W. Mora-FloresRevista Matemática, educación e Internet

Ejemplos de exámenes parciales

1. Parcial1

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMáTICA

Probabilidades 1
Ingeniería en Computación.

ESTE ES UN EXAMEN DE DESARROLLO, POR LO TANTO LOS PROCEDIMIENTOS QUE PERMITEN OBTENER CADA RESPUESTA DEBEN APARECER Y SERáN CALIfiCADOS

Tiempo 2 Horas 15 minutos Puntaje Máximo 50

Primer Examen Parcial

1.

En un salón hay 9 mujeres y 4 hombres. Se eligen sucesivamente y al azar 5 personas para formar un comité con 5 puestos. Sean los eventos

A_{i} :

La persona elegida en el puesto

i

es mujer para

i : = 1, 2 \dots, 5

B_{j} :

La persona elegida en el puesto

j

es hombre para

j : = 1, 2 \dots, 5

Para cada uno de los ítemes exprese el enunciado en términos de los $A_{i}$ y $B_{j}$ y calcule las probabilidades respectivas

(a): La segunda y tercer persona son mujeres
(b): Hay al menos un hombre.

2.

Cuatro personas en una terminal suben a un autobús que se detiene en 3 paradas. Determine la probabilidad de que en cada parada baje al menos una persona.

Solución:

Cada persona tiene 3 opciones para bajar así que hay $3^{4}$ maneras de que se bajen. Para que se baje al menos una persona por parada basta con elegir una parada para que bajen 2 y luego contar todas las posibles permutaciones para que bajen.

\frac{(\binom{3}{1}) \frac{4!}{2!}}{3^{4}}

3.

Cierto algoritmo recibe una palabra por entrada, toma las letras que la forman y da como salida todas las palabras, con significado o no, formadas con una, dos, tres, hasta el total de letras de la palabra. Por ejemplo si la entrada es ama la salida es

{a, m, am, ma, aa, maa, ama, aam}

. Determine la cantidad de palabras en la salida de este programa cuando la entrada es osiris.

Solución:
En general si una palabra tuviese $n$ letras y todas fueran distintas el total sería:

∑_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) k!

En este caso el asunto es algo distinto, pues osiris tiene 6 letras dos de las cuales son repetidas entonces el conteo debe ser mas cuidadoso.

Palabras de una letra 5.

Palabras de 2 letras $(\binom{4}{2}) 4! + 2$

Palabras con tres letras $(\binom{4}{3}) 3! + 2 (\binom{3}{1}) \frac{3!}{2!}$

Palabras con 4 letras $4! + 2 (\binom{3}{2}) \frac{4!}{2!} + \frac{4!}{2! 2!}$

Palabras con 5 letras $2 \frac{5!}{2!} + 2 \frac{5!}{2! 2!}$

Palabras con 6 letras $\frac{6!}{2! 2!}$

4.

Cuando un programa de cómputo es desarrollado por dos a más personas la probabilidad de que presente errores es de 0.03 mientras que cuando es desarrollado por una sola persona esta probabilidad aumenta a

0.1

, el 30% de los programas son desarrollados por personas solas. Si un programa es seleccionado al azar y presenta errores, Cuál es la probabilidad de que sea desarrollado por un dos o más personas.

Sea $B$ el evento programa presenta errores, y $A_{1}, A_{2}$ programas desarrollados por un grupo y por una persona respectivamente. Se pide

P [A_{1} ∖ B] = \frac{(0.03) (0.7)}{(0.7) (0.03) + (0.3) (0.1)}

5.

Cinco Fantasmas salen de sus cuevas a asustar cada noche. Un día, por la emoción de su trabajo les sorprende las luz del amanecer y corriendo llegan a sus cuevas, ocupándolas en forma aleatoria. Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos quede en su lugar.

SOLUCIóN

Hay $5!$ formas en las que pueden acomodarse.

Sea $A_{i}$ el fantasma $i$ queda en su lugar. Lo que se necesita calcular es la probabildad $| A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} \cup A_{5} |$ que por principio de inclusión exclusión es

| A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} \cup A_{5} | = 5 (4!) - (\binom{5}{2}) (3!) + (\binom{5}{3}) (2!) - (\binom{5}{1}) (1!) + 1

6.

Diez palomas indistinguibles vuelan hacia 4 nidos, las palomas se ubican en manera totalmente aleatoria. Determine la probabilidad de que no queden nidos vacíos.

7.

Cuando una persona juega tiro al blanco la probabilidad de fallar se reduce a la mitad con cada jugada, de hecho la probabilidad de fallar el primer intento es de

\frac{1}{2}

, la de fallar en el segundo es

\frac{1}{4}

y así sucesivamente. Cuál es la probabilidad de que un jugador necesite hacer exactamente

n

intentos antes de acertar.

2. Parcial 2

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMÁTICA

SOLUCIÓN PRIMER EXAMEN PARCIAL
I-2003

1.

Veamos.

(a): Se resuelve recurriendo al principio del producto pues hay 10 maneras de elegir un costarricense, 4 de elegir un hondueño y 3 de elegir un panameño. en total $10 * 4 * 3 = 120$ maneras.
(b): En esta pregunta se hace necesario recurrir al principio de la suma y al del producto pues hay tres casos: dos costarricenses un hondueño y un panameño, un costarricense dos hondueños y un panameño o un costarricense un hondueño y dos panameños. La probabilidad solicitada es: $\frac{(\binom{10}{2}) (\binom{4}{1}) (\binom{3}{1}) + (\binom{10}{1}) (\binom{4}{2}) (\binom{3}{1}) + (\binom{10}{1}) (\binom{4}{1}) (\binom{3}{2})}{(\binom{17}{4})}$

2.

Veamos.

(a)

Si todas las letras fueran distintas habría

8!

palabras, pero al haber 3 aes y 2 erres el total de palabras distintas es

\frac{8!}{3! 2!}

(b)

Hay al menos tres maneras de resolver en este caso,la segura, la peligrosa y la que meditada.

La segura: Ver las maneras adecuadas de distribuir las vocales, en los 8 espacios.

A		A		$↓$	$↓$	$↓$	$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—

Si el primer espacio lo ocupa una A el segundo otra A entonces para la tercer A hay 4 opciones.

A			A		$↓$	$↓$	$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—

Si el primer espacio lo ocupa una A el tercero otra A entonces para la tercer A hay 3 opciones.

A				A		$↓$	$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—

Si el primer espacio lo ocupa una A el cuarto otra A entonces para la tercer A hay 2 opciones.

A					A		$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—

Una sola opción. Los demas casos son:

	A		A		$↓$	$↓$	$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—
	A			A		$↓$	$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—
	A				A		$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—
		A		A		$↓$	$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—
		A			A		$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—
			A		A		$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—

20 casos en total, y luego las otras 5 letras pueden acomodarse en $5! / 2!$ maneras para 1200 casos.

La Peligrosa: Esta Opción es quizá la que mas facilita el cometer errores. Se trata de contar cuántas palabras con las vocales juntas y usar complementos. Y tiene dos casos. Si las tres aes quedan juntas o solamente dos aes

Las tres aes juntas, es verlas como un solo elemento, hay $6! / 2!$ opciones.

Las dos aes juntas deben verse como casos aparte si están en los extremos o al centro. Si están en cualquiera de los extremos el análisis es el siguiente,

A	A	5	5	4	3	2	1
1	2	$↑$	$↑$	$↑$	$↑$	$↑$	$↑$

para la tercer posición hay 5 opciones l,m,r,r o b, para la cuarta 5 opciones, pues sale una pero entra otra vez la a, para las siguentes hay 4, 3,2 y 1. En total hay $2 * 5 * 5! / 2$ palabras con las tres aes juntas.

Cuando las aes quedan internas el análisis cambia un poco. Para la posición previa a las aes hay 5 opciones l,m,r,r o b, para la posterior una menos es decir 4 y para las demás 4,3,2 y 1 repectivamente.

4	5	A	A	4	3	2	1
$↑$	$↑$	—	—	$↑$	$↑$	$↑$	$↑$

Como hay 5 maneras de que las dos aes queden juntas entonces hay $5 * 4 * 5! / 2!$ en total.

El total de palabras sería

\frac{8!}{3! 2!} - (\frac{6!}{2!} + \frac{2 * 5 * 5!}{2!} + \frac{5 * 4 * 5!}{2!})

La Meditada: Esta opción es muy elegante pero para que se le ocurra esta solución hay que pensar un poco el ejercicio. En total hay 5 consonanes y se colocan de cualquier forma. Luego las tres vocales se pueden colocar en 6 lugares distintos que son los 4 que quedan entre las vocales o en los dos extremos.Bastaría con colocar las consonantes y luego elegir tres lugares para poner las aes

(\binom{6}{3}) \frac{5!}{2!}

maneras.

$↓$	c	$↓$	c	$↓$	c	$↓$	c	$↓$	c	$↓$
—	—	—	—	—	—	—	—	—	—	—

Todos los caminos llevan a Roma y la probabilidad pedida es $1200 / 3360$

(c)

Son muchos casos. 85 en total.


Con tres a	1
Con dos a	$(\binom{4}{1}) \frac{3!}{2!}$
Con dos r	$(\binom{4}{1}) \frac{3!}{2!}$
Con dos r	$(\binom{4}{1}) \frac{3!}{2!}$
Todas distintas	$(\binom{5}{3}) 3!$

3.

Es una pregunta de mucho análisis y al final muy simple y en el caso general que fueran

n

estudiantes y

n

bolsos para que el estudiante

i

tome su bolso los

n - 1

estudiantes restantes deben distribuirse los

n - 1

bolsos restantes

Opciones	$n - 1$	$n - 2$	$n - 3$	$\dots$	$1$	$\dots$	3	$2$	1
Estudiante	1	2	3	$\dots$	$i$	$\dots$	$n - 1$	$n - 2$	$n$

asi probabilidad de que cualquiera de ellos tome su propio bolso es:

\frac{(n - 1)!}{n!} = \frac{1}{n}

Otra manera de verlo es la siguiente, para que el estudiante $i$ tome el bolso $i$ debe ocurrir que los $n - i$ primeros no tomen ese bolso y que al llegar su turno el sí lo tome, luego el primero el elegir debe elegir entre $n - 1$ el segundo entre $n - 2$ y así susecivamente.

\frac{n - 1}{n} \frac{n - 2}{n - 1} \dots \frac{n - i}{n - i + 1} \frac{1}{n - i} = \frac{1}{n}

4.

Las probabilidades de éxito y fracaso son:


Ejercicio	Correcto	Fallo
1	0.3	0.7
2	0.65	0.35
3	0.825	0.175
4	0.1475	0.08525

La probabilidad solicitada es

P [FCCC \lor CFCC \lor CCFC \lor CCCF] =

(0.7) (0.65) (0.825) (0.1475) + (0.3) (0.35) (0.825) (0.1475) +

(0.3) (0.65) (0.175) (0.1475) + (0.3) (0.65) (0.825) (0.08525)

5.

Suponga que en la caja hay

k

bolillas rojas y

n - k

negras. Represente por

R_{i}

el evento la bolilla

i

es roja y

N_{j}

el evento la bolilla

j

es negra. El evento la segunda bolilla es negra tiene la probabilidad

P [R_{1} \land R_{2} \lor N_{1} \land R_{2}] = P [R_{1} \land R_{2}] + P [N_{1} \land R_{2}] = \frac{k}{n} \frac{k - 1}{n - 1} + \frac{n - k}{n} \frac{k}{n - 1}

Esta espresión y debe coincidir con $1 / 2$ de allí se obtiene que $n = 2 k$

6.

Suponga que esta decidido los días por ejemplo lunes van tres personas. martes personas, miércoles y jueves una persona cada día.

En ese caso las personas se pueden distribuir en $(\binom{7}{3}) (\binom{4}{2}) (\binom{2}{1}) (\binom{1}{1})$ maneras. Como los días pueden elegirse en $(\binom{7}{1}) (\binom{6}{1}) (\binom{5}{1}) (\binom{4}{1})$ hay

(\binom{7}{3}) (\binom{4}{2}) (\binom{2}{1}) (\binom{1}{1}) (\binom{7}{1}) (\binom{6}{1}) (\binom{5}{1}) (\binom{4}{1})

maneras de en que las personas pueden ir al cine.

7.

Hay tres aulas, una de ellas debe tener 32 estudiantes y las otras 33. Hay

3 (\binom{98}{33}) (\binom{65}{33}) (\binom{32}{32})

formas de distribuir a los estudiantes en las aulas.

3. Parcial 6

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMáTICA

Probabilidades 1
Ingeniería en Computación.

ESTE ES UN EXAMEN DE DESARROLLO, POR LO TANTO LOS PROCEDIMIENTOS QUE PERMITEN OBTENER CADA RESPUESTA DEBEN APARECER Y SERáN CALIfiCADOS

Tiempo 2 Horas 15 minutos Puntaje Máximo 50

Tercer Examen Parcial

1.: Una empresa vende cierto tipo de componente y se sabe que en promedio cada semana se venden 50 de esos componentes. El dueno desea almacenar el principio de año una cantidad suficiente para que le alcanze para las 52 semanas del año. Si el desea que en promedio cada semana sobre a lo sumo un componente, cuántos de ellos debe almacenar.
2.: El tiempo de reacción a un medicamento en una persona sigue una distribución gamma con media 4 horas y desviación estándar 1 hora. Determine la probabilidad de que un paciente que recibió el tratamiento, tarde menos de 3 horas y 45 minutos en reaccionar. Si el medicacamento se administró a 30 personas cuál es la probabildad de que es promedio el tiempo de reacción sea inferior a 3 horas 45 minutos.
3.: Un trabajo es realizado por dos personas. La persona que hace la primera etapa tarda un tiempo que sigue una distribución normal con media 2 horas y desviación estándar 30 minutos. La persona que realiza la segunda parte tarda en su trabajo un tiempo que distribuye normal com media 2 horas y desviación 20 minutos. Determine la probabilidad de que cada uno de ellos tarde menos de 1 hora y 45 minutos. Determine la probabilidad de que entre ambos tarden menos de 3 horas 30 minutos.
4.: Cierto tipo de paquete tiene un peso promedio de 1 kilo con una desviación estándar de 50 gramos. Se dispone de cajas que soportan 60 kilos pero por asuntos de seguridad se desea que el peso acumulado en cada una de esas cajas no exeda los 58 kilogramos. Cuántos paquetes deben empacarse por caja para asegurar que solo el 5% de las mismas exceden ese peso.
5.: Verifique que la distribución exponencial tiene como función generadora de momentos a: $m_{X} (t) = \frac{λ}{λ - t}$ y use la función generadora de momentos para calcular la varianza de la exponencial.
6.: Cuando ocurre un accidente de tránsito los daños se clasifican en tres niveles, leves, moderados y extremos. La probabilidad de que un vehículo se accidente y tenga daños leves es de 0.35, la probabilidad de moderados es de 0.15 y la de daños severos es de 0.09. Si la aseguradora paga el 90% del valor del veh´ículo asegurado en caso de daño severo, el 50% en moderado y el 20% en leves. Estime la prima de seguros que se debe cobrar en función del valor del vehículo si la aseguradora desea un utilidad del 10%.

4. Parcial 4

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMáTICA

Probabilidades 1
Ingeniería en Computación.

ESTE ES UN EXAMEN DE DESARROLLO, POR LO TANTO LOS PROCEDIMIENTOS QUE PERMITEN OBTENER CADA RESPUESTA DEBEN APARECER Y SERáN CALIfiCADOS

Tiempo 2 Horas 15 minutos Puntaje Máximo 50

Primer Examen Parcial

1.

En un salón hay 9 mujeres y 4 hombres. Se eligen sucesivamente y al azar 5 personas para formar un comité con 5 puestos. Sean los eventos

A_{i} :

La persona elegida en el puesto

i

es mujer para

i : = 1, 2 \dots, 5

B_{j} :

La persona elegida en el puesto

j

es hombre para

j : = 1, 2 \dots, 5

Para cada uno de los ítemes exprese el enunciado en términos de los $A_{i}$ y $B_{j}$ y calcule las probabilidades respectivas

(a): La segunda y tercer persona son mujeres
(b): Hay al menos un hombre.

2.

Cuatro personas en una terminal suben a un autobús que se detiene en 3 paradas. Determine la probabilidad de que en cada parada baje al menos una persona.

Solución:

\frac{(\binom{3}{1}) \frac{4!}{2!}}{3^{4}}

3.

{a, m, am, ma, aa, maa, ama, aam}

. Determine la cantidad de palabras en la salida de este programa cuando la entrada es osiris.

Solución:
En general si una palabra tuviese $n$ letras y todas fueran distintas el total sería:

∑_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) k!

En este caso el asunto es algo distinto, pues osiris tiene 6 letras dos de las cuales son repetidas entonces el conteo debe ser mas cuidadoso.

Palabras de una letra 5.

Palabras de 2 letras $(\binom{4}{2}) 4! + 2$

Palabras con tres letras $(\binom{4}{3}) 3! + 2 (\binom{3}{1}) \frac{3!}{2!}$

Palabras con 4 letras $4! + 2 (\binom{3}{2}) \frac{4!}{2!} + \frac{4!}{2! 2!}$

Palabras con 5 letras $2 \frac{5!}{2!} + 2 \frac{5!}{2! 2!}$

Palabras con 6 letras $\frac{6!}{2! 2!}$

4.

0.1

, el 30% de los programas son desarrollados por personas solas. Si un programa es seleccionado al azar y presenta errores, Cuál es la probabilidad de que sea desarrollado por un dos o más personas.

Sea $B$ el evento programa presenta errores, y $A_{1}, A_{2}$ programas desarrollados por un grupo y por una persona respectivamente. Se pide

P [A_{1} ∖ B] = \frac{(0.03) (0.7)}{(0.7) (0.03) + (0.3) (0.1)}

5.

SOLUCIóN

Hay $5!$ formas en las que pueden acomodarse.

Sea $A_{i}$ el fantasma $i$ queda en su lugar. Lo que se necesita calcular es la probabildad $| A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} \cup A_{5} |$ que por principio de inclusión exclusión es

| A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} \cup A_{5} | = 5 (4!) - (\binom{5}{2}) (3!) + (\binom{5}{3}) (2!) - (\binom{5}{1}) (1!) + 1

6.

Diez palomas indistinguibles vuelan hacia 4 nidos, las palomas se ubican en manera totalmente aleatoria. Determine la probabilidad de que no queden nidos vacíos.

7.

Cuando una persona juega tiro al blanco la probabilidad de fallar se reduce a la mitad con cada jugada, de hecho la probabilidad de fallar el primer intento es de

\frac{1}{2}

, la de fallar en el segundo es

\frac{1}{4}

y así sucesivamente. Cuál es la probabilidad de que un jugador necesite hacer exactamente

n

intentos antes de acertar.

5. Parcial 3

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMÁTICA

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
I-2004

Tiempo 2:20 41 puntos.

Instrucciones: En este examen es necesario a que usted justifique cada una de las respuestas incluyendo los pasos que permitieron obtenerla.

Puntaje: 1-8 2-4 3-4 4-8 5-4 6-4 7-9

1.

La probabilidad de que una persona presente una reacción alérgica a una droga es de

0.03

. Determine las siguientes probabilidades

(a): Que en los próximos 500 pacientes menos de 7 presenten la reacción.
(b): Que el primer paciente en reaccionar sea el cuarentavo.

2.

El total de personas que atienden un anuncio sobre una lotería por internet sigue una distribución Poisson con promedio 5 personas por semana. Determine la probabilidad de que en un periodo de dos días haya dos o más personas que atienden el anuncio.

3.

La probabilidad de que un vehículo pase las pruebas de control de calidad es de 0.93. Determine la probabilidad de que al menos 22 de los próximos 24 vehículos pasen la prueba. Este valor debe darlo con dos decimales.

4.

Se sabe que de 30 árbitros de fútbol en una comisión, 20 cometen errores graves con frecuencia. Si cada jornada deben elegirse 12 árbitros, determine la probabilidad de que:

(a): En una jornada haya más de 5 que cometen errores graves con frecuencia.
(b): Deban darse la próximas 7 jornadas para acumular 2 jornadas en las que haya habido más de 5 árbitros que cometen errores graves con frecuencia.

5.

Use la definición de media y varianza para demostrar

VAR (X) = μ_{X^{2}} - μ_{X}^{2}

6.

Defina el concepto de distribución de probabilidad para una variable aleatoria

X

y úselo para determinar el valor de

k

de manera que

{\begin{matrix} {(\frac{1}{2})}^{k} & si & k = 1, 2, 3, \dots, n \end{matrix}

sea una distribución de probabilidad.

Optativa: Puede calcular $μ_{X}$

7.

Sobre una mesa hay 5 cartas con un número anotado y vuelto hacia abajo; tres de ellas tienen anotado un 10, las otras un 50. Un jugador llega, elige tres de ellas y se gana el total sumado por esas cartas.

Determine:

(a): La distribución de probabilidad para el total de cartas con número 10 que saca el jugador.
(b): Asumiendo que un jugador gana si saca en la suma más de 70, determine la probabilidad de que en al menos 8 de los próximos 12 juegos gane.
(c): Si un jugador gana en colones el total de puntos que saca pero, para jugar debe pagar 60 colones, determine si al jugador le conviene jugar una gran cantidad de veces. Explique.

6. Parcial 5

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COSTA RICA
ESCUELA DE MATEMáTICA
NOVIEMBRE 2003

Probabilidades 1
Ingeniería en Computación.

ESTE ES UN EXAMEN DE DESARROLLO, POR LO TANTO LOS PROCEDIMIENTOS QUE PERMITEN OBTENER CADA RESPUESTA DEBEN APARECER Y SERáN CALIfiCADOS

Tiempo 2 Horas 15 minutos Puntaje Máximo 30 Puntos

Segundo Examen Parcial

1.

Una función

f_{X} (n)

tiene la forma.

f_{X} (n) = {\begin{matrix} k n^{2} & Si & n = 1, 2, 3, 4, ... 10 \\ 0 & Otros Casos \end{matrix}

Determine el valor de $k$ para que $f_{X}$ sea distribución de probabilidad y determine la probabilidad de que $X$ sea mayor que 3. 4 Puntos

2.

Se ha determinado que el 20% de los estudiantes de un curso son de zona rural. Si se elige un grupo de 25 estudiantes, determine la probabilidad de que en la muestra haya más de 6 pero diez o menos estudiantes de zona rural. 4 Puntos

3.

Los pesos de las sandías maduras cultivadas en cartago se distribuyen normalmente con parámetros

μ = 2

σ = 2.8

libras. Determine el porcentaje de sandías cuyo peso es superior a 4 libras 4 Puntos

4.

Cada mañana el tiempo que transcurre, en minutos, antes de que don Geovanny ponga en marcha su vehículo sigue una distribución exponencial con parámetro

λ = 1 / 5 .

Si en los próximos 10 días don Geovanny aborda su vehículo a las 7 en punto determine la probabilidad de que en al menos 7 de esos días ponga su vehículo en marcha antes de las 7:04. 5 Puntos

5.

Hay 15 cartas 4 de ellas están señaladas con un premio de 50 colones y las demás con premios de 100 colones. Si una persona puede elegir al azar 6 de esas cartas cuál es la probabilidad de que gane mas de 400 colones. 4 Puntos

6.

Un sistema de vigilancia está programado para que la policía pueda vigilar cada media hora un número

Y

de veces

(Y = 0, 1, 2 \dots)

por cada periodo de media hora. Suponga que el sistema se ajusta para que en promedio la policía vigile una ubicación una vez durante cada periodo de media hora, y que el número de veces que la policía vigila esa ubicación sigue una distribución de Poisson. 5 Puntos

(a): Determine la probabilidad de que durante un periodo de media hora la policia no pase a vigilar ninguna vez.
(b): Determine la probabilidad que que la policia pase al menos una vez durante un periodo de media hora.
(c): Detemine la probabilidad de que la policia pase a entre 12 y 25 veces por una ubicación durante un periodo de 8 horas.

7.

Un experimento se repite hasta obtener un éxito. Cada vez que se repite la probabilidad de fracaso disminuye en un factor

q

, es decir si en el intento

n

la probabilidad de fracaso es

R

en el intento

n + 1

la probabilidad de fracaso es

qR

Si la variable aleatoria es el total de intentos que deben hacerse y la probabilidad de fracaso inicial es $q$ , determine: 4 Puntos

(a): El espacio muestral
(b): La Función de distribución de probabilidad para esa variable aleatoria.
(c): La Función de distribución de probabilidad acumulada.

Algunas fórmulas que usted podría necesitar pero quiza no recuerde. Podría haber mas de lo necesario.

1.: $1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n (n + 1)}{2}$
2.: $1 + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$
3.: $1 + r + r^{2} + \dots + r^{n} = \frac{1 - r^{n + 1}}{1 - r}$

7. Parcial 5

CURSO DE PROBABILIDAD
INGENIERíA EN COMPUTACIóN
TERCER PARCIAL.

Instrucciones: Este examen es de desarrollo por lo tanto es necesario que usted escriba todos los procedimientos utilizados para encontrar la respuesta.

Tiempo 2 horas 15 minutos 40 Puntos.

1.

f_{X} (x) = {\begin{matrix} x e^{- x} & si x > 0 \end{matrix}

(a): Use la definición para demostrar que la función generadora de momentos para $X$ es $M_{X} (t) = \frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$
(b): Use $M_{X} (t)$ para obtener la varianza de $X$ .

2.

Dos procesos

A

B

, deben realizarce en forma consecutiva. Los tiempos que tardan los procesos

A

B

son aleatorios y distribuidos normalmente con media 30 minutos y varianza 36 minutos

^{2}

para

A

y media 40 minutos y varianza 64 minutos

^{2}

para B. Si el primero de los procesos empieza a las tres de la tarde ¿cuál es la probabilidad de que el segundo finalice antes de las cuatro y veinte minutos?

3.

El peso promedio de un tico es de 70 kilogramos, con una desviación estándar de 15 kilogramos. ¿Cuántos ticos se pueden subir a un autobús que soporta 5000 kilogramos de manera que haya una probabilidad del 90% de que el autobús no lleva sobrepeso?

4.

Una pequeña batería de radio funciona durante un tiempo que sigue una distribución normal con media de una hora y desviación estándar 10 minutos. Una caja contiene 100 baterías, determine la probabilidad de que en promedio las baterías en una caja duren menos de 1 hora y 3 minutos.

5.

El tiempo de reacción, en meses, a una vacuna contra la tensión producida por el síndrome final de curso, sigue una distribución Gamma con parámetros

α = 4

β = 1 / 2 .

Si se aplica la vacuna a un estudiante al principio de un curso de 4 meses ¿cuál es la probabilidad de que el efecto empiece antes de que el curso finalice? Plantee la integral que permite resolverlo y use la gamma incompleta para aproximar el valor.

6.

En promedio el tiempo,

T

que se retrasa una asistente para llegar a atender consulta es de 15 minutos. Si la variable

T

es exponencial responda:

(a): ¿Cuál es la probabilidad de que la asistente llegue con más de 10 mintuos de retraso.
(b): Si atendió consulta 35 veces haya tenido un retraso promedio de 12 minutos.

7.

La máquina que corta las varillas de construcción en una industria las corta con un largo que sigue una distribución normal con media 6 metros y con desviación estándar 3 centímetros, determine

(a): El largo después del cual quedan el 20 % de las varillas mas largas.
(b): El rango alrededor de la media donde se concetra el 98% de las varillas