Tablas de verdad. Tautologías. Equivalencias tautológicas

4. Tablas de verdad. Tautologías. Equivalencias tautológicas

Tablas de verdad. Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta necesitamos conocer el valor de verdad de las proposiciones que la componen. Una tabla de verdad es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta para cada combinación de verdad que se pueda asignar a cada componente individual.

Las tablas de verdad básicas son:

Tabla 1.1: Tablas de verdad básicas

$P$	$\neg P$
V	F
F	V
$-$	$-$
$-$	$-$

$P$	$Q$	$P \land Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

$P$	$Q$	$P \lor Q$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

$P$	$Q$	$P \to Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

$P$	$Q$	$P \equiv Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

■

Ejemplo 1.

Use una tabla de verdad para probar que $\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$

Solución. Una tabla de verdad requiere todas la combinaciones de los valores de verdad de $P, Q$ y los valores de verdad de cada componente $\neg (P \land Q)$ y $\neg P \lor \neg Q$ y la equivalencia que queremos verificar: $\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$

$P$	$Q$	$\neg (P \land Q)$	$\neg P \lor \neg Q$	$\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$
V	V	F	F	V
V	F	V	V	V
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

■

Ejemplo 2.

Use una tabla de verdad para probar que $[(P \to Q) \land (Q \to R)] ⟹ (P \to R)$

Solución. La presencia de " $⟹$ " significa que hay que verificar que esta proposición compuesta es una tautología.

$P$	$Q$	$R$	$P \to Q$	$Q \to R$	$(P \to Q) \land (Q \to R)$	$P \to R$	$[(P \to Q) \land (Q \to R)] \to (P \to R)$
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V

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