.98)

el número que aborda. Se busca

n

tal que

P (X \geq 350) = 0.95

. Equivalentemente, si

Y = n - X \sim Bin (n, 0.02)

son los que no abordan, se requiere

P (Y \leq n - 350) = 0.95

. Con aproximación normal:

μ_{Y} = 0.02 n

σ_{Y} = \sqrt{0.02 \cdot 0.98 n}

. La condición es

n - 350 = 0.02 n + 1.645 \sqrt{0.0196 n} .

Resolviendo numéricamente, $n \approx 360$ .

Ejercicio 31.16. La probabilidad de que un programa de cómputo viejo tenga documentación es de

0.3

. Si se eligen al azar 10 de estos programas, ¿cuál es la probabilidad de que entre 4 y 7 de ellos tengan documentación?

1.: Resuelva usando binomial.
2.: Trace las gráficas de la binomial y de la normal que aproximaría usando la teoría estudiada.
3.: ¿La aproximación es aceptable? Justifique su respuesta.

1.

X \sim Bin (10, 0.3)

\begin{array}{l} P (X = 4) & = (\binom{10}{4}) {(0.3)}^{4} {(0.7)}^{6} = 210 \times 0.0081 \times 0.117649 \approx 0.2001, \\ P (X = 5) & = (\binom{10}{5}) {(0.3)}^{5} {(0.7)}^{5} \approx 0.1029, \\ P (X = 6) & = (\binom{10}{6}) {(0.3)}^{6} {(0.7)}^{4} \approx 0.0368, \\ P (X = 7) & = (\binom{10}{7}) {(0.3)}^{7} {(0.7)}^{3} \approx 0.0090 . \end{array}

Por tanto,

P (4 \leq X \leq 7) = 0.2001 + 0.1029 + 0.0368 + 0.0090 = 0.3488 .

2.

Gráficas: histograma de la binomial superpuesto con la curva

N (3, \sqrt{2.1} \approx 1.449)

3.

Con

n = 10

np = 3 < 5

, la condición mínima para que la aproximación normal sea aceptable no se cumple; la aproximación no es adecuada en este caso.

Ejercicio 31.17. Dos procesos

A

B

deben realizarse en forma consecutiva. Los tiempos que tardan los procesos

A

B

son aleatorios y distribuidos normalmente con media 30 minutos y varianza 36 minutos

^{2}

para

A

y media 40 minutos y varianza 64 minutos

^{2}

para

B

. Si el primero de los procesos empieza a las tres de la tarde, ¿cuál es la probabilidad de que el segundo finalice antes de las cuatro y veinte minutos?

Las 4:20 corresponden a 80 min desde las 3:00.

T_{A} + T_{B} \sim N (70, \sqrt{36 + 64} = 10)

P (T_{A} + T_{B} < 80) = P (Z < \frac{80 - 70}{10} = 1) = 0.8413 .

Ejercicio 31.18. El peso promedio de un tico es de 70 kilogramos, con una desviación estándar de 15 kilogramos. ¿Cuántos ticos se pueden subir a un autobús que soporta 5000 kilogramos de manera que haya una probabilidad del 90% de que el autobús no lleve sobrepeso?

S_{n} \sim N (70 n, 15 \sqrt{n})

. Se requiere

P (S_{n} < 5000) \geq 0.90

, es decir

\frac{5000 - 70 n}{15 \sqrt{n}} \geq z_{0.10} = - 1.2816 ⟺ 5000 - 70 n \geq - 1.2816 \cdot 15 \sqrt{n} .

Haciendo $u = \sqrt{n}$ : $70 u^{2} - 19.224 u - 5000 = 0$ , lo que da $u \approx 8.306$ , $n \approx 69.0$ .

Se verifica:

$n = 69$ : $P (S_{69} < 5000) = P (Z < \frac{5000 - 4830}{15 \sqrt{69}}) = P (Z < 1.365) = 0.914 > 90 %$ $✓$
$n = 70$ : $P (S_{70} < 5000) = P (Z < 0.797) = 0.787 < 90 %$ Õ

Se pueden subir 69 ticos.

Ejercicio 31.19. Una pequeña batería de radio funciona durante un tiempo que sigue una distribución normal con media de una hora y desviación estándar 10 minutos. Una caja contiene 100 baterías. Determine la probabilidad de que en promedio las baterías en una caja duren menos de 1 hora y 3 minutos.

1 h 3 min

= 63

min; media

= 60

min,

σ = 10

min.

\bar{X} \sim N (60, 10 / \sqrt{100} = 1)

P (\bar{X} < 63) = P (Z < 3) = 0.99865 .

Ejercicio 31.20. En promedio el tiempo

T

que se retrasa una asistente para llegar a atender consulta es de 15 minutos. Si la variable

T

es exponencial responda:

1.: ¿Cuál es la probabilidad de que la asistente llegue con más de 10 minutos de retraso?
2.: Si atendió consulta 35 veces, ¿cuál es la probabilidad de que haya tenido un retraso promedio de 12 minutos?

T \sim Exp (1 / 15)

1.

P (T > 10) = e^{- 10 / 15} = e^{- 2 / 3} \approx 0.5134

2.

Por el TLC,

\bar{T} \approx N (15, 15 / \sqrt{35} \approx 2.535)

P (\bar{T} = 12) = 0

, ya que

\bar{T}

es una variable continua. Si se interpreta como

P (\bar{T} \leq 12)

P (\bar{T} \leq 12) = P (Z \leq \frac{12 - 15}{2.535} = - 1.183) \approx 0.1184 .

Ejercicio 31.21. Una empresa vende cierto tipo de componente y se sabe que en promedio cada semana se venden 50 de esos componentes. El dueño desea almacenar al principio de año una cantidad suficiente para que le alcance para las 52 semanas del año. Si desea que en promedio cada semana sobre a lo sumo un componente, ¿cuántos debe almacenar?

Si en cada semana sobra a lo sumo 1 componente en promedio, el stock total debe ser

52 \times (50 + 1) = 2652

componentes.

Ejercicio 31.22. El tiempo de reacción a un medicamento en una persona sigue una distribución gamma con media 4 horas y desviación estándar 1 hora. Determine la probabilidad de que un paciente que recibió el tratamiento tarde menos de 3 horas y 45 minutos en reaccionar. Si el medicamento se administró a 30 personas, ¿cuál es la probabilidad de que en promedio el tiempo de reacción sea inferior a 3 horas 45 minutos?

Para la Gamma:

αβ = 4

α β^{2} = 1

implica

β = 0.25

α = 16

P (T < 3.75)

requiere la función Gamma incompleta regularizada

Γ (16, 15)

(evaluación numérica).

Para $n = 30$ personas, por el TLC: $\bar{T} \approx N (4, 1 / \sqrt{30} \approx 0.1826)$ .

P (\bar{T} < 3.75) = P (Z < \frac{3.75 - 4}{0.1826} = - 1.369) = 0.0855 .

Ejercicio 31.23. Cierto tipo de paquete tiene un peso promedio de 1 kilo con una desviación estándar de 50 gramos. Se dispone de cajas que soportan 60 kilos pero por asuntos de seguridad se desea que el peso acumulado en cada una de esas cajas no exceda los 58 kilogramos. ¿Cuántos paquetes deben empacarse por caja para asegurar que solo el 5% de las mismas excedan ese peso?

El peso total de

n

paquetes es

S_{n} \sim N (n, 0.05 \sqrt{n})

(en kg, con

σ = 0.05

= 50

g). Se requiere

P (S_{n} > 58) = 0.05

, lo que implica

\frac{58 - n}{0.05 \sqrt{n}} = z_{0.95} = + 1.645 ⟹ 58 - n = 1.645 \cdot 0.05 \sqrt{n} = 0.08225 \sqrt{n} .

Haciendo $u = \sqrt{n}$ : $u^{2} + 0.08225 u - 58 = 0$ , lo que da

u = \frac{- 0.08225 + \sqrt{0.0822 5^{2} + 4 \cdot 58}}{2} \approx 7.575 ⟹ n \approx 57.4 .

Se deben empacar 57 paquetes por caja.

Ejercicio 31.24. Cuando ocurre un accidente de tránsito los daños se clasifican en tres niveles: leves, moderados y extremos. La probabilidad de que un vehículo se accidente y tenga daños leves es de 0.35, la probabilidad de moderados es de 0.15 y la de daños severos es de 0.09. Si la aseguradora paga el 90% del valor del vehículo asegurado en caso de daño severo, el 50% en moderado y el 20% en leves, estime la prima de seguros que se debe cobrar en función del valor del vehículo si la aseguradora desea una utilidad del 10%.

Pago esperado:

E [P] = V (0.09 \cdot 0.90 + 0.15 \cdot 0.50 + 0.35 \cdot 0.20) = V (0.081 + 0.075 + 0.070) = 0.226 V.

Con utilidad del 10%, la prima es $0.226 V \times 1.10 = 0.2486 V$ .

Ejercicio 31.25. El tiempo que tarda una persona en reaccionar a un estímulo sigue una distribución Gamma con media 2 minutos y varianza 2 minutos cuadrados.

1.: Plantee, no resuelva, la integral que permite calcular la probabilidad de que una persona al azar reaccione en menos de 3 minutos.
2.: Determine, usando la Gamma incompleta, la probabilidad de que una persona al azar reaccione en menos de 3 minutos.
3.: Si se tiene una muestra de 50 personas, ¿cuál es la probabilidad de que en promedio reaccionen antes de 3 minutos?

1.

αβ = 2

α β^{2} = 2

implica

β = 1

α = 2

. La función de densidad es

f (t) = t e^{- t}

para

t > 0

, y

P (T < 3) = \int_{0}^{3} t e^{- t} dt.

2.

Integrando por partes:

P (T < 3) = 1 - e^{- 3} (1 + 3) = 1 - 4 e^{- 3} \approx 0.8009 .

3.

Por el TLC,

\bar{T} \approx N (2, \sqrt{2 / 50} = 0.2)

P (\bar{T} < 3) = P (Z < \frac{3 - 2}{0.2} = 5) \approx 1 .

Ejercicio 31.26. Una empresa vende 4 tipos de quesos, de acuerdo a la siguiente distribución de probabilidad:


Tipo de Queso	$Q_{1}$	$Q_{2}$	$Q_{3}$	$Q_{4}$

Probabilidad	0.20	0.15	0.25	0.40

Precio (colones)	2000	1500	1000	800

1.: Si un día particular se venden 50 quesos, determine la probabilidad de que el ingreso promedio por esta venta sea superior a 1200 colones.
2.: Si 5 días consecutivos se venden 50 quesos, ¿cuál es la probabilidad de que en tres o más de esos días el ingreso supere los 1200 colones?

Media:

μ = 2000 \cdot 0.2 + 1500 \cdot 0.15 + 1000 \cdot 0.25 + 800 \cdot 0.4 = 400 + 225 + 250 + 320 = 1195 .

Varianza:

σ^{2} = 200 0^{2} \cdot 0.2 + 150 0^{2} \cdot 0.15 + 100 0^{2} \cdot 0.25 + 80 0^{2} \cdot 0.4 - 119 5^{2} = 215 475, σ \approx 464.19 .

1.

\bar{X} \sim N (1195, 464.19 / \sqrt{50} \approx 65.64)

P (\bar{X} > 1200) = P (Z > \frac{1200 - 1195}{65.64} = 0.0762) = 0.4696 .

2.

Sea

p = 0.4696

Y \sim Bin (5, p)

P (Y \geq 3) = (\binom{5}{3}) p^{3} {(1 - p)}^{2} + (\binom{5}{4}) p^{4} (1 - p) + (\binom{5}{5}) p^{5} \approx 0.324 .

Ejercicio 31.27. Los pesos de una población se distribuyen normalmente con una media de 60 kilos y una varianza de 25 kilos

^{2}

. Se desea elegir una muestra de manera tal que haya una probabilidad superior al 90% de que el peso promedio de la muestra esté entre 55 y 65 kilogramos.

\bar{X} \sim N (60, 5 / \sqrt{n})

P (55 < \bar{X} < 65) = P (\frac{- 5}{5 / \sqrt{n}} < Z < \frac{5}{5 / \sqrt{n}}) = P (- \sqrt{n} < Z < \sqrt{n}) = 0.90 .

Esto requiere $\sqrt{n} = z_{0.95} = 1.645$ , es decir $n = 2.71$ . Por lo tanto, basta con $n \geq 3$ .

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