Reglas Basicas

1. Reglas Básicas

Prácticamente todos los problemas de conteo que resolveremos se reducirán a la aplicación cuidadosa de los principios de conteo que se enuncian seguidamente.

Cada vez que debamos realizar una tarea o labor, en la cual existen diversas posibilidades de elegir una de ellas, podemos aplicar el principio de la suma para contar las posibles alternativas.

Por ejemplo se tiene en una mesa con tres tipos de helado y otra con 5 tipos de pastel. Una Persona debe elegir un postre.

Regla de la Suma. Si una operación puede realizarse en

n

formas y otra operación, independiente de la primera, puede realizarse en

m

formas, hay

n + m

formas en las que pueden realizarse una de las dos operaciones.

En terminología de teoría de conjuntos:

Si (\forall i | 0 \leq i < j \leq n : A_{i} \cap A_{j} = \emptyset) ⟹ | ⋃_{i = 1}^{n} A_{i} | = ∑_{i = 1}^{n} | A_{i} | .

(2.1)

Complementariamente cuando una tarea esta formada por varias etapas y cada etapa tiene distintas posibilidades de ejecutarse podemos aplicar el principio del producto

Por ejemplo se tiene en una mesa con tres tipos de helado y otra con 5 tipos de pastel. Una Persona debe elegir un postre de cada mesa.

Regla del producto.

Si una operación puede realizarse en $n$ formas y otra operación, independiente de la primera, puede realizarse en $m$ formas, hay $nm$ formas en las que pueden realizarse las dos operaciones.

En terminología de teoría de conjuntos:

| A_{1} \times A_{2} \times \dots \times A_{n} | = ∏_{i = 1}^{n} | A_{i} | .

(2.2)

Ejemplo 5.

Para completar su plan de bachillerato un estudiante debe completar algunos cursos optativos. El Plan de estudios contempla 4 cursos de Inteligencia Artificial(IA), 3 cursos de Especificación Formal(EF) y 3 cursos de Sistemas Expertos(SE). De cuántas maneras puede el estudiante tomar los tres cursos si:

1.: Debe llevar tres cursos optativos y no hay restricciones.
2.: Debe llevar al menos un curso de cada área.
3.: Debe llevar dos cursos de áreas distintas.

Solución:

1.

Al no haber restricciones el estudiante puede llevar el primer curso de 10 maneras, el segundo de 9 y el tercero de 8 maneras, ası´ por (2.2) puede tomar sus cursos optativos en

10 \times 9 \times 8

maneras, si el orden en que los lleva se tiene en cuenta. Si el orden no importa este valor debe dividirse entre 6, ¿porqué?

2.

Como debe llevar un curso de cada área, entonces puede llevar los tres cursos de

6 \times (4 \times 3 \times 3)

formas. Si el orden es irrelevante son

4 \times 3 \times 3

, Invitamos al lector a revisar esta tabla para que compruebe estos resultados.

\begin{matrix} I A_{1}, E F_{1}, S E_{1} & I A_{2}, E F_{1}, S E_{1} & I A_{3}, E F_{1}, S E_{1} & I A_{4}, E F_{1}, S E_{1} \\ I A_{1}, E F_{1}, S E_{2} & I A_{2}, E F_{1}, S E_{2} & I A_{3}, E F_{1}, S E_{2} & I A_{4}, E F_{1}, S E_{2} \\ I A_{1}, E F_{1}, S E_{3} & I A_{2}, E F_{1}, S E_{3} & I A_{3}, E F_{1}, S E_{3} & I A_{4}, E F_{1}, S E_{3} \\ I A_{1}, E F_{2}, S E_{1} & I A_{2}, E F_{2}, S E_{1} & I A_{3}, E F_{2}, S E_{1} & I A_{4}, E F_{2}, S E_{1} \\ I A_{1}, E F_{2}, S E_{2} & I A_{2}, E F_{2}, S E_{2} & I A_{3}, E F_{2}, S E_{2} & I A_{4}, E F_{2}, S E_{2} \\ I A_{1}, E F_{2}, S E_{3} & I A_{2}, E F_{2}, S E_{3} & I A_{3}, E F_{2}, S E_{3} & I A_{4}, E F_{2}, S E_{3} \\ I A_{1}, E F_{3}, S E_{1} & I A_{2}, E F_{3}, S E_{1} & I A_{3}, E F_{3}, S E_{1} & I A_{4}, E F_{3}, S E_{1} \\ I A_{1}, E F_{3}, S E_{2} & I A_{2}, E F_{3}, S E_{2} & I A_{3}, E F_{3}, S E_{2} & I A_{4}, E F_{3}, S E_{2} \\ I A_{1}, E F_{3}, S E_{3} & I A_{2}, E F_{3}, S E_{3} & I A_{3}, E F_{3}, S E_{3} & I A_{4}, E F_{3}, S E_{3} \end{matrix}

3.

En este caso debe llevar una combinación IA,EF con

4 \times 3

posibilidades o IA,SE con

4 \times 3

o bien SE,EF con

3 \times 3

, en total 30 posibilidades, sin tomar en cuenta el orden, si fuera necesario considerar el orden esta cantidad se duplicaría, ¿porqué?