1 Logica proposicional

1
Lógica proposicional

1. Introducción

La parte más simple de la lógica matemática es la lógica proposicional. Las leyes de la lógica son usadas para distinguir entre argumentos válidos o no válidos. La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no se puede probar por la lógica proposicional. El propósito de este tema, en este curso, es el de enseñar al estudiante cómo entender y como contruir un argumento matemático de manera correcta.

Tablas de verdad

$P$	$\neg P$
V	F
F	V
$-$	$-$
$-$	$-$

$P$	$Q$	$P \land Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

$P$	$Q$	$P \lor Q$
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

$P$	$Q$	$P \to Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

$P$	$Q$	$P \equiv Q$
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Tabla 1.1: Tablas de verdad básicas

Ejemplo1

1

Verifique, usando tablas de verdad, que

(P \to Q) \land \neg Q

implica tautológicamente a la proposición

\neg P

Solución.

Por simplicidad en la tabla usamos $Φ \equiv [(P \to Q) \land \neg Q]$ , $Ψ \equiv \neg P$ y $Δ \equiv [Φ ⟹ Ψ]$ ; y mostremos que $Δ$ es verdadero siempre, es decir, que tenemos una tautología.


$P$	$Q$	$P \to Q$	$\neg Q$	$Φ$	$Ψ$	$Δ$

V	V	V	F	F	F	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V	V

Dado que en todos los casos $Δ$ es verdadero, entonces la expresión corresponde a una implicación tautológica.

Equivalencias lógicas y simplificación

Implicación-disyunción (ID)	——-	$P \to Q \equiv \neg P \lor Q$
Contrapositiva		$P \to Q \equiv \neg Q \to \neg P$
DN		$\neg \neg P \equiv P$

De Morgan		$\neg (P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$
		$\neg (P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$

Conmutatividad		$P \lor Q \equiv Q \lor P$
		$P \land Q \equiv Q \land P$

Asociatividad		$P \lor (Q \lor R) \equiv (P \lor Q) \lor R$
		$P \land (Q \land R) \equiv (P \land Q) \land R$

Distribuitividad		$P \lor (Q \land R) \equiv (P \lor Q) \land (P \lor R)$
		$P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$

Idempotencia		$P \land P \equiv P$
		$P \lor P \equiv P$

Inversos		$P \lor \neg P \equiv V_{0}$
		$P \land \neg P \equiv F_{0}$

Neutro		$P \lor F_{0} \equiv P$
		$P \land V_{0} \equiv P$

Dominación		$P \land F_{0} \equiv F_{0}$
		$P \lor V_{0} \equiv V_{0}$

Absorción		$P \lor (P \land Q) \equiv P$
		$P \land (P \lor Q) \equiv P$

Exportación		$P \to (Q \to R) \equiv (P \land Q) \to R$

Ejemplo2

Suponga que $(P \to Q) \land R$ es verdadera. Determine, usando simplificación, el valor de verdad de la proposición

(\neg P \lor T) \lor Q

Solución. De acuerdo a las tablas de verdad 1.1 tenemos $(P \to Q) \land R$ es verdadero solo si $(P \to Q)$ y $R$ son verdaderas. Por tanto,

$(P \to Q) \land R$ es verdadera entonces ${\begin{matrix} P \to Q & es & verdadera \\ R & es & verdadera \end{matrix}$

Simplificamos:

{\begin{matrix} (\neg P \lor T) \lor Q & \equiv & (\neg P \lor Q) \lor T & (commutatividad, asociatividad) \end{matrix}

Y, de acuerdo a la tabla de verdad para la conectiva "

\lor

", como

P \to Q

V

entonces

(\neg P \lor T) \lor Q \equiv \underset{V}{\underset{⏟}{(P \to Q)}} \lor T

es verdadera (sin importar el valor de verdad de $T$ )

Inferencias Lógicas

Reglas	Premisas		Conclusión
Simplificación	$P \land Q$	$∴$	$P$
	$P \land Q$	$∴$	$Q$

Adjunción	$P, Q$	$∴$	$P \land Q$

Adición	$P$	$∴$	$P \lor Q$

Modus ponens	$P, P \to Q$	$∴$	$Q$

Modus tollens	$P \to Q, \neg Q$	$∴$	$\neg P$

Silogismo Disy	$P \lor Q, \neg P$	$∴$	$Q$

Silogismo Hip	$P \to Q, Q \to R$	$∴$	$P \to R$

Dilema Constructivo	$P \lor Q,$ $P \to R, Q \to S$	$∴$	$R \lor S$

Dilema Destructivo	$\neg R \lor \neg S,$ $P \to R, Q \to S$	$∴$	$\neg P \lor \neg Q$

Ley de casos	$P \to Q, \neg P \to R$	$∴$	$Q \lor R$

Ejemplo3

1

Demuestre

P

a partir de las premisas

(a): $(\neg P \lor \neg Q) \to (R \land S)$
(b): $R \to T$
(c): $\neg T$

Plan: Como queremos obtener

P,

la idea es ver si podemos inferir

\neg (R \land S)

para obtener, por MT,

\neg (\neg P \lor \neg Q) \equiv P \land Q

en la primera premisa y concluir lo que necesitamos.

Primero usamos MT en (2) y (3):	$R \to T, \neg T ∴ \neg R,$
Para negar $(R \land S)$ usamos adición y DM:	$\neg R ∴ \neg R \lor \neg S \equiv \neg (R \land S),$
Tenemos, usando MT,	$(\neg P \lor \neg Q) \to (R \land S), \neg (R \land S) ∴ \neg (\neg P \lor \neg Q)$
Usamos DN, DM y simplificación:	$\neg (\neg P \lor \neg Q) \equiv P \land Q, ∴ P$

Ejercicio2.1

Determine si la expresión es una proposición:

1: Expresión: Marte es más grande que Venus.
Sí.
2: Expresión: Todos los cuadrados son rectángulos.
Sí.
3: Expresión: $\sqrt[3]{64} = 8$
Sí.
4: Expresión: Algunos números racionales son enteros.
Sí.
5: Expresión: Si estas paredes hablaran...
No.

Ejercicio2.2

Simbolice las siguientes proposiciones utilizando la representación dada a continuación:

P = “está lloviendo”, Q = “el sol está brillando”, R = “hay nubes en el cielo”

1: Está lloviendo y el Sol está brillando.
$(P \land Q)$
2: Si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo.
$P \to R$
3: No es cierto que el Sol no está brillando.
$Q$
4: Si no está lloviendo, entonces el Sol no está brillando y hay nubes en el cielo.
$\neg P \to (\neg Q \land R)$
5: Si no está lloviendo y no hay nubes en el cielo, entonces el Sol está brillando.
$(\neg P \land \neg R) \to Q$
6: El Sol está brillando si, y sólo si, no está lloviendo.
$Q \equiv \neg P$
7: No es el caso que esté lloviendo o el Sol esté brillando, pero hay nubes en el cielo.
$(\neg P \lor Q) \land R$

Ejercicio2.3

Simbolice, a partir de las proposiciones simples anteriores, las proposiciones compuestas que se enuncian a continuación.

1: $(P \land Q) \to R$
Si está lloviendo y el sol está brillando entonces hay nubes en el cielo.
2: $\neg P \equiv (Q \lor R)$
No está lloviendo equivale a, el sol está brillando o hay nubes en el cielo.
3: $\neg R \to Q$
Si no hay nubes en el cielo entonces el sol está brillando.
4: $(P \to R) \to Q$
Si, siempre que está lloviendo hay nubes en el cielo, entonces el sol está brillando.

Ejercicio2.4

Determine la negación de las proposiciones siguientes y su simbolización:

1: "Está lloviendo y hay nubes en el cielo". Además, generalice, de manera simbólica, una regla para $\neg (P \land R)$
No está lloviendo o no hay nubes en el cielo. $\neg (P \land Q) \equiv uiv \neg P \lor \neg Q$
2: "El Sol está brillando o hay nubes en el cielo". Además, generalice, de manera simbólica, una regla para $\neg (Q \lor R)$ .
El Sol no está brillando y no hay nubes en el cielo. $\neg (P \lor Q) \equiv uiv \neg P \land \neg Q$
3: "No está lloviendo". Además, generalice, de manera simbólica, una regla para $\neg (\neg P)$ .
Está lloviendo. $\neg (\neg P) \equiv uivP$

Ejercicio2.5

Simbolice la proposición y su negación, enuncie (en palabras) la negación

1: Ayer llovió e hizo frío.
$l \land f, (\neg l) \lor (\neg f)$ : “ayer no llovió o no hizo frío”.
2: Sandra viene mañana o el viernes.
$m \lor v, (\neg m) \land (\neg v)$ : “Sandra no viene mañana ni el viernes”.
3: El sujeto no estaba armado, pero llevaba gorra o capucha.
$(\neg a) \land (g \lor c), a \lor [(\neg g) \land (\neg c)]$ : “el sujeto estaba armado, o no llevaba gorra ni capucha”.
4: $n$ es entero o bien racional y positivo.
$e \lor (r \land p), (\neg e) \land [(\neg r) \lor (\neg p)]$ : “ $n$ no es entero, y no es racional o no es positivo”.

Ejercicio2.6

Enuncie (en palabras) la negación

1: Algunas aves no pueden volar
Todas las aves pueden volar.
2: Un día en $1998$ cayó nieve en el Irazú.
Ningún día de $1998$ cayó nieve en el Irazú.
3: Ningún humano puede vencer a Superman.
Algún humano puede vencer a Superman.
4: Para cada $y \in ℝ$ existe un $r \in ℝ$ tal que $r^{2} = y$ .
Existe un $y \in ℝ$ tal que para todo $r \in ℝ$ se tiene que $r^{2} \neq y$ .

Ejercicio2.7

Simbolice la proposición y enuncie el contrapositivo

1: Si lo detienen le van a poner multa.
$d \to m$ ; “si no le hacen multa, no lo detuvieron”.
2: Si llego tarde y no traigo excusa, no podré hacer quiz.
$[t \land (\neg e)] \to (\neg q)$ ; “si puedo hacer el quiz , entonces no llegé tarde o bien traje excusa”.
3: Cada vez que trasnocho estudiando, me va bien en el siguiente quiz.
$\forall v \in D, te (v) \to vq (v)$ ; “ cada vez que no me va bien en el quiz, no trasnoché estudiando ”

Ejercicio2.8

Proporcione la negación, la recíproca y la contrapositiva de cada una de las proposiciones siguientes:

1: Si soy listo, entonces soy millonario.
Para la negación de la implicación, se utiliza la equivalencia, $\neg (P \to Q) \equiv uivP \land \neg Q .$
N: Soy listo y no soy millonario.
R: Si soy millonario, entonces soy listo.
C: Si no soy millonario, entonces no soy listo.
2: Si $2 + 2 = 4$ , entonces $2 + 4 = 8$ .

N: $2 + 2 = 4$ y $2 + 4 \neq 8 .$
R: Si $2 + 4 = 8$ , entonces $2 + 2 = 4 .$
C: Si $2 + 4 \neq 8$ , entonces $2 + 2 \neq 4 .$
3: Si Juan llega demasiado pronto o María demasiado tarde, entonces el jefe se molesta.

N: Juan llega demasiado pronto o María demasiado tarde, y el jefe no se molesta.
R: Si el jefe se molesta, entonces Juan llega demasiado pronto o María demasiado tarde.
C: Si el jefe no se molesta, entonces Juan no llega demasiado pronto ni María demasiado tarde.
4: Si hay nubes en el cielo y el Sol no está brillando, entonces no iré al estadio.

N: Hay nubes en el cielo y el Sol no está brillando, e iré al estadio.
R: Si no iré al estadio, entonces hay nubes en el cielo y el Sol no está brillando.
C: Si iré al estadio, entonces no hay nubes en el cielo o el Sol está brillando.
5: Si $a$ es un número real y $a > 0$ , entonces $a^{2} > 0$ .

N: $a$ es un número real, $a > 0$ y $a^{2} \leq 0$ .
R: Si $a^{2} > 0$ , entonces $a$ es un número real y $a > 0$ .
C:Si $a^{2} \leq 0$ , entonces $a$ no es un número real o $a \leq 0$ .

Ejercicio2.9

¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas?

1: Si $3 + 3 = 6$ , entonces $4 = 4$ .
Verdadera.
2: Si $5 \cdot 7 = 35$ , entonces $10 - 3 = 13$ .
Falsa.
3: $(3 + 5 = 8) \lor (5 - 3 = 4)$ .
Verdadera.
4: $(5 - 3 = 8) \to (1 - 7 = 6)$ .
Verdadera.
5: $(4 + 6 = 9) \equiv (5 - 2 = 4)$
Verdadera.
6: La capital de Costa Rica es San José y 17 no es un número primo.
Falsa.

Ejercicio2.10

Mediante tablas de verdad compruebe que

\neg p \lor q

p \to q

son lógicamente equivalentes para dos proposiciones cualesquiera

p

q


$p$	$q$	$\neg p$	$\neg p \lor q$	$p \to q$	$(\neg p \lor q) \leftrightarrow (p \to q)$


V	V	F	V	V	V

V	F	F	F	F	V

F	V	V	V	V	V

F	F	V	V	V	V

Ejercicio2.11

Haga una tabla de verdad para las siguientes proposiciones

1

\neg [p \lor (\neg q)]


$p$	$q$	$\neg q$	$p \lor \neg q$	$\neg (p \lor \neg q)$


V	V	F	V	F

V	F	V	V	F

F	V	F	F	V

F	F	V	V	F

2

x \land [y \lor (\neg z)]


$x$	$y$	$z$	$\neg z$	$y \lor \neg z$	$x \land (y \lor \neg z)$


V	V	V	F	V	V

V	V	F	V	V	V

V	F	V	F	F	F

V	F	F	V	V	V

F	V	V	F	V	F

F	V	F	V	V	F

F	F	V	F	F	F

F	F	F	V	V	F

Ejercicio2.12

Muestre por medio de una tabla de verdad que la conclusión en el siguiente razonamiento es incorrecto.

"Si yo fuera el presidente de Costa Rica, entonces viviría en Zapote. No soy el presidente de Costa Rica. Por lo tanto, no vivo en Zapote."

Considere p =“Soy el presidente de CR” y q= “Vivo en Zapote”.

Sea $A = [(p \to q) \land \neg p] \to \neg q$


$p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$p \to q$	$(p \to q) \land \neg p$	$A$


V	V	F	F	V	F	V

V	F	F	V	F	F	V

F	V	V	F	V	V	F

F	F	V	V	V	V	V

Ejercicio2.13

¿Es

p \land (q \lor r)

lógicamente equivalente a

(p \land q) \lor (p \land r)

Sea $A = p \land (q \lor r) \leftrightarrow (p \land q) \lor (p \land r)$


$p$	$q$	$r$	$q \lor r$	$p \land q$	$p \land r$	$p \land (q \lor r)$	$(p \land q) \lor (p \land r)$	$A$


V	V	V	V	V	V	V	V	V

V	V	F	V	V	F	V	V	V

V	F	V	V	F	V	V	V	V

V	F	F	F	F	F	F	F	V

F	V	V	V	F	F	F	F	V

F	V	F	V	F	F	F	F	V

F	F	V	V	F	F	F	F	V

F	F	F	F	F	F	F	F	V

Ejercicio2.14

Dadas las siguientes proposiciones:

$p : 5 > 10$ .
$q :$ Si $x^{2} + 1 = 0$ , entonces $x$ es un número real.
$r :$ El punto medio de un segmento, equidista de los extremos del segmanto.
$t :$ Si $x + 3 = 0$ , entonces $x = - 3$ .

Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

1: $[(p \land q) \to r] \land \neg t$
Falsa, ya que $t$ es verdadera, con lo cual su negación es falsa y por tanto la conjunción ( $\land$ ) entre las proposiciones es una proposición falsa.
2: $[(p \equiv q) \to \neg r \land t] \lor (p \lor r)$
Verdadera, ya que como $r$ es verdadera las disyunciones ( $\lor$ ) entre las proposiciones son proposiciones verdaderas.

Ejercicio2.15

Si tenemos las proposiciones

p (x) : x^{2} - 16 = 0

q (x) : x - 12 = 0

r (x) : x^{2} > 9

. Hallar el valor de verdad de

1: $[p (2) \land \neg q (2)] \equiv r (4)$ .
Falsa.
2: $[\neg p (4) \to r (5)] \lor \neg q (4)$ .
Verdadera.
3: $[(p (1) \land p (3)) \equiv (r (2) \lor p (3))] \to [\neg (p (2) \lor q (2))]$ .
Verdadera.

Ejercicio2.16

Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones.

1

(p \equiv \neg q) \equiv (q \to p)

Sea

A = (p ⟷ \neg q) ⟷ (q \to p)


$p$	$q$	$\neg q$	$p ⟷ \neg q$	$q \to p$	$A$


V	V	F	F	V	F

V	F	V	V	V	V

F	V	F	V	F	F

F	F	V	F	V	F

2

(p \land \neg q) \to (\neg p \lor q)

Sea

A = (p \land \neg q) \to (\neg p \lor q)


$p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$p \land \neg q$	$\neg p \lor q$	$A$


V	V	F	F	F	V	V

V	F	F	V	V	F	F

F	V	V	F	F	V	V

F	F	V	V	F	V	V

3

[(p \lor \neg r) \land (p \lor r)] \land [(q \to p) \land (q \lor p)] .

Sean:

A = (p \lor \neg r) \land (p \lor r)

$B = (q \to p) \land (q \lor p)$

$C = [(p \lor \neg r) \land (p \lor r)] \land [(q \to p) \land (q \lor p)]$


$p$	$q$	$r$	$\neg r$	$p \lor \neg r$	$p \lor r$	$q \to p$	$q \lor p$	$A$	$B$	$C$


V	V	V	F	V	V	V	V	V	V	V

V	V	F	V	V	V	V	V	V	V	V

V	F	V	F	V	V	V	V	V	V	V

V	F	F	V	V	V	V	V	V	V	V

F	V	V	F	F	V	F	V	F	F	F

F	V	F	V	V	F	F	V	F	F	F

F	F	V	F	F	V	V	F	F	F	F

F	F	F	V	V	F	V	F	F	F	F

Ejercicio2.17

Determine, con base en tablas de verdad, si cada una de las propiedades que se enuncian es una tautología, una contradicción o una contingencia.

1

(P \to Q) \equiv (\neg P \lor Q)

Sea

A = (P \to Q) ⟷ (\neg P \lor Q)


$P$	$Q$	$\neg P$	$P \to Q$	$\neg P \lor Q$	$A$


V	V	F	V	V	V

V	F	F	F	F	V

F	V	V	V	V	V

F	F	V	V	V	V

Es una tautología.

2

(P \land Q) \to (P \lor \neg Q)

B = (P \land Q) \to (P \lor \neg Q)


$P$	$Q$	$\neg Q$	$P \land Q$	$P \lor \neg Q$	$B$


V	V	F	V	V	V

V	F	V	F	V	V

F	V	F	F	F	V

F	F	V	F	V	V

Es una tautología.

3

(P \to Q) \equiv (\neg Q \to \neg P)

Sea

A = (P \to Q) ⟷ (\neg Q \to \neg P)


$P$	$Q$	$\neg Q$	$\neg P$	$P \to Q$	$\neg Q \to \neg P$	$A$


V	V	F	F	V	V	V

V	F	V	F	F	F	V

F	V	F	V	V	V	V

F	F	V	V	V	V	V

Es una tautología.

4

((P \to Q) \land \neg Q) \to P

Sea

B = [(P \to Q) \land \neg Q] \to P


$P$	$Q$	$\neg Q$	$P \to Q$	$(P \to Q) \land \neg Q$	$B$


V	V	F	V	F	V

V	F	V	F	F	V

F	V	F	V	F	V

F	F	V	V	V	F

Es una contingencia.

Ejercicio2.18

Use una tabla de verdad para determinar si es una tautología

1: $y \lor (z \to y)$
No.
2: $[a \to (\neg b)] \lor (a \land b)$
Sí.
3: $[p \land (q \to r)] \to (r \to q)$
No.

Ejercicio2.19

Use una tabla de verdad para determinar si las siguientes proposiciones son equivalentes

1: $\neg (p \lor q)$ y $(\neg p) \land (\neg q)$
Sí.
2: $x \land (y \lor z)$ y $(x \land y) \lor (x \land z)$
Sí.
3: $\neg [p \land (q \to r)]$ y $(p \to q) \land [p \to (\neg r)]$
Sí.

Ejercicio2.20

Determine el valor de la proposición:

Si $5 + 4 = 11$ , entonces $6 + 6 = 12$

Verdadera.

Ejercicio2.21

Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición:

\neg [\neg [p \lor (\neg q \to p)]] \lor (q \land \neg p)

\neg [\neg [p \lor (\neg q \to p)]] \lor (q \land \neg p)

Sea $A = [p \lor (\neg q \to p)] \lor (q \land \neg p)$


$p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$\neg q \to p$	$p \lor (\neg q \to p)$	$q \land \neg p$	$A$


$V$	$V$	$F$	$F$	$V$	$V$	$F$	$F$

$V$	$F$	$F$	$V$	$V$	$V$	$F$	$F$

$F$	$V$	$V$	$F$	$V$	$V$	$V$	$V$

$F$	$F$	$V$	$V$	$F$	$F$	$F$	$F$

Note que: $\neg [\neg [p \lor (\neg q \to p)]] \equiv uivp \lor (\neg q \to p)$

Ejercicio2.22

Determinar si la proposición

[(\neg p \lor q) \land \neg q] \to \neg p

es una tautología.

[(\neg p \lor q) \land \neg q] \to \neg p

es una tautología

Ejercicio3.1

Simbolice la proposición existencial o universal

1: Algunas aves no pueden volar
$\exists x \in A, nv (x)$ donde $A = {aves}$ y $nv (x)$ : “ $x$ no puede volar”.
2: Un día en $1998$ cayó nieve en el Irazú.
$\exists x \in A_{1998}, n (d)$ donde $A_{1998}$ ={días en $1958$ } y $n (d)$ : ” el día $d$ cayó nieve en el Irazú”.
3: En todos los triángulos la suma de los ángulos es $18 0^{\circ}$ .
$\forall t \in T, s (t) = 8 0^{\circ}$ donde $T$ ={ triángulos } y $s (t)$ es la suma de los ángulos de $t$ .
4: Para cada $y \in ℝ$ existe un $r \in ℝ$ tal que $r^{2} = y$ .
$\forall y \in ℝ, \exists r \in ℝ, r^{2} = y$ .
5: Para cada número real $x$ existe un número real $y$ mayor que $x$ .
$\forall x \in ℝ, \exists y \in ℝ, y > x$ .
6: Existe un número real $y$ mayor que todos los números reales $x$ .
$\exists y \in ℝ, \forall x \in ℝ, y > x$ .

Ejercicio3.2

Determine si la implicación es verdadera o falsa, enuncie su recíproco y determine si es verdadero o falso

1: Si $x \in ℝ$ y $x > 0$ entonces $x^{2} > 0$ .
V. El recíproco: “Si $x^{2} > 0$ entonces $x \in ℝ$ y $x > 0$ ”: F.
2: Para que exista $1 ∕ n$ se necesita que $n \neq 0$ .
V. El recíproco: “Para que $n \neq 0$ debe existir $\frac{1}{n}$ (o bien, si $n \neq 0$ “ entonces $\frac{1}{n}$ ): V.
3: Si $t = 3$ o $t = - 3$ entonces $t^{2} = 9$ (donde $t$ es un número real).
V. “Si $t^{2} = 9$ entonces $t = 3$ o $t = - 9$ ”: V.
4: Si todos los cuadrados son restángulos, todos los triángulos son redondos.
F. “Si todos los triángulos son redondos, todos los cuadrados son rectángulos”: V.

Ejercicio3.3

Determine el valor lógico de las siguientes proposiciones,

1: $\exists x \in ℝ ∕ x^{2} + 1 = 0$
Falsa.
2: $(\forall x \in ℝ) (\forall y \in ℝ) [x + y = 7]$ .
Falsa.

Ejercicio3.4

De las siguientes proposiciones, hallar el valor de verdad.

1: $(\forall x \in ℝ : | x | = x) \land (\exists x \in ℝ : x + 1 ≮ x)$ .
Falsa.
2: $(\forall x \in ℝ : x^{3} = x) \to (\exists x \in ℝ : 2 x = x)$ .
Verdadera.

Ejercicio3.5

Negar las siguientes proposiciones.

1: $\exists x : x + 7 < y$ .
$\forall x : x + 7 \geq y$
2: $\forall x : p (x) \land \exists y : q (y)$ .
$\exists x : \neg p (x) \lor \forall y : \neg q (y)$
3: $\exists x \in ℤ : x^{2} = x$ .
$\forall x \in ℤ : x^{2} \neq x$
4: $(\exists y) [p (x)] \to (\forall x) (\neg q (x))$ .
$(\forall y) (p (x) \land (\exists x) (q (x)))$
5: $(\exists x) [\neg p (x)] \lor (\forall x) [q (x)]$ .
$(\forall x) (p (x)) \land (\exists x) (\neg q (x))$

Ejercicio3.6

Considere el siguiente razonamiento:

Para cada $x$ e $y$ , si $x$ es mayor que $y$ , entonces no ocurre que $y$ sea mayor que $x$ . Dos es mayor que uno. Por tanto, no ocurre que uno sea mayor que dos.

Utilice cuantificadores y el método de demostración directa para probar su validez.

Se omite.

Ejercicio4.1

Demuestre

1: $\begin{matrix} 1 . & x \land z \\ 2 . & (\neg x) \lor y \end{matrix}$

$\begin{matrix} 3 . & x & S 1 \\ 4 . & y & SD 2, 3 \end{matrix}$
2: $\begin{matrix} 1 . & p \lor q \\ 2 . & q \to r \\ 3 . & \neg r \end{matrix}$

$\begin{matrix} 4 . & \neg q & MT 2, 3 \end{matrix}$
3: $\begin{matrix} 1 . & (a \lor d) \to (\neg c) \\ 2 . & c \land b \end{matrix}$

$\begin{matrix} 3 . & c & S 2 \\ 4 . & \neg (a \lor d) & MT 1, 3 \\ 5 . & (\neg a) \land (\neg d) & DeMorgan \end{matrix}$

Ejercicio4.2

Construir una prueba formal de la validez para cada uno de los argumentos siguientes:

1

Demostrar

Q

(a): $M \to N$
(b): $N \to O$
(c): $(M \to O) \to (N \to P)$
(d): $(M \to P) \to Q$

(a): $M \to N$
(b): $N \to O$
(c): $(M \to O) \to (N \to P)$
(d): $(M \to P) \to Q$
(e): $M \to O$ SH1,2
(f): $N \to P$ MP3,5
(g): $M \to P$ SH1,6
(h): $Q$ MP4,7

2

Demostrar

T \lor S

(a): $Q \lor T$
(b): $Q \to R$
(c): $\neg R$

(a): $Q \lor T$
(b): $Q \to R$
(c): $\neg R$
(d): $\neg Q$ MT2,3
(e): $T$ SD1,4
(f): $T \lor S$ Adi5

Ejercicio4.3

Deducir

t

a partir de las siguientes premisas:

$(p \land q) \to r$ , $\neg (q \to r)$ , $s \lor p$ , $s \to t$ .

Se omite.

Ejercicio4.4

Analice el siguiente razonamiento y establezca su validez.

Si la ballena es un mamifero, entonces toma oxígeno del aire. Si toma su oxígeno del aire, entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y vive en el oceano. Por lo tanto no necesita Branquias.

Se omite.

Ejercicio4.5

Estudie la validez del siguiente argumento:

Si sigue lloviendo, entonces el río se crece. Si sigue lloviendo y el río se crece, entonces el puente será arrastrado por las aguas. Si la continuación de la lluvia hace que el puente sea arrastrado por las aguas, entonces no será suficiente un solo camino para toda la ciudad. O bien un solo camino es suficiente para toda la ciudad o bien los ingenieros han cometido un error. Por tanto, los ingenieros han cometido un error.

Se omite.

Ejercicio4.6

Demostrar

T \land S

a partir de las siguientes premisas:

1.: $E \to S$
2.: $\neg T \to \neg J$
3.: $E \land J$

1.: $E \to S$
2.: $\neg T \to \neg J$
3.: $E \land J$
4.: $E$ Simp3
5.: $S$ MP1,4
6.: $J$ Simp3
7.: $\neg \neg T$ MT2,6
8.: $S \land T$ Adj5,7

Ejercicio4.7

Demostrar que

x < 4

y < 6

si se satisfacen las siguientes premisas:

1.: $P : x + 2 < 6 \Rightarrow x < 4$
2.: $Q : y < 6 \lor x + y ≮ 10$
3.: $R : x + y < 10 \land x + 2 < 6$

$P : x + 2 < 6$

$R : x < 4$

$S : y < 6$

$Q : x + y < 10$

Las premisas se pueden reescribir de la siguiente forma:

1.: $P \to R$
2.: $S \lor \neg Q$
3.: $Q \land P$
4.: $Q$ Simp3
5.: $P$ Simp3
6.: $R$ MP1,5
7.: $S$ SD2,4
8.: $R \land S$ Adj6,7

Ejercicio4.8

Demostrar

x^{2} = 9

si se cumple:

1.: $x = 3 \to 2 x^{2} = 18$
2.: $x = 3 \lor x = - 3$
3.: $x = - 3 \to 2 x^{2} = 18$
4.: $2 x^{2} = 18 \to x^{2} = 9$

Se omite.

Ejercicio4.9

En la siguiente demostración se concluye

\neg p

a partir de cuatro premisas. Se usaron reglas de inferencia y leyes lógicas. Para cada paso, indica la ley o regla que se aplicó (DM, IM, CP, DC, DN, AB, SD, etc.)


Paso

a.	$\neg (p \land q)$	Premisa
b.	$\neg q \to r$	Premisa
c.	$s \to \neg r$	Premisa
d.	$\neg s \to \neg (p \lor \neg q)$	Premisa

e.	$\neg p \lor \neg q$
f.	$\neg s \lor \neg r$
g.	$\neg r \to q$
h.	$\neg (p \lor \neg q) \lor q$
i.	$(\neg p \land q) \lor q$
j.	$q$

	$∴ \neg p$


Paso	Fórmula	Ley / Regla

a.	$\neg (p \land q)$	Premisa
b.	$\neg q \to r$	Premisa
c.	$s \to \neg r$	Premisa
d.	$\neg s \to \neg (p \lor \neg q)$	Premisa

e.	$\neg p \lor \neg q$	DM De Morgan en a.)
f.	$\neg s \lor \neg r$	IM Implicación material en c.)
g.	$\neg r \to q$	CP Contraposición en b.)
h.	$\neg (p \lor \neg q) \lor q$	IM Implicación material en d.)
i.	$(\neg p \land q) \lor q$	DM + DN en h.)
j.	$q$	AB Absorción en i.)

	$\neg p$	SD Silogismo disyuntivo: e.) y j.)

Ejercicio4.10

Demostrar

D \to C

a partir de las premisas:

1.: $A \to (B \to C)$
2.: $D \to A$
3.: $B$
4.: $D$

1.: $A \to (B \to C)$
2.: $D \to A$
3.: $B$
4.: $D$
5.: $A$ MP4,2
6.: $B \to C$ MP1,5
7.: $C$ MP6,3
8.: $\neg D \lor C$ Adi 7
9.: $D \to C$ ID8

Ejercicio4.11

En cada caso, demuestre cada proposición a partir de las premisas dadas. Justifique cada paso.

1

\begin{matrix} (1) & (\neg p \lor \neg q) \to (r \land s) \\ (2) & r \to t \\ (3) & \neg t \end{matrix}

(a): $(\neg p \lor \neg q) \to (r \land s)$
(b): $r \to t$
(c): $\neg t$
(d): $\neg r$ MT3,2
(e): $\neg r \lor \neg s$ Adi4
(f): $\neg (r \land s)$ DM5
(g): $\neg (\neg p \lor \neg q)$ MT5,1
(h): $p \land q$ DM7
(i): $p$ Simp8

2

\begin{matrix} (1) & (R \lor Q) \to \neg T \\ (2) & \neg Q \lor R \\ (3) & P \lor Q \\ (4) & P \to (R \land S) \end{matrix}

(a): $(R \lor Q) \to \neg T$
(b): $\neg Q \lor R$
(c): $P \lor Q$
(d): $P \to (R \land S)$
(e): $\neg P \lor (R \land S)$ ID4
(f): $P \land \neg (R \land S)$ DN y DM5
(g): $\neg (R \land S)$ Simp6
(h): $\neg P$ MT4,7
(i): $Q$ SD3,8
(j): $R$ SD2,9
(k): $R \lor Q$ Adi9,10
(l): $\neg T$ MD1,11
(m): $\neg T \lor U$ ADI12
(n): $\neg (T \land \neg U)$ DN y DM12,13

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