Propiedades Importantes

5. Propiedades Importantes

En esta sección se trata de rescatar algunas propiedades importantes acerca de conteo, algunas de las cosas que se expondrán resultarán reiterativas respecto a lo enunciado antes, cosa que no necesariamente es inconveniente.

Este primer teorema es importante pues permite diferentes opciones para abordar el mismo tipo de problema

Teorema 7.

Los valores:

1.: El número de soluciones enteras de la ecuación $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = r,$ donde $x_{i} \geq 0 \forall (1 \leq i \leq n),$
2.: el número de $r -$ combinaciones con repetición sobre un conjunto de tamaño n,
3.: el número de maneras de distribuir $r$ objetos indistinguibles en $n$ contenedores indistinguibles,

son iguales.

Teorema 8.

Los coeficientes binomiales cumplen las siguientes propiedades

\begin{array}{rcl} (\binom{n}{r}) & = & (\binom{n}{n - r}) . \\ (\binom{n}{r}) & = & \frac{n}{r} (\binom{n - 1}{r - 1}) . \\ (\binom{n}{r}) & = & (\binom{n - 1}{r}) + (\binom{n - 1}{r - 1}) . \\ (\binom{n}{r}) (\binom{n}{k}) & = & (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{r - k}) . \end{array}

Las demostraciones de estos resultados son un ejercicio interesante. Pueden verse en [5]