Distribucion de objetos indistinguibles

9. Distribución de objetos indistinguibles

El problema de distribuir $r$ objetos indistinguibles en $n$ celdas, $r \leq n$ , con a lo sumo un objeto en cada celda es básicamente directo, puede reducirse al problema de escoger $r$ entre las $n$ celdas, es decir $(\binom{n}{r})$ .

El problema de poner $r$ objetos en $n$ celdas donde no hay restricción en el número de objetos en cada celda es ligeramente diferente. Suponga que son por ejemplo $r$ bolillas blancas las que se desean colocar en $n$ celdas. Se colocan en una bolsa las $n$ bolillas blancas y se agregan $r - 1$ bolillas de otro color, por ejemplo azules y se procede como sigue.

Se van sacando una a una las bolillas y se colocan en fila, entonces contando de izquierda a derecha las primeras $n_{1}$ bolillas blancas antes de la primer bolilla azul, son las que irán a la celda 1, las que estén después de la primer bolilla azul, serán las bolillas correspondientes a la celda 2 y ası´ sucesivamente

Ası´ las cosas, las $r$ bolillas blancas, junto con las $n - 1$ bolillas azules se colocarán en $n + r - 1$ campos y el problema se reduce a elegir de esos $n + r - 1$ campos $r - 1$ para ubicar las bolillas azules

(\binom{n + r - 1}{n - 1}) .

(1.10)

Usando adecuadamente esta última forma se obtiene el siguiente teorema:

Teorema 6.

El número de $r -$ combinaciones con repetición sobre un conjunto con $n$ elementos es

(\binom{n + r - 1}{r}) .

Ejemplo 6.

Si $n$ personas se colocan aleatoriamente en $n$ oficinas. Cuál es la probabilidad de que quede exactamente una oficina vacía.

Solución

El total de posibles ubicaciones de las $n$ personas es $n^{n}$ , pero para que exactamente una oficina quede vacía el análisis debe ser cuidadoso. Se debe elegir una oficina para que quede vacía lo cual puede hacerse de $n$ formas. Luego debe elegirse otra para que quede con dos personas, esta puede elegirse de $n - 1$ maneras. Una vez hecho esto se eligen dos personas para la segunda oficina y las restantes se ubican una en cada una de las $n - 2$ oficinas restantes. Luego la probabilidad pedida es:

\frac{n (n - 1) (\binom{n}{2}) (n - 2)!}{n^{n}} = \frac{(\binom{n}{2}) n!}{n^{n}} .

Ejemplo 7.

Si un arreglo binario de doce elementos contiene 8 unos y 4 ceros, cuál es la probabilidad de que los cuatro ceros queden juntos.

Solución

Solo hay 9 arreglos en los cuales los cuatro ceros quedan juntos, y el número de posibles arreglos es $12! / (4! 8!)$ , luego la probabilidad pedida es:

\frac{9}{(\binom{12}{8})} .

Ejemplo 8.

En un grupo de probabilidad hay inscritas $n$ parejas (hombre, mujer) para hacer una tarea. El profesor decide separarlas todas y formar $n$ parejas en forma totalmente aleatoria. Cuál es la probabilidad de que se formen las mismas parejas originales y cuál es la probabilidad de que se formen sólo parejas (hombre, mujer).

Solución Para que se formen las mismas parejas originales solo se necesita calcular cuál es el número total de parejas que se pueden formar. Si se calcula este total de parejas como el número de permutaciones de las $2 n$ personas se tiene un conteo redundante en los dos sentidos siguientes. Primero este conteo está tomando en cuenta el orden en que las $n$ parejas quedan agrupadas y segundo este conteo está tomando en cuenta el orden en que se ubica cada pareja, por lo tanto el número de posibles parejas es

\frac{(2 n)!}{2^{n} n!} .

La probabilidad solicitada en la primera parte es el inverso de este número.

La segunda probabilidad pedida puede resolverse usando el mismo esquema anterior, y se puede razonar ası´. Si los hombres están fijos en las posiciones $1, 3, 5, \dots,$ las mujeres se pueden ubicar en $n!$ formas lo cual da todas las posibles maneras de hacer parejas. Luego la probabilidad pedida es:

\frac{n!}{(2 n)! / 2^{n} n!} = \frac{2^{n} {(n!)}^{2}}{(2 n)!} .

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