Estimadores

5. Estimadores

Definición 27.

Se dice que las variables aleatorias $X_{1}, X_{1}, \dots, X_{n}$ forman una muestra aleatoria de tamaño $n$ si son independientes dos a dos y todas siguen la misma distribución de probabilidad

Un estimador $\hat{κ}$ de un parámetro $κ$ de una variable aleatoria $X$ es una variable aleatoria, que puede depender de una muestra aleatoria $X_{1}, X_{1}, \dots, X_{n} .$

Los dos estimadores más usuales son el promedio usual llamado también media muestral y denotado por $\bar{X}$ y la varianza muestral denotado por $S^{2}$

Estos estimadores son a su vez variables aleatorias,

\begin{array}{rcl} \bar{X} = \frac{1}{n} ∑_{i = 1}^{n} X_{i} & (6.10) \end{array}

\begin{array}{rcl} S^{2} = \frac{1}{n - 1} ∑_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \bar{X})}^{2} & (6.11) \end{array}

La desviación estándar muestral $S$ es la raíz de la varianza.

Como sus nombres lo indican, se tiene que $\bar{X}$ es un estimador para la esperanza $μ_{X}$ , $S^{2}$ lo es para la varianza $Var [X]$ y $S$ para la desviación estándar $σ_{X} .$

El siguiente teorema, que en algunos textos [5] se llama teorema del límite central, es sumamente útil pues permite resolver diversos ejercicios de manera bastante simple.

Teorema 23 (Teorema del Muestreo).

Sean $X_{1}, X_{1}, \dots, X_{n}$ una muestra aleatoria de tamaño $n$ sobre una población que sigue una distribución dada por una variable aleatoria $X$ con media $μ$ y varianza $σ^{2} .$ Entonces se tiene:

1.

E [\bar{X}] = μ

2.

E [S^{2}] = σ^{2}

3.

Var [\bar{X}] = \frac{σ^{2}}{n}

4.

n

es suficientemente grande, entonces la variable

Z = \frac{\bar{X} - μ}{σ / \sqrt{n}}

(6.12)

sigue una distribución que se aproxima a una normal estándar.

Este teorema puede ampliarse de forma directa a la distribución $T = n \bar{X} = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ la cual también sigue una distribución normal con media $nμ$ y desviación estándar $\sqrt{n} σ.$

Nuevamente, entre mayor sea el valor de $n$ mejor será la aproximación. Hemos desarrollado una aplicación ( Script Teorema Límite Central) que nos permite simular el comportamiento de los promedios de las medias cuando se parte de una distribución con $k$ valores cualesquiera y se estudian valores de $n$ suficientemente grandes. El estudiante puede variar la distribución de probabilidad inicial ası´ como los datos iniciales y la herramienta le muestra cual es la distribución de probabilidad de las variables promedio. El estudiante mediante exploración podrá validar los resultados que se han discutido previamente, en especial puede ver como a valores mayores de $n$ la distribución de las medias se acerca más a una normal.