El Teorema del Lımite Central

3. El Teorema del Límite Central

El último teorema de la sección previa es generalizado por otro teorema cuya importancia en aplicaciones de la probabilidad y estadística es mucho mayor. El teorema del límite central se enuncia seguidamente.

Teorema 22.

Sean $X_{1}, X_{2}, \dots X_{n}$ variables aleatorias mutuamente independientes y todas siguiendo la misma distribución. Si existen la esperanza $μ = E [X_{k}]$ y la varianza $σ^{2} = Var [X_{k}] .$ Entonces para $S_{n} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ y $x < y$ se tiene

lim_{n \to \infty} P [x \leq \frac{S_{n} - nμ}{σ \sqrt{n}} \leq y]] = Φ (y) - Φ (x) .

(6.7)

Donde $Φ (z)$ es la distribución normal estándar.

La importancia de este teorema es enorme, en especial porque no tiene ninguna condición especial sobre el tipo de distribución al que se aplica. Puede ser continua o discreta, no importa como sean, en promedio la suma de estas variables distribuyen como una normal con media $nμ$ y varianza $n σ^{2} .$ Este teorema también es válido para la variable aleatoria $\bar{X} = S_{n} / n$ para la que, si $n$ se hace grande, distribuye como una normal de media $μ_{X}$ y varianza $σ_{X}^{2} / n$

Para explorar mejor el valor de este teorema se presesenta la siguiente aplicación que permite partir de una distribución de datos cualquiera y analizar la distribución de probabilidad de los posibles promedios de muestras sobre la distribución original.

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