Los ceros de la función zeta y el conteo de primos

La idea en una línea. Contar primos es una cosa; contar primos con peso es otra mucho más tratable. Chebyshev cambió $\pi(x)$ por $\psi(x)=\sum_{p^{k}\le x}\ln p$, y para esa función existe una fórmula exacta (no asintótica): el término principal es la recta $y=x$ y cada cero no trivial $\rho=\beta+i\gamma$ aporta un término $-x^{\rho}/\rho$. Agrupando $\rho$ con su conjugado $\bar\rho$, ese par produce una onda real

$-\dfrac{2x^{\beta}}{|\rho|}\cos\!\left(\gamma\ln x-\arg\rho\right)$

que en la variable $u=\ln x$ es una sinusoide de frecuencia $\gamma/2\pi$ y amplitud $2x^{\beta}/|\rho|$. Los ceros son, literalmente, las frecuencias de la irregularidad de los primos.

Panel ψ(x). Con $N=0$ solo queda la recta: es la aproximación «lisa». Al ir sumando pares de ceros aparecen ondas cada vez más rápidas ($\gamma_1=14.13$, $\gamma_2=21.02$, …) y la curva se va pegando a los escalones. En el límite $N\to\infty$ la igualdad es exacta: los saltos en los primos están codificados en los ceros.

Panel π(x). Aquí se grafica la fluctuación normalizada $(\pi(x)-\mathrm{R}(x))\ln x/\sqrt{x}$, donde $\mathrm{R}$ es la función de Riemann. Se divide entre $\sqrt{x}/\ln x$ porque ese es exactamente el tamaño de la oscilación: si $\rho=\beta+i\gamma$, el término $\mathrm{li}(x^{\rho})\approx x^{\rho}/(\rho\ln x)$ tiene módulo $x^{\beta}/(|\rho|\ln x)$.

Por qué importa la parte real $\beta$.

• Si algún cero tuviera $\beta$ cercano a $1$, su onda tendría amplitud $\approx x/\ln x$: del mismo orden que $\pi(x)$. El teorema de los números primos equivale exactamente a que no hay ceros con $\beta=1$ (Hadamard y de la Vallée Poussin, 1896).
• La hipótesis de Riemann dice que todas las ondas tienen la misma amplitud $\sqrt{x}$, la más pequeña posible. Eso equivale a $\pi(x)=\mathrm{Li}(x)+O(\sqrt{x}\ln x)$ (von Koch, 1901). Sin la hipótesis, lo que se sabe demostrar es mucho más débil.
• El $-1$ que aparece de fondo en el segundo panel no viene de los ceros: viene del término $-\tfrac12\mathrm{li}(\sqrt{x})$, y es la razón de que $\mathrm{Li}(x)$ le gane a $\pi(x)$ en todo el rango calculable. Littlewood (1914) probó que aún así la diferencia cambia de signo infinitas veces.

Nota honesta sobre el segundo panel. Ahí la igualdad no es exacta: se usa $\mathrm{li}(x^{\rho})\approx x^{\rho}/(\rho\ln x)$ y se truncan las ondas en el cero N. Por eso el ajuste es bueno pero no perfecto. En el panel de $\psi$, en cambio, la fórmula es una identidad; lo único que se pierde al truncar es la nitidez de los saltos (un fenómeno de Gibbs).