Parametros en una Distribucion

3. Parámetros en una Distribución

Cada vez que se logre determinar una distribución de probabilidad existen dos mediciones asociadas con ella que son sumamente importantes la media y la varianza.

La media o esperanza, como se llama a veces, en alguna forma es una medida de localización de los datos, mientras la varianza es una medida de dispersión de los datos. En las distribuciones teóricas, este par de medidas las caracterizan en forma absoluta y en el caso de las distribuciones que no se ajusten a un patrón conocido constituyen el punto de partida para poder estudiarlas en forma adecuada.

Definición 16.

Si $X$ es una variable aleatoria se define la media o la esperanza de $X$ por

a. Si $X$ es discreta con rango $R_{X} = {x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots}$ se definen la media o esperanza de $X$ por

μ_{X} = ∑_{x_{i} \in R_{X}} x_{i} f_{X} (x_{i}),

(3.8)

con la condición de que

∑_{x_{i} \in R_{X}} | x_{i} | f_{X} (x_{i}) < ∞.

b. Mientras si $X$ es continua.

μ_{X} = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x) dx,

(3.9)

con la condición de que

\int_{- \infty}^{\infty} | x | f_{X} (x) dx < ∞.

La condición que se impone se conoce como convergencia absoluta [8] y se hace necesaria para evitar que el reordenamiento de las sumas pueda producir valores diferentes para la esperanza. De hecho en cada una de las definiciones que sea necesario se indicará.

Note que la media, es una generalización del concepto de promedio aritmético. Por ejemplo si $X$ es una variable aleatoria discreta tal que todos los valores en su rango tienen la misma probabilidad entonces:

μ_{X} = \frac{∑_{i = 1}^{n} x_{i}}{n} .

En realidad la media o esperanza es un promedio ponderado y cuantifica el valor esperado para una variable aleatoria.

Ejemplo 12.

Sea $X$ la variable aleatoria del ejemplo 9. En ese caso el valor de la esperanza es:

μ_{X} = 1 (\frac{4}{7}) + 2 (\frac{2}{7}) + 3 (\frac{4}{35}) + 4 (\frac{1}{35}) = \frac{76}{35},

significa que en promedio deberán hacerse 2.27 intentos antes de obtener la bolilla roja.

Por ejemplo para la distribución exponencial de parámetro $λ$ , (??), usando un poco de integración por partes y regla de L’Hôpital, se tiene que:

\begin{array}{rcl} μ_{X} & = & \int_{0}^{\infty} xλ e^{- λx} dx \\ = & λ \int_{0}^{\infty} x e^{- λx} dx \\ = & (- x e^{- λx}) |_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} e^{- λx} dx \\ = & - x e^{- λx} - \frac{e^{- λx}}{λ} |_{0}^{\infty} \\ = & \frac{1}{λ} . \end{array}

Existen ejemplos de variables aleatorias con distribuciones de probabilidad bien definidas y que no tienen media. Se invita al lector a verificar que si $X$ es una variable aleatoria tal que

f_{X} (2^{k}) = P [X = 2^{k}] = 1 / 2^{k}, k = 0, 1, \dots

entonces la distribución de probabilidad está bien definida pero no existe la esperanza.

Ejemplo 13.

Un sistema de administración de oxígeno esta formado por dos bombas idénticas. Estas bombas operan en forma independiente, y tienen una esperanza de funcionamiento continuo que es exponencial con media 20 horas. El sistema de bombeo falla solamente si ambas bombas fallan. Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione durante 15 horas.

Solución

Como la media es 20 horas entonces el parámetro de la distribución es $λ = 1 / 20 .$ Acorde con (3.7) la probabilidad de que una bomba falle antes de las 15 horas es $1 - e^{- 15 / 20},$ ası´ que la probabilidad de que el sistema falle antes de las 15 horas es $P [X \leq 15] = {(1 - e^{- 15 / 20})}^{2}$ y la probabilidad de que el sistema trabaje en forma continua por más de 15 horas es de $1 - P [X \leq 15] = 1 - {(1 - e^{- 15 / 20})}^{2} .$

También es posible calcular la esperanza sobre de una función aplicada a los valores de la variable aleatoria.

Definición 17.

Si $h (x)$ es una función real y $X$ es una variable aleatoria se tiene que

1.

X

es discreta

μ_{h (X)} = ∑_{x_{i} \in R_{X}} h (x_{i}) f_{X} (x_{i}),

(3.10)

con la condición de que

∑_{x_{i} \in R_{X}} | h (x_{i}) | f_{X} (x_{i}) < ∞.

2.

Para

X

continua se tiene

μ_{h (X)} = \int_{- \infty}^{\infty} h (x) f_{X} (x) dx,

(3.11)

con la condición de que

\int_{- \infty}^{\infty} | h (x_{i}) | f_{X} (x_{i}) dx < ∞.

Para calcular la varianza de una variable aleatoria se necesita antes conocer la media de $X$ .

Definición 18.

Si $X$ es una variable aleatoria con distribución de probabilidad $f_{X},$ y media $μ_{X}$ se define la varianza de $X$ como la esperanza de ${(X - μ_{X})}^{2}$ .

1.

X

es discreta:

σ_{X}^{2} = μ_{{(X - μ_{X})}^{2}} = ∑_{x_{i} \in R_{X}} {(x_{i} - μ_{X})}^{2} f_{X} (x_{i}),

(3.12)

2.

Si es continua

σ_{X}^{2} = μ_{{(X - μ_{X})}^{2}} = \int_{- \infty}^{\infty} {(x - μ_{X})}^{2} f_{X} (x) dx.

(3.13)

Invitamos al lector a verificar en el script que sigue, posibles distribuciones de probabilidad discretas y analizar los valores de la esperanza y de la varianza. En esta tabla puede introducir valores para la variable y las probabilidades respectivas y ver el comportamiento de la media y la varianza.

Puedes interactuar aquí o abrirla en ventana aparte

La siguiente es una propiedad importante de la varianza. Según la definición de esperanza, en el caso discreto se tiene

\begin{array}{rcl} σ_{X}^{2} & = & μ_{{(X - μ_{X})}^{2}} \\ = & ∑_{x_{i} \in R_{X}} {(x_{i} - μ_{X})}^{2} f_{X} (x_{i}) \\ = & ∑_{x_{i} \in R_{X}} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} μ_{X} + μ_{X}^{2}) f_{X} (x_{i}) \\ = & ∑_{x_{i} \in R_{X}} x_{i}^{2} f_{X} (x_{i}) - ∑_{x_{i} \in R_{X}} 2 x_{i} μ_{X} f_{X} (x_{i}) + ∑_{x_{i} \in R_{X}} {(μ_{X})}^{2} f_{X} (x_{i}) \\ = & ∑_{x_{i} \in R_{X}} x_{i}^{2} f_{X} (x_{i}) - 2 μ_{X} ∑_{x_{i} \in R_{X}} x_{i} f_{X} (x_{i}) + μ_{X}^{2} ∑_{x_{i} \in R_{X}} f_{X} (x_{i}) \\ = & μ_{X^{2}} - 2 μ_{X} μ_{X} + μ_{X}^{2} = μ_{X^{2}} - {(μ_{X})}^{2} . \end{array}

De hecho no es difícil verificar que esta propiedad también se cumple en el caso continuo.

Lema 1. Si

X

es una variable aleatoria cuya media y varianza existen se tiene que

VAR (X) = E (X^{2}) - {[E (X)]}^{2}

Definición 19 (Momento).

Se llamará momento de orden $k$ a la esperanza de $X^{k}$ . Es decir el momento de orden $k$ para la variable aleatoria discreta $X$ es

E (X^{k}) = ∑_{x_{i} \in R_{X}} x_{i}^{k} f_{X} (x_{i}),

mientras que para una continua es

E (X^{k}) = \int_{- \infty}^{\infty} x^{k} f_{X} (x) dx.

Ejemplo 14.

Sea $X$ una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad dada por

f (x) = {\begin{matrix} \frac{k}{x^{2}} & si 1 \leq x \leq 15 \end{matrix}

1.: Determine el valor de $k$ .
2.: Calcule $P ([- 2 < X \leq 5])$ .
3.: Calcule $VAR (X)$ .

Solución

1.

Dado que

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{k}{x^{2}} dx = \frac{- k}{x} |_{1}^{15} = \frac{- k}{15} - \frac{- k}{1} = \frac{14 k}{15}

k

debe ser

\frac{15}{14}

2.

P ([- 2 < X \leq 5]) = \int_{1}^{5} \frac{15}{14 x^{2}} dx = \frac{15}{4} (- \frac{1}{5} + 1) = \frac{6}{7} .

3.

E (X) = \int_{1}^{15} x \frac{15}{14 x^{2}} dx = \int_{1}^{15} \frac{15}{14 x} dx = \frac{15}{14} (ln (15) - ln (1)) = \frac{15}{14} ln (15),

E (X^{2}) = \int_{1}^{15} x^{2} \frac{15}{14 x^{2}} dx = \int_{1}^{15} \frac{15}{14} dx = 15,

VAR (X) = E (X^{2}) - {(E (X))}^{2} = {(\frac{15}{14} ln (15))}^{2} - 15 .

Finalizamos esta sección enunciando un teorema que resume las propiedades fundamentales de la esperanza.

Teorema 9.

Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias y $c$ es una constante, entonces se cumplen las siguientes afirmaciones:

1.

El valor esperado de una variable aleatoria constante es la misma constante.

μ_{c} = c.

2.

El valor esperado de una variable aleatoria multiplicada por una constante es la constante por el valor esperado de la variable.

μ_{(cX)} = c μ_{X} .

3.

El valor esperado de una suma de dos variables aleatorias es la suma de los valores esperados de las variables.

μ_{X + Y} = μ_{X} + μ_{Y} .

Las pruebas de las dos primeras propiedades son bastante sencillas, y para demostrar la tercera se requiere estudiar algunos conceptos que no se han explorado hasta ahora. El lector interesado en la justificación de estos resultados puede consultar [2].

Teorema 10.

Si $X$ y $Y$ son variables aleatorias independientes cuyas varianzas existen y $c$ es una constante, se cumplen las siguientes afirmaciones:

1.: La varianza de una variable aleatoria constante es cero. $VAR (c) = 0 .$
2.: La varianza de una variable aleatoria multiplicada por una constante es la constante al cuadrado por la varianza de la variable. $VAR (cX) = c VAR (X) .$
3.: La varianza de una suma de dos variables aleatorias es la suma de las varianzas de las variables. $VAR (X + Y) = VAR (X) + VAR (Y) .$

Nuevamente la demostración de los apartados (1.) y (2.) es bastante directa a partir de la definición y la demostración de (3.) es un poco más delicada. El lector interesado puede verla en [2].